V233.XGP[TEX,DEK] - www.SailDart.org

perm filename V233.XGP[TEX,DEK] blob sn#407110 filedate 1979-01-01 generic text, type T, neo UTF8
/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=4095/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0000705*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β	←␈↓ α6␈εαSECTION␈α3.3␈αof␈αTHE␈αAR␈α⎇T␈αOF␈αCOMPUTER␈αPR␈α␈OGRAMMING
␈β

␈↓ β%␈ε⊗⎇␈εα␈α1978␈αAddison↑Wesley␈αPublishing␈αCompan␈α␈y,␈αInc.
␈β⊃L␈↓ ε2␈ε∧0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3␈ε∞␈↓ λ#ST␈α}A␈α⎇T␈α␈ISTICA␈α␈L␈α	TEST␈α␈S␈↓ λ␈εα37
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥3␈α␈.3.␈α
ST␈α⎇A␈α⎇T␈α␈I␈α↓ST␈α␈I␈α↓CAL␈α
TE␈α␈STS
␈βαj␈↓ ↓H␈εαO␈↓ ∧
␈εαis␈α
to␈α	obtain␈α
sequences␈α	that␈α
behav␈α␈e␈α	as␈α
if␈α	they␈α
are␈α	random.␈αSo
␈βαo␈↓ ↓d␈ε∧UR␈αλMAIN␈αλPURPO␈α␈SE
␈ββ∃␈↓ ↓H␈εαfar␈αw␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈αseen␈αho␈α␈w␈αto␈αmak␈α␈e␈αthe␈αperiod␈αof␈αa␈αsequence␈αso␈αlong␈αthat␈αfor␈α
practical
␈ββ@␈↓ ↓H␈εαpurposes␈αit␈αnev␈α␈er␈αwill␈αrepeat;␈α
this␈αis␈αan␈αimportan␈α␈t␈αcriterion,␈α
but␈αit␈αby␈αno␈αmeans
␈ββk␈↓ ↓H␈εαguaran␈α␈tees␈αthat␈αthe␈α
sequence␈αwill␈α
be␈αuseful␈αin␈α
applications.␈α
Ho␈α␈w␈αthen␈α
are␈αw␈α␈e␈αto
␈β∧↔␈↓ ↓H␈εαdecide␈αwhether␈αa␈αsequence␈αis␈αsu}cien␈α␈tly␈αrandom?
␈β∧B␈↓ α␈εαIf␈αλw␈α␈e␈αλw␈α␈ere␈απto␈αλgiv␈α␈e␈αλsome␈αλman␈αλa␈απpencil␈αλand␈αλpaper␈αλand␈αλask␈απhim␈αλto␈αλwrite␈αλdo␈α␈wn␈απ100
␈β∧m␈↓ ↓H␈εαrandom␈απdecimal␈απdigits,␈α	chances␈απare␈απv␈α␈ery␈αλslim␈απthat␈αλhe␈απwill␈απgiv␈α␈e␈αλa␈απsatisfactory␈απresult.
␈β¬_␈↓ ↓H␈εαPeople␈αλtend␈α	to␈α	av␈α␈oid␈α	things␈α	that␈αλseem␈α	nonrandom,␈α
such␈αλas␈α	pairs␈α	of␈α	equal␈αλadjacen␈α␈t
␈β¬D␈↓ ↓H␈εαdigits␈α
(although␈α∞about␈α
one␈α∞out␈α
of␈α∞ev␈α␈ery␈α
10␈α∞digits␈α
should␈α
equal␈α∞its␈α
predecessor).
␈β¬o␈↓ ↓H␈εαAnd␈α∞if␈α
w␈α␈e␈α∞w␈α␈ould␈α∞sho␈α␈w␈α∞someone␈α∞a␈α∞table␈α∞of␈α∞truly␈α
random␈α∞digits,␈α∂he␈α∞w␈α␈ould␈α
quite
␈βε~␈↓ ↓H␈εαprobably␈αtell␈αus␈αthey␈αare␈αnot␈αrandom␈αat␈αall;␈αhis␈αey␈α␈e␈αw␈α␈ould␈αspot␈αcertain␈αapparen␈α␈t
␈βεE␈↓ ↓H␈εαregularities.
␈βεq␈↓ α␈εαAccording␈α∂to␈α∂Dr.␈α∃I.␈α∂J.␈α∂Matrix␈α∂(as␈α∂quoted␈α∂by␈α∂Martin␈α∂Gardner␈α∞in␈ε∂␈α∂Scien␈α␈ti|c
␈βπ≤␈↓ ↓H␈ε∂American␈εα,␈α∞Jan␈α␈uary,␈α∞1965),␈α∞\Mathematicians␈α
consider␈α∞the␈α
decimal␈α∞expansion␈α
of
␈βπG␈↓ ↓H␈ελ→␈↓ ↓g␈εαa␈αrandom␈αseries,␈αbut␈αto␈αa␈αmodern␈αn␈α␈umerologist␈αit␈αis␈αrich␈αwith␈αremarkable␈αpat-
␈βπr␈↓ ↓H␈εαterns."␈αDr.␈αMatrix␈α
has␈α	poin␈α␈ted␈α
out,␈α
for␈α
example,␈α
that␈α
the␈α	|rst␈α
repeated␈α	t␈α␈w␈α␈o-digit
␈βλ≥␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈α
in␈↓ αq␈ελ→␈↓ β¬␈εα's␈αexpansion␈α
is␈α26,␈αand␈α
its␈αsecond␈α
appearance␈αcomes␈αin␈α
the␈αmiddle␈α
of
␈βλI␈↓ ↓H␈εαa␈αcurious␈αrepetition␈αpattern:
␈β	0␈↓ βw␈εα3.14159265358979323846264338327950␈↓ α␈εα(1)
␈β
;␈↓ ↓H␈εαAfter␈αlisting␈αa␈αdozen␈αor␈αso␈αfurther␈αproperties␈αof␈αthese␈αdigits,␈αhe␈αobserv␈α␈ed␈αthat␈↓ ∞␈ελ→␈↓ "␈εα,
␈β
f␈↓ ↓H␈εαwhen␈αcorrectly␈αin␈α␈terpreted,␈αcon␈α␈v␈α␈eys␈αthe␈αen␈α␈tire␈αhistory␈αof␈αthe␈αh␈α␈uman␈αrace!
␈β∩␈↓ α␈εαWe␈α∞all␈α∞notice␈α∞patterns␈α∞in␈α∞our␈α
telephone␈α∞n␈α␈um␈α␈bers,␈α∂license␈α∞n␈α␈um␈α␈bers,␈α∞etc.,␈α∞as
␈β=␈↓ ↓H␈εαaids␈α	to␈α	memory.␈αThe␈α	poin␈α␈t␈α	of␈α	these␈α	remarks␈α
is␈α	that␈α	w␈α␈e␈α	cannot␈α	be␈α	trusted␈α	to␈α	judge
␈βh␈↓ ↓H␈εαby␈α∞ourselv␈α␈es␈α
whether␈α∞a␈α∞sequence␈α∞of␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∞is␈α∞random␈α∞or␈α∞not.␈α∩Some␈α
un␈α␈biased
␈β∪␈↓ ↓H␈εαmechanical␈αtests␈αm␈α␈ust␈αbe␈αapplied.
␈β?␈↓ α␈εαThe␈α⊂theory␈α⊃of␈α⊂statistics␈α⊂pro␈α␈vides␈α⊃us␈α⊂with␈α⊂some␈α⊃quan␈α␈titativ␈α␈e␈α⊂measures␈α⊂for
␈βj␈↓ ↓H␈εαrandomness.␈α
There␈αλis␈απliterally␈αλno␈απend␈αλto␈απthe␈αλn␈α␈um␈α␈ber␈απof␈αλtests␈απthat␈απcan␈αλbe␈απconceiv␈α␈ed;
␈β
∃␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αwill␈αdiscuss␈αthose␈αtests␈αthat␈αhav␈α␈e␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αto␈αbe␈αmost␈αuseful,␈αmost␈αinstructiv␈α␈e,
␈β
@␈↓ ↓H␈εαand␈αmost␈αreadily␈αadapted␈αto␈αcomputer␈αcalculation.
␈β
l␈↓ α␈εαIf␈α⊂a␈α∂sequence␈α∂behav␈α␈es␈α⊂randomly␈α∂with␈α⊂respect␈α∂to␈α⊂tests␈↓ λv␈ελT␈↓ 	~␈εα,␈↓ 	4␈ελT␈↓ 	W␈εα,␈↓ 	r␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
"␈εα,␈↓ 
<␈ελT␈↓ 
i␈εα,␈α⊂w␈α␈e
␈β
y␈↓ 	␈ε¬1␈↓ 	I␈ε¬2␈↓ 
Q␈εn
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εαcannot␈αλbe␈ε∂␈απsure␈εα␈αλin␈αλgeneral␈αλthat␈αλit␈αλwill␈αλnot␈αλbe␈αλa␈αλmiserable␈αλfailure␈αλwhen␈αλit␈αλis␈απsubjected
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαto␈α
a␈α
further␈α
test␈↓ βV␈ελT␈↓ ∧)␈εα;␈α
y␈α␈et␈α∞each␈α
test␈α
giv␈α␈es␈α
us␈α
more␈α∞and␈α
more␈α
con|dence␈α
in␈α
the
␈β∞P␈↓ βk␈εn␈↓ β⎇␈ε¬+1
␈β∞m␈↓ ↓H␈εαrandomness␈α
of␈α
the␈α
sequence.␈α∂In␈α
practice,␈α
w␈α␈e␈α
apply␈α
about␈α
half␈α
a␈α
dozen␈α
di{eren␈α␈t
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαkinds␈α∂of␈α∂statistical␈α∂tests␈α∂to␈α∂a␈α∂sequence,␈α∂and␈α∂if␈α∂it␈α∂passes␈α∂these␈α∂satisfactorily␈α∂w␈α␈e
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαconsider␈αit␈αto␈αbe␈αrandom←it␈αis␈αthen␈αpresumed␈αinnocen␈α␈t␈αun␈α␈til␈αpro␈α␈v␈α␈en␈αguilty.
␈β∂o␈↓ α␈εαEv␈α␈ery␈α⊂sequence␈α⊂that␈α⊂is␈α∂to␈α⊂be␈α⊂extensiv␈α␈ely␈α⊂used␈α⊂should␈α⊂be␈α⊂tested␈α∂carefully,
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαso␈α
the␈α
follo␈α␈wing␈α
sections␈α
explain␈α
ho␈α␈w␈α
to␈α∞carry␈α
out␈α
these␈α
tests␈α
in␈α
the␈α
righ␈α␈t␈α
way.
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαTw␈α␈o␈α∂kinds␈α∂of␈α⊂tests␈α∂are␈α⊂distinguished:␈ε∂␈α∪empirical␈α∂tests␈εα,␈α⊂for␈α⊂which␈α∂the␈α∂computer
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαmanipulates␈αgroups␈αof␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αof␈αthe␈αsequence␈αand␈αevaluates␈αcertain␈αstatistics;
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαand␈ε∂␈α∞theoretical␈α∞tests␈εα,␈α∞for␈α∞which␈α∞w␈α␈e␈α∞establish␈α∞characteristics␈α∞of␈α∞the␈α∞sequence␈α
by
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα38␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
}3.3
␈βα(␈↓ ↓H␈εαusing␈α
n␈α␈um␈α␈ber-theoretic␈α
methods␈α∞based␈α
on␈α
the␈α∞recurrence␈α
rule␈α
used␈α∞to␈α
form␈α
the
␈βαS␈↓ ↓H␈εαsequence.
␈βα}␈↓ α␈εαIf␈αthe␈αevidence␈αdoesn't␈αcome␈αout␈αas␈αdesired,␈αthe␈αreader␈αmay␈αwish␈αto␈αtry␈αthe
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαtechniques␈αin␈ε∂␈αHo␈α␈w␈αto␈αLie␈αWith␈αStatistics␈εα␈αby␈αDarrell␈αHu{␈α(Norton,␈α1954).
␈β∧(␈↓ ↓H␈ε≥3␈α␈.3.1.␈α
Gene␈α␈ral␈α
Test␈α∞Pr␈α␈oce␈α␈d␈α↓ur␈α␈es␈α
f␈α↓o␈α␈r␈α
Stu␈α↓dying␈α
R␈α↓a␈α␈n␈α↓dom␈α
Data
␈β∧d␈↓ π
␈ε¬2
␈β∧i␈↓ ↓H␈ε∩A.␈α
\Chi-square"␈α	tests.␈εα␈α∀The␈α
chi-square␈α
test␈α
(␈↓ εs␈ελ∨␈↓ π"␈εαtest)␈α
is␈α
perhaps␈α
the␈α
best␈α
kno␈α␈wn␈α	of
␈β¬∀␈↓ ↓H␈εαall␈α	statistical␈α
tests,␈α
and␈α
it␈α
is␈α	a␈α
basic␈α
method␈α	that␈α
is␈α
used␈α	in␈α
connection␈α
with␈α	man␈α␈y
␈β¬@␈↓ ↓H␈εαother␈α	tests.␈αBefore␈α	considering␈α
the␈α
method␈α
in␈α	general,␈α
let␈α
us␈α
consider␈α
a␈α	particular
␈β¬k␈↓ ↓H␈εαexample␈α
of␈α
the␈α
chi-square␈α
test␈α
as␈α
it␈α
migh␈α␈t␈αbe␈α
applied␈α
to␈α
dice␈α
thro␈α␈wing.␈αUsing␈α
t␈α␈w␈α␈o
␈βε⊗␈↓ ↓H␈εα\true"␈αdice␈α(each␈αof␈αwhich,␈αindependen␈α␈tly,␈αis␈αassumed␈αto␈αregister␈α1,␈α2,␈α3,␈α4,␈α5,␈αor
␈βεA␈↓ ↓H␈εα6␈αwith␈α
equal␈αprobability),␈α
the␈α
follo␈α␈wing␈αtable␈α
giv␈α␈es␈α
the␈αprobability␈α
of␈αobtaining
␈βεl␈↓ ↓H␈εαa␈αgiv␈α␈en␈αtotal,␈↓ β%␈ελs␈↓ β4␈εα,␈αon␈αa␈αsingle␈αthro␈α␈w:
␈βπ7␈↓ α4␈εαvalue␈αof␈↓ β>␈ελs␈↓ βW␈εα=␈↓ ∧(␈εα2␈↓ ∧q␈εα3␈↓ ¬:␈εα4␈↓ ¬|␈εα5␈↓ ε=␈εα6␈↓ ε␈␈εα7␈↓ π@␈εα8␈↓ λα␈εα9␈↓ λ;␈εα10␈↓ 	β␈εα11␈↓ 	L␈εα12
␈βπT␈↓ α␈εα(1)
␈βπj␈↓ ∧*␈ε¬1␈↓ ∧s␈ε¬1␈↓ ¬<␈ε¬1␈↓ ¬⎇␈ε¬1␈↓ ε?␈ε¬5␈↓ π↓␈ε¬1␈↓ πB␈ε¬5␈↓ λ∧␈ε¬1␈↓ λE␈ε¬1␈↓ 	∞␈ε¬1␈↓ 	W␈ε¬1
␈βπm␈↓ ↓l␈εαprobability,␈↓ β0␈ελp␈↓ βW␈εα=
␈βπz␈↓ βA␈εs
␈βπ⎇␈↓ ∧#␈∧π⎇∧#α≥␈↓ ∧l␈∧π⎇∧lα≥␈↓ ¬5␈∧π⎇¬5α≥␈↓ ¬⎇␈∧π⎇¬⎇α∂␈↓ ε8␈∧π⎇ε8α≥␈↓ π↓␈∧π⎇π↓α∂␈↓ π;␈∧π⎇π;α≥␈↓ λ∧␈∧π⎇λ∧α∂␈↓ λ>␈∧π⎇λ>α≥␈↓ 	π␈∧π⎇	πα≥␈↓ 	P␈∧π⎇	Pα≥
␈βλ␈↓ ∧#␈ε¬36␈↓ ∧l␈ε¬18␈↓ ¬5␈ε¬12␈↓ ¬⎇␈ε¬9␈↓ ε8␈ε¬36␈↓ π↓␈ε¬6␈↓ π;␈ε¬36␈↓ λ∧␈ε¬9␈↓ λ>␈ε¬1␈α↓2␈↓ 	π␈ε¬18␈↓ 	P␈ε¬36
␈βλ=␈↓ ↓H␈εα(For␈α
example,␈αa␈α
value␈α
of␈α4␈α
can␈α
be␈αthro␈α␈wn␈α
in␈α
three␈αways:␈α1␈α¬+␈αε3,␈α2␈αε+␈α¬2,␈α3␈αε+␈αε1;␈α
this
␈βλe␈↓ β	␈ε¬3␈↓ βf␈ε¬1
␈βλi␈↓ ↓H␈εαconstitutes␈↓ β,␈εα=␈↓ ∧	␈εα=␈↓ ∧7␈ελp␈↓ ∧c␈εαof␈αthe␈α36␈αpossible␈αoutcomes.)
␈βλv␈↓ ∧H␈ε¬4
␈βλy␈↓ βα␈∧λyβαα≥␈↓ β↑␈∧λyβ↑α≥
␈βλ{␈↓ βα␈ε¬36␈↓ β↑␈ε¬1␈α↓2
␈β	∀␈↓ α␈εαIf␈α∞w␈α␈e␈α∞thro␈α␈w␈α∞the␈α∞dice␈↓ ∧↑␈ελn␈↓ ¬↓␈εαtimes,␈α∂w␈α␈e␈α∞should␈α∞obtain␈α∞the␈α∞value␈↓ 	,␈ελs␈↓ 	I␈εαappro␈α␈ximately
␈β	?␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓]␈ελp␈↓ αε␈εαtimes␈αon␈αthe␈αav␈α␈erage.␈αFor␈αexample,␈αin␈α144␈αthro␈α␈ws␈αw␈α␈e␈αshould␈αget␈αthe␈αvalue␈α4
␈β	L␈↓ ↓n␈εs
␈β	j␈↓ ↓H␈εαabout␈α
12␈α
times.␈α⊂The␈α
follo␈α␈wing␈α
table␈α
sho␈α␈ws␈α∞what␈α
results␈α
w␈α␈ere␈ε∂␈α
actually␈εα␈α
obtained
␈β
∃␈↓ ↓H␈εαin␈αa␈αparticular␈αsequence␈αof␈α144␈αthro␈α␈ws␈αof␈αthe␈αdice:
␈β
`␈↓ β!␈εαvalue␈αof␈↓ ∧+␈ελs␈↓ ∧D␈εα=␈↓ ¬∧␈εα2␈↓ ¬3␈εα3␈↓ ¬t␈εα4␈↓ ε5␈εα5␈↓ εv␈εα6␈↓ π6␈εα7␈↓ πw␈εα8␈↓ λ8␈εα9␈↓ λg␈εα10␈↓ 	(␈εα11␈↓ 	h␈εα12
␈β⊗␈↓ ↓w␈εαobserv␈α␈ed␈αn␈α␈um␈α␈ber,␈↓ ∧_␈ελY␈↓ ∧D␈εα=␈↓ ¬∧␈εα2␈↓ ¬3␈εα4␈↓ ¬b␈εα10␈↓ ε#␈εα12␈↓ εd␈εα22␈↓ π$␈εα29␈↓ πe␈εα21␈↓ λ&␈εα15␈↓ λg␈εα14␈↓ 	:␈εα9␈↓ 	z␈εα6␈↓ α␈εα(2)
␈β#␈↓ ∧-␈εs
␈βL␈↓ ↓d␈εαexpected␈αn␈α␈um␈α␈ber,␈↓ ∧ε␈ελn␈↓ ∧≤␈ελp␈↓ ∧D␈εα=␈↓ ¬∧␈εα4␈↓ ¬3␈εα8␈↓ ¬b␈εα12␈↓ ε#␈εα16␈↓ εd␈εα20␈↓ π$␈εα24␈↓ πe␈εα20␈↓ λ&␈εα16␈↓ λg␈εα12␈↓ 	:␈εα8␈↓ 	z␈εα4
␈βY␈↓ ∧-␈εs
␈β⊗␈↓ ↓H␈εαNote␈αλthat␈α	the␈α	observ␈α␈ed␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	is␈α	di{eren␈α␈t␈αλfrom␈α	the␈α	expected␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	in␈α	all␈αλcases;
␈βB␈↓ ↓H␈εαin␈α∞fact,␈α∞random␈α∞thro␈α␈ws␈α∞of␈α∞the␈α∞dice␈α∞will␈α∞hardly␈α∞ev␈α␈er␈α∞come␈α∞out␈α∞with␈ε∂␈α∞exactly␈εα␈α∞the
␈βh␈↓ ¬)␈ε¬1␈α↓44
␈βm␈↓ ↓H␈εαrigh␈α␈t␈αfrequencies.␈αThere␈αare␈α3␈↓ ¬↔␈εα6␈↓ ¬a␈εαpossible␈αsequences␈αof␈α144␈αthro␈α␈ws,␈αall␈αof␈αwhich
␈β
_␈↓ ↓H␈εαare␈αequally␈α
lik␈α␈ely.␈α
One␈α
of␈αthese␈α
sequences␈αconsists␈α
of␈αall␈α
2's␈α(\snak␈α␈e␈α
ey␈α␈es"),␈αand
␈β
C␈↓ ↓H␈εαan␈α␈y␈α␈one␈αthro␈α␈wing␈α144␈αsnak␈α␈e␈αey␈α␈es␈αin␈αa␈αro␈α␈w␈αw␈α␈ould␈αbe␈αcon␈α␈vinced␈αthat␈αthe␈αdice␈αw␈α␈ere
␈β
n␈↓ ↓H␈εαloaded.␈α∀Yet␈α∂the␈α∞sequence␈α∂of␈α∂all␈α∂2's␈α∞is␈α∂just␈α∂as␈α∞probable␈α∂as␈α∂an␈α␈y␈α∂other␈α∞particular
␈β∞~␈↓ ↓H␈εαsequence␈αif␈αw␈α␈e␈αspecify␈αthe␈αoutcome␈αof␈αeach␈αthro␈α␈w␈αof␈αeach␈αdie.
␈β∞E␈↓ α␈εαIn␈α
view␈α	of␈α	this,␈α
ho␈α␈w␈α
can␈α	w␈α␈e␈α
test␈α	whether␈α
or␈α	not␈α
a␈α	giv␈α␈en␈α
pair␈α	of␈α
dice␈α	is␈α	loaded?
␈β∞p␈↓ ↓H␈εαThe␈α
answ␈α␈er␈α
is␈α
that␈α
w␈α␈e␈αcan't␈α
mak␈α␈e␈α
a␈α
de|nite␈α
y␈α␈es-no␈α
statemen␈α␈t,␈α∞but␈α
w␈α␈e␈αcan␈α
giv␈α␈e
␈β∂≠␈↓ ↓H␈εαa␈ε∂␈αprobabilistic␈εα␈αansw␈α␈er.␈αWe␈αcan␈αsay␈αho␈α␈w␈αprobable␈αor␈αimprobable␈αcertain␈αtypes␈αof
␈β∂F␈↓ ↓H␈εαev␈α␈en␈α␈ts␈αare.
␈β∂r␈↓ α␈εαA␈α⊂fairly␈α⊂natural␈α⊃way␈α⊂to␈α⊂proceed␈α⊂in␈α⊂the␈α⊃abo␈α␈v␈α␈e␈α⊂example␈α⊂is␈α⊂to␈α⊂consider␈α⊂the
␈β⊂≥␈↓ ↓H␈εαsquares␈α∂of␈α⊂the␈α∂di{erences␈α⊂bet␈α␈w␈α␈een␈α∂the␈α⊂observ␈α␈ed␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈↓ λg␈ελY␈↓ 	↔␈εαand␈α⊂the␈α∂expected
␈β⊂*␈↓ λ|␈εs
␈β⊂H␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈↓ αX␈ελn␈↓ αm␈ελp␈↓ β␈εα.␈αWe␈αcan␈αadd␈αthese␈αtogether,␈αobtaining
␈β⊂U␈↓ α}␈εs
␈β⊃∀␈↓ ¬¬␈ε¬2␈↓ εl␈ε¬2␈↓ 	M␈ε¬2
␈β⊃~␈↓ β∞␈ελV␈↓ β2␈εα=␈α
(␈↓ βl␈ελY␈↓ ∧_␈ε⊗␈␈↓ ∧D␈ελn␈↓ ∧Y␈ελp␈↓ ∧y␈εα)␈↓ ¬≠␈εα+␈αλ(␈↓ ¬S␈ελY␈↓ ¬␈␈ε⊗␈␈↓ ε+␈ελn␈↓ ε@␈ελp␈↓ ε`␈εα)␈↓ πα␈εα+␈↓ π.␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π`␈εα+␈αλ(␈↓ λ_␈ελY␈↓ λR␈ε⊗␈␈↓ λ}␈ελn␈↓ 	∀␈ελp␈↓ 	A␈εα)␈↓ 	\␈εα.␈↓ α␈εα(3)
␈β⊃(␈↓ ∧↓␈ε¬2␈↓ ∧j␈ε¬2␈↓ ¬h␈ε¬3␈↓ εQ␈ε¬3␈↓ λ-␈ε¬12␈↓ 	%␈ε¬12
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.1␈ε∞␈↓ β↑GENERAL␈α	T␈α␈EST␈α	P␈α␈ROCEDU␈α␈R␈α↓ES␈α	F␈α␈OR␈α	STU␈α␈DYING␈α	RA␈α␈NDOM␈α	DA␈α}T␈α⎇A␈↓ λ␈εα39
␈βα(␈↓ ↓H␈εαA␈αbad␈αset␈αof␈αdice␈αshould␈αresult␈αin␈αa␈αrelativ␈α␈ely␈αhigh␈αvalue␈αof␈↓ λj␈ελV␈↓ 	∧␈εα;␈αand␈αfor␈αan␈α␈y␈αgiv␈α␈en
␈βαS␈↓ ↓H␈εαvalue␈αof␈↓ αS␈ελV␈↓ αz␈εαw␈α␈e␈αcan␈α
ask,␈α
\What␈α
is␈α
the␈αprobability␈α
that␈↓ λ!␈ελV␈↓ λG␈εαis␈α
this␈α
high,␈α
using␈αtrue
␈βα{␈↓ εa␈ε¬1
␈βα}␈↓ ↓H␈εαdice?"␈α
If␈απthis␈απprobability␈απis␈απv␈α␈ery␈απsmall,␈αλsay␈↓ πα␈εα,␈αλw␈α␈e␈απw␈α␈ould␈απkno␈α␈w␈απthat␈απonly␈αεabout␈απone
␈ββ∂␈↓ εS␈∧β∂εSα,
␈ββ⊃␈↓ εS␈ε¬100
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαtime␈αin␈α
100␈αw␈α␈ould␈αtrue␈αdice␈αgiv␈α␈e␈αresults␈αso␈αfar␈αaway␈αfrom␈αthe␈αexpected␈α
n␈α␈um␈α␈bers,
␈ββU␈↓ ↓H␈εαand␈α∞w␈α␈e␈α∞w␈α␈ould␈α∞hav␈α␈e␈α∂de|nite␈α∞grounds␈α∞for␈α∞suspicion.␈α≡(Remem␈α␈ber,␈α∂ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α∞that
␈β∧␈↓ ↓H␈εαev␈α␈en␈ε∂␈αgood␈εα␈αdice␈αw␈α␈ould␈αgiv␈α␈e␈αsuch␈αa␈αhigh␈αvalue␈αof␈↓ π9␈ελV␈↓ π←␈εαabout␈αone␈αtime␈αin␈αa␈αh␈α␈undred,
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαso␈α
a␈α
cautious␈α
person␈α
w␈α␈ould␈α
repeat␈α
the␈α∞experimen␈α␈t␈α
to␈α
see␈α
if␈α
the␈α
high␈α
value␈α
of␈↓ ∩␈ελV
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαis␈αrepeated.)
␈β∧⎇␈↓ 	β␈ε¬2␈↓ ∀␈ε¬2
␈β¬α␈↓ α␈εαThe␈α⊂statistic␈↓ βe␈ελV␈↓ ∧∂␈εαin␈α⊂(3)␈α∂giv␈α␈es␈α⊂equal␈α∂w␈α␈eigh␈α␈t␈α⊂to␈α⊂(␈↓ πf␈ελY␈↓ λ∀␈ε⊗␈␈↓ λB␈ελn␈↓ λX␈ελp␈↓ λw␈εα)␈↓ 	!␈εαand␈α⊂(␈↓ 	w␈ελY␈↓ 
%␈ε⊗␈␈↓ 
S␈ελn␈↓ 
i␈ελp␈↓ λ␈εα)␈↓ "␈εα,
␈β¬∂␈↓ π{␈ε¬7␈↓ λi␈ε¬7␈↓ 
␈ε¬2␈↓ 
z␈ε¬2
␈β¬(␈↓ β}␈ε¬2␈↓ 
∩␈ε¬2
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαalthough␈α(␈↓ αi␈ελY␈↓ β∪␈ε⊗␈␈↓ β=␈ελn␈↓ βS␈ελp␈↓ βr␈εα)␈↓ ∧↔␈εαis␈αlik␈α␈ely␈αto␈αbe␈αa␈αgood␈αdeal␈αhigher␈αthan␈α(␈↓ λ⎇␈ελY␈↓ 	'␈ε⊗␈␈↓ 	Q␈ελn␈↓ 	g␈ελp␈↓ 
ε␈εα)␈↓ 
,␈εαsince␈α
7's
␈β¬:␈↓ α}␈ε¬7␈↓ βd␈ε¬7␈↓ 	∩␈ε¬2␈↓ 	x␈ε¬2
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαoccur␈α
about␈α
six␈α
times␈α∞as␈α
often␈α
as␈α
2's.␈α⊂It␈α∞turns␈α
out␈α
that␈α
the␈α∞\righ␈α␈t"␈α
statistic,␈α
at
␈β¬}␈↓ 	␈␈ε¬2
␈βε␈↓ 
n␈ε¬1
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαleast␈αone␈αthat␈αhas␈α
pro␈α␈v␈α␈ed␈αto␈αbe␈αmost␈αimportan␈α␈t,␈α
will␈αgiv␈α␈e␈α(␈↓ λf␈ελY␈↓ 	∩␈ε⊗␈␈↓ 	>␈ελn␈↓ 	T␈ελp␈↓ 	s␈εα)␈↓ 
~␈εαonly␈↓ ␈εαas
␈βε⊃␈↓ λ{␈ε¬7␈↓ 	e␈ε¬7
␈βε∀␈↓ 
n␈∧ε∀
nα∂
␈βε⊗␈↓ 
n␈ε¬6
␈βε)␈↓ ∧j␈ε¬2
␈βε.␈↓ ↓H␈εαm␈α␈uch␈αw␈α␈eigh␈α␈t␈αas␈α(␈↓ βR␈ελY␈↓ β⎇␈ε⊗␈␈↓ ∧(␈ελn␈↓ ∧>␈ελp␈↓ ∧↑␈εα)␈↓ ∧x␈εα,␈αand␈αw␈α␈e␈αshould␈αchange␈α(3)␈αto␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αform␈α␈ula:
␈βε<␈↓ βg␈ε¬2␈↓ ∧O␈ε¬2
␈βεg␈↓ ∧⎇␈ε¬2␈↓ εl␈ε¬2␈↓ 	U␈ε¬2
␈βεl␈↓ βX␈εα(␈↓ βd␈ελY␈↓ ∧⊂␈ε⊗␈␈↓ ∧<␈ελn␈↓ ∧Q␈ελp␈↓ ∧q␈εα)␈↓ ¬G␈εα(␈↓ ¬S␈ελY␈↓ ¬␈␈ε⊗␈␈↓ ε+␈ελn␈↓ ε@␈ελp␈↓ ε`␈εα)␈↓ λ∀␈εα(␈↓ λ ␈ελY␈↓ λZ␈ε⊗␈␈↓ 	ε␈ελn␈↓ 	≤␈ελp␈↓ 	I␈εα)
␈βεz␈↓ βy␈ε¬2␈↓ ∧b␈ε¬2␈↓ ¬h␈ε¬3␈↓ εQ␈ε¬3␈↓ λ5␈ε¬12␈↓ 	-␈ε¬12
␈βπ⊂␈↓ βα␈ελV␈↓ β&␈εα=␈↓ ¬↔␈εα+␈↓ πε␈εα+␈↓ π2␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πd␈εα+␈↓ 	h␈εα.␈↓ α␈εα(4)
␈βπ ␈↓ βX␈∧π βXα↓3␈↓ ¬G␈∧π ¬Gα↓3␈↓ λ∀␈∧π λ∀α↓P
␈βπ(␈↓ ∧↔␈ελn␈↓ ∧-␈ελp␈↓ εε␈ελn␈↓ ε≤␈ελp␈↓ λZ␈ελn␈↓ λp␈ελp
␈βπ5␈↓ ∧>␈ε¬2␈↓ ε-␈ε¬3␈↓ 	↓␈ε¬12
␈βπ↑␈↓ ↓H␈εαThis␈α
is␈αcalled␈α
the␈α
\chi-square"␈α
statistic␈α
of␈α
the␈α
observ␈α␈ed␈αquan␈α␈tities␈↓ 	b␈ελY␈↓ 
ε␈εα,␈↓ 
⊗␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
@␈εα,␈↓ 
P␈ελY␈↓ ∞␈εαin
␈βπk␈↓ 	w␈ε¬2␈↓ 
e␈ε¬12
␈βλ	␈↓ ↓H␈εαthis␈αdice-thro␈α␈wing␈αexperimen␈α␈t.␈αFor␈αthe␈αdata␈αin␈α(2),␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈βλB␈↓ ∧
␈ε¬2␈↓ ¬H␈ε¬2␈↓ π`␈ε¬2␈↓ 	~␈ε¬2
␈βλG␈↓ β≥␈εα(2␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ4␈↓ ∧↓␈εα)␈↓ ∧X␈εα(4␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ8␈↓ ¬<␈εα)␈↓ εp␈εα(9␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ8␈↓ πT␈εα)␈↓ λ*␈εα(6␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ4␈↓ 	∞␈εα)
␈βλK␈↓ 
∧␈εα7
␈βλa␈↓ αG␈ελV␈↓ αk␈εα=␈↓ ∧(␈εα+␈↓ ¬b␈εα+␈↓ ε∞␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε@␈εα+␈↓ πz␈εα+␈↓ 	7␈εα=␈α
7␈↓ 
#␈εα.␈↓ α␈εα(5)
␈βλr␈↓ β≥␈∧λrβ≥α␈␈↓ ∧X␈∧λr∧Xα␈␈↓ εp␈∧λrεpα␈␈↓ λ*␈∧λrλ*α␈␈↓ 	{␈∧λr	{α$
␈βλz␈↓ βS␈εα4␈↓ ¬∞␈εα8␈↓ π&␈εα8␈↓ λa␈εα4␈↓ 	{␈εα48
␈β	)␈↓ πs␈ε¬7
␈β	-␈↓ ↓H␈εαThe␈α∞importan␈α␈t␈α
question␈α∞no␈α␈w␈α∞is,␈α∂of␈α∞course,␈α∞\does␈α∞7␈↓ λ≠␈εαconstitute␈α∞an␈α
improbably
␈β	=␈↓ πl␈∧	=πlα≥
␈β	?␈↓ πl␈ε¬48
␈β	X␈↓ ↓H␈εαhigh␈αvalue␈αfor␈↓ β.␈ελV␈↓ βT␈εαto␈αassume?"␈αBefore␈αansw␈α␈ering␈αthis␈αquestion,␈αlet␈αus␈αconsider␈αthe
␈β
β␈↓ ↓H␈εαgeneral␈αapplication␈αof␈αthe␈αchi-square␈αmethod.
␈β
.␈↓ α␈εαIn␈αgeneral,␈αsuppose␈αthat␈αev␈α␈ery␈αobservation␈αcan␈αfall␈αin␈α␈to␈α
one␈αof␈↓ 	k␈ελk␈↓ 
λ␈εαcategories.
␈β
Y␈↓ ↓H␈εαWe␈αtak␈α␈e␈↓ αU␈ελn␈↓ αu␈ε∂independen␈α␈t␈αobservations␈↓ ε∧␈εα;␈αthis␈αmeans␈αthat␈αthe␈αoutcome␈αof␈αone␈αobser-
␈β¬␈↓ ↓H␈εαvation␈α	has␈α
absolutely␈α
no␈α	e{ect␈α
on␈α
the␈α	outcome␈α
of␈α
an␈α␈y␈α	of␈α
the␈α
others.␈αLet␈↓ 
&␈ελp␈↓ 
M␈εαbe␈α	the
␈β∩␈↓ 
7␈εs
␈β0␈↓ ↓H␈εαprobability␈αthat␈α
each␈αobservation␈αfalls␈αin␈α␈to␈αcategory␈↓ λβ␈ελs␈↓ λ∩␈εα,␈αand␈αlet␈↓ 	≡␈ελY␈↓ 	K␈εαbe␈αthe␈α
n␈α␈um␈α␈ber
␈β=␈↓ 	3␈εs
␈β[␈↓ ↓H␈εαof␈αobservations␈αthat␈αactually␈ε∂␈αdo␈εα␈αfall␈αin␈α␈to␈αcategory␈↓ πe␈ελs␈↓ πt␈εα.␈αWe␈αform␈αthe␈αstatistic
␈β∩␈↓ π\␈ε¬2
␈β↔␈↓ ¬f␈ε↓X␈↓ ε;␈εα(␈↓ εG␈ελY␈↓ εp␈ε⊗␈␈↓ π≤␈ελn␈↓ π2␈ελp␈↓ πP␈εα)
␈β$␈↓ ε\␈εs␈↓ πC␈εs
␈β:␈↓ ∧|␈ελV␈↓ ¬ ␈εα=␈↓ πn␈εα.␈↓ α␈εα(6)
␈βJ␈↓ ε;␈∧Jε;α↓/
␈βS␈↓ εy␈ελn␈↓ π∂␈ελp
␈β`␈↓ π ␈εs
␈βl␈↓ ¬N␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬y␈εs␈↓ εε␈ε→∀␈↓ ε#␈εk
␈β
-␈↓ ↓H␈εαIn␈α
our␈α
example␈α∞abo␈α␈v␈α␈e,␈α∞there␈α
are␈α∞elev␈α␈en␈α
possible␈α
outcomes␈α∞of␈α
each␈α∞thro␈α␈w␈α
of␈α
the
␈β
9␈↓ βS␈ε↓␈
␈β
X␈↓ ↓H␈εαdice,␈αso␈↓ αE␈ελk␈↓ αa␈εα=␈α
11.␈↓ βa␈εαEq.␈α
(6)␈αis␈α
a␈αsligh␈α␈t␈αchange␈α
of␈αnotation␈α
from␈αEq.␈α
(4),␈αsince␈αw␈α␈e␈α
are
␈β
d␈↓ 	)␈ε↓↓
␈β∞∧␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bering␈αthe␈αpossibilities␈αfrom␈α1␈αto␈↓ ε_␈ελk␈↓ ε5␈εαinstead␈αof␈αfrom␈α2␈αto␈α12.
␈β∞*␈↓ ∧z␈ε¬2␈↓ ¬[␈ε¬2␈↓ π1␈ε¬2␈↓ πR␈ε¬2
␈β∞/␈↓ α␈εαBy␈απexpanding␈αε(␈↓ βs␈ελY␈↓ ∧⊗␈ε⊗␈␈↓ ∧;␈ελn␈↓ ∧P␈ελp␈↓ ∧n␈εα)␈↓ ¬∩␈εα=␈↓ ¬@␈ελY␈↓ ¬j␈ε⊗␈␈εα␈α↓2␈↓ ε!␈ελn␈↓ ε7␈ελp␈↓ εT␈ελY␈↓ εw␈εα+␈↓ π≤␈ελn␈↓ π@␈ελp␈↓ πg␈εαin␈απ(6),␈αλand␈αεusing␈απthe␈απfacts␈αεthat
␈β∞<␈↓ ∧λ␈εs␈↓ ∧a␈εs␈↓ εH␈εs␈↓ εi␈εs
␈β∞A␈↓ ¬[␈εs␈↓ πR␈εs
␈β∞h␈↓ ∧v␈ελY␈↓ ¬!␈εα+␈↓ ¬M␈ελY␈↓ ¬y␈εα+␈↓ ε%␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εW␈εα+␈↓ πβ␈ελY␈↓ π0␈εα=␈↓ π↑␈ελn␈↓ πt␈εα,
␈β∞u␈↓ ¬␈ε¬1␈↓ ¬b␈ε¬2␈↓ π_␈εk
␈β∞⎇␈↓ α␈εα(7)
␈β∂∪␈↓ ¬α␈ελp␈↓ ¬)␈εα+␈↓ ¬U␈ελp␈↓ ¬⎇␈εα+␈↓ ε)␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε[␈εα+␈↓ ππ␈ελp␈↓ π0␈εα=␈α
1,
␈β∂ ␈↓ ¬∪␈ε¬1␈↓ ¬f␈ε¬2␈↓ π_␈εk
␈β∂I␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αarriv␈α␈e␈αat␈αthe␈αform␈α␈ula
␈β∂↑␈↓ εO␈ε↓0␈↓ π_␈ε↓1
␈β⊂␈↓ πε␈ε¬2
␈β⊂¬␈↓ εk␈ελY
␈β⊂ε␈↓ ¬⎇␈ε↓X
␈β⊂∩␈↓ ¬H␈εα1
␈β⊂↔␈↓ πε␈εs
␈β⊂∨␈↓ εO␈ε↓@␈↓ π_␈ε↓A
␈β⊂)␈↓ ∧p␈ελV␈↓ ¬∀␈εα=␈↓ π8␈ε⊗␈␈↓ πd␈ελn␈↓ πz␈εα,␈↓ α␈εα(8)
␈β⊂9␈↓ ¬F␈∧⊂9¬Fα⊗␈↓ εk␈∧⊂9εkα*
␈β⊂A␈↓ ¬F␈ελn␈↓ εq␈ελp
␈β⊂O␈↓ πα␈εs
␈β⊂Z␈↓ ¬f␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ε⊃␈εs␈↓ ε≥␈ε→∀␈↓ ε:␈εk
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαwhich␈αoften␈αmak␈α␈es␈αthe␈αcomputation␈αof␈↓ ε3␈ελV␈↓ εY␈εαsomewhat␈αeasier.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα40␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.1
␈βα≥␈↓ ¬{␈ε≥Ta␈α␈b␈α↓le␈α
1
␈βαH␈↓ ↓h␈εβSELECTED␈αP␈α↓ER␈α␈CENT␈α⎇A␈α␈GE␈αPOINTS␈αO␈α␈F␈αTHE␈αCHI-SQUARE␈αDISTRIBUTION
␈βαv␈↓ ↓H␈∧αv↓Hα	e
␈βαw␈↓ ↓H␈∧αw↓H=α␈↓ αc␈∧αwαc=α␈↓ β␈␈∧αwβ␈=α␈↓ ¬≤␈∧αw¬≤=α␈↓ ε9␈∧αwε9=α␈↓ πU␈∧αwπU=α␈↓ λr␈∧αwλr=α␈↓ 
∞␈∧αw
∞=α␈↓ +␈∧αw+=α
␈ββλ␈↓ αw␈ε	p␈↓ β∩␈εβ=␈α	1%␈↓ ∧∀␈ε	p␈↓ ∧.␈εβ=␈α
5␈α␈%␈↓ ¬(␈ε	p␈↓ ¬B␈εβ=␈α
25␈α␈%␈↓ εE␈ε	p␈↓ ε←␈εβ=␈α
5␈α␈0%␈↓ πa␈ε	p␈↓ π|␈εβ=␈α	75%␈↓ λ}␈ε	p␈↓ 	_␈εβ=␈α
9␈α␈5%␈↓ 
≠␈ε	p␈↓ 
5␈εβ=␈α	99%
␈ββ3␈↓ ↓H␈∧β3↓Hα	e
␈ββ5␈↓ ↓H␈∧β5↓H=α␈↓ αc␈∧β5αc=α␈↓ β␈␈∧β5β␈=α␈↓ ¬≤␈∧β5¬≤=α␈↓ ε9␈∧β5ε9=α␈↓ πU␈∧β5πU=α␈↓ λr␈∧β5λr=α␈↓ 
∞␈∧β5
∞=α␈↓ +␈∧β5+=α
␈ββF␈↓ ↓k␈ε	↔␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ1␈↓ ββ␈εβ0.000␈α␈16␈↓ ∧ ␈εβ0.0␈α␈039␈α␈3␈↓ ¬E␈εβ0.1␈α␈015␈↓ εa␈εβ0.454␈α␈9␈↓ λε␈εβ1.323␈↓ 	#␈εβ3.84␈α␈1␈↓ 
@␈εβ6␈α␈.635
␈ββp␈↓ ↓H␈∧βp↓Hα	e
␈ββr␈↓ ↓H␈∧βr↓H=α␈↓ αc␈∧βrαc=α␈↓ β␈␈∧βrβ␈=α␈↓ ¬≤␈∧βr¬≤=α␈↓ ε9␈∧βrε9=α␈↓ πU␈∧βrπU=α␈↓ λr␈∧βrλr=α␈↓ 
∞␈∧βr
∞=α␈↓ +␈∧βr+=α
␈β∧β␈↓ ↓k␈ε	↔␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ2␈↓ ββ␈εβ0.020␈α␈10␈↓ ∧ ␈εβ0.10␈α␈26␈↓ ¬E␈εβ0.5␈α␈753␈↓ εb␈εβ1␈α␈.␈α↓3␈α␈86␈↓ λε␈εβ2.773␈↓ 	#␈εβ5.99␈α␈1␈↓ 
@␈εβ9␈α␈.210
␈β∧.␈↓ ↓H␈∧∧.↓Hα	e
␈β∧/␈↓ ↓H␈∧∧/↓H=α␈↓ αc␈∧∧/αc=α␈↓ β␈␈∧∧/β␈=α␈↓ ¬≤␈∧∧/¬≤=α␈↓ ε9␈∧∧/ε9=α␈↓ πU␈∧∧/πU=α␈↓ λr␈∧∧/λr=α␈↓ 
∞␈∧∧/
∞=α␈↓ +␈∧∧/+=α
␈β∧@␈↓ ↓k␈ε	↔␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ3␈↓ β∧␈εβ0␈α␈.114␈α␈8␈↓ ∧ ␈εβ0.35␈α␈18␈↓ ¬E␈εβ1.21␈α␈3␈↓ εb␈εβ2␈α␈.␈α↓3␈α␈66␈↓ λε␈εβ4.108␈↓ 	#␈εβ7.81␈α␈5␈↓ 
/␈εβ11.34
␈β∧k␈↓ ↓H␈∧∧k↓Hα	e
␈β∧m␈↓ ↓H␈∧∧m↓H=α␈↓ αc␈∧∧mαc=α␈↓ β␈␈∧∧mβ␈=α␈↓ ¬≤␈∧∧m¬≤=α␈↓ ε9␈∧∧mε9=α␈↓ πU␈∧∧mπU=α␈↓ λr␈∧∧mλr=α␈↓ 
∞␈∧∧m
∞=α␈↓ +␈∧∧m+=α
␈β∧}␈↓ ↓k␈ε	↔␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ4␈↓ β∧␈εβ0␈α␈.297␈α␈1␈↓ ∧ ␈εβ0.71␈α␈07␈↓ ¬E␈εβ1.92␈α␈3␈↓ εb␈εβ3␈α␈.␈α↓3␈α␈57␈↓ λε␈εβ5.385␈↓ 	#␈εβ9.48␈α␈8␈↓ 
/␈εβ13.28
␈β¬)␈↓ ↓H␈∧¬)↓Hα	e
␈β¬*␈↓ ↓H␈∧¬*↓H=α␈↓ αc␈∧¬*αc=α␈↓ β␈␈∧¬*β␈=α␈↓ ¬≤␈∧¬*¬≤=α␈↓ ε9␈∧¬*ε9=α␈↓ πU␈∧¬*πU=α␈↓ λr␈∧¬*λr=α␈↓ 
∞␈∧¬*
∞=α␈↓ +␈∧¬*+=α
␈β¬;␈↓ ↓k␈ε	↔␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ5␈↓ β∧␈εβ0␈α␈.554␈α␈3␈↓ ∧ ␈εβ1.14␈α␈55␈↓ ¬E␈εβ2.67␈α␈5␈↓ εb␈εβ4␈α␈.␈α↓3␈α␈51␈↓ λε␈εβ6.626␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈1.07␈↓ 
/␈εβ15.09
␈β¬f␈↓ ↓H␈∧¬f↓Hα	e
␈β¬h␈↓ ↓H␈∧¬h↓H=α␈↓ αc␈∧¬hαc=α␈↓ β␈␈∧¬hβ␈=α␈↓ ¬≤␈∧¬h¬≤=α␈↓ ε9␈∧¬hε9=α␈↓ πU␈∧¬hπU=α␈↓ λr␈∧¬hλr=α␈↓ 
∞␈∧¬h
∞=α␈↓ +␈∧¬h+=α
␈β¬y␈↓ ↓k␈ε	↔␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ6␈↓ β∧␈εβ0␈α␈.872␈α␈0␈↓ ∧ ␈εβ1.635␈↓ ¬E␈εβ3.45␈α␈5␈↓ εb␈εβ5␈α␈.␈α↓3␈α␈48␈↓ λε␈εβ7.841␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈2.59␈↓ 
/␈εβ16.81
␈βε$␈↓ ↓H␈∧ε$↓Hα	e
␈βε%␈↓ ↓H␈∧ε%↓H=α␈↓ αc␈∧ε%αc=α␈↓ β␈␈∧ε%β␈=α␈↓ ¬≤␈∧ε%¬≤=α␈↓ ε9␈∧ε%ε9=α␈↓ πU␈∧ε%πU=α␈↓ λr␈∧ε%λr=α␈↓ 
∞␈∧ε%
∞=α␈↓ +␈∧ε%+=α
␈βε6␈↓ ↓k␈ε	↔␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ7␈↓ β∧␈εβ1␈α␈.␈α↓2␈α␈39␈↓ ∧ ␈εβ2.167␈↓ ¬E␈εβ4.25␈α␈5␈↓ εb␈εβ6␈α␈.␈α↓3␈α␈46␈↓ λε␈εβ9.037␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈4.07␈↓ 
/␈εβ18.48
␈βεa␈↓ ↓H␈∧εa↓Hα	e
␈βεc␈↓ ↓H␈∧εc↓H=α␈↓ αc␈∧εcαc=α␈↓ β␈␈∧εcβ␈=α␈↓ ¬≤␈∧εc¬≤=α␈↓ ε9␈∧εcε9=α␈↓ πU␈∧εcπU=α␈↓ λr␈∧εcλr=α␈↓ 
∞␈∧εc
∞=α␈↓ +␈∧εc+=α
␈βεt␈↓ ↓k␈ε	↔␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ8␈↓ β∧␈εβ1␈α␈.␈α↓6␈α␈46␈↓ ∧ ␈εβ2.733␈↓ ¬E␈εβ5.07␈α␈1␈↓ εb␈εβ7␈α␈.␈α↓3␈α␈44␈↓ πv␈εβ10␈α␈.␈α↓2␈α␈2␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈5.51␈↓ 
/␈εβ20.09
␈βπ≡␈↓ ↓H␈∧π≡↓Hα	e
␈βπ ␈↓ ↓H␈∧π ↓H=α␈↓ αc␈∧π αc=α␈↓ β␈␈∧π β␈=α␈↓ ¬≤␈∧π ¬≤=α␈↓ ε9␈∧π ε9=α␈↓ πU␈∧π πU=α␈↓ λr␈∧π λr=α␈↓ 
∞␈∧π 
∞=α␈↓ +␈∧π +=α
␈βπ1␈↓ ↓k␈ε	↔␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ9␈↓ β∧␈εβ2␈α␈.␈α↓0␈α␈88␈↓ ∧ ␈εβ3.325␈↓ ¬E␈εβ5.89␈α␈9␈↓ εb␈εβ8␈α␈.␈α↓3␈α␈43␈↓ πv␈εβ11␈α␈.␈α↓3␈α␈9␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈6.92␈↓ 
/␈εβ21.67
␈βπ\␈↓ ↓H␈∧π\↓Hα	e
␈βπ↑␈↓ ↓H␈∧π↑↓H=α␈↓ αc␈∧π↑αc=α␈↓ β␈␈∧π↑β␈=α␈↓ ¬≤␈∧π↑¬≤=α␈↓ ε9␈∧π↑ε9=α␈↓ πU␈∧π↑πU=α␈↓ λr␈∧π↑λr=α␈↓ 
∞␈∧π↑
∞=α␈↓ +␈∧π↑+=α
␈βπo␈↓ ↓k␈ε	↔␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ10␈↓ β∧␈εβ2␈α␈.␈α↓5␈α␈58␈↓ ∧ ␈εβ3.940␈↓ ¬E␈εβ6.73␈α␈7␈↓ εb␈εβ9␈α␈.␈α↓3␈α␈42␈↓ πv␈εβ12␈α␈.␈α↓5␈α␈5␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈8.31␈↓ 
/␈εβ23.21
␈βλ→␈↓ ↓H␈∧λ→↓Hα	e
␈βλ≠␈↓ ↓H␈∧λ≠↓H=α␈↓ αc␈∧λ≠αc=α␈↓ β␈␈∧λ≠β␈=α␈↓ ¬≤␈∧λ≠¬≤=α␈↓ ε9␈∧λ≠ε9=α␈↓ πU␈∧λ≠πU=α␈↓ λr␈∧λ≠λr=α␈↓ 
∞␈∧λ≠
∞=α␈↓ +␈∧λ≠+=α
␈βλ,␈↓ ↓k␈ε	↔␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ11␈↓ β∧␈εβ3␈α␈.␈α↓0␈α␈53␈↓ ∧ ␈εβ4.575␈↓ ¬E␈εβ7.58␈α␈4␈↓ εQ␈εβ10.34␈↓ πv␈εβ13␈α␈.␈α↓7␈α␈0␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈9.68␈↓ 
/␈εβ24.73
␈βλW␈↓ ↓H␈∧λW↓Hα	e
␈βλX␈↓ ↓H␈∧λX↓H=α␈↓ αc␈∧λXαc=α␈↓ β␈␈∧λXβ␈=α␈↓ ¬≤␈∧λX¬≤=α␈↓ ε9␈∧λXε9=α␈↓ πU␈∧λXπU=α␈↓ λr␈∧λXλr=α␈↓ 
∞␈∧λX
∞=α␈↓ +␈∧λX+=α
␈βλi␈↓ ↓k␈ε	↔␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ12␈↓ β∧␈εβ3␈α␈.␈α↓5␈α␈71␈↓ ∧ ␈εβ5.226␈↓ ¬E␈εβ8.43␈α␈8␈↓ εQ␈εβ11.34␈↓ πv␈εβ14␈α␈.␈α↓8␈α␈4␈↓ 	∪␈εβ2␈α␈1.03␈↓ 
/␈εβ26.22
␈β	∀␈↓ ↓H␈∧	∀↓Hα	e
␈β	⊗␈↓ ↓H␈∧	⊗↓H=α␈↓ αc␈∧	⊗αc=α␈↓ β␈␈∧	⊗β␈=α␈↓ ¬≤␈∧	⊗¬≤=α␈↓ ε9␈∧	⊗ε9=α␈↓ πU␈∧	⊗πU=α␈↓ λr␈∧	⊗λr=α␈↓ 
∞␈∧	⊗
∞=α␈↓ +␈∧	⊗+=α
␈β	'␈↓ ↓k␈ε	↔␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ15␈↓ β∧␈εβ5␈α␈.␈α↓2␈α␈29␈↓ ∧ ␈εβ7.261␈↓ ¬5␈εβ11␈α␈.04␈↓ εQ␈εβ14.34␈↓ πv␈εβ18␈α␈.␈α↓2␈α␈5␈↓ 	∪␈εβ2␈α␈5.00␈↓ 
/␈εβ30.58
␈β	R␈↓ ↓H␈∧	R↓Hα	e
␈β	S␈↓ ↓H␈∧	S↓H=α␈↓ αc␈∧	Sαc=α␈↓ β␈␈∧	Sβ␈=α␈↓ ¬≤␈∧	S¬≤=α␈↓ ε9␈∧	Sε9=α␈↓ πU␈∧	SπU=α␈↓ λr␈∧	Sλr=α␈↓ 
∞␈∧	S
∞=α␈↓ +␈∧	S+=α
␈β	d␈↓ ↓k␈ε	↔␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ20␈↓ β∧␈εβ8␈α␈.␈α↓2␈α␈60␈↓ ∧⊂␈εβ10␈α␈.␈α↓8␈α␈5␈↓ ¬5␈εβ15␈α␈.45␈↓ εQ␈εβ19.34␈↓ πv␈εβ23␈α␈.␈α↓8␈α␈3␈↓ 	∪␈εβ3␈α␈1.41␈↓ 
/␈εβ37.57
␈β
∂␈↓ ↓H␈∧
∂↓Hα	e
␈β
⊃␈↓ ↓H␈∧
⊃↓H=α␈↓ αc␈∧
⊃αc=α␈↓ β␈␈∧
⊃β␈=α␈↓ ¬≤␈∧
⊃¬≤=α␈↓ ε9␈∧
⊃ε9=α␈↓ πU␈∧
⊃πU=α␈↓ λr␈∧
⊃λr=α␈↓ 
∞␈∧
⊃
∞=α␈↓ +␈∧
⊃+=α
␈β
"␈↓ ↓k␈ε	↔␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ30␈↓ αt␈εβ1␈α␈4.95␈↓ ∧⊂␈εβ18␈α␈.␈α↓4␈α␈9␈↓ ¬5␈εβ24␈α␈.48␈↓ εQ␈εβ29.34␈↓ πv␈εβ34␈α␈.␈α↓8␈α␈0␈↓ 	∪␈εβ4␈α␈3.77␈↓ 
/␈εβ50.89
␈β
M␈↓ ↓H␈∧
M↓Hα	e
␈β
N␈↓ ↓H␈∧
N↓H=α␈↓ αc␈∧
Nαc=α␈↓ β␈␈∧
Nβ␈=α␈↓ ¬≤␈∧
N¬≤=α␈↓ ε9␈∧
Nε9=α␈↓ πU␈∧
NπU=α␈↓ λr␈∧
Nλr=α␈↓ 
∞␈∧
N
∞=α␈↓ +␈∧
N+=α
␈β
←␈↓ ↓k␈ε	↔␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ50␈↓ αt␈εβ2␈α␈9.71␈↓ ∧⊂␈εβ34␈α␈.␈α↓7␈α␈6␈↓ ¬5␈εβ42␈α␈.94␈↓ εQ␈εβ49.33␈↓ πv␈εβ56␈α␈.␈α↓3␈α␈3␈↓ 	∪␈εβ6␈α␈7.50␈↓ 
/␈εβ76.15
␈β
{␈↓ λ∃␈ε↓␈␈↓ λ{␈ε↓↓
␈β
␈↓ ↓H␈∧
↓Hα	e
␈β␈↓ ↓H␈∧↓H=α␈↓ αc␈∧αc=α␈↓ +␈∧+=α
␈β↔␈↓ ¬h␈∧↔¬hα!
␈β_␈↓ ¬F␈ε↔p
␈β→␈↓ εY␈εε2␈↓ ε{␈εε2␈↓ π<␈εε2
␈β≠␈↓ λe␈∧≠λeα⊂
␈β≤␈↓ λD␈ε↔p
␈β≥␈↓ ↓k␈ε	↔␈↓ α∧␈εβ>␈↓ α.␈εβ30␈↓ ¬π␈ε	↔␈↓ ¬≡␈εβ+␈↓ ¬h␈εβ2␈↓ ¬x␈ε	↔␈↓ ελ␈ε	x␈↓ ε-␈εβ+␈↓ εi␈ε	x␈↓ π⊂␈ε↔␈␈↓ πT␈εβ+␈↓ π⎇␈ε	O␈↓ λ#␈εβ1␈α␈/␈↓ λe␈ε	↔
␈β'␈↓ ε↔␈εp
␈β+␈↓ εY␈∧+εYα
␈↓ π<␈∧+π<α
␈β,␈↓ ε{␈εp
␈β-␈↓ εY␈εε3␈↓ π<␈εε3
␈βG␈↓ ↓H␈∧G↓Hα	e
␈βI␈↓ ↓H␈∧I↓H=α␈↓ αc␈∧Iαc=α␈↓ β␈␈∧Iβ␈=α␈↓ ¬≤␈∧I¬≤=α␈↓ ε9␈∧Iε9=α␈↓ πU␈∧IπU=α␈↓ λr␈∧Iλr=α␈↓ 
∞␈∧I
∞=α␈↓ +␈∧I+=α
␈βZ␈↓ αλ␈ε	x␈↓ α.␈εβ=␈↓ β∧␈ε↔␈␈εβ2.3␈α␈3␈↓ ∧ ␈ε↔␈␈εβ1.64␈↓ ¬=␈ε↔␈␈εβ.675␈↓ εj␈εβ0.00␈↓ π}␈εβ0.67␈α␈5␈↓ 	#␈εβ1.64␈↓ 
@␈εβ2␈α␈.␈α↓3␈α␈3
␈βe␈↓ α↔␈εp
␈β¬␈↓ ↓H␈∧¬↓Hα	e
␈β∨␈↓ ↓R␈ε∧(F␈α↓or␈α
further␈α
value␈α␈s,␈α
see␈ε⊃␈α
Handboo␈α↓k␈α
of␈αMathem␈α␈a␈α↓ti␈α␈cal␈α
Functi␈α␈o␈α↓ns␈ε∧,␈α	ed.␈α
by␈α
M.␈α
Abra␈α↓m␈α␈owi␈α␈tz␈α
and␈αI.
␈β?␈↓ ↓H␈ε∧A.␈α	Stegun␈α
(␈α↓W␈α␈a␈α↓s␈α␈hington,␈α
D.␈α␈C.:␈α	U␈α↓.␈α␈S.␈α
Go␈α␈v␈α␈ernm␈α␈en␈α␈t␈α
Pri␈α␈n␈α␈ting␈α
O}␈α␈ce,␈α	1␈α↓964␈α↓),␈α	T␈α↓abl␈α␈e␈α
26␈α↓.␈α␈8␈α↓.␈α␈)
␈β
@␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈α
w␈α␈e␈α
turn␈α
to␈α
the␈αimportan␈α␈t␈α
question,␈α
what␈α
constitutes␈α
a␈α
reasonable␈α
value
␈β
k␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓s␈ελV␈↓ α
␈εα?␈α
This␈α
is␈α
found␈α
by␈α
referring␈α
to␈α
a␈α
table␈α∞such␈α
as␈α
Table␈α
1,␈α
which␈α
giv␈α␈es␈α
values
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εαof␈α\the␈α
chi-square␈α
distribution␈αwith␈↓ ε¬␈ελ↔␈↓ ε#␈εαdegrees␈αof␈α
freedom"␈αfor␈α
various␈α
values␈αof
␈β∞B␈↓ ↓H␈ελ↔␈↓ ↓Y␈εα.␈αThe␈αline␈αof␈αthe␈αtable␈αwith␈↓ ¬∂␈ελ↔␈↓ ¬*␈εα=␈↓ ¬X␈ελk␈↓ ¬q␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αis␈αto␈αbe␈αused;␈ε∂␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α\degrees␈αof
␈β∞M␈↓ λB␈ε↓␈
␈β∞m␈↓ ↓H␈ε∂freedom"␈αλis␈↓ β↓␈ελk␈↓ β↔␈ε⊗␈␈εα␈α∧1␈ε∂,␈α	one␈α	less␈α	than␈α	the␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈αλof␈α	categories.␈↓ λP␈εαIn␈α␈tuitiv␈α␈ely,␈α
this␈αλmeans
␈β∂_␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α_␈ελY␈↓ α;␈εα,␈↓ αK␈ελY␈↓ αo␈εα,␈↓ α␈␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β)␈εα,␈↓ β9␈ελY␈↓ βj␈εαare␈α∂not␈α∞completely␈α∞independen␈α␈t,␈α∂since␈α∞Eq.␈α∞(7)␈α∂sho␈α␈ws␈α∞that␈↓ 	␈ελY
␈β∂&␈↓ α-␈ε¬1␈↓ α`␈ε¬2␈↓ βN␈εk␈↓ ≡␈ε¬1
␈β∂C␈↓ ↓H␈εαcan␈α∞be␈α
computed␈α∞if␈↓ ∧	␈ελY␈↓ ∧-␈εα,␈↓ ∧=␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧m␈εα,␈↓ ∧⎇␈ελY␈↓ ¬.␈εαare␈α∞kno␈α␈wn;␈α∂hence,␈↓ π\␈ελk␈↓ πw␈ε⊗␈␈εα␈α
1␈α∞degrees␈α∞of␈α∞freedom␈α
are
␈β∂O␈↓ 
7␈ε↓↓
␈β∂Q␈↓ ∧≡␈ε¬2␈↓ ¬∩␈εk
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαpresen␈α␈t.␈αThis␈αargumen␈α␈t␈αis␈αnot␈αrigorous,␈αbut␈αthe␈αtheory␈αbelo␈α␈w␈αjusti|es␈αit.
␈β⊂~␈↓ α␈εαIf␈αthe␈α
table␈αen␈α␈try␈α
in␈αro␈α␈w␈↓ ¬→␈ελ↔␈↓ ¬6␈εαunder␈α
column␈↓ π≠␈ελp␈↓ π:␈εαis␈↓ π↑␈ελx␈↓ πq␈εα,␈α
it␈αmeans,␈α
\The␈αquan␈α␈tity␈↓ ∩␈ελV
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαin␈αEq.␈α(8)␈α
will␈αbe␈αless␈αthan␈α
or␈αequal␈αto␈↓ ε+␈ελx␈↓ εJ␈εαwith␈αappro␈α␈ximate␈αprobability␈↓ 
'␈ελp␈↓ 
:␈εα,␈αif␈↓ 
r␈ελn␈↓ ∀␈εαis
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαlarge␈α
enough."␈α⊃For␈α
example,␈α∞the␈α∞95␈α
percen␈α␈t␈α∞en␈α␈try␈α
in␈α∞ro␈α␈w␈α∞10␈α
is␈α∞18.31;␈α∞this␈α
says
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αwill␈αhav␈α␈e␈↓ β⊗␈ελV␈↓ β:␈εα>␈α
18.31␈αonly␈αabout␈α5␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αtime.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.1␈ε∞␈↓ β↑GENERAL␈α	T␈α␈EST␈α	P␈α␈ROCEDU␈α␈R␈α↓ES␈α	F␈α␈OR␈α	STU␈α␈DYING␈α	RA␈α␈NDOM␈α	DA␈α}T␈α⎇A␈↓ λ␈εα41
␈βα(␈↓ α␈εαLet␈α∂us␈α∞assume␈α∂that␈α∞the␈α∞abo␈α␈v␈α␈e␈α∂dice-thro␈α␈wing␈α∞experimen␈α␈t␈α∂is␈α∞sim␈α␈ulated␈α∂on␈α∞a
␈βαS␈↓ ↓H␈εαcomputer␈αλusing␈αλsome␈α	sequence␈αλof␈αλsupposedly␈αλrandom␈α	n␈α␈um␈α␈bers,␈α	with␈αλthe␈αλfollo␈α␈wing
␈βα}␈↓ ↓H␈εαresults:
␈ββI␈↓ αp␈εαvalue␈αof␈↓ βz␈ελs␈↓ ∧∪␈εα=␈↓ ∧T␈εα2␈↓ ¬∀␈εα3␈↓ ¬U␈εα4␈↓ ε⊗␈εα5␈↓ εW␈εα6␈↓ π_␈εα7␈↓ πX␈εα8␈↓ λ→␈εα9␈↓ λH␈εα10␈↓ 		␈εα11␈↓ 	J␈εα12
␈ββ␈␈↓ ↓d␈εαExperimen␈α␈t␈α1,␈↓ βg␈ελY␈↓ ∧∪␈εα=␈↓ ∧T␈εα4␈↓ ¬α␈εα10␈↓ ¬C␈εα10␈↓ ε∧␈εα13␈↓ εE␈εα20␈↓ πε␈εα18␈↓ πF␈εα18␈↓ λπ␈εα11␈↓ λH␈εα13␈↓ 		␈εα14␈↓ 	J␈εα13␈↓ α␈εα(9)
␈β∧␈↓ β|␈εs
␈β∧5␈↓ ↓d␈εαExperimen␈α␈t␈α2,␈↓ βg␈ελY␈↓ ∧∪␈εα=␈↓ ∧T␈εα3␈↓ ¬∀␈εα7␈↓ ¬C␈εα11␈↓ ε∧␈εα15␈↓ εE␈εα19␈↓ πε␈εα24␈↓ πF␈εα21␈↓ λπ␈εα17␈↓ λH␈εα13␈↓ 	≠␈εα9␈↓ 	\␈εα5
␈β∧B␈↓ β|␈εs
␈β¬ε␈↓ ↓H␈εαWe␈α
can␈αcompute␈αthe␈αchi-square␈αstatistic␈α
in␈αthe␈α|rst␈αcase,␈αgetting␈α
the␈αvalue␈↓ 
\␈ελV␈↓ λ␈εα=
␈β¬∀␈↓ 
p␈ε¬1
␈β¬.␈↓ ↓w␈ε¬59␈↓ π≠␈ε¬17
␈β¬1␈↓ ↓H␈εα29␈↓ α∨␈εα,␈α∞and␈α
in␈α
the␈α∞second␈α
case␈α
w␈α␈e␈α∞get␈↓ ε∨␈ελV␈↓ εN␈εα=␈α1␈↓ πC␈εα.␈α⊂Referring␈α
to␈α∞the␈α
table␈α
en␈α␈tries
␈β¬?␈↓ ε3␈ε¬2
␈β¬B␈↓ ↓p␈∧¬B↓pα,␈↓ π∀␈∧¬Bπ∀α,
␈β¬D␈↓ ↓p␈ε¬120␈↓ π∀␈ε¬12␈α↓0
␈β¬]␈↓ ↓H␈εαfor␈α	10␈α
degrees␈α
of␈α
freedom,␈α
w␈α␈e␈α
see␈α
that␈↓ ε_␈ελV␈↓ εD␈εαis␈ε∂␈α
m␈α␈uch␈α
too␈α
high␈εα;␈↓ λY␈ελV␈↓ λ⎇␈εαwill␈α
be␈α
greater␈α	than
␈β¬j␈↓ ε,␈ε¬1
␈βελ␈↓ ↓H␈εα23.21␈α
only␈α∞about␈α
one␈α∞percen␈α␈t␈α
of␈α∞the␈α∞time!␈α⊂(By␈α∞using␈α
more␈α∞extensiv␈α␈e␈α
tables,␈α∞w␈α␈e
␈βε3␈↓ ↓H␈εα|nd␈αin␈αfact␈αthat␈↓ βO␈ελV␈↓ βt␈εαwill␈αbe␈αas␈αhigh␈αas␈↓ ε∂␈ελV␈↓ ε=␈εαonly␈α0.1␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αtime.)␈αTherefore
␈βε@␈↓ ε#␈ε¬1
␈βε↑␈↓ ↓H␈εαExperimen␈α␈t␈α1␈αrepresen␈α␈ts␈αa␈αsigni|can␈α␈t␈αdeparture␈αfrom␈αrandom␈αbehavior.
␈βπ
␈↓ α␈εαOn␈αλthe␈απother␈αλhand,␈↓ ∧8␈ελV␈↓ ∧b␈εαis␈αλquite␈απlo␈α␈w,␈α	since␈αλthe␈απobserv␈α␈ed␈αλvalues␈↓ 	'␈ελY␈↓ 	P␈εαin␈απExperimen␈α␈t
␈βπ_␈↓ ∧L␈ε¬2␈↓ 	<␈εs
␈βπ6␈↓ ↓H␈εα2␈αare␈αquite␈αclose␈αto␈αthe␈αexpected␈αvalues␈↓ ε>␈ελn␈↓ εT␈ελp␈↓ ε⎇␈εαin␈α(2).␈αThe␈αchi-square␈αtable␈αtells␈αus,
␈βπC␈↓ εe␈εs
␈βπa␈↓ ↓H␈εαin␈α
fact,␈αthat␈↓ β
␈ελV␈↓ β:␈εαis␈ε∂␈αm␈α␈uch␈α
too␈αlo␈α␈w␈↓ ¬0␈εα:␈αthe␈α
observ␈α␈ed␈αvalues␈α
are␈αso␈α
close␈α
to␈αthe␈α
expected
␈βπn␈↓ β!␈ε¬2
␈βλ␈↓ ↓H␈εαvalues,␈αw␈α␈e␈α
cannot␈α
consider␈α
the␈αresult␈α
to␈α
be␈αrandom!␈α∞(Indeed,␈α
reference␈α
to␈αother
␈βλ7␈↓ ↓H␈εαtables␈α	sho␈α␈ws␈α	that␈α	such␈α	a␈α	lo␈α␈w␈α	value␈α	of␈↓ ε	␈ελV␈↓ ε,␈εαoccurs␈α	only␈α	0.03␈α	percen␈α␈t␈α	of␈α	the␈α	time␈α	when
␈βλ←␈↓ 	π␈ε¬7
␈βλb␈↓ ↓H␈εαthere␈α∞are␈α∞10␈α
degrees␈α∞of␈α∞freedom.)␈α∩Finally,␈α∂the␈α
value␈↓ λ⊃␈ελV␈↓ λ9␈εα=␈α
7␈↓ 	/␈εαcomputed␈α∞in␈α
(5)
␈βλs␈↓ 	␈∧λs	α≥
␈βλu␈↓ 	␈ε¬48
␈β	∞␈↓ ↓H␈εαcan␈αalso␈αbe␈αcheck␈α␈ed␈αwith␈αTable␈α1.␈αIt␈αfalls␈αbet␈α␈w␈α␈een␈αthe␈αen␈α␈tries␈αfor␈α25␈αpercen␈α␈t␈αand
␈β	9␈↓ ↓H␈εα50␈αpercen␈α␈t,␈αso␈αw␈α␈e␈αcannot␈αconsider␈αit␈αto␈αbe␈αsigni|can␈α␈tly␈αhigh␈αor␈αsigni|can␈α␈tly␈αlo␈α␈w;
␈β	d␈↓ ↓H␈εαth␈α␈us␈αthe␈αobservations␈αin␈α(2)␈αare␈αsatisfactorily␈αrandom␈αwith␈αrespect␈αto␈αthis␈αtest.
␈β
⊂␈↓ α␈εαIt␈α∞is␈α∞somewhat␈α
remarkable␈α∞that␈α∞the␈α∞same␈α∞table␈α
en␈α␈tries␈α∞are␈α∞used␈α∞no␈α
matter
␈β
;␈↓ ↓H␈εαwhat␈α∞the␈α∞value␈α∞of␈↓ βr␈ελn␈↓ ∧⊗␈εαis,␈α∞and␈α∞no␈α∞matter␈α∞what␈α∂the␈α∞probabilities␈↓ 	'␈ελp␈↓ 	R␈εαare.␈α∩Only␈α∞the
␈β
I␈↓ 	8␈εs
␈β
f␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈↓ αJ␈ελ↔␈↓ αg␈εα=␈↓ β⊗␈ελk␈↓ β0␈ε⊗␈␈εα␈α	1␈α
a{ects␈αthe␈α
results.␈α∞In␈α
actual␈α
fact,␈α
ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
the␈α
table␈αen␈α␈tries
␈β∩␈↓ ↓H␈εαare␈α
not␈α
exactly␈α∞correct:␈ε∂␈α∞the␈α∞chi-square␈α
distribution␈α
is␈α
an␈α∞appro␈α␈ximation␈α
that␈α
is
␈β=␈↓ ↓H␈ε∂valid␈αonly␈αfor␈αlarge␈αenough␈αvalues␈αof␈↓ ε∃␈ελn␈↓ ε+␈ε∂.␈εα␈αHo␈α␈w␈αlarge␈αshould␈↓ λ[␈ελn␈↓ λ⎇␈εαbe?␈αA␈αcommon␈αrule
␈βh␈↓ ↓H␈εαof␈α∞th␈α␈um␈α␈b␈α∞is␈α∂to␈α∞tak␈α␈e␈↓ ∧∞␈ελn␈↓ ∧2␈εαlarge␈α∂enough␈α∞so␈α∞that␈α∞each␈α∂of␈α∞the␈α∞expected␈α∂values␈↓ 
S␈ελn␈↓ 
i␈ελp␈↓ ∀␈εαis
␈βu␈↓ 
z␈εs
␈β∪␈↓ ↓H␈εα|v␈α␈e␈α
or␈α∞more;␈α∞preferably,␈α∞ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α∞tak␈α␈e␈↓ ε?␈ελn␈↓ εb␈εαm␈α␈uch␈α∞larger␈α
than␈α∞this,␈α∞to␈α
get␈α∞a␈α
more
␈β>␈↓ ↓H␈εαpo␈α␈w␈α␈erful␈α∞test.␈α∩Note␈α∂that␈α∞in␈α∞our␈α∞examples␈α∂abo␈α␈v␈α␈e␈α∞w␈α␈e␈α∞took␈↓ λ]␈ελn␈↓ 	↓␈εα=␈α
144,␈α∂so␈↓ 
/␈ελn␈↓ 
E␈ελp␈↓ 
r␈εαwas
␈βL␈↓ 
V␈ε¬2
␈βj␈↓ ↓H␈εαonly␈α∞4,␈α∂violating␈α∂the␈α∞stated␈α∂\rule␈α∂of␈α∞th␈α␈um␈α␈b."␈α∀This␈α∞was␈α∂done␈α∞only␈α∂because␈α∞the
␈β
∃␈↓ ↓H␈εαauthor␈α
tired␈α
of␈α
thro␈α␈wing␈α∞the␈α
dice;␈α∞it␈α
mak␈α␈es␈α
the␈α
en␈α␈tries␈α∞in␈α
Table␈α
1␈α
less␈α
accurate
␈β
@␈↓ ↓H␈εαfor␈αour␈α
application.␈α∂Experimen␈α␈ts␈α
run␈α
on␈αa␈α
computer,␈α
with␈↓ λl␈ελn␈↓ 	
␈εα=␈α1000,␈α
or␈α10000,
␈β
k␈↓ ↓H␈εαor␈α	ev␈α␈en␈α
100000,␈α
w␈α␈ould␈α
be␈α
m␈α␈uch␈α
better␈α
than␈α	this.␈αWe␈α	could␈α
also␈α
com␈α␈bine␈α
the␈α	data
␈β∞⊗␈↓ ↓H␈εαfor␈↓ ↓}␈ελs␈↓ α↔␈εα=␈α
2␈α
and␈↓ β%␈ελs␈↓ β>␈εα=␈α
12;␈αthen␈α
the␈α
test␈α
w␈α␈ould␈αhav␈α␈e␈α
only␈α
nine␈α
degrees␈α
of␈α
freedom␈α
but
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαthe␈αchi-square␈αappro␈α␈ximation␈αw␈α␈ould␈αbe␈αmore␈αaccurate.
␈β∞n␈↓ α␈εαWe␈α	can␈αλget␈α	an␈αλidea␈α	of␈αλho␈α␈w␈α	crude␈α	an␈αλappro␈α␈ximation␈α	is␈αλin␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈α	by␈αλconsidering
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαthe␈αλcase␈αλwhen␈αλthere␈αλare␈απonly␈αλt␈α␈w␈α␈o␈αλcategories,␈α	having␈αλrespectiv␈α␈e␈αλprobabilities␈↓ 
K␈ελp␈↓ 
r␈εαand
␈β∂&␈↓ 
\␈ε¬1
␈β∂A␈↓ β`␈ε¬1␈↓ ¬_␈ε¬3
␈β∂D␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓g␈εα.␈αSuppose␈↓ β∧␈ελp␈↓ β.␈εα=␈↓ βz␈εαand␈↓ ∧=␈ελp␈↓ ∧f␈εα=␈↓ ¬+␈εα.␈α
According␈α	to␈αλthe␈α	stated␈αλrule␈α	of␈αλth␈α␈um␈α␈b,␈α	w␈α␈e␈αλshould
␈β∂Q␈↓ ↓Y␈ε¬2␈↓ β∃␈ε¬1␈↓ ∧N␈ε¬2
␈β∂T␈↓ β`␈∧∂Tβ`α∂␈↓ ¬_␈∧∂T¬_α∂
␈β∂W␈↓ β`␈ε¬4␈↓ ¬_␈ε¬4
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈↓ α≠␈ελn␈↓ α;␈ε⊗∃␈εα␈α
20␈α
to␈α
hav␈α␈e␈αa␈α
satisfactory␈αappro␈α␈ximation,␈α
so␈αlet's␈α
check␈αthis␈α
out.␈αWhen
␈β⊂∃␈↓ εQ␈ε¬2
␈β⊂↔␈↓ ε(␈ε¬4
␈β⊂~␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓j␈εα=␈α20,␈α∞the␈α
possible␈α∞values␈α
of␈↓ ¬8␈ελV␈↓ ¬←␈εαare␈↓ εA␈ελr␈↓ εm␈εαfor␈ε⊗␈α
␈␈εα5␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ→␈ελr␈↓ λ6␈ε⊗∀␈εα␈α15;␈α∞w␈α␈e␈α∞wish␈α
to␈α
kno␈α␈w
␈β⊂+␈↓ ε!␈∧⊂+ε!α≥
␈β⊂-␈↓ ε!␈ε¬15
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαho␈α␈w␈α	w␈α␈ell␈α	the␈↓ β∩␈ελ↔␈↓ β-␈εα=␈α
1␈α	ro␈α␈w␈α	of␈α
Table␈α	1␈α
describes␈α	the␈α	distribution␈α
of␈↓ 	_␈ελV␈↓ 	2␈εα.␈αThe␈α	chi-square
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαdistribution␈α	varies␈α
con␈α␈tin␈α␈uously,␈α
while␈α	the␈α
actual␈α	distribution␈α
of␈↓ 	2␈ελV␈↓ 	U␈εαhas␈α
rather␈α	big
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαjumps,␈α∂so␈α∂w␈α␈e␈α∞need␈α∂some␈α∂con␈α␈v␈α␈en␈α␈tion␈α∂for␈α∞represen␈α␈ting␈α∂the␈α∂exact␈α∞distribution.␈α∀If
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα42␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.1
␈βα(␈↓ ↓H␈εαthe␈α
distinct␈α
possible␈αoutcomes␈α
of␈α
the␈α
experimen␈α␈t␈α
lead␈α
to␈α
the␈α
values␈↓ 	⎇␈ελV␈↓ 
+␈ε⊗∀␈↓ 
Z␈ελV␈↓ λ␈ε⊗∀
␈βα5␈↓ 
⊃␈ε¬0␈↓ 
n␈ε¬1
␈βαS␈↓ ↓H␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ↓|␈ε⊗∀␈↓ α*␈ελV␈↓ α[␈εαwith␈αrespectiv␈α␈e␈αprobabilities␈↓ ε!␈ελ→␈↓ ε@␈εα,␈↓ εV␈ελ→␈↓ εv␈εα,␈↓ π␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π;␈εα,␈↓ πQ␈ελ→␈↓ πt␈εα,␈αlet␈αus␈αrepresen␈α␈t␈αpercen␈α␈tage
␈βαa␈↓ α>␈εn␈↓ ε2␈ε¬0␈↓ εg␈ε¬1␈↓ πb␈εn
␈βα}␈↓ ↓H␈εαpoin␈α␈t␈↓ α%␈ελp␈↓ αD␈εαby␈αthe␈α
pair␈α[␈↓ ∧␈ελV␈↓ ∧,␈εα,␈↓ ∧<␈ελV␈↓ ¬	␈εα]␈αwhen␈↓ ¬}␈ελ→␈↓ ε%␈εα+␈↓ εR␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π∧␈εα+␈↓ π0␈ελ→␈↓ πY␈ε⊗∀␈↓ λλ␈ελp␈↓ λ%␈εα<␈↓ λT␈ελ→␈↓ λ{␈εα+␈↓ 	(␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	Z␈εα+␈↓ 
ε␈ελ→␈↓ 
-␈εα+␈↓ 
Y␈ελ→␈↓ "␈εα.
␈ββ␈↓ ∧∨␈εj␈↓ ∧P␈εj␈↓ ∧↑␈ε¬+␈α␈1␈↓ ε∂␈ε¬0␈↓ πA␈εj␈↓ λe␈ε¬0␈↓ 
↔␈εj␈↓ 
j␈εj␈↓ 
w␈ε¬+1
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαThen␈αthe␈αpercen␈α␈tage␈α
poin␈α␈ts␈αof␈α
the␈αexact␈αdistribution␈α
for␈↓ λI␈ελn␈↓ λi␈εα=␈α20,␈αcorresponding
␈ββU␈↓ ↓H␈εαto␈αthe␈α
appro␈α␈ximations␈α
in␈α
Table␈α1␈α
for␈↓ ε≤␈ελp␈↓ ε:␈εα=␈α1%,␈α
5%,␈α
25%,␈α
50%,␈α
75%,␈α95%,␈α
and
␈β∧␈↓ ↓H␈εα99%,␈αrespectiv␈α␈ely,␈αare
␈β∧V␈↓ αF␈εα[0,␈αε0],␈α∞[0,␈αε0],␈α∞[0,␈αε.27],␈α∞[.27,␈αε.27],␈α∞[1.07,␈αε1.07],␈α∞[2.4,␈αε4.27],␈α∞[6.67,␈αε6.67].
␈β¬,␈↓ ↓H␈εαFor␈απexample,␈α	this␈αλtableau␈αλsays␈απthat␈αλthe␈αλrelevan␈α␈t␈αλvalue␈απof␈↓ λ/␈ελV␈↓ λQ␈εαwhen␈↓ 	+␈ελp␈↓ 	G␈εα=␈α
75%␈αλis␈απ1.07,
␈β¬W␈↓ ↓H␈εαwhile␈αTable␈α1␈αgiv␈α␈es␈αthe␈αestimate␈α1.323.␈α_(More␈αprecisely,␈αone␈αcan␈αv␈α␈erify␈αthat␈αfor
␈β¬␈␈↓ π!␈ε¬4
␈βεα␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓g␈εα=␈α
20␈αthe␈α
probability␈α
is␈αabout␈α
.56␈α
that␈↓ εC␈ελV␈↓ εg␈ε⊗∀␈↓ π:␈εα,␈αand␈α
the␈αnext␈α
higher␈α
value␈α
that
␈βε∩␈↓ π→␈∧ε∩π→α≥
␈βε∃␈↓ π→␈ε¬1␈α↓5
␈βε*␈↓ βJ␈ε¬1␈α↓6
␈βε-␈↓ ↓H␈ελV␈↓ ↓k␈εαcan␈α
assume␈α	is␈↓ βu␈εα=␈α
1.07;␈α
this␈α
value␈α
can␈α	occur␈α
in␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α	ways␈α
having␈α	probabilities
␈βε=␈↓ βJ␈∧ε=βJα≥
␈βε@␈↓ βJ␈ε¬1␈α↓5
␈βεX␈↓ ↓H␈εαabout␈α.13␈α
and␈α
.11,␈α
so␈α
the␈α
cum␈α␈ulativ␈α␈e␈α
probability␈αfor␈↓ λ
␈ελV␈↓ λ2␈ε⊗∀␈εα␈α1.07␈α
straddles␈α.75,␈α
as
␈βπ∧␈↓ ↓H␈εαrequired.)␈α≥When␈↓ βf␈ελn␈↓ ∧	␈εα=␈α∂21,␈α∂the␈α∞situation␈α∂changes␈α∞sligh␈α␈tly␈α∂because␈α∞the␈α∞expected
␈βπ/␈↓ ↓H␈εαvalues␈↓ α6␈ελn␈↓ αL␈ελp␈↓ αw␈εα=␈α5.25␈αand␈↓ ∧9␈ελn␈↓ ∧O␈ελp␈↓ ∧y␈εα=␈α15.75␈α
can␈α
nev␈α␈er␈αbe␈α
obtained␈α
exactly;␈α
the␈αtableau
␈βπ<␈↓ α]␈ε¬1␈↓ ∧`␈ε¬2
␈βπZ␈↓ ↓H␈εαfor␈↓ α␈ελn␈↓ α∨␈εα=␈α
21␈αis
␈βλ0␈↓ α
␈εα[␈ε⊗␈␈εα,␈αε.02],␈α∞[␈ε⊗␈␈εα,␈αε.02],␈α∞[.02,␈αε.14],␈α∞[.14,␈αε.40],␈α∞[.78,␈αε1.29],␈α∞[2.68,␈αε3.57],␈α∞[4.59,␈αε5.73].
␈β	¬␈↓ α␈εαWe␈α
w␈α␈ould␈α
expect␈α
Table␈α
1␈α
to␈α
be␈α∞a␈α
better␈α
appro␈α␈ximation␈α
when␈↓ 	j␈ελn␈↓ 
␈εα=␈α50,␈α
but
␈β	1␈↓ ↓H␈εαthe␈α
corresponding␈αtableau␈αactually␈αturns␈αout␈αto␈α
be␈αfurther␈αfrom␈αTable␈α1␈αin␈α
some
␈β	\␈↓ ↓H␈εαrespects␈αthan␈αit␈αwas␈αfor␈↓ ∧F␈ελn␈↓ ∧e␈εα=␈α
20:
␈β
2␈↓ α∪␈εα[␈ε⊗␈␈εα,␈αε.03],␈α∞[␈ε⊗␈␈εα,␈αε.03],␈α∞[.03,␈αε.03],␈α∞[.24,␈αε.67],␈α∞[1.31,␈αε1.31],␈α∞[3.23,␈αε3.23],␈α∞[6.0,␈αε6.0].
␈βπ␈↓ ↓H␈εαHere␈αare␈αthe␈αvalues␈αwhen␈↓ ∧b␈ελn␈↓ ¬↓␈εα=␈α
300:
␈β]␈↓ α8␈εα[0,␈αε0],␈α∞[0,␈αε0],␈α∞[.07,␈αε.07],␈α∞[.44,␈αε.44],␈α∞[1.14,␈αε1.44],␈α∞[3.48,␈αε4.0],␈α∞[6.42,␈αε6.42].
␈β3␈↓ ↓H␈εαEv␈α␈en␈αin␈αthis␈αcase,␈αwhen␈↓ ∧F␈ελn␈↓ ∧\␈ελp␈↓ ¬¬␈εαis␈ε⊗␈α∃␈εα␈α
75␈αin␈αeach␈αcategory,␈αthe␈αen␈α␈tries␈αin␈αTable␈α1␈αare
␈β@␈↓ ∧m␈εs
␈β↑␈↓ ↓H␈εαgood␈αto␈αonly␈αabout␈αone␈αsigni|can␈α␈t␈αdigit.
␈β
	␈↓ α␈εαThe␈αproper␈αchoice␈αof␈↓ ∧[␈ελn␈↓ ∧|␈εαis␈αsomewhat␈αobscure.␈αIf␈αthe␈αdice␈αare␈αactually␈αbiased,
␈β
4␈↓ ↓H␈εαthe␈α
fact␈αwill␈α
be␈αdetected␈α
as␈↓ ∧u␈ελn␈↓ ¬∃␈εαgets␈αlarger␈α
and␈αlarger.␈α∃(Cf.␈αex␈α␈ercise␈α
12.)␈α⊗But␈α
large
␈β
`␈↓ ↓H␈εαvalues␈α
of␈↓ αb␈ελn␈↓ β∧␈εαwill␈α
tend␈α
to␈α
smooth␈α
out␈ε∂␈α
locally␈εα␈α
nonrandom␈α
behavior,␈α
i.e.,␈α
blocks␈α
of
␈β∞␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈α	with␈α
a␈α	strong␈α	bias␈α
follo␈α␈w␈α␈ed␈α	by␈α
blocks␈α	of␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α	with␈α
the␈α	opposite␈α	bias.
␈β∞6␈↓ ↓H␈εαThis␈α
type␈α∞of␈α
behavior␈α∞w␈α␈ould␈α
not␈α∞happen␈α
when␈α∞actual␈α
dice␈α∞are␈α
rolled,␈α∞since␈α
the
␈β∞a␈↓ ↓H␈εαsame␈α
dice␈αare␈αused␈αthroughout␈αthe␈αtest,␈αbut␈α
a␈αsequence␈αof␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αgenerated␈α
on
␈β∂␈↓ ↓H␈εαa␈α
computer␈α
migh␈α␈t␈α
v␈α␈ery␈α
w␈α␈ell␈α
display␈α∞such␈α
locally␈α
nonrandom␈α
behavior.␈α∂Perhaps
␈β∂8␈↓ ↓H␈εαa␈α
chi-square␈α
test␈α
should␈α
be␈α
made␈α
for␈α∞a␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
di{eren␈α␈t␈α
values␈α
of␈↓ 
∂␈ελn␈↓ 
%␈εα.␈α∂At␈α
an␈α␈y
␈β∂c␈↓ ↓H␈εαrate,␈↓ α≤␈ελn␈↓ α=␈εαshould␈αalways␈αbe␈αrather␈αlarge.
␈β⊂→␈↓ α␈εαWe␈α	can␈α	summarize␈α	the␈α	chi-square␈α	test␈α	as␈α	follo␈α␈ws.␈αA␈α	fairly␈α	large␈α	n␈α␈um␈α␈ber,␈↓ 
e␈ελn␈↓ 
{␈εα,␈α	of
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαindependen␈α␈t␈α
observations␈α
is␈α
made.␈α∃(It␈α
is␈α
importan␈α␈t␈α
to␈α
av␈α␈oid␈α
using␈α
the␈α
chi-square
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαmethod␈α
unless␈α
the␈α
observations␈α
are␈α
independen␈α␈t.␈α∂See,␈α
for␈α
example,␈α
ex␈α␈ercise␈α
10,
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαwhich␈α	considers␈α
the␈α	case␈α	when␈α
half␈α	of␈α
the␈α	observations␈α
depend␈α	on␈α
the␈α	other␈α	half.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.1␈ε∞␈↓ β↑GENERAL␈α	T␈α␈EST␈α	P␈α␈ROCEDU␈α␈R␈α↓ES␈α	F␈α␈OR␈α	STU␈α␈DYING␈α	RA␈α␈NDOM␈α	DA␈α}T␈α⎇A␈↓ λ␈εα43
␈βεq␈↓ ↓U␈ε∪Fig.␈α2.␈εβ␈α→Ind␈α␈i␈α↓c␈α␈ation␈α␈s␈αof␈α\sign␈α␈i␈α↓|␈α␈ca␈α␈n␈α␈t"␈αd␈α␈evia␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αin␈α9␈α␈0␈αch␈α␈i␈α↓-sq␈α␈ua␈α␈re␈αtests␈α(cf.␈αalso␈αFig.␈α5).
␈βπc␈↓ ↓H␈εαWe␈απcoun␈α␈t␈αλthe␈απn␈α␈um␈α␈ber␈απof␈αλobservations␈απfalling␈αλin␈α␈to␈απeach␈αλof␈↓ λ*␈ελk␈↓ λD␈εαcategories␈απand␈απcompute
␈βλ∞␈↓ ↓H␈εαthe␈α	quan␈α␈tity␈↓ β⊃␈ελV␈↓ β4␈εαgiv␈α␈en␈α	in␈α	Eqs.␈α	(6)␈α	and␈α	(8).␈αThen␈↓ π∩␈ελV␈↓ π5␈εαis␈α	compared␈α	with␈α	the␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈α	in
␈βλ9␈↓ ↓H␈εαTable␈α1,␈αwith␈↓ β%␈ελ↔␈↓ β@␈εα=␈↓ βn␈ελk␈↓ ∧ε␈ε⊗␈␈εα␈απ1.␈αIf␈↓ ∧|␈ελV␈↓ ¬!␈εαis␈αless␈αthan␈αthe␈α1%␈αen␈α␈try␈αor␈αgreater␈αthan␈αthe␈α99%
␈βλd␈↓ ↓H␈εαen␈α␈try,␈α
w␈α␈e␈α
reject␈α	the␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
as␈α	not␈α
su}cien␈α␈tly␈α
random.␈αIf␈↓ λV␈ελV␈↓ λy␈εαlies␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈α
the␈α	1%
␈β	∂␈↓ ↓H␈εαand␈α
5%␈α
en␈α␈tries␈α
or␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈α
the␈α
95%␈α
and␈α
99%␈α
en␈α␈tries,␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
are␈α
\suspect";
␈β	;␈↓ ↓H␈εαif␈α(by␈αin␈α␈terpolation␈αin␈αthe␈αtable)␈↓ ¬M␈ελV␈↓ ¬s␈εαlies␈αbet␈α␈w␈α␈een␈αthe␈α5%␈αand␈α10%␈αen␈α␈tries,␈αor␈αthe
␈β	f␈↓ ↓H␈εα90%␈α
and␈α
95%␈α
en␈α␈tries,␈α∞the␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α∞migh␈α␈t␈α
be␈α
\almost␈α
suspect."␈α⊂The␈α
chi-square
␈β
⊃␈↓ ↓H␈εαtest␈α∞is␈α∞often␈α∞done␈α∞at␈α∂least␈α∞three␈α∞times␈α∞on␈α∞di{eren␈α␈t␈α∂sets␈α∞of␈α∞data,␈α∂and␈α∞if␈α∞at␈α∞least
␈β
<␈↓ ↓H␈εαt␈α␈w␈α␈o␈αof␈αthe␈αthree␈αresults␈αare␈αsuspect␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αare␈αregarded␈αas␈αnot␈αsu}cien␈α␈tly
␈β
g␈↓ ↓H␈εαrandom.
␈β∪␈↓ α␈εαFor␈α
example,␈αsee␈α
Fig.␈α
2,␈α
which␈αsho␈α␈ws␈α
schematically␈α
the␈αresults␈α
of␈αapplying
␈β>␈↓ ↓H␈εα|v␈α␈e␈απdi{eren␈α␈t␈αλtypes␈απof␈αλchi-square␈αλtests␈απon␈αλeach␈απof␈αλsix␈αλsequences␈απof␈αλrandom␈απn␈α␈um␈α␈bers.
␈βi␈↓ ↓H␈εαEach␈αtest␈αhas␈αbeen␈αapplied␈αto␈αthree␈αdi{eren␈α␈t␈αblocks␈αof␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αof␈αthe␈αsequence.
␈β∀␈↓ ↓H␈εαGenerator␈α∞A␈α
is␈α∞the␈α∞MacLaren↑Marsaglia␈α∞method␈α∞(Algorithm␈α∞3.2.2M␈α∞applied␈α
to
␈β?␈↓ ↓H␈εαthe␈αsequences␈αin␈α3.2.2↑12),␈α
Generator␈αE␈αis␈αthe␈αFibonacci␈α
method,␈αand␈αthe␈αother
␈βk␈↓ ↓H␈εαgenerators␈αare␈αlinear␈αcongruen␈α␈tial␈αsequences␈αwith␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αparameters:
␈β
/␈↓ 
+␈ε¬35
␈β
4␈↓ ↓L␈εαGenerator␈αB:␈↓ β<␈ελX␈↓ βm␈εα=␈α
0,␈↓ ∧a␈ελa␈↓ ∧⎇␈εα=␈α
3141592653,␈↓ π∪␈ελc␈↓ π+␈εα=␈α
2718281829,␈↓ 	A␈ελm␈↓ 	k␈εα=␈↓ 
→␈εα2␈↓ 
H␈εα.
␈β
B␈↓ βU␈ε¬0
␈β
b␈↓ ¬=␈ε¬7␈↓ λ;␈ε¬3␈α↓5
␈β
g␈↓ ↓H␈εαGenerator␈αC:␈↓ β<␈ελX␈↓ βm␈εα=␈α
0,␈↓ ∧a␈ελa␈↓ ∧⎇␈εα=␈↓ ¬+␈εα2␈↓ ¬S␈εα+␈αλ1,␈↓ εE␈ελc␈↓ ε]␈εα=␈α
1,␈↓ πQ␈ελm␈↓ π{␈εα=␈↓ λ)␈εα2␈↓ λX␈εα.
␈β
u␈↓ βU␈ε¬0
␈β∞∃␈↓ 		␈ε¬8
␈β∞~␈↓ ↓H␈εαGenerator␈αD:␈↓ β<␈ελX␈↓ βm␈εα=␈α
47594118,␈↓ ¬←␈ελa␈↓ ¬{␈εα=␈α
23,␈↓ π↓␈ελc␈↓ π→␈εα=␈α
0,␈↓ λ
␈ελm␈↓ λ7␈εα=␈α
1␈↓ λw␈εα0␈↓ 	∨␈εα+␈αλ1.
␈β∞(␈↓ βU␈ε¬0
␈β∞H␈↓ εM␈ε¬18␈↓ 	Z␈ε¬35
␈β∞N␈↓ ↓L␈εαGenerator␈αF:␈↓ β<␈ελX␈↓ βm␈εα=␈α
314159265,␈↓ ¬q␈ελa␈↓ ε
␈εα=␈↓ ε;␈εα2␈↓ εr␈εα+␈αλ1,␈↓ πd␈ελc␈↓ π|␈εα=␈α
1,␈↓ λp␈ελm␈↓ 	~␈εα=␈↓ 	H␈εα2␈↓ 	v␈εα.
␈β∞[␈↓ βU␈ε¬0
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαFrom␈α
Fig.␈α2␈α
w␈α␈e␈αconclude␈α
that␈α(so␈αfar␈α
as␈αthese␈α
tests␈αare␈α
concerned)␈αGenerators␈α
A,
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαB,␈αD␈αare␈αsatisfactory,␈α
Generator␈αC␈αis␈αon␈αthe␈α
borderline␈αand␈αshould␈αprobably␈αbe
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαrejected,␈αGenerators␈α
E␈α
and␈αF␈α
are␈α
de|nitely␈αunsatisfactory.␈α∞Generator␈α
F␈α
has,␈αof
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαcourse,␈αlo␈α␈w␈αpotency;␈αGenerators␈α
C␈αand␈αD␈αhav␈α␈e␈α
been␈αdiscussed␈αin␈αthe␈αliterature,
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαbut␈α
their␈α
m␈α␈ultipliers␈α∞are␈α
too␈α∞small.␈α≠(Generator␈α∞D␈α
is␈α∞the␈α
original␈α
m␈α␈ultiplicativ␈α␈e
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαgenerator␈α
proposed␈α
by␈α∞Lehmer␈α
in␈α
1948;␈α∞Generator␈α∞C␈α
is␈α
the␈α∞original␈α
linear␈α
con-
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαgruen␈α␈tial␈αgenerator␈αwith␈↓ ∧Q␈ελc␈↓ ∧i␈ε⊗≤␈εα␈α
0␈αproposed␈αby␈αRoten␈α␈berg␈αin␈α1960.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα44␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.1
␈βλ[␈↓ β⎇␈ε∪Fi␈α↓g␈α␈.␈α3␈α␈.␈εβ␈α~Ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈αof␈αdistribu␈α␈tion␈αfu␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns.
␈β	U␈↓ α␈εαInstead␈α∞of␈α∂using␈α∞the␈α∞\suspect,"␈α∂\almost␈α∞suspect,"␈α∂etc.,␈α∂criteria␈α∞for␈α∞judging
␈β
␈↓ ↓H␈εαthe␈αresults␈α
of␈α
chi-square␈α
tests,␈α
there␈α
is␈αa␈α
less␈ε∂␈α
ad␈α
hoc␈εα␈α
procedure␈αavailable,␈α
which
␈β
+␈↓ ↓H␈εαwill␈αbe␈αdiscussed␈αlater␈αin␈αthis␈αsection.
␈β
k␈↓ ↓H␈ε∩B.␈αThe␈αKolmogoro␈α␈v↑␈α∧Smirno␈α␈v␈αtest.␈εα␈α→As␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αseen,␈αthe␈αchi-square␈αtest␈αapplies
␈β⊗␈↓ ↓H␈εαto␈α∂the␈α∂situation␈α∂when␈α∂observations␈α∂can␈α∂fall␈α∂in␈α␈to␈α∂a␈α∞|nite␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂of␈α∂categories,
␈βA␈↓ ↓H␈ελk␈↓ ↓Y␈εα.␈α∪It␈α∞is␈α∞not␈α∂un␈α␈usual,␈α∞ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α∂to␈α∞consider␈α∂random␈α∞quan␈α␈tities␈α∞that␈α∞may␈α∞assume
␈βl␈↓ ↓H␈εαin|nitely␈α	man␈α␈y␈α	values.␈αFor␈α	example,␈α	a␈α	random␈α	real␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	bet␈α␈w␈α␈een␈α	0␈α	and␈α	1␈α	may
␈β↔␈↓ ↓H␈εαtak␈α␈e␈α
on␈αin|nitely␈α
man␈α␈y␈αvalues;␈αev␈α␈en␈α
though␈αonly␈α
a␈α|nite␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
these␈αcan␈α
be
␈βC␈↓ ↓H␈εαrepresen␈α␈ted␈α
in␈α
the␈α
computer,␈α∞w␈α␈e␈α
wan␈α␈t␈α
our␈α∞random␈α
values␈α
to␈α
behav␈α␈e␈α
essen␈α␈tially
␈βn␈↓ ↓H␈εαas␈αthough␈αthough␈αthey␈αare␈αrandom␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈bers.
␈β
→␈↓ α␈εαA␈α
general␈α
notation␈α	for␈α
specifying␈α
probability␈α
distributions,␈α
whether␈α
they␈α	are
␈β
D␈↓ ↓H␈εα|nite␈α∂or␈α⊂in|nite,␈α⊂is␈α∂commonly␈α⊂used␈α∂in␈α⊂the␈α∂study␈α⊂of␈α∂probability␈α⊂and␈α∂statistics.
␈β
o␈↓ ↓H␈εαSuppose␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈αspecify␈αthe␈αdistribution␈αof␈αthe␈αvalues␈αof␈αa␈αrandom␈αquan␈α␈tity,
␈β∞≠␈↓ ↓H␈ελX␈↓ ↓f␈εα;␈αw␈α␈e␈αdo␈αthis␈αin␈αterms␈αof␈αthe␈ε∂␈αdistribution␈αfunction␈↓ πq␈ελF␈↓ λ
␈εα(␈↓ λ⊗␈ελx␈↓ λ)␈εα),␈αwhere
␈β∞n␈↓ ∧3␈ελF␈↓ ∧L␈εα(␈↓ ∧X␈ελx␈↓ ∧k␈εα)␈α
=␈↓ ¬/␈εαprobability␈αthat␈↓ π7␈εα(␈↓ πC␈ελX␈↓ πk␈ε⊗∀␈↓ λ→␈ελx␈↓ λ+␈εα).
␈β∂@␈↓ ↓H␈εαThree␈α
examples␈α∞are␈α∞sho␈α␈wn␈α
in␈α∞Fig.␈α∞3.␈α⊃First␈α
w␈α␈e␈α∞see␈α
the␈α∞distribution␈α∞function␈α
for
␈β∂l␈↓ ↓H␈εαa␈ε∂␈α∞random␈α∞bit␈εα,␈α∞i.e.,␈α∂for␈α∞the␈α∞case␈α∞when␈↓ ε!␈ελX␈↓ εM␈εαtak␈α␈es␈α∞on␈α∞only␈α∞the␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞values␈α∞0␈α∞and␈α∞1,
␈β⊂∀␈↓ ∧0␈ε¬1
␈β⊂↔␈↓ ↓H␈εαeach␈α∞with␈α∞probability␈↓ ∧B␈εα.␈α∩Part␈α∞(b)␈α∞of␈α∞the␈α∞|gure␈α∞sho␈α␈ws␈α∞the␈α
distribution␈α∞function
␈β⊂'␈↓ ∧0␈∧⊂'∧0α∂
␈β⊂*␈↓ ∧0␈ε¬2
␈β⊂B␈↓ ↓H␈εαfor␈α∞a␈ε∂␈α∂uniformly␈α∞distributed␈α∂random␈α∞real␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈εα␈α∞bet␈α␈w␈α␈een␈α∂zero␈α∞and␈α∂one,␈α∂so␈α∞the
␈β⊂m␈↓ ↓H␈εαprobability␈α∂that␈↓ βV␈ελX␈↓ ∧∧␈ε⊗∀␈↓ ∧8␈ελx␈↓ ∧Z␈εαis␈α∂simply␈α∂equal␈α⊂to␈↓ π	␈ελx␈↓ π+␈εαwhen␈α⊂0␈ε⊗␈α∂∀␈↓ λb␈ελx␈↓ 	∧␈ε⊗∀␈εα␈α⊂1;␈α⊃for␈α∂example,
␈β⊃∃␈↓ ∧{␈ε¬2␈↓ ε|␈ε¬2
␈β⊃_␈↓ ↓H␈εαthe␈α∂probability␈α∂that␈↓ ∧↔␈ελX␈↓ ∧D␈ε⊗∀␈↓ ¬≥␈εαis,␈α∂naturally,␈↓ π∂␈εα.␈α∃And␈α∂part␈α∂(c)␈α∂sho␈α␈ws␈α∂the␈α∂limiting
␈β⊃)␈↓ ∧{␈∧⊃)∧{α∂␈↓ ε|␈∧⊃)ε|α∂
␈β⊃+␈↓ ∧{␈ε¬3␈↓ ε|␈ε¬3
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.1␈ε∞␈↓ β↑GENERAL␈α	T␈α␈EST␈α	P␈α␈ROCEDU␈α␈R␈α↓ES␈α	F␈α␈OR␈α	STU␈α␈DYING␈α	RA␈α␈NDOM␈α	DA␈α}T␈α⎇A␈↓ λ␈εα45
␈βα&␈↓ ↓H␈εαdistribution␈αof␈αthe␈αvalue␈↓ ∧Q␈ελV␈↓ ∧v␈εαin␈αthe␈αchi-square␈αtest␈α(sho␈α␈wn␈αhere␈αwith␈α10␈αdegrees␈αof
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαfreedom);␈αthis␈αis␈α
a␈αdistribution␈αthat␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈α
already␈αseen␈αrepresen␈α␈ted␈αin␈α
another
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαway␈αin␈αTable␈α1.␈αNote␈αthat␈↓ ∧n␈ελF␈↓ ¬π␈εα(␈↓ ¬∪␈ελx␈↓ ¬&␈εα)␈αalways␈αincreases␈αfrom␈α0␈αto␈α1␈αas␈↓ 	/␈ελx␈↓ 	M␈εαincreases␈αfrom
␈ββ(␈↓ ↓H␈ε⊗␈1␈εα␈αto␈α+␈ε⊗1␈εα.
␈ββS␈↓ α␈εαIf␈αw␈α␈e␈α
mak␈α␈e␈↓ βE␈ελn␈↓ βg␈εαindependen␈α␈t␈αobservations␈αof␈αthe␈α
random␈αquan␈α␈tity␈↓ 
␈ελX␈↓ 
≡␈εα,␈αthereby
␈ββ}␈↓ ↓H␈εαobtaining␈α∂the␈α⊂values␈↓ ∧∨␈ελX␈↓ ∧G␈εα,␈↓ ∧a␈ελX␈↓ ¬	␈εα,␈↓ ¬$␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬T␈εα,␈↓ ¬n␈ελX␈↓ ε∨␈εα,␈α⊃w␈α␈e␈α⊂can␈α⊂form␈α⊂the␈ε∂␈α⊂empirical␈α∂distribution
␈β∧␈↓ ∧8␈ε¬1␈↓ ∧z␈ε¬2␈↓ επ␈εn
␈β∧)␈↓ ↓H␈ελF␈↓ ↓n␈εα(␈↓ ↓z␈ελx␈↓ α␈εα),␈αwhere
␈β∧7␈↓ ↓\␈εn
␈β∧x␈↓ ∧L␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈↓ ¬x␈ελX␈↓ ε ␈εα,␈↓ ε0␈ελX␈↓ εW␈εα,␈↓ εg␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π↔␈εα,␈↓ π'␈ελX␈↓ π↑␈εαthat␈αare␈↓ λf␈ε⊗∀␈↓ 	∀␈ελx
␈β¬¬␈↓ ε⊃␈ε¬1␈↓ εI␈ε¬2␈↓ π@␈εn
␈β¬~␈↓ β?␈ελF␈↓ βe␈εα(␈↓ βq␈ελx␈↓ ∧∧␈εα)␈α
=␈↓ 	+␈εα.␈↓ 
p␈εα(10)
␈β¬'␈↓ βS␈εn
␈β¬*␈↓ ∧L␈∧¬*∧Lα∧[
␈β¬2␈↓ εo␈ελn
␈β¬↑␈↓ λM␈ε↓␈
␈β¬⎇␈↓ ↓H␈εαFigure␈α
4␈αillustrates␈αthree␈αempirical␈αdistribution␈α
functions␈↓ λ[␈εαsho␈α␈wn␈αas␈αzigzag␈α
lines,
␈βε	␈↓ ∀␈ε↓↓
␈βε(␈↓ ↓H␈εαalthough␈αstrictly␈αspeaking␈αthe␈α
v␈α␈ertical␈αlines␈αare␈αnot␈α
part␈αof␈αthe␈αgraph␈α
of␈↓ 
D␈ελF␈↓ 
j␈εα(␈↓ 
v␈ελx␈↓ λ␈εα)␈↓ "␈εα,
␈βε6␈↓ 
X␈εn
␈βεT␈↓ ↓H␈εαsuperimposed␈αon␈αa␈αgraph␈αof␈αthe␈αassumed␈αactual␈αdistribution␈αfunction␈↓ 

␈ελF␈↓ 
#␈εα(␈↓ 
/␈ελx␈↓ 
B␈εα).␈αAs␈↓ ↔␈ελn
␈βε␈␈↓ ↓H␈εαgets␈αlarge,␈↓ αt␈ελF␈↓ β~␈εα(␈↓ β&␈ελx␈↓ β8␈εα)␈αshould␈αbe␈αa␈αbetter␈αand␈αbetter␈αappro␈α␈ximation␈αto␈↓ 	G␈ελF␈↓ 	a␈εα(␈↓ 	m␈ελx␈↓ 	␈␈εα).
␈βπ␈↓ βλ␈εn
␈βπ*␈↓ α␈εαThe␈α⊂Kolmogoro␈α␈v↑␈α∧Smirno␈α␈v␈α⊂test␈α⊂(KS␈α⊂test)␈α⊂may␈α⊂be␈α⊂used␈α⊂when␈↓ 	n␈ελF␈↓ 
λ␈εα(␈↓ 
∀␈ελx␈↓ 
&␈εα)␈α⊂has␈α⊂no
␈βπU␈↓ ↓H␈εαjumps.␈αIt␈α
is␈α
based␈α
on␈α
the␈ε∂␈α
di{erence␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈↓ εy␈ελF␈↓ π∩␈εα(␈↓ π≡␈ελx␈↓ π1␈εα)␈ε∂␈α
and␈↓ λ␈ελF␈↓ λ1␈εα(␈↓ λ=␈ελx␈↓ λO␈εα).␈αA␈α
bad␈α
source␈α	of␈α
ran-
␈βπc␈↓ λ∨␈εn
␈βλ␈↓ ↓H␈εαdom␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α
will␈αgiv␈α␈e␈αempirical␈αdistribution␈αfunctions␈αthat␈αdo␈αnot␈α
appro␈α␈ximate
␈βλ,␈↓ ↓H␈ελF␈↓ ↓a␈εα(␈↓ ↓m␈ελx␈↓ α␈εα)␈αsu}cien␈α␈tly␈αw␈α␈ell.␈α
Figure␈α
4(b)␈αsho␈α␈ws␈αan␈α
example␈αin␈α
which␈αthe␈↓ 	W␈ελX␈↓ 
λ␈εαare␈αconsis-
␈βλ9␈↓ 	p␈εi
␈βλW␈↓ ↓H␈εαten␈α␈tly␈αtoo␈αhigh,␈αso␈αthe␈αempirical␈αdistribution␈αfunction␈αis␈αtoo␈αlo␈α␈w.␈αPart␈α(c)␈αof␈αthe
␈β	α␈↓ ↓H␈εα|gure␈αλsho␈α␈ws␈αλan␈α	ev␈α␈en␈αλw␈α␈orse␈αλexample;␈α
it␈αλis␈α	plain␈αλthat␈αλsuch␈α	great␈αλdeviations␈αλbet␈α␈w␈α␈een
␈β	-␈↓ ↓H␈ελF␈↓ ↓n␈εα(␈↓ ↓z␈ελx␈↓ α␈εα)␈αand␈↓ αi␈ελF␈↓ βα␈εα(␈↓ β∞␈ελx␈↓ β!␈εα)␈αare␈αextremely␈αimprobable,␈αand␈αthe␈αKS␈αtest␈αis␈αused␈αto␈αtell␈αus␈αho␈α␈w
␈β	;␈↓ ↓\␈εn
␈β	X␈↓ ↓H␈εαimprobable␈αthey␈αare.
␈β
∧␈↓ α␈εαTo␈αmak␈α␈e␈αthe␈αtest,␈αw␈α␈e␈αform␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αstatistics:
␈β
8␈↓ εz␈ε↓␈␈↓ λQ␈ε↓↓
␈β
Q␈↓ ∧)␈ε¬+
␈β
T␈↓ ¬"␈∧
T¬"α⊗
␈β
U␈↓ ∧}␈ε⊗p
␈β
W␈↓ ∧␈ελK␈↓ ∧P␈εα=␈↓ ¬"␈ελn␈↓ ¬z␈εαmax␈↓ πλ␈ελF␈↓ π.␈εα(␈↓ π:␈ελx␈↓ πM␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λ
␈ελF␈↓ λ&␈εα(␈↓ λ2␈ελx␈↓ λE␈εα)␈↓ λ←␈εα;
␈β
e␈↓ π≤␈εn
␈β
i␈↓ ∧)␈εn
␈β
y␈↓ ¬>␈ε→␈␈α␈1␈ε¬<␈↓ ε∀␈εx␈↓ ε$␈ε¬<+␈ε→␈α␈1
␈β⊂␈↓ εz␈ε↓␈␈↓ λQ␈ε↓↓
␈β⊗␈↓ 
p␈εα(11)
␈β)␈↓ ∧)␈ε→␈
␈β,␈↓ ¬"␈∧,¬"α⊗
␈β-␈↓ ∧}␈ε⊗p
␈β/␈↓ ∧␈ελK␈↓ ∧P␈εα=␈↓ ¬"␈ελn␈↓ ¬z␈εαmax␈↓ πλ␈ελF␈↓ π!␈εα(␈↓ π-␈ελx␈↓ π@␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λ␈ελF␈↓ λ&␈εα(␈↓ λ2␈ελx␈↓ λE␈εα)␈↓ λ←␈εα.
␈β=␈↓ λ∀␈εn
␈βA␈↓ ∧)␈εn
␈βP␈↓ ¬>␈ε→␈␈α␈1␈ε¬<␈↓ ε∀␈εx␈↓ ε$␈ε¬<+␈ε→␈α␈1
␈β)␈↓ α9␈ε¬+
␈β.␈↓ ↓H␈εαHere␈↓ α≠␈ελK␈↓ αa␈εαmeasures␈αthe␈αgreatest␈αamoun␈α␈t␈αof␈αdeviation␈αwhen␈↓ λg␈ελF␈↓ 	→␈εαis␈αgreater␈αthan␈↓ 	␈ελF␈↓ "␈εα,
␈β;␈↓ λ{␈εn
␈β@␈↓ α9␈εn
␈βT␈↓ α*␈ε→␈
␈βY␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α␈ελK␈↓ αQ␈εαmeasures␈α
the␈αmaxim␈α␈um␈α
deviation␈αwhen␈↓ πF␈ελF␈↓ πv␈εαis␈αless␈α
than␈↓ 	+␈ελF␈↓ 	E␈εα.␈αThe␈α
statistics
␈βg␈↓ πZ␈εn
␈βk␈↓ α*␈εn
␈β
∧␈↓ ↓H␈εαfor␈αthe␈αexamples␈αof␈αFig.␈α4␈αare
␈β
S␈↓ ∧|␈εαPart␈α(a)␈↓ ε>␈εαPart␈α(b)␈↓ λα␈εαPart␈α(c)
␈β∞π␈↓ ∧_␈ε¬+
␈β∞
␈↓ βz␈ελK␈↓ ¬⊂␈εα0.492␈↓ εS␈εα0.134␈↓ λ∃␈εα0.313
␈β∞∨␈↓ ∧_␈ε¬20
␈β∞&␈↓ 
p␈εα(12)
␈β∞=␈↓ ∧_␈ε→␈
␈β∞C␈↓ βz␈ελK␈↓ ¬⊂␈εα0.536␈↓ εS␈εα1.027␈↓ λ∃␈εα2.101
␈β∞T␈↓ ∧_␈ε¬20
␈β∂∀␈↓ ∧P␈∧∂∀∧Pα⊗
␈β∂∃␈↓ ∧,␈ε⊗p
␈β∂⊗␈↓ α␈εα(␈ε∂Note:␈εα␈αThe␈αfactor␈↓ ∧P␈ελn␈↓ ∧q␈εαthat␈αappears␈αin␈αEqs.␈α(11)␈αmay␈αseem␈αpuzzling␈αat␈α|rst.
␈β∂A␈↓ ↓H␈εαEx␈α␈ercise␈α	6␈α
sho␈α␈ws␈α
that,␈α
for␈α
|x␈α␈ed␈↓ ¬4␈ελx␈↓ ¬G␈εα,␈α
the␈α
standard␈α
deviation␈α	of␈↓ λn␈ελF␈↓ 	∀␈εα(␈↓ 	 ␈ελx␈↓ 	3␈εα)␈α
is␈α	proportional
␈β∂O␈↓ 	α␈εn
␈β∂g␈↓ λR␈ε¬+␈↓ 	%␈ε→␈
␈β∂k␈↓ α=␈∧∂kα=α⊗␈↓ ¬≤␈∧∂k¬≤α⊗
␈β∂l␈↓ α→␈ε⊗p␈↓ ∧x␈ε⊗p
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαto␈α
1/␈↓ α=␈ελn␈↓ αS␈εα;␈α
hence␈α∞the␈α
factor␈↓ ¬≤␈ελn␈↓ ¬?␈εαmagni|es␈α
the␈α
statistics␈↓ λ5␈ελK␈↓ λo␈εα,␈↓ 	π␈ελK␈↓ 	O␈εαin␈α
such␈α
a␈α
way
␈β∂}␈↓ λR␈εn␈↓ 	%␈εn
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εαthat␈αthis␈αstandard␈αdeviation␈αis␈αindependen␈α␈t␈αof␈↓ π)␈ελn␈↓ π>␈εα.)
␈β⊂>␈↓ 	k␈ε¬+␈↓ 
@␈ε→␈
␈β⊂C␈↓ α␈εαAs␈α⊂in␈α∂the␈α⊂chi-square␈α⊂test,␈α⊂w␈α␈e␈α⊂may␈α⊂no␈α␈w␈α∂look␈α⊂up␈α⊂the␈α∂values␈↓ 	M␈ελK␈↓ 
λ␈εα,␈↓ 
"␈ελK␈↓ 
m␈εαin␈α∂a
␈β⊂U␈↓ 	k␈εn␈↓ 
@␈εn
␈β⊂n␈↓ ↓H␈εα\percen␈α␈tile"␈α
table␈α
to␈α
determine␈α
if␈α
they␈α
are␈α
signi|can␈α␈tly␈α
high␈α
or␈α
lo␈α␈w.␈αTable␈α
2␈α
may
␈β⊃∀␈↓ ε↓␈ε¬+␈↓ π∞␈ε→␈
␈β⊃→␈↓ ↓H␈εαbe␈αused␈αfor␈αthis␈αpurpose,␈αboth␈αfor␈↓ ¬c␈ελK␈↓ ε*␈εαand␈↓ εp␈ελK␈↓ π+␈εα.␈αFor␈αexample,␈αthe␈αprobability␈αis
␈β⊃+␈↓ ε↓␈εn␈↓ π∞␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα46␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.1
␈β⊂←␈↓ βw␈ε∪Fig.␈α4.␈εβ␈α→Exam␈α␈ples␈αof␈αem␈α␈pirical␈αdistrib␈α␈ution␈α␈s.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.1␈ε∞␈↓ β↑GENERAL␈α	T␈α␈EST␈α	P␈α␈ROCEDU␈α␈R␈α↓ES␈α	F␈α␈OR␈α	STU␈α␈DYING␈α	RA␈α␈NDOM␈α	DA␈α}T␈α⎇A␈↓ λ␈εα47
␈βα≥␈↓ ¬{␈ε≥Ta␈α␈b␈α↓le␈α
2
␈βαD␈↓ 	a␈εε+␈↓ 
x␈ε~␈
␈βαH␈↓ ↓c␈εβSELECTED␈αP␈α↓ER␈α␈CENT␈α⎇A␈α␈GE␈αPOINTS␈α
OF␈αTHE␈αDISTRIBUTIONS␈↓ 	F␈ε	K␈↓ 
¬␈εβAND␈↓ 
\␈ε	K
␈βαW␈↓ 	a␈εn␈↓ 
x␈εn
␈βα}␈↓ ↓H␈∧α}↓Hα	e
␈ββ␈↓ ↓H␈∧β↓H=α␈↓ αc␈∧βαc=α␈↓ β␈␈∧ββ␈=α␈↓ ¬≤␈∧β¬≤=α␈↓ ε9␈∧βε9=α␈↓ πU␈∧βπU=α␈↓ λr␈∧βλr=α␈↓ 
∞␈∧β
∞=α␈↓ +␈∧β+=α
␈ββ⊃␈↓ αw␈ε	p␈↓ β∩␈εβ=␈α	1%␈↓ ∧∀␈ε	p␈↓ ∧.␈εβ=␈α
5␈α␈%␈↓ ¬(␈ε	p␈↓ ¬B␈εβ=␈α
25␈α␈%␈↓ εE␈ε	p␈↓ ε←␈εβ=␈α
5␈α␈0%␈↓ πa␈ε	p␈↓ π|␈εβ=␈α	75%␈↓ λ}␈ε	p␈↓ 	_␈εβ=␈α
9␈α␈5%␈↓ 
≠␈ε	p␈↓ 
5␈εβ=␈α	99%
␈ββ;␈↓ ↓H␈∧β;↓Hα	e
␈ββ=␈↓ ↓H␈∧β=↓H=α␈↓ αc␈∧β=αc=α␈↓ β␈␈∧β=β␈=α␈↓ ¬≤␈∧β=¬≤=α␈↓ ε9␈∧β=ε9=α␈↓ πU␈∧β=πU=α␈↓ λr␈∧β=λr=α␈↓ 
∞␈∧β=
∞=α␈↓ +␈∧β=+=α
␈ββN␈↓ ↓f␈ε	n␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ1␈↓ α{␈εβ0.01␈α␈000␈↓ ∧_␈εβ0␈α␈.␈α↓0␈α␈500␈α␈0␈↓ ¬=␈εβ0␈α␈.␈α↓2␈α␈500␈↓ εY␈εβ0.500␈α␈0␈↓ πv␈εβ0.75␈α␈00␈↓ 	∪␈εβ0␈α␈.950␈α␈0␈↓ 
/␈εβ0.99␈α␈00
␈ββy␈↓ ↓H␈∧βy↓Hα	e
␈ββ{␈↓ ↓H␈∧β{↓H=α␈↓ αc␈∧β{αc=α␈↓ β␈␈∧β{β␈=α␈↓ ¬≤␈∧β{¬≤=α␈↓ ε9␈∧β{ε9=α␈↓ πU␈∧β{πU=α␈↓ λr␈∧β{λr=α␈↓ 
∞␈∧β{
∞=α␈↓ +␈∧β{+=α
␈β∧␈↓ ↓f␈ε	n␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ2␈↓ α{␈εβ0.01␈α␈400␈↓ ∧_␈εβ0␈α␈.␈α↓0␈α␈674␈α␈9␈↓ ¬=␈εβ0␈α␈.␈α↓2␈α␈929␈↓ εY␈εβ0.517␈α␈6␈↓ πv␈εβ0.70␈α␈71␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈.098␈α␈0␈↓ 
/␈εβ1.27␈α␈28
␈β∧6␈↓ ↓H␈∧∧6↓Hα	e
␈β∧8␈↓ ↓H␈∧∧8↓H=α␈↓ αc␈∧∧8αc=α␈↓ β␈␈∧∧8β␈=α␈↓ ¬≤␈∧∧8¬≤=α␈↓ ε9␈∧∧8ε9=α␈↓ πU␈∧∧8πU=α␈↓ λr␈∧∧8λr=α␈↓ 
∞␈∧∧8
∞=α␈↓ +␈∧∧8+=α
␈β∧I␈↓ ↓f␈ε	n␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ3␈↓ α{␈εβ0.01␈α␈699␈↓ ∧_␈εβ0␈α␈.␈α↓0␈α␈791␈α␈9␈↓ ¬=␈εβ0␈α␈.␈α↓3␈α␈112␈↓ εY␈εβ0.514␈α␈7␈↓ πv␈εβ0.75␈α␈39␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈.101␈α␈7␈↓ 
/␈εβ1.35␈α␈89
␈β∧t␈↓ ↓H␈∧∧t↓Hα	e
␈β∧u␈↓ ↓H␈∧∧u↓H=α␈↓ αc␈∧∧uαc=α␈↓ β␈␈∧∧uβ␈=α␈↓ ¬≤␈∧∧u¬≤=α␈↓ ε9␈∧∧uε9=α␈↓ πU␈∧∧uπU=α␈↓ λr␈∧∧uλr=α␈↓ 
∞␈∧∧u
∞=α␈↓ +␈∧∧u+=α
␈β¬ε␈↓ ↓f␈ε	n␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ4␈↓ α{␈εβ0.01␈α␈943␈↓ ∧_␈εβ0␈α␈.␈α↓0␈α␈878␈α␈9␈↓ ¬=␈εβ0␈α␈.␈α↓3␈α␈202␈↓ εY␈εβ0.511␈α␈0␈↓ πv␈εβ0.76␈α␈42␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈.130␈α␈4␈↓ 
/␈εβ1.37␈α␈77
␈β¬1␈↓ ↓H␈∧¬1↓Hα	e
␈β¬3␈↓ ↓H␈∧¬3↓H=α␈↓ αc␈∧¬3αc=α␈↓ β␈␈∧¬3β␈=α␈↓ ¬≤␈∧¬3¬≤=α␈↓ ε9␈∧¬3ε9=α␈↓ πU␈∧¬3πU=α␈↓ λr␈∧¬3λr=α␈↓ 
∞␈∧¬3
∞=α␈↓ +␈∧¬3+=α
␈β¬D␈↓ ↓f␈ε	n␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ5␈↓ α{␈εβ0.02␈α␈152␈↓ ∧_␈εβ0␈α␈.␈α↓0␈α␈947␈α␈1␈↓ ¬=␈εβ0␈α␈.␈α↓3␈α␈249␈↓ εY␈εβ0.524␈α␈5␈↓ πv␈εβ0.76␈α␈74␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈.139␈α␈2␈↓ 
/␈εβ1.40␈α␈24
␈β¬o␈↓ ↓H␈∧¬o↓Hα	e
␈β¬p␈↓ ↓H␈∧¬p↓H=α␈↓ αc␈∧¬pαc=α␈↓ β␈␈∧¬pβ␈=α␈↓ ¬≤␈∧¬p¬≤=α␈↓ ε9␈∧¬pε9=α␈↓ πU␈∧¬pπU=α␈↓ λr␈∧¬pλr=α␈↓ 
∞␈∧¬p
∞=α␈↓ +␈∧¬p+=α
␈βε↓␈↓ ↓f␈ε	n␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ6␈↓ α{␈εβ0.02␈α␈336␈↓ ∧_␈εβ0.10␈α␈02␈↓ ¬=␈εβ0␈α␈.␈α↓3␈α␈272␈↓ εY␈εβ0.531␈α␈9␈↓ πv␈εβ0.77␈α␈03␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈.146␈α␈3␈↓ 
/␈εβ1.41␈α␈44
␈βε,␈↓ ↓H␈∧ε,↓Hα	e
␈βε.␈↓ ↓H␈∧ε.↓H=α␈↓ αc␈∧ε.αc=α␈↓ β␈␈∧ε.β␈=α␈↓ ¬≤␈∧ε.¬≤=α␈↓ ε9␈∧ε.ε9=α␈↓ πU␈∧ε.πU=α␈↓ λr␈∧ε.λr=α␈↓ 
∞␈∧ε.
∞=α␈↓ +␈∧ε.+=α
␈βε?␈↓ ↓f␈ε	n␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ7␈↓ α{␈εβ0.02␈α␈501␈↓ ∧_␈εβ0.10␈α␈48␈↓ ¬=␈εβ0␈α␈.␈α↓3␈α␈280␈↓ εY␈εβ0.536␈α␈4␈↓ πv␈εβ0.77␈α␈55␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈.153␈α␈7␈↓ 
/␈εβ1.42␈α␈46
␈βεj␈↓ ↓H␈∧εj↓Hα	e
␈βεk␈↓ ↓H␈∧εk↓H=α␈↓ αc␈∧εkαc=α␈↓ β␈␈∧εkβ␈=α␈↓ ¬≤␈∧εk¬≤=α␈↓ ε9␈∧εkε9=α␈↓ πU␈∧εkπU=α␈↓ λr␈∧εkλr=α␈↓ 
∞␈∧εk
∞=α␈↓ +␈∧εk+=α
␈βε|␈↓ ↓f␈ε	n␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ8␈↓ α{␈εβ0.02␈α␈650␈↓ ∧_␈εβ0.10␈α␈86␈↓ ¬=␈εβ0␈α␈.␈α↓3␈α␈280␈↓ εY␈εβ0.539␈α␈2␈↓ πv␈εβ0.77␈α␈97␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈.158␈α␈6␈↓ 
/␈εβ1.43␈α␈27
␈βπ'␈↓ ↓H␈∧π'↓Hα	e
␈βπ)␈↓ ↓H␈∧π)↓H=α␈↓ αc␈∧π)αc=α␈↓ β␈␈∧π)β␈=α␈↓ ¬≤␈∧π)¬≤=α␈↓ ε9␈∧π)ε9=α␈↓ πU␈∧π)πU=α␈↓ λr␈∧π)λr=α␈↓ 
∞␈∧π)
∞=α␈↓ +␈∧π)+=α
␈βπ:␈↓ ↓f␈ε	n␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ9␈↓ α{␈εβ0.02␈α␈786␈↓ ∧_␈εβ0.11␈α␈19␈↓ ¬=␈εβ0␈α␈.␈α↓3␈α␈274␈↓ εY␈εβ0.541␈α␈1␈↓ πv␈εβ0.78␈α␈25␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈.162␈α␈4␈↓ 
/␈εβ1.43␈α␈88
␈βπd␈↓ ↓H␈∧πd↓Hα	e
␈βπf␈↓ ↓H␈∧πf↓H=α␈↓ αc␈∧πfαc=α␈↓ β␈␈∧πfβ␈=α␈↓ ¬≤␈∧πf¬≤=α␈↓ ε9␈∧πfε9=α␈↓ πU␈∧πfπU=α␈↓ λr␈∧πfλr=α␈↓ 
∞␈∧πf
∞=α␈↓ +␈∧πf+=α
␈βπw␈↓ ↓f␈ε	n␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ10␈↓ α{␈εβ0.02␈α␈912␈↓ ∧_␈εβ0.11␈α␈47␈↓ ¬=␈εβ0␈α␈.␈α↓3␈α␈297␈↓ εY␈εβ0.542␈α␈6␈↓ πv␈εβ0.78␈α␈45␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈.165␈α␈8␈↓ 
/␈εβ1.44␈α␈40
␈βλ"␈↓ ↓H␈∧λ"↓Hα	e
␈βλ#␈↓ ↓H␈∧λ#↓H=α␈↓ αc␈∧λ#αc=α␈↓ β␈␈∧λ#β␈=α␈↓ ¬≤␈∧λ#¬≤=α␈↓ ε9␈∧λ#ε9=α␈↓ πU␈∧λ#πU=α␈↓ λr␈∧λ#λr=α␈↓ 
∞␈∧λ#
∞=α␈↓ +␈∧λ#+=α
␈βλ4␈↓ ↓f␈ε	n␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ11␈↓ α{␈εβ0.03␈α␈028␈↓ ∧_␈εβ0.11␈α␈72␈↓ ¬=␈εβ0␈α␈.␈α↓3␈α␈330␈↓ εY␈εβ0.543␈α␈9␈↓ πv␈εβ0.78␈α␈63␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈.168␈α␈8␈↓ 
/␈εβ1.44␈α␈84
␈βλ←␈↓ ↓H␈∧λ←↓Hα	e
␈βλa␈↓ ↓H␈∧λa↓H=α␈↓ αc␈∧λaαc=α␈↓ β␈␈∧λaβ␈=α␈↓ ¬≤␈∧λa¬≤=α␈↓ ε9␈∧λaε9=α␈↓ πU␈∧λaπU=α␈↓ λr␈∧λaλr=α␈↓ 
∞␈∧λa
∞=α␈↓ +␈∧λa+=α
␈βλr␈↓ ↓f␈ε	n␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ12␈↓ α{␈εβ0.03␈α␈137␈↓ ∧_␈εβ0.11␈α␈93␈↓ ¬=␈εβ0␈α␈.␈α↓3␈α␈357␈↓ εY␈εβ0.545␈α␈3␈↓ πv␈εβ0.78␈α␈80␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈.171␈α␈4␈↓ 
/␈εβ1.45␈α␈21
␈β	≥␈↓ ↓H␈∧	≥↓Hα	e
␈β	≡␈↓ ↓H␈∧	≡↓H=α␈↓ αc␈∧	≡αc=α␈↓ β␈␈∧	≡β␈=α␈↓ ¬≤␈∧	≡¬≤=α␈↓ ε9␈∧	≡ε9=α␈↓ πU␈∧	≡πU=α␈↓ λr␈∧	≡λr=α␈↓ 
∞␈∧	≡
∞=α␈↓ +␈∧	≡+=α
␈β	/␈↓ ↓f␈ε	n␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ15␈↓ α{␈εβ0.03␈α␈424␈↓ ∧_␈εβ0.12␈α␈44␈↓ ¬=␈εβ0␈α␈.␈α↓3␈α␈412␈↓ εY␈εβ0.550␈α␈0␈↓ πv␈εβ0.79␈α␈26␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈.177␈α␈3␈↓ 
/␈εβ1.46␈α␈06
␈β	Z␈↓ ↓H␈∧	Z↓Hα	e
␈β	\␈↓ ↓H␈∧	\↓H=α␈↓ αc␈∧	\αc=α␈↓ β␈␈∧	\β␈=α␈↓ ¬≤␈∧	\¬≤=α␈↓ ε9␈∧	\ε9=α␈↓ πU␈∧	\πU=α␈↓ λr␈∧	\λr=α␈↓ 
∞␈∧	\
∞=α␈↓ +␈∧	\+=α
␈β	m␈↓ ↓f␈ε	n␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ20␈↓ α{␈εβ0.03␈α␈807␈↓ ∧_␈εβ0.12␈α␈98␈↓ ¬=␈εβ0␈α␈.␈α↓3␈α␈461␈↓ εY␈εβ0.554␈α␈7␈↓ πv␈εβ0.79␈α␈75␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈.183␈α␈9␈↓ 
/␈εβ1.46␈α␈98
␈β
_␈↓ ↓H␈∧
_↓Hα	e
␈β
→␈↓ ↓H␈∧
→↓H=α␈↓ αc␈∧
→αc=α␈↓ β␈␈∧
→β␈=α␈↓ ¬≤␈∧
→¬≤=α␈↓ ε9␈∧
→ε9=α␈↓ πU␈∧
→πU=α␈↓ λr␈∧
→λr=α␈↓ 
∞␈∧
→
∞=α␈↓ +␈∧
→+=α
␈β
*␈↓ ↓f␈ε	n␈↓ α∧␈εβ=␈↓ α.␈εβ30␈↓ α{␈εβ0.04␈α␈354␈↓ ∧_␈εβ0.13␈α␈51␈↓ ¬=␈εβ0␈α␈.␈α↓3␈α␈509␈↓ εY␈εβ0.560␈α␈5␈↓ πv␈εβ0.80␈α␈36␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈.191␈α␈6␈↓ 
/␈εβ1.48␈α␈01
␈β
F␈↓ ∧[␈ε↓∞␈↓ ∧p␈ε↓␈␈↓ ¬J␈ε↓↓
␈β
U␈↓ ↓H␈∧
U↓Hα	e
␈β
W␈↓ ↓H␈∧
W↓H=α␈↓ αc␈∧
Wαc=α␈↓ +␈∧
W+=α
␈β
d␈↓ π|␈εε2␈↓ λA␈εε1
␈β
f␈↓ ¬0␈∧
f¬0α∃
␈β
g␈↓ ¬∂␈ε↔p
␈β
h␈↓ ↓f␈ε	n␈↓ α∧␈εβ>␈↓ α.␈εβ30␈↓ β⎇␈ε	y␈↓ ∧"␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ ∧}␈εβ6␈↓ ¬0␈ε	n␈↓ ¬c␈εβ+␈↓ ε␈ε	O␈↓ ε$␈εβ(1␈α␈/␈↓ εP␈ε	n␈↓ εd␈εβ),␈↓ π	␈εβwhe␈α␈re␈↓ πi␈ε	y␈↓ λ∪␈εβ=␈↓ λW␈εβln␈↓ λs␈εβ(1␈α␈/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	k␈ε	p␈↓ 	|␈εβ))
␈β
r␈↓ ∧
␈εp
␈β
v␈↓ λA␈∧
vλAα
␈β
w␈↓ π|␈εp
␈β
x␈↓ λA␈εε2
␈β∩␈↓ ↓H␈∧∩↓Hα	e
␈β∀␈↓ ↓H␈∧∀↓H=α␈↓ αc␈∧∀αc=α␈↓ β␈␈∧∀β␈=α␈↓ ¬≤␈∧∀¬≤=α␈↓ ε9␈∧∀ε9=α␈↓ πU␈∧∀πU=α␈↓ λr␈∧∀λr=α␈↓ 
∞␈∧∀
∞=α␈↓ +␈∧∀+=α
␈β%␈↓ απ␈ε	y␈↓ α.␈εβ=␈↓ α{␈εβ0.07␈α␈089␈↓ ∧ ␈εβ0.16␈α␈01␈↓ ¬=␈εβ0␈α␈.␈α↓3␈α␈793␈↓ εY␈εβ0.588␈α␈7␈↓ πv␈εβ0.83␈α␈26␈↓ 	∪␈εβ1␈α␈.223␈α␈9␈↓ 
/␈εβ1.51␈α␈74
␈β0␈↓ α↔␈εp
␈βP␈↓ ↓H␈∧P↓Hα	e
␈β3␈↓ βf␈ε→␈
␈β8␈↓ ↓H␈εα75␈α
percen␈α␈t␈α
that␈↓ βH␈ελK␈↓ ∧∂␈εαwill␈α
be␈α
0.7975␈α
or␈α
less.␈α∂Unlik␈α␈e␈α
the␈α
chi-square␈α
test,␈α
the␈α
table
␈βJ␈↓ βf␈ε¬20
␈βd␈↓ ↓H␈εαen␈α␈tries␈α
are␈ε∂␈α∞not␈εα␈α∞merely␈α
appro␈α␈ximations␈α∞that␈α∞hold␈α∞for␈α
large␈α∞values␈α∞of␈↓ 
∧␈ελn␈↓ 
~␈εα;␈α∂Table␈α
2
␈β
∂␈↓ ↓H␈εαgiv␈α␈es␈α
exact␈α∞values␈α
(ex␈α␈cept,␈α∞of␈α∞course,␈α
for␈α∞roundo{␈α
error),␈α∞and␈α∞the␈α
KS␈α∞test␈α
may
␈β
:␈↓ ↓H␈εαbe␈αreliably␈αused␈αfor␈αan␈α␈y␈αvalue␈αof␈↓ ¬S␈ελn␈↓ ¬h␈εα.
␈β
h␈↓ α␈εαAs␈αλthey␈αλstand,␈α	form␈α␈ulas␈αλ(11)␈αλare␈αλnot␈αλreadily␈αλadapted␈αλto␈αλcomputer␈αλcalculation,
␈β∞∪␈↓ ↓H␈εαsince␈α
w␈α␈e␈α
are␈αasking␈α
for␈α
a␈α
maxim␈α␈um␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
in|nitely␈α
man␈α␈y␈α
values␈α
of␈↓ 	l␈ελx␈↓ 	␈␈εα.␈α∂From␈αthe
␈β∞?␈↓ ↓H␈εαfact␈αthat␈↓ α]␈ελF␈↓ αv␈εα(␈↓ βα␈ελx␈↓ β∃␈εα)␈αis␈αincreasing␈αand␈αthe␈αfact␈αthat␈↓ π∂␈ελF␈↓ π4␈εα(␈↓ π@␈ελx␈↓ πS␈εα)␈αincreases␈αonly␈αin␈α|nite␈αsteps,
␈β∞L␈↓ π#␈εn
␈β∞e␈↓ 
J␈ε¬+
␈β∞j␈↓ ↓H␈εαho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αw␈α␈e␈αcan␈αderiv␈α␈e␈αa␈αsimple␈αprocedure␈αfor␈αevaluating␈αthe␈αstatistics␈↓ 
,␈ελK␈↓ 
r␈εαand
␈β∞|␈↓ 
J␈εn
␈β∂⊂␈↓ ↓f␈ε→␈
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ελK␈↓ αα␈εα:
␈β∂'␈↓ ↓f␈εn
␈β∂W␈↓ ↓H␈ε∂Step␈α1.␈εα␈α→Obtain␈αthe␈αobservations␈↓ ¬W␈ελX␈↓ ¬}␈εα,␈↓ ε∞␈ελX␈↓ ε6␈εα,␈↓ εF␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εv␈εα,␈↓ πε␈ελX␈↓ π7␈εα.
␈β∂d␈↓ ¬p␈ε¬1␈↓ ε'␈ε¬2␈↓ π∨␈εn
␈β⊂→␈↓ ↓H␈ε∂Step␈α	2.␈εα␈α→Rearrange␈α
the␈α
observations␈α	so␈α
that␈α	they␈α
are␈α
sorted␈α	in␈α␈to␈α
ascending␈α	order,
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαi.e.,␈αso␈α
that␈↓ βπ␈ελX␈↓ β:␈ε⊗∀␈↓ βi␈ελX␈↓ ∧≠␈ε⊗∀␈↓ ∧J␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧␈␈ε⊗∀␈↓ ¬.␈ελX␈↓ ¬Y␈εα.␈α~(E}cien␈α␈t␈αsorting␈α
algorithms␈αare␈α
the␈αsubject
␈β⊂Q␈↓ β ␈ε¬1␈↓ ∧α␈ε¬2␈↓ ¬G␈εn
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαof␈α
Chapter␈α5.␈αOn␈αthe␈α
other␈αhand,␈αit␈α
is␈αpossible␈αto␈α
av␈α␈oid␈αsorting␈α
in␈αthis␈α
particular
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαapplication,␈αas␈αsho␈α␈wn␈αin␈αex␈α␈ercise␈α23.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα48␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.1
␈βα(␈↓ ↓H␈ε∂Step␈α3.␈εα␈α→The␈αdesired␈αstatistics␈αare␈αno␈α␈w␈αgiv␈α␈en␈αby␈αthe␈αform␈α␈ulas
␈βαl␈↓ ε:␈ε↓∩␈↓ πy␈ε↓∪
␈βαp␈↓ εW␈ελj
␈ββ␈↓ ∧8␈ε¬+
␈βββ␈↓ ¬1␈∧ββ¬1α⊗
␈ββ∧␈↓ ¬
␈ε⊗p
␈ββε␈↓ ∧~␈ελK␈↓ ∧←␈εα=␈↓ ¬1␈ελn␈↓ ¬↑␈εαmax␈↓ εv␈ε⊗␈␈↓ π"␈ελF␈↓ π;␈εα(␈↓ πG␈ελX␈↓ πm␈εα)␈↓ λ∂␈εα;
␈ββ∀␈↓ π`␈εj
␈ββ↔␈↓ εT␈∧β↔εTα⊗
␈ββ_␈↓ ∧8␈εn
␈ββ∨␈↓ εT␈ελn
␈ββ(␈↓ ¬M␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ¬x␈εj␈↓ ε¬␈ε→∀␈↓ ε"␈εn
␈ββE␈↓ 
p␈εα(13)
␈ββX␈↓ ε:␈ε↓∩␈↓ λ:␈ε↓∪
␈ββ[␈↓ π←␈ελj␈↓ πx␈ε⊗␈␈εα␈αλ1
␈ββl␈↓ ∧8␈ε→␈
␈ββn␈↓ ¬1␈∧βn¬1α⊗
␈ββo␈↓ ¬
␈ε⊗p
␈ββr␈↓ ∧~␈ελK␈↓ ∧←␈εα=␈↓ ¬1␈ελn␈↓ ¬↑␈εαmax␈↓ εP␈ελF␈↓ εi␈εα(␈↓ εu␈ελX␈↓ π≠␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λP␈εα.
␈ββ␈␈↓ π∞␈εj
␈β∧α␈↓ π←␈∧∧απ←αW
␈β∧∧␈↓ ∧8␈εn
␈β∧
␈↓ λ␈ελn
␈β∧∪␈↓ ¬M␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ¬x␈εj␈↓ ε¬␈ε→∀␈↓ ε"␈εn
␈β∧j␈↓ α␈εαAn␈αappropriate␈αchoice␈αof␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αobservations,␈↓ λ\␈ελn␈↓ λr␈εα,␈αis␈αsligh␈α␈tly␈αeasier␈αto
␈β¬⊂␈↓ ¬m␈ε¬2
␈β¬∃␈↓ ↓H␈εαmak␈α␈e␈απfor␈αλthis␈αλtest␈αλthan␈απit␈αλis␈αλfor␈απthe␈↓ ¬V␈ελ∨␈↓ εβ␈εαtest,␈α	although␈αλsome␈απof␈αλthe␈αλconsiderations␈απare
␈β¬@␈↓ ↓H␈εαsimilar.␈α
If␈α	the␈α	random␈αλvariables␈↓ ¬7␈ελX␈↓ ¬f␈εαactually␈αλbelong␈α	to␈αλthe␈α	probability␈αλdistribution
␈β¬N␈↓ ¬P␈εj
␈β¬k␈↓ ↓H␈ελG␈↓ ↓c␈εα(␈↓ ↓o␈ελx␈↓ αα␈εα),␈α
while␈α
they␈α	w␈α␈ere␈α
assumed␈α
to␈α	belong␈α
to␈α
the␈α	distribution␈α
giv␈α␈en␈α
by␈↓ 	{␈ελF␈↓ 
∀␈εα(␈↓ 
 ␈ελx␈↓ 
3␈εα),␈α
it␈α	will
␈βε↔␈↓ ↓H␈εαtak␈α␈e␈α
a␈αcomparativ␈α␈ely␈αlarge␈α
value␈αof␈↓ ¬z␈ελn␈↓ ε~␈εαto␈αreject␈α
the␈αh␈α␈ypothesis␈αthat␈↓ 	`␈ελG␈↓ 	|␈εα(␈↓ 
λ␈ελx␈↓ 
~␈εα)␈α
=␈↓ 
↑␈ελF␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα);
␈βεB␈↓ ↓H␈εαfor␈αw␈α␈e␈αneed␈↓ β	␈ελn␈↓ β+␈εαlarge␈αenough␈αthat␈αthe␈αempirical␈αdistributions␈↓ λy␈ελG␈↓ 	#␈εα(␈↓ 	/␈ελx␈↓ 	B␈εα)␈αand␈↓ 
 ␈ελF␈↓ 
F␈εα(␈↓ 
R␈ελx␈↓ 
d␈εα)␈αare
␈βεO␈↓ 	⊃␈εn␈↓ 
4␈εn
␈βεm␈↓ ↓H␈εαexpected␈αλto␈αλbe␈αλobservably␈αλdi{eren␈α␈t.␈αOn␈αλthe␈αλother␈αλhand,␈α	large␈αλvalues␈αλof␈↓ 
	␈ελn␈↓ 
&␈εαwill␈αλtend
␈βπ_␈↓ ↓H␈εαto␈αav␈α␈erage␈α
out␈αlocally␈αnonrandom␈αbehavior,␈αand␈αsuch␈αbehavior␈αis␈αan␈α
undesirable
␈βπC␈↓ ↓H␈εαcharacteristic␈αthat␈αis␈αof␈αsigni|can␈α␈t␈αimportance␈αin␈αmost␈αcomputer␈αapplications␈αof
␈βπo␈↓ ↓H␈εαrandom␈αn␈α␈um␈α␈bers;␈αthis␈αmak␈α␈es␈αa␈αcase␈αfor␈ε∂␈αsmaller␈εα␈αvalues␈αof␈↓ λL␈ελn␈↓ λa␈εα.␈αA␈αgood␈αcompromise
␈βλ~␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ould␈α∞be␈α∂to␈α∂tak␈α␈e␈↓ βf␈ελn␈↓ ∧
␈εαequal␈α∂to,␈α∂say,␈α⊂1000,␈α∂and␈α∂to␈α∞mak␈α␈e␈α∂a␈α∂fairly␈α∞large␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of
␈βλ?␈↓ βQ␈ε¬+
␈βλE␈↓ ↓H␈εαcalculations␈αof␈↓ β3␈ελK␈↓ ∧⊗␈εαon␈αdi{eren␈α␈t␈αparts␈αof␈αa␈α
random␈αsequence,␈αthereby␈α
obtaining
␈βλW␈↓ βQ␈ε¬1␈α↓00␈α↓0
␈βλp␈↓ ↓H␈εαvalues
␈β	∃␈↓ βv␈ε¬+␈↓ ¬O␈ε¬+␈↓ λ1␈ε¬+
␈β	≠␈↓ βX␈ελK␈↓ ∧/␈εα(1),␈↓ ¬1␈ελK␈↓ ε	␈εα(2),␈↓ π␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π;␈εα,␈↓ λ∪␈ελK␈↓ λj␈εα(␈↓ λv␈ελr␈↓ 	ε␈εα).␈↓ 
p␈εα(14)
␈β	-␈↓ βv␈ε¬10␈α↓00␈↓ ¬O␈ε¬1␈α↓00␈α↓0␈↓ λ1␈ε¬10␈α↓00
␈β	[␈↓ ↓H␈εαWe␈α⊃can␈α⊃also␈α⊃apply␈α∩the␈α⊃KS␈α⊃test␈ε∂␈α⊃again␈εα␈α∩to␈ε∂␈α⊃these␈εα␈α⊃results:␈α⊗Let␈↓ 	 ␈ελF␈↓ 	9␈εα(␈↓ 	E␈ελx␈↓ 	X␈εα)␈α⊃no␈α␈w␈α⊃be␈α⊃the
␈β
␈↓ ∧v␈ε¬+
␈β
ε␈↓ ↓H␈εαdistribution␈α∞function␈α∞for␈↓ ∧X␈ελK␈↓ ¬0␈εα,␈α∂and␈α∞determine␈α∞the␈α∂empirical␈α∞distribution␈↓ 
`␈ελF␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β
∪␈↓ 
t␈εr
␈β
_␈↓ ∧v␈ε¬1␈α↓00␈α↓0
␈β
1␈↓ ↓H␈εαobtained␈α
from␈α
the␈α
observ␈α␈ed␈α
values␈αin␈α
(14).␈αFortunately,␈αthe␈α
function␈↓ 	|␈ελF␈↓ 
∃␈εα(␈↓ 
!␈ελx␈↓ 
4␈εα)␈α
in␈α
this
␈β
W␈↓ ⊂␈ε¬+
␈β
\␈↓ ↓H␈εαcase␈αis␈αv␈α␈ery␈αsimple;␈αfor␈αa␈αlarge␈αvalue␈αof␈↓ ε7␈ελn␈↓ εY␈εαlik␈α␈e␈↓ π≠␈ελn␈↓ π;␈εα=␈α
1000,␈αthe␈αdistribution␈αof␈↓ 
r␈ελK
␈β
n␈↓ ⊂␈εn
␈βπ␈↓ ↓H␈εαis␈αclosely␈αappro␈α␈ximated␈αby
␈βI␈↓ εf␈επ2
␈βL␈↓ ε+␈ε→␈␈ε¬2␈↓ εW␈εx
␈βR␈↓ ∧D␈ελF␈↓ ∧u␈εα(␈↓ ¬↓␈ελx␈↓ ¬∪␈εα)␈α
=␈α
1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ε≥␈ελe␈↓ εr␈εα,␈↓ πJ␈ελx␈↓ πf␈ε⊗∃␈εα␈α
0.␈↓ 
p␈εα(15)
␈β←␈↓ ∧X␈ε→1
␈β_␈↓ ¬7␈ε→␈␈↓ εi␈ε¬+␈↓ π⎇␈ε→␈
␈β≥␈↓ ↓H␈εαThe␈α⊂same␈α∂remarks␈α⊂apply␈α⊂to␈↓ ¬→␈ελK␈↓ ¬T␈εα,␈α⊃since␈↓ εK␈ελK␈↓ π∃␈εαand␈↓ π←␈ελK␈↓ λ*␈εαhav␈α␈e␈α⊂the␈α⊂same␈α∂expected
␈β/␈↓ ¬7␈εn␈↓ εi␈εn␈↓ π⎇␈εn
␈βH␈↓ ↓H␈εαbehavior.␈ε∂␈α∞This␈α
method␈α
of␈α
using␈αsev␈α␈eral␈α
tests␈α
for␈α
moderately␈α
large␈α
n,␈α
then␈αcom-
␈βs␈↓ ↓H␈ε∂bining␈α
the␈α
observations␈α
later␈α∞in␈α
another␈α
KS␈α∞test,␈α
will␈α
tend␈α∞to␈α
detect␈α
both␈α
local
␈β
≡␈↓ ↓H␈ε∂and␈αglobal␈αnonrandom␈αbehavior.
␈β
I␈↓ α␈εαAn␈α
experimen␈α␈t␈αof␈α
this␈α
type␈α(although␈α
on␈α
a␈αm␈α␈uch␈α
smaller␈α
scale)␈αwas␈α
made␈α
by
␈β
u␈↓ ↓H␈εαthe␈α	author␈αλas␈α	this␈α	chapter␈α	was␈α	being␈α	written.␈αThe␈α	\maxim␈α␈um␈α	of␈α	5"␈α	test␈αλdescribed
␈β∞ ␈↓ ↓H␈εαin␈αλthe␈αλnext␈α	section␈αλwas␈αλapplied␈αλto␈α	a␈αλset␈αλof␈α	1000␈αλuniform␈αλrandom␈αλn␈α␈um␈α␈bers,␈α	yielding
␈β∞K␈↓ ↓H␈εα200␈απobservations␈↓ βP␈ελX␈↓ βx␈εα,␈↓ ∧
␈ελX␈↓ ∧2␈εα,␈↓ ∧D␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧t␈εα,␈↓ ¬ε␈ελX␈↓ ¬R␈εαthat␈απw␈α␈ere␈αλsupposed␈απto␈απbelong␈αλto␈απthe␈απdistribution
␈β∞X␈↓ βi␈ε¬1␈↓ ∧#␈ε¬2␈↓ ¬∨␈ε¬2␈α↓00
␈β∞q␈↓ αV␈ε¬5
␈β∞v␈↓ ↓H␈ελF␈↓ ↓a␈εα(␈↓ ↓m␈ελx␈↓ α␈εα)␈α
=␈↓ αD␈ελx␈↓ αo␈εα(0␈ε⊗␈α
∀␈↓ βE␈ελx␈↓ βb␈ε⊗∀␈εα␈α
1).␈αThe␈α	observations␈α	w␈α␈ere␈α	divided␈α	in␈α␈to␈α	20␈α	groups␈α	of␈α	10␈α	each,
␈β∂≤␈↓ βs␈ε¬+␈↓ 
6␈ε¬+
␈β∂!␈↓ ↓H␈εαand␈αthe␈αstatistic␈↓ βU␈ελK␈↓ ∧≤␈εαwas␈αcomputed␈α
for␈αeach␈αgroup.␈α∞The␈α20␈αvalues␈α
of␈↓ 
_␈ελK␈↓ 
S␈εα,␈αth␈α␈us
␈β∂4␈↓ βs␈ε¬10␈↓ 
6␈ε¬1␈α↓0
␈β∂M␈↓ ↓H␈εαobtained,␈α
led␈α
to␈α
the␈α
empirical␈α
distributions␈α
sho␈α␈wn␈α
in␈α
Fig.␈α
4.␈α∂The␈α
smooth␈α
curv␈α␈e
␈β∂x␈↓ ↓H␈εαsho␈α␈wn␈α∞in␈α∞each␈α∞of␈α∞the␈α∞diagrams␈α∞in␈α∞Fig.␈α∞4␈α∞is␈α
the␈α∞actual␈α∞distribution␈α∞the␈α∞statistic
␈β⊂≡␈↓ ↓f␈ε¬+␈↓ 	z␈ε¬+
␈β⊂#␈↓ ↓H␈ελK␈↓ α⊂␈εαshould␈α∞hav␈α␈e.␈α⊃Figure␈α
4(a)␈α∞sho␈α␈ws␈α
the␈α∞empirical␈α∞distribution␈α
of␈↓ 	\␈ελK␈↓ 
$␈εαobtained
␈β⊂5␈↓ ↓f␈ε¬10␈↓ 	z␈ε¬10
␈β⊂N␈↓ ↓H␈εαfrom␈αthe␈αsequence
␈β⊃∪␈↓ πz␈ε¬35␈↓ 
~␈ε¬3␈α↓5
␈β⊃→␈↓ α3␈ελY␈↓ β∂␈εα=␈α
(3141592653␈↓ ∧⎇␈ελY␈↓ ¬,␈εα+␈αλ2718281829)␈↓ π≡␈εαmod␈↓ πh␈εα2␈↓ λ↔␈εα,␈↓ λo␈ελU␈↓ 	"␈εα=␈↓ 	P␈ελY␈↓ 	v␈εα/␈↓ 
λ␈εα2␈↓ 
7␈εα,
␈β⊃&␈↓ αH␈εn␈↓ αZ␈ε¬+1␈↓ ¬∩␈εn␈↓ 	ε␈εn␈↓ 	e␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.1␈ε∞␈↓ β↑GENERAL␈α	T␈α␈EST␈α	P␈α␈ROCEDU␈α␈R␈α↓ES␈α	F␈α␈OR␈α	STU␈α␈DYING␈α	RA␈α␈NDOM␈α	DA␈α}T␈α⎇A␈↓ λ␈εα49
␈βα&␈↓ ↓H␈εαand␈α
it␈α∞is␈α
satisfactorily␈α∞random.␈α⊂Part␈α∞(b)␈α
of␈α∞the␈α
|gure␈α∞came␈α
from␈α∞the␈α
Fibonacci
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαmethod;␈α⊂this␈α∞sequence␈α∂has␈ε∂␈α∂globally␈εα␈α∞nonrandom␈α∂behavior,␈α∂i.e.,␈α∂it␈α∂can␈α∂be␈α∞sho␈α␈wn
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαthat␈α∞the␈α∞observations␈↓ ∧*␈ελX␈↓ ∧c␈εαin␈α∞the␈α∞\maxim␈α␈um␈α∞of␈α∂5"␈α∞test␈α∞do␈α∞not␈α∞hav␈α␈e␈α∞the␈α∞correct
␈ββ
␈↓ ∧C␈εn
␈ββ#␈↓ ∧%␈ε¬5
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαdistribution␈↓ β∞␈ελF␈↓ β'␈εα(␈↓ β3␈ελx␈↓ βF␈εα)␈α∞=␈↓ ∧∩␈ελx␈↓ ∧3␈εα.␈α∪Part␈α∂(c)␈α∞came␈α∂from␈α∞the␈α∞notorious␈α∂and␈α∞impoten␈α␈t␈α∞linear
␈ββ3␈↓ ¬3␈ε↓␈␈↓ π:␈ε↓↓
␈ββN␈↓ ¬←␈ε¬18␈↓ λ*␈ε¬3␈α↓5␈↓ 
	␈ε¬3␈α↓5
␈ββS␈↓ ↓H␈εαcongruen␈α␈tial␈αsequence␈↓ ∧)␈ελY␈↓ ¬¬␈εα=␈↓ ¬A␈εα(␈↓ ¬M␈εα2␈↓ ε∧␈εα+␈αλ1)␈↓ εN␈ελY␈↓ ε|␈εα+␈αλ1␈↓ πN␈εαmod␈↓ λ_␈εα2␈↓ λG␈εα,␈↓ λ]␈ελU␈↓ 	⊂␈εα=␈↓ 	>␈ελY␈↓ 	e␈εα/␈↓ 	w␈εα2␈↓ 
&␈εα.
␈ββ`␈↓ ∧>␈εn␈↓ ∧P␈ε¬+␈α␈1␈↓ εc␈εn␈↓ λt␈εn␈↓ 	S␈εn
␈ββ}␈↓ α␈εαThe␈α∞KS␈α∂test␈α∞applied␈α∞to␈α∂the␈α∞data␈α∞in␈α∞Fig.␈α∂4␈α∞giv␈α␈es␈α∞the␈α∂results␈α∞sho␈α␈wn␈α∞in␈α∞(12).
␈β∧$␈↓ 	β␈ε¬+␈↓ 
∞␈ε→␈
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαReferring␈αto␈αTable␈α2␈αfor␈↓ ∧M␈ελn␈↓ ∧l␈εα=␈α
20,␈αw␈α␈e␈αsee␈αthat␈αthe␈αvalues␈αof␈↓ λe␈ελK␈↓ 	+␈εαand␈↓ 	p␈ελK␈↓ 
7␈εαfor␈αFig.
␈β∧;␈↓ 
∞␈ε¬2␈α↓0
␈β∧<␈↓ 	β␈ε¬20
␈β∧U␈↓ ↓H␈εα4(b)␈α∞are␈α∞almost␈α∞suspect␈α∞(they␈α∞lie␈α∞at␈α∞about␈α∞the␈α∞5␈α
percen␈α␈t␈α∞and␈α∞88␈α∞percen␈α␈t␈α∞lev␈α␈els)
␈β∧{␈↓ 	S␈ε→␈
␈β¬␈↓ ↓H␈εαbut␈αnot␈αquite␈αbad␈αenough␈α
to␈αbe␈αrejected␈αoutrigh␈α␈t.␈α
The␈αvalue␈αof␈↓ 	5␈ελK␈↓ 	|␈εαfor␈αPart␈α(c)
␈β¬∩␈↓ 	S␈ε¬2␈α↓0
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαis,␈α
of␈αcourse,␈α
completely␈αout␈α
of␈αline,␈α
so␈αthe␈α
\maxim␈α␈um␈α
of␈α5"␈α
test␈αsho␈α␈ws␈α
a␈α
de|nite
␈β¬V␈↓ ↓H␈εαfailure␈αof␈αthat␈αrandom-n␈α␈um␈α␈ber␈αgenerator.
␈βε↓␈↓ α␈εαWe␈α⊂w␈α␈ould␈α⊃expect␈α⊂the␈α⊂KS␈α⊂test␈α⊃in␈α⊂this␈α⊂experimen␈α␈t␈α⊃to␈α⊂hav␈α␈e␈α⊂more␈α⊂di}culty
␈βε-␈↓ ↓H␈εαlocating␈αglobal␈αnonrandomness␈αthan␈α
local␈αnonrandomness,␈αsince␈αthe␈α
basic␈αobser-
␈βεX␈↓ ↓H␈εαvations␈αin␈α
Fig.␈α4␈αw␈α␈ere␈α
made␈αon␈α
samples␈αof␈α
only␈α10␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α
each.␈α
If␈α
w␈α␈e␈αw␈α␈ere␈αto
␈βπβ␈↓ ↓H␈εαtak␈α␈e␈αλ20␈απgroups␈αλof␈αλ1000␈αλn␈α␈um␈α␈bers␈αλeach,␈α	part␈αλ(b)␈αλw␈α␈ould␈αλsho␈α␈w␈αλa␈αλm␈α␈uch␈αλmore␈απsigni|can␈α␈t
␈βπ.␈↓ ↓H␈εαdeviation.␈αTo␈αillustrate␈αthis␈αpoin␈α␈t,␈αa␈ε∂␈αsingle␈εα␈αKS␈αtest␈αwas␈αapplied␈αto␈αall␈α200␈αof␈αthe
␈βπY␈↓ ↓H␈εαobservations␈αthat␈αled␈αto␈αFig.␈α4,␈αand␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αresults␈αw␈α␈ere␈αobtained:
␈βλ!␈↓ ¬∧␈εαPart␈α(a)␈↓ εF␈εαPart␈α(b)␈↓ λ
␈εαPart␈α(c)
␈βλU␈↓ ∧⊂␈ε¬+
␈βλ[␈↓ βr␈ελK␈↓ ¬_␈εα0.477␈↓ ε[␈εα1.537␈↓ λ≥␈εα2.819
␈βλm␈↓ ∧⊂␈ε¬2␈α↓00
␈βλu␈↓ 
p␈εα(16)
␈β	␈↓ ∧⊂␈ε→␈
␈β	⊃␈↓ βr␈ελK␈↓ ¬_␈εα0.817␈↓ ε[␈εα0.194␈↓ λ≥␈εα0.058
␈β	#␈↓ ∧⊂␈ε¬2␈α↓00
␈β	Z␈↓ ↓H␈εαThe␈απglobal␈απnonrandomness␈απof␈αλthe␈απFibonacci␈απgenerator␈αλhas␈απde|nitely␈απbeen␈απdetected
␈β
¬␈↓ ↓H␈εαhere.
␈β
9␈↓ α␈εαWe␈αmay␈αsummarize␈αthe␈αKolmogoro␈α␈v↑␈α∧Smirno␈α␈v␈αtest␈αas␈αfollo␈α␈ws.␈αWe␈αare␈αgiv␈α␈en
␈β
d␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓k␈ε∂independen␈α␈t␈α∞observations␈↓ ¬
␈ελX␈↓ ¬1␈εα,␈↓ ¬I␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬y␈εα,␈↓ ε∩␈ελX␈↓ εJ␈εαtak␈α␈en␈α∞from␈α∞some␈α∞distribution␈α
speci|ed
␈β
q␈↓ ¬#␈ε¬1␈↓ ε+␈εn
␈β∂␈↓ ↓H␈εαby␈α
a␈ε∂␈α∞con␈α␈tin␈α␈uous␈εα␈α
function␈↓ ∧b␈ελF␈↓ ∧{␈εα(␈↓ ¬π␈ελx␈↓ ¬~␈εα).␈α⊃That␈α
is,␈↓ εL␈ελF␈↓ εe␈εα(␈↓ εq␈ελx␈↓ π∧␈εα)␈α∞m␈α␈ust␈α
be␈α∞lik␈α␈e␈α
the␈α∞functions␈α
sho␈α␈wn
␈β:␈↓ ↓H␈εαin␈α∂Fig.␈α∂3(b)␈α∂and␈α∂3(c),␈α⊂having␈α∂no␈α∂jumps␈α∂lik␈α␈e␈α∂those␈α∂in␈α∂Fig.␈α∂3(a).␈α∃The␈α∂procedure
␈βf␈↓ ↓H␈εαexplained␈α
just␈αbefore␈αEqs.␈α(13)␈α
is␈αcarried␈αout␈αon␈α
these␈αobservations,␈αso␈αw␈α␈e␈α
obtain
␈β␈↓ β=␈ε¬+␈↓ ∧N␈ε→␈
␈β⊃␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞statistics␈↓ β ␈ελK␈↓ βh␈εαand␈↓ ∧0␈ελK␈↓ ∧k␈εα.␈α∩These␈α∞statistics␈α∞should␈α∞be␈α∞distributed␈α
according␈α∞to
␈β#␈↓ β=␈εn␈↓ ∧N␈εn
␈β<␈↓ ↓H␈εαTable␈α2.
␈βb␈↓ λ∂␈ε¬2
␈βg␈↓ α␈εαSome␈α
comparisons␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈αthe␈α
KS␈α
test␈α
and␈α
the␈↓ πx␈ελ∨␈↓ λ'␈εαtest␈α
can␈αno␈α␈w␈α
be␈α
made.␈αIn
␈β
∩␈↓ ↓H␈εαthe␈α
|rst␈αplace,␈α∞w␈α␈e␈αshould␈α
observ␈α␈e␈α
that␈α
the␈α
KS␈α
test␈α
may␈α
be␈α
used␈α
in␈αconjunction
␈β
9␈↓ αh␈ε¬2
␈β
>␈↓ ↓H␈εαwith␈αλthe␈↓ αQ␈ελ∨␈↓ α␈␈εαtest,␈α	to␈α	giv␈α␈e␈α	a␈αλbetter␈α	procedure␈α	than␈αλthe␈ε∂␈α	ad␈αλhoc␈εα␈α	method␈α	w␈α␈e␈αλmen␈α␈tioned
␈β
d␈↓ ∧P␈ε¬2
␈β
i␈↓ ↓H␈εαwhen␈αsummarizing␈αthe␈↓ ∧9␈ελ∨␈↓ ∧k␈εαtest.␈α~(That␈αis,␈α
there␈αis␈αa␈α
better␈αway␈α
to␈αproceed␈αthan
␈β∞∀␈↓ ↓H␈εαto␈α∞mak␈α␈e␈α∂three␈α∂tests␈α∂and␈α∂to␈α∂consider␈α∞ho␈α␈w␈α∂man␈α␈y␈α∂of␈α∂the␈α∂results␈α∂w␈α␈ere␈α∞\suspect").
␈β∞:␈↓ π≡␈ε¬2
␈β∞?␈↓ ↓H␈εαSuppose␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αmade,␈αsay,␈α10␈αindependen␈α␈t␈↓ ππ␈ελ∨␈↓ π8␈εαtests␈αon␈αdi{eren␈α␈t␈αparts␈αof␈αa␈αran-
␈β∞j␈↓ ↓H␈εαdom␈α
sequence,␈α
so␈α
that␈α
values␈↓ ¬∀␈ελV␈↓ ¬6␈εα,␈↓ ¬K␈ελV␈↓ ¬m␈εα,␈↓ ε↓␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε1␈εα,␈↓ εF␈ελV␈↓ π␈εαhav␈α␈e␈α
been␈α
obtained.␈αIt␈α
is␈α
not␈α	a␈α
good
␈β∞x␈↓ ¬(␈ε¬1␈↓ ¬←␈ε¬2␈↓ εZ␈ε¬10
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈εαpolicy␈α
simply␈αto␈αcoun␈α␈t␈αho␈α␈w␈αman␈α␈y␈α
of␈αthe␈↓ εA␈ελV␈↓ ε[␈εα's␈αare␈α
suspiciously␈αlarge␈αor␈αsmall.␈αThis
␈β∂A␈↓ ↓H␈εαprocedure␈α
will␈α
w␈α␈ork␈α
in␈α
extreme␈α
cases,␈α
and␈α
v␈α␈ery␈α
large␈α
or␈α
v␈α␈ery␈α
small␈α
values␈α
may
␈β∂l␈↓ ↓H␈εαmean␈α
that␈αthe␈α
sequence␈αhas␈αtoo␈α
m␈α␈uch␈αlocal␈αnonrandomness;␈αbut␈α
a␈αbetter␈α
general
␈β⊂↔␈↓ ↓H␈εαmethod␈α∂w␈α␈ould␈α∂be␈α⊂to␈α∂plot␈α∂the␈α⊂empirical␈α∂distribution␈α⊂of␈α∂these␈α∂10␈α⊂values␈α∂and␈α∂to
␈β⊂B␈↓ ↓H␈εαcompare␈α	it␈α	to␈αλthe␈α	correct␈α	distribution,␈α
which␈α	may␈α	be␈α	obtained␈α	from␈α	Table␈αλ1.␈αThis
␈β⊂i␈↓ πD␈ε¬2
␈β⊂n␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ould␈α	giv␈α␈e␈α	a␈α	clearer␈α	picture␈α
of␈α	the␈α	results␈α	of␈α	the␈↓ π-␈ελ∨␈↓ π\␈εαtests,␈α
and␈α	in␈α	fact␈α	the␈α	statistics
␈β⊃∪␈↓ ↓f␈ε¬+
␈β⊃∀␈↓ αo␈ε→␈
␈β⊃→␈↓ ↓H␈ελK␈↓ α
␈εαand␈↓ αQ␈ελK␈↓ β⊗␈εαcould␈α
be␈α
determined␈α
as␈α
an␈α
indication␈α
of␈αthe␈α
success␈α
or␈α
failure.␈αWith
␈β⊃+␈↓ ↓f␈ε¬10␈↓ αo␈ε¬10
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα50␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.1
␈βα(␈↓ ↓H␈εαonly␈α∞10␈α∂values␈α∂or␈α∂ev␈α␈en␈α∂as␈α∞man␈α␈y␈α∂as␈α∂100␈α∂this␈α∂could␈α∞all␈α∂be␈α∂done␈α∂easily␈α∂by␈α∞hand,
␈βαS␈↓ ↓H␈εαusing␈α∂graphical␈α∂methods;␈α⊂with␈α∂a␈α∂larger␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂of␈↓ πw␈ελV␈↓ λ⊃␈εα's,␈α⊂a␈α∞computer␈α∂subroutine
␈βα}␈↓ ↓H␈εαfor␈α
calculating␈αthe␈αchi-square␈α
distribution␈αw␈α␈ould␈α
be␈αnecessary.␈αNotice␈α
that␈ε∂␈αall␈α
20
␈ββ*␈↓ ↓H␈ε∂of␈α
the␈α∞observations␈α∞in␈α
Fig.␈α∞4(c)␈α∞fall␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈α∞the␈α∞5␈α∞and␈α
95␈α∞percen␈α␈t␈α∞lev␈α␈els␈εα,␈α∞so␈α
w␈α␈e
␈ββU␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ould␈α
not␈α
hav␈α␈e␈α
regarded␈ε∂␈α
an␈α␈y␈εα␈α
of␈α
them␈α
as␈α
suspicious,␈αindividually;␈α
y␈α␈et␈α
collectiv␈α␈ely
␈β∧␈↓ ↓H␈εαthe␈αempirical␈αdistribution␈αsho␈α␈ws␈αthat␈αthese␈αobservations␈αare␈αnot␈αat␈αall␈αrigh␈α␈t.
␈β∧/␈↓ α␈εαAn␈αimportan␈α␈t␈αdi{erence␈αbet␈α␈w␈α␈een␈αthe␈αKS␈αtest␈αand␈αthe␈αchi-square␈αtest␈αis␈αthat
␈β∧Z␈↓ ↓H␈εαthe␈αKS␈α
test␈αapplies␈α
to␈αdistributions␈↓ ε↓␈ελF␈↓ ε~␈εα(␈↓ ε&␈ελx␈↓ ε9␈εα)␈α
having␈αno␈α
jumps,␈αwhile␈α
the␈αchi-square
␈β¬¬␈↓ ↓H␈εαtest␈α
applies␈α
to␈α
distributions␈α
having␈α
nothing␈α
but␈α
jumps␈α
(since␈α
all␈α
observations␈α
are
␈β¬0␈↓ ↓H␈εαdivided␈αin␈α␈to␈↓ β∩␈ελk␈↓ β0␈εαcategories).␈α
The␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αtests␈α
are␈αth␈α␈us␈α
in␈α␈tended␈αfor␈α
di{eren␈α␈t␈αsorts␈αof
␈β¬W␈↓ π↓␈ε¬2
␈β¬\␈↓ ↓H␈εαapplications.␈αYet␈α
it␈α
is␈α
possible␈α
to␈α
apply␈α
the␈↓ εj␈ελ∨␈↓ π~␈εαtest␈α
ev␈α␈en␈α
when␈↓ 	␈ελF␈↓ 	$␈εα(␈↓ 	0␈ελx␈↓ 	C␈εα)␈α
is␈α	con␈α␈tin␈α␈uous,
␈βεπ␈↓ ↓H␈εαif␈α⊂w␈α␈e␈α∂divide␈α⊂the␈α⊂domain␈α⊂of␈↓ ¬
␈ελF␈↓ ¬#␈εα(␈↓ ¬/␈ελx␈↓ ¬B␈εα)␈α⊂in␈α␈to␈↓ ε+␈ελk␈↓ εM␈εαparts␈α⊂and␈α⊂ignore␈α⊂all␈α⊂variations␈α∂within
␈βε2␈↓ ↓H␈εαeach␈α
part.␈α⊃For␈α∞example,␈α∞if␈α∞w␈α␈e␈α
wan␈α␈t␈α∞to␈α
test␈α∞whether␈α∞or␈α
not␈↓ λ⎇␈ελU␈↓ 	"␈εα,␈↓ 	:␈ελU␈↓ 	`␈εα,␈↓ 	x␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
(␈εα,␈↓ 
@␈ελU␈↓ 
v␈εαcan
␈βε?␈↓ 	∀␈ε¬1␈↓ 	Q␈ε¬2␈↓ 
W␈εn
␈βε]␈↓ ↓H␈εαbe␈α
considered␈α
to␈α
come␈αfrom␈α
the␈α
uniform␈α
distribution␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈α
zero␈α
and␈α
one,␈α
w␈α␈e
␈βπλ␈↓ ↓H␈εαwan␈α␈t␈α∞to␈α∞test␈α∞if␈α∞they␈α∂hav␈α␈e␈α∞the␈α∞distribution␈↓ εo␈ελF␈↓ π	␈εα(␈↓ π∃␈ελx␈↓ π'␈εα)␈α∞=␈↓ πs␈ελx␈↓ λ∀␈εαfor␈α∞0␈ε⊗␈α∞∀␈↓ 	∨␈ελx␈↓ 	@␈ε⊗∀␈εα␈α
1.␈α∪This␈α∞is␈α∞a
␈βπ4␈↓ ↓H␈εαnatural␈α∞application␈α∂for␈α∂the␈α∂KS␈α∂test.␈α∀But␈α∂w␈α␈e␈α∂migh␈α␈t␈α∞also␈α∂divide␈α∂up␈α∂the␈α∞in␈α␈terval
␈βπ←␈↓ ↓H␈εαfrom␈α
0␈α
to␈α
1␈α
in␈α␈to␈↓ βU␈ελk␈↓ βr␈εα=␈α100␈α∞equal␈α
parts,␈α
coun␈α␈t␈α∞ho␈α␈w␈α
man␈α␈y␈↓ λA␈ελU␈↓ λ←␈εα's␈α
fall␈α
in␈α␈to␈α
each␈α
part,
␈βλ
␈↓ ↓H␈εαand␈α
apply␈α
the␈α∞chi-square␈α
test␈α
with␈α∞99␈α
degrees␈α
of␈α∞freedom.␈α∂There␈α∞are␈α
not␈α
man␈α␈y
␈βλ5␈↓ ↓H␈εαtheoretical␈α
results␈α
available␈α
at␈α
the␈α
presen␈α␈t␈α
time␈α
to␈αcompare␈α
the␈α
e{ectiv␈α␈eness␈α
of
␈βλ`␈↓ ↓H␈εαthe␈αKS␈α
test␈αv␈α␈ersus␈α
the␈αchi-square␈α
test.␈α
The␈α
author␈αhas␈α
found␈αsome␈α
examples␈αin
␈β	π␈↓ 
␈ε¬2
␈β	␈↓ ↓H␈εαwhich␈α	the␈α
KS␈α
test␈α	poin␈α␈ted␈α
out␈α
nonrandomness␈α	more␈α
clearly␈α
than␈α
the␈↓ 	u␈ελ∨␈↓ 
$␈εαtest,␈α
and
␈β	2␈↓ ∧"␈ε¬2
␈β	7␈↓ ↓H␈εαothers␈α
in␈α∞which␈α∞the␈↓ ∧␈ελ∨␈↓ ∧>␈εαtest␈α∞gav␈α␈e␈α∞a␈α
more␈α∞signi|can␈α␈t␈α∞result.␈α⊃If,␈α∞for␈α∞example,␈α∞the
␈β	b␈↓ ↓H␈εα100␈α
categories␈αmen␈α␈tioned␈αabo␈α␈v␈α␈e␈α
are␈αn␈α␈um␈α␈bered␈α0,␈α1,␈↓ πm␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ≥␈εα,␈α
99,␈αand␈αif␈αthe␈α
deviations
␈β

␈↓ ↓H␈εαfrom␈α
the␈α
expected␈α
values␈α
are␈α
positiv␈α␈e␈α
in␈α
compartmen␈α␈ts␈α
0␈α
to␈α
49␈α
but␈α
negativ␈α␈e␈α
in
␈β
8␈↓ ↓H␈εαcompartmen␈α␈ts␈α∞50␈α∂to␈α∞99,␈α⊂then␈α∞the␈α∂empirical␈α∞distribution␈α∂function␈α∞will␈α∂be␈α∞m␈α␈uch
␈β
←␈↓ ¬∧␈ε¬2
␈β
d␈↓ ↓H␈εαfurther␈α	from␈↓ β∩␈ελF␈↓ β,␈εα(␈↓ β8␈ελx␈↓ βK␈εα)␈α	than␈α	the␈↓ ∧m␈ελ∨␈↓ ¬≤␈εαvalue␈α	w␈α␈ould␈α	indicate;␈αbut␈α	if␈α
the␈α	positiv␈α␈e␈α	deviations
␈β∂␈↓ ↓H␈εαoccur␈αin␈αcompartmen␈α␈ts␈α0,␈α2,␈↓ ¬
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬:␈εα,␈α98␈αand␈αthe␈αnegativ␈α␈e␈αones␈αoccur␈αin␈α1,␈α3,␈↓ 
9␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
i␈εα,␈α99,
␈β:␈↓ ↓H␈εαthe␈α
empirical␈α
distribution␈α
function␈α
will␈α
tend␈α
to␈αh␈α␈ug␈↓ πl␈ελF␈↓ λ¬␈εα(␈↓ λ⊃␈ελx␈↓ λ$␈εα)␈α
m␈α␈uch␈α
more␈α
closely.␈αThe
␈β`␈↓ 

␈ε¬2
␈βe␈↓ ↓H␈εαkinds␈α∞of␈α∂deviations␈α∂measured␈α∞are␈α∂therefore␈α∂somewhat␈α∞di{eren␈α␈t.␈α∀A␈↓ 	v␈ελ∨␈↓ 
*␈εαtest␈α∞was
␈β⊂␈↓ ↓H␈εαapplied␈αλto␈α	the␈αλ200␈α	observations␈αλthat␈αλled␈α	to␈αλFig.␈α	4,␈α	with␈↓ λ∀␈ελk␈↓ λ/␈εα=␈α
10,␈α	and␈α	the␈αλrespectiv␈α␈e
␈β<␈↓ ↓H␈εαvalues␈α	of␈↓ α[␈ελV␈↓ α}␈εαw␈α␈ere␈α
9.4,␈α
17.7,␈α
and␈α	39.3;␈α
so␈α
in␈α	this␈α
particular␈α	case␈α
the␈α	values␈α
are␈α	quite
␈βb␈↓ λ,␈ε¬2
␈βg␈↓ ↓H␈εαcomparable␈αto␈αthe␈αKS␈αvalues␈α
giv␈α␈en␈αin␈α(16).␈α
Since␈αthe␈↓ λ∃␈ελ∨␈↓ λG␈εαtest␈αis␈αin␈α␈trinsically␈αless
␈β
∩␈↓ ↓H␈εαaccurate,␈αand␈α
since␈α
it␈αrequires␈α
comparativ␈α␈ely␈αlarge␈α
values␈α
of␈↓ 	
␈ελn␈↓ 	 ␈εα,␈α
the␈αKS␈α
test␈αhas
␈β
=␈↓ ↓H␈εαsev␈α␈eral␈αadvan␈α␈tages␈αwhen␈αa␈αcon␈α␈tin␈α␈uous␈αdistribution␈αis␈αto␈αbe␈αtested.
␈β
l␈↓ α␈εαA␈αλfurther␈απexample␈αλwill␈απalso␈αλbe␈αλof␈απin␈α␈terest.␈αThe␈απdata␈αλthat␈απled␈αλto␈αλFig.␈απ2␈αλw␈α␈ere␈απchi-
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εαsquare␈α	statistics␈α	based␈α	on␈↓ ∧Y␈ελn␈↓ ∧x␈εα=␈α
200␈α	observations␈α
of␈α	the␈α	\maxim␈α␈um-of-␈↓ 	z␈ελt␈↓ 

␈εα"␈α	criterion
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαfor␈απ1␈ε⊗␈α
∀␈↓ αE␈ελt␈↓ α\␈ε⊗∀␈εα␈α
5,␈α	with␈απthe␈αλrange␈απdivided␈αλin␈α␈to␈αλ10␈απequally␈αλprobable␈απparts.␈αKS␈απstatistics
␈β∞h␈↓ ↓f␈ε¬+
␈β∞i␈↓ α}␈ε→␈
␈β∞n␈↓ ↓H␈ελK␈↓ α≤␈εαand␈↓ α`␈ελK␈↓ β4␈εαcan␈αbe␈αcomputed␈αfrom␈αexactly␈α
the␈αsame␈αsets␈αof␈α200␈α
observations,
␈β∂␈↓ ↓f␈ε¬200␈↓ α}␈ε¬2␈α↓00
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαand␈α	the␈αλresults␈α	can␈α	be␈α	tabulated␈α	in␈α	just␈α	the␈αλsame␈α	way␈α	as␈α	w␈α␈e␈α	did␈α	in␈α	Fig.␈α	2␈αλ(sho␈α␈wing
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαwhich␈α
KS␈α∞values␈α
are␈α∞bey␈α␈ond␈α∞the␈α
99-percen␈α␈t␈α∞lev␈α␈el,␈α∞etc.);␈α∞the␈α∞results␈α
in␈α∞this␈α
case
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαare␈α
sho␈α␈wn␈α∞in␈α
Fig.␈α∞5.␈α⊂Note␈α∞that␈α
Generator␈α
D␈α∞(Lehmer's␈α
original␈α∞method)␈α
sho␈α␈ws
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαup␈α
v␈α␈ery␈α
badly␈α
in␈α
Fig.␈α
5,␈αwhile␈α
chi-square␈α
tests␈ε∂␈α
on␈α
the␈α
v␈α␈ery␈α
same␈α
data␈εα␈α
rev␈α␈ealed␈α
no
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαdi}culty␈α
in␈α
Fig.␈α∞2;␈α∞con␈α␈trariwise,␈α
Generator␈α∞E␈α
(the␈α
Fibonacci␈α∞method)␈α
does␈α
not
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαlook␈αλso␈αλbad␈αλin␈α	Fig.␈αλ5.␈αThe␈αλgood␈αλgenerators,␈α	A␈αλand␈αλB,␈α	passed␈αλall␈αλtests␈αλsatisfactorily.
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαThe␈α
reasons␈α∞for␈α
the␈α
discrepancies␈α∞bet␈α␈w␈α␈een␈α
Fig.␈α∞2␈α
and␈α∞Fig.␈α
5␈α∞are␈α
primarily␈α
that
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.1␈ε∞␈↓ β↑GENERAL␈α	T␈α␈EST␈α	P␈α␈ROCEDU␈α␈R␈α↓ES␈α	F␈α␈OR␈α	STU␈α␈DYING␈α	RA␈α␈NDOM␈α	DA␈α}T␈α⎇A␈↓ λ␈εα51
␈βλ	␈↓ β≠␈ε∪Fig.␈α5.␈εβ␈α~Th␈α␈e␈αKS␈αt␈α␈ests␈αap␈α␈plied␈αto␈αt␈α␈he␈αsa␈α␈me␈αda␈α␈ta␈αas␈αFig.␈α2.
␈βλz␈↓ ↓H␈εα(a)␈α∂the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∂of␈α∂observations,␈α⊂200,␈α∂is␈α∂really␈α∂not␈α∂large␈α∂enough␈α∂for␈α∂a␈α∞po␈α␈w␈α␈erful
␈β	%␈↓ ↓H␈εαtest,␈αand␈α(b)␈αthe␈α\reject,"␈α\suspect,"␈α\almost␈αsuspect"␈αranking␈αcriterion␈αis␈αitself
␈β	P␈↓ ↓H␈εαsuspect.
␈β	{␈↓ α␈εα(Inciden␈α␈tally,␈α∪it␈α⊃is␈α⊃not␈α⊃fair␈α⊃to␈α⊃blame␈α∩Lehmer␈α⊃for␈α⊃using␈α⊃a␈α⊃\bad"␈α⊃random-
␈β
&␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈α∞generator␈α∂in␈α∂the␈α∂1940s,␈α∂since␈α∂his␈α∂actual␈α∂use␈α∞of␈α∂Generator␈α∂D␈α∂was␈α∞quite
␈β
R␈↓ ↓H␈εαvalid.␈α_The␈α⊂ENIA␈α␈C␈α⊂computer␈α⊂was␈α⊂a␈α⊂highly␈α⊂parallel␈α⊂machine,␈α⊃programmed␈α⊂by
␈β
⎇␈↓ ↓H␈εαmeans␈α⊂of␈α⊂a␈α⊂plugboard;␈α∩Lehmer␈α⊂set␈α⊂it␈α⊂up␈α⊂so␈α⊂that␈α∂one␈α⊂of␈α⊂its␈α⊂accum␈α␈ulators␈α⊂was
␈β#␈↓ λ∂␈ε¬8
␈β(␈↓ ↓H␈εαrepeatedly␈απm␈α␈ultiplying␈αλits␈απo␈α␈wn␈αλcon␈α␈ten␈α␈ts␈απby␈αλ23,␈αλmod␈αλ(1␈↓ π⎇␈εα0␈↓ λ∨␈εα+␈αα1),␈α	yielding␈απa␈αλnew␈απvalue
␈βS␈↓ ↓H␈εαev␈α␈ery␈αfew␈α
microseconds.␈αSince␈αthis␈αm␈α␈ultiplier␈α23␈αis␈αtoo␈αsmall,␈αw␈α␈e␈αkno␈α␈w␈αthat␈α
each
␈β}␈↓ ↓H␈εαvalue␈α
obtained␈α
by␈α
such␈αa␈α
process␈α
was␈α
too␈α
strongly␈αrelated␈α
to␈α
the␈α
preceding␈α
value
␈β*␈↓ ↓H␈εαto␈α
be␈α
considered␈α∞su}cien␈α␈tly␈α
random;␈α∞but␈α∞the␈α
durations␈α
of␈α∞time␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈α
actual
␈βU␈↓ ↓H␈ε∂uses␈εα␈α	of␈α
the␈α
values␈α
in␈α
the␈α
special␈α	accum␈α␈ulator␈α
by␈α
the␈α
accompan␈α␈ying␈α
program␈α	w␈α␈ere
␈β
␈↓ ↓H␈εαcomparativ␈α␈ely␈α
long␈α
and␈α
subject␈α
to␈α
some␈α∞⎇uctuation.␈α∂So␈α
the␈α
e{ectiv␈α␈e␈α
m␈α␈ultiplier
␈β
&␈↓ α2␈εk
␈β
+␈↓ ↓H␈εαwas␈α2␈↓ α ␈εα3␈↓ αL␈εαfor␈αlarge,␈ε∂␈αvarying␈εα␈αvalues␈αof␈↓ εα␈ελk␈↓ ε∀␈εα.)
␈β
j␈↓ ↓H␈ε∩C.␈α∂History,␈α⊂bibliograph␈α␈y,␈α⊂and␈α∂theory.␈εα␈α∨The␈α∂chi-square␈α∂test␈α∂was␈α∂in␈α␈troduced␈α∂by
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εαKarl␈αPearson␈α
in␈α
1900␈α[␈ε∂Philosophical␈α
Magazine␈εα,␈α
Series␈α
5,␈ε∩␈α
50␈εα,␈α157↑175].␈α∞Pearson's
␈β∞A␈↓ ↓H␈εαimportan␈α␈t␈α
paper␈αis␈α
regarded␈α
as␈αone␈α
of␈αthe␈α
foundations␈αof␈α
modern␈αstatistics,␈α
since
␈β∞l␈↓ ↓H␈εαbefore␈αthat␈α
time␈αpeople␈α
w␈α␈ould␈αsimply␈α
plot␈αexperimen␈α␈tal␈αresults␈α
graphically␈αand
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαassert␈αthat␈α
they␈αw␈α␈ere␈α
correct.␈α
In␈αhis␈α
paper,␈α
Pearson␈αgav␈α␈e␈αsev␈α␈eral␈α
in␈α␈teresting␈αex-
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαamples␈αof␈αthe␈αprevious␈αmisuse␈αof␈αstatistics;␈αand␈αhe␈αalso␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αthat␈αcertain␈αruns
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαat␈α
roulette␈α
(which␈αhe␈α
had␈α
experienced␈αduring␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αw␈α␈eeks␈α
at␈α
Mon␈α␈te␈αCarlo␈α
in␈α
1892)
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ere␈α
so␈α∞far␈α∞from␈α
the␈α∞expected␈α∞frequencies␈α
that␈α∞odds␈α
against␈α∞the␈α∞assumption␈α
of
␈β⊂?␈↓ ¬*␈ε¬29
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαan␈α
honest␈α∞wheel␈α∞w␈α␈ere␈α∞some␈α∞1␈↓ ¬_␈εα0␈↓ ¬T␈εαto␈α∞one!␈α⊃A␈α∞general␈α∞discussion␈α∞of␈α∞the␈α
chi-square
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαtest␈α∞and␈α∞an␈α∞extensiv␈α␈e␈α∞bibliograph␈α␈y␈α∞appear␈α∞in␈α∞the␈α∞surv␈α␈ey␈α
article␈α∞by␈α∞William␈α∞G.
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαCochran,␈ε∂␈αAnnals␈αMath.␈αStat.␈ε∩␈α23␈εα␈α(1952),␈α315↑345.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα52␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.1
␈βα(␈↓ α␈εαLet␈α
us␈α∞no␈α␈w␈α
consider␈α
a␈α
brief␈α∞derivation␈α
of␈α
the␈α∞theory␈α
behind␈α
the␈α
chi-square
␈βαS␈↓ ↓H␈εαtest.␈αThe␈αexact␈αprobability␈αthat␈↓ ¬J␈ελY␈↓ ¬w␈εα=␈↓ ε%␈ελy␈↓ εD␈εα,␈↓ εT␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π∧␈εα,␈↓ π∀␈ελY␈↓ πB␈εα=␈↓ πp␈ελy␈↓ λ≤␈εαis␈αeasily␈αseen␈αto␈αbe
␈βαa␈↓ ¬←␈ε¬1␈↓ ε6␈ε¬1␈↓ π)␈εk␈↓ λ↓␈εk
␈ββ&␈↓ ¬a␈ελn␈↓ ¬v␈εα!
␈ββ7␈↓ εK␈εy␈↓ π'␈εy
␈ββ=␈↓ ε9␈ελp␈↓ εe␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π∃␈ελp␈↓ πB␈εα.␈↓ 
p␈εα(17)
␈ββ?␈↓ εZ␈επ1␈↓ π6␈ε
k
␈ββM␈↓ ¬,␈∧βM¬,α↓	
␈ββO␈↓ εK␈ε¬1␈↓ π'␈εk
␈ββU␈↓ ¬,␈ελy␈↓ ¬K␈εα!␈↓ ¬[␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε␈ελy␈↓ ε+␈εα!
␈ββc␈↓ ¬=␈ε¬1␈↓ ε≤␈εk
␈β∧&␈↓ ↓H␈εαIf␈αw␈α␈e␈αassume␈αthat␈↓ βk␈ελY␈↓ ∧_␈εαhas␈αthe␈αvalue␈↓ ¬v␈ελy␈↓ ε∨␈εαwith␈αthe␈αPoisson␈αprobability
␈β∧3␈↓ ∧␈εs␈↓ επ␈εs
␈β∧s␈↓ ¬f␈ε→␈␈↓ εβ␈εn␈↓ ε∃␈εp␈↓ εy␈εy
␈β∧x␈↓ ¬X␈ελe␈↓ ε.␈εα(␈↓ ε:␈ελn␈↓ εP␈ελp␈↓ εm␈εα)
␈β∧|␈↓ ε#␈ε
s␈↓ ππ␈ε
s
␈β¬ε␈↓ εa␈εs
␈β¬⊃␈↓ π⊗␈εα,
␈β¬!␈↓ ¬X␈∧¬!¬Xα↓;
␈β¬)␈↓ ε!␈ελy␈↓ ε?␈εα!
␈β¬7␈↓ ε2␈εs
␈β¬|␈↓ ↓H␈εαand␈α∞that␈α∞the␈↓ β!␈ελY␈↓ β<␈εα's␈α∞are␈α∂independen␈α␈t,␈α∂then␈α∞(␈↓ εY␈ελY␈↓ ε|␈εα,␈↓ π␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π<␈εα,␈↓ πL␈ελY␈↓ πp␈εα)␈α∞will␈α∂equal␈α∞(␈↓ 	=␈ελy␈↓ 	]␈εα,␈↓ 	m␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
≥␈εα,␈↓ 
-␈ελy␈↓ 
L␈εα)␈α∞with
␈βε	␈↓ εn␈ε¬1␈↓ πa␈εk␈↓ 	N␈ε¬1␈↓ 
>␈εk
␈βε'␈↓ ↓H␈εαprobability
␈βεD␈↓ ¬:␈ε↓Y
␈βεI␈↓ ε~␈ε→␈␈↓ ε7␈εn␈↓ εI␈εp␈↓ π-␈εy
␈βεO␈↓ ε␈ελe␈↓ εb␈εα(␈↓ εn␈ελn␈↓ π∧␈ελp␈↓ π!␈εα)
␈βεR␈↓ εX␈ε
s␈↓ π<␈ε
s
␈βε\␈↓ π∃␈εs
␈βεg␈↓ πK␈εα,
␈βεw␈↓ ε␈∧εwεα↓;
␈βε␈␈↓ εV␈ελy␈↓ εs␈εα!
␈βπ
␈↓ εg␈εs
␈βπ_␈↓ ¬∨␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬K␈εs␈↓ ¬W␈ε→∀␈↓ ¬t␈εk
␈βπc␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∞␈ελY␈↓ α9␈εα+␈↓ αe␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β↔␈εα+␈↓ βC␈ελY␈↓ βs␈εαwill␈αequal␈↓ ¬∃␈ελn␈↓ ¬6␈εαwith␈αprobability
␈βπp␈↓ α#␈ε¬1␈↓ βX␈εk
␈βλ*␈↓ ∧≡␈ε↓X␈↓ ¬Z␈ε↓Y
␈βλ0␈↓ ε;␈ε→␈␈↓ εX␈εn␈↓ εj␈εp␈↓ πN␈εy
␈βλ2␈↓ λ5␈ε→␈␈↓ λR␈εn␈↓ λz␈εn
␈βλ5␈↓ ε-␈ελe␈↓ πβ␈εα(␈↓ π∂␈ελn␈↓ π$␈ελp␈↓ πB␈εα)
␈βλ7␈↓ λ'␈ελe␈↓ λd␈ελn
␈βλ9␈↓ εx␈ε
s␈↓ π\␈ε
s
␈βλC␈↓ π5␈εs
␈βλN␈↓ πu␈εα=␈↓ 	⊂␈εα.
␈βλ↑␈↓ ε-␈∧λ↑ε-α↓;␈↓ λ'␈∧λ↑λ'αe
␈βλf␈↓ εv␈ελy␈↓ π∀␈εα!␈↓ λJ␈ελn␈↓ λ←␈εα!
␈βλs␈↓ ππ␈εs
␈βλ⎇␈↓ β↑␈εy␈↓ βw␈ε¬+␈↓ ∧∀␈ε→↓↓↓␈↓ ∧,␈ε¬+␈↓ ∧I␈εy␈↓ ∧d␈ε¬=␈↓ ¬↓␈εn
␈βλ␈␈↓ ¬@␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ¬k␈εs␈↓ ¬w␈ε→∀␈↓ ε∀␈εk
␈β	ε␈↓ βl␈επ1␈↓ ∧W␈ε
k
␈β	_␈↓ βt␈εy␈↓ ∧∞␈ε¬,␈↓ ∧⊗␈ε¬...␈↓ ∧.␈ε¬,␈↓ ∧6␈εy␈↓ ∧Q␈ε→∃␈ε¬0
␈β	!␈↓ ∧β␈επ1␈↓ ∧D␈ε
k
␈β	t␈↓ ↓H␈εαIf␈απw␈α␈e␈απassume␈αλthat␈απthey␈απare␈απindependen␈α␈t␈ε∂␈αλex␈α␈cept␈εα␈απfor␈απthe␈αλcondition␈↓ 	∃␈ελY␈↓ 	:␈εα+␈↓ 	`␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
␈εα+␈↓ 
1␈ελY␈↓ 
←␈εα=␈↓ 
␈ελn␈↓ "␈εα,
␈β
α␈↓ 	*␈ε¬1␈↓ 
F␈εk
␈β
∨␈↓ ↓H␈εαthe␈αprobability␈αthat␈α(␈↓ ∧~␈ελY␈↓ ∧=␈εα,␈↓ ∧M␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧⎇␈εα,␈↓ ¬
␈ελY␈↓ ¬1␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ ε↓␈ελy␈↓ ε ␈εα,␈↓ ε0␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε`␈εα,␈↓ εp␈ελy␈↓ π⊂␈εα)␈αis␈αthe␈αquotien␈α␈t
␈β
-␈↓ ∧/␈ε¬1␈↓ ¬"␈εk␈↓ ε∩␈ε¬1␈↓ π↓␈εk
␈β
j␈↓ ∧Y␈ε↓Y
␈β
p␈↓ ¬9␈ε→␈␈↓ ¬V␈εn␈↓ ¬h␈εp␈↓ εL␈εy
␈β
q␈↓ πM␈ε→␈␈↓ πj␈εn␈↓ λ∩␈εn
␈β
s␈↓ ∧(␈ε↓∩␈↓ εj␈ε↓∪␈↓ π␈ε↓≡␈↓ π%␈ε↓∩␈↓ λ(␈ε↓∪
␈β
u␈↓ ¬+␈ελe␈↓ ε↓␈εα(␈↓ ε
␈ελn␈↓ ε#␈ελp␈↓ ε@␈εα)
␈β
w␈↓ π?␈ελe␈↓ π|␈ελn
␈β
x␈↓ ¬w␈ε
s␈↓ ε[␈ε
s
␈βα␈↓ ε4␈εs
␈β
␈↓ λB␈εα,
␈β≡␈↓ ¬+␈∧≡¬+α↓;␈↓ π?␈∧≡π?αe
␈β&␈↓ ¬u␈ελy␈↓ ε∩␈εα!␈↓ πb␈ελn␈↓ πw␈εα!
␈β3␈↓ εε␈εs
␈β?␈↓ ∧>␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ ∧j␈εs␈↓ ∧v␈ε→∀␈↓ ¬∪␈εk
␈β≥␈↓ ↓H␈εαwhich␈α∞equals␈α∂(17).␈ε∂␈α∪We␈α∂may␈α∞therefore␈α∂regard␈α∞the␈↓ π]␈ελY␈↓ πx␈ε∂'s␈α∞as␈α∂independen␈α␈tly␈α∞Poisson
␈βH␈↓ ↓H␈ε∂distributed,␈αex␈α␈cept␈αfor␈αthe␈αfact␈αthat␈αthey␈αhav␈α␈e␈αa␈α|x␈α␈ed␈αsum.
␈βt␈↓ α␈εαIt␈αis␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈αto␈αmak␈α␈e␈αa␈αchange␈αof␈αvariables,
␈β
E␈↓ ε≥␈ελY␈↓ εF␈ε⊗␈␈↓ εr␈ελn␈↓ πλ␈ελp
␈β
R␈↓ ε2␈εs␈↓ π→␈εs
␈β
[␈↓ ¬A␈ελZ␈↓ ¬k␈εα=␈↓ π)␈εα,␈↓ 
p␈εα(18)
␈β
i␈↓ ¬T␈εs
␈β
l␈↓ ε≥␈∧
lε≥α↓	
␈β
t␈↓ εY␈ελn␈↓ εo␈ελp
␈β
v␈↓ εY␈∧
vεYα4
␈β
w␈↓ ε5␈ε⊗p
␈β∞↓␈↓ π␈εs
␈β∞J␈↓ β2␈ε¬2␈↓ ∧n␈ε¬2
␈β∞O␈↓ ↓H␈εαso␈α
that␈↓ αD␈ελV␈↓ αi␈εα=␈↓ β→␈ελZ␈↓ βI␈εα+␈↓ βv␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧)␈εα+␈↓ ∧U␈ελZ␈↓ ∧⎇␈εα.␈α∂The␈α
condition␈↓ π␈ελY␈↓ π,␈εα+␈↓ πY␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ␈εα+␈↓ λ8␈ελY␈↓ λg␈εα=␈↓ 	↔␈ελn␈↓ 	9␈εαis␈α
equivalen␈α␈t␈α
to
␈β∞\␈↓ π∃␈ε¬1␈↓ λM␈εk
␈β∞a␈↓ β2␈ε¬1␈↓ ∧n␈εk
␈β∞z␈↓ ↓H␈εαrequiring␈αthat
␈β∂'␈↓ ¬ε␈∧∂'¬εα ␈↓ ¬ε␈ελp␈↓ ¬&␈ελZ␈↓ ¬O␈εα+␈↓ ¬{␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε-␈εα+␈↓ ε⎇␈∧∂'ε⎇α ␈↓ ε⎇␈ελp␈↓ π≤␈ελZ␈↓ πH␈εα=␈α
0.␈↓ 
p␈εα(19)
␈β∂(␈↓ ∧b␈ε⊗p␈↓ εY␈ε⊗p
␈β∂5␈↓ ¬↔␈ε¬1␈↓ ¬9␈ε¬1␈↓ π∞␈εk␈↓ π/␈εk
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαLet␈αλus␈αλconsider␈αλthe␈αλ(␈↓ β}␈ελk␈↓ ∧∩␈ε⊗␈␈εα␈αβ1)-dimensional␈απspace␈↓ π␈ελS␈↓ π∨␈εαof␈αλall␈αλv␈α␈ectors␈αλ(␈↓ λv␈ελZ␈↓ 	↔␈εα,␈↓ 	'␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	W␈εα,␈↓ 	g␈ελZ␈↓ 
	␈εα)␈απsuch␈αλthat
␈β∂{␈↓ 		␈ε¬1␈↓ 	z␈εk
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εα(19)␈α
holds.␈αFor␈αlarge␈α
values␈α
of␈↓ ¬"␈ελn␈↓ ¬8␈εα,␈αeach␈↓ ε≥␈ελZ␈↓ εF␈εαhas␈αappro␈α␈ximately␈α
the␈α
normal␈α
distribu-
␈β⊂&␈↓ ε0␈εs
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαtion␈απ(cf.␈απex␈α␈ercise␈απ1.2.10↑16);␈α	therefore␈απpoin␈α␈ts␈απin␈απa␈απdi{eren␈α␈tial␈αλv␈α␈olume␈↓ 	W␈ελd␈↓ 	k␈ελz␈↓ 
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
;␈ελd␈↓ 
O␈ελz␈↓ 
q␈εαof␈↓ ⊗␈ελS
␈β⊂O␈↓ λZ␈ε↓␈␈↓ ∀␈ε↓↓
␈β⊂Q␈↓ 	w␈ε¬2␈↓ 
[␈εk
␈β⊂j␈↓ 	'␈ε¬2␈↓ 
V␈ε¬2
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαoccur␈αwith␈αprobability␈ε∂␈αappro␈α␈ximately␈εα␈αproportional␈αto␈↓ λ≤␈εαexp␈↓ λh␈ε⊗␈␈εα(␈↓ 	_␈ελz␈↓ 	=␈εα+␈↓ 	i␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
≠␈εα+␈↓ 
G␈ελz␈↓ 
d␈εα)/2␈↓ "␈εα.
␈β⊃↓␈↓ 	'␈ε¬1␈↓ 
V␈εk
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εα(It␈α
is␈αat␈αthis␈αpoin␈α␈t␈αin␈αthe␈αderivation␈α
that␈αthe␈αchi-square␈αmethod␈αbecomes␈αonly␈α
an
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.1␈ε∞␈↓ β↑GENERAL␈α	T␈α␈EST␈α	P␈α␈ROCEDU␈α␈R␈α↓ES␈α	F␈α␈OR␈α	STU␈α␈DYING␈α	RA␈α␈NDOM␈α	DA␈α}T␈α⎇A␈↓ λ␈εα53
␈βα&␈↓ ↓H␈εαappro␈α␈ximation␈αfor␈αlarge␈↓ ∧I␈ελn␈↓ ∧↑␈εα.)␈αThe␈αprobability␈αthat␈↓ πR␈ελV␈↓ πv␈ε⊗∀␈↓ λ$␈ελv␈↓ λC␈εαis␈αno␈α␈w
␈βα`␈↓ ε5␈ε↓␈␈↓ λp␈ε↓↓
␈βαc␈↓ α\␈ε↓R
␈βαz␈↓ πα␈ε¬2␈↓ λ2␈ε¬2
␈βα␈␈↓ ¬w␈εαexp␈↓ εC␈ε⊗␈␈εα(␈↓ εs␈ελz␈↓ π→␈εα+␈↓ πE␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πw␈εα+␈↓ λ#␈ελz␈↓ λ@␈εα)/2␈↓ 	∧␈ελd␈↓ 	→␈ελz␈↓ 	9␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	i␈ελd␈↓ 	⎇␈ελz
␈ββ
␈↓ 	%␈ε¬2␈↓ 
	␈εk
␈ββ⊃␈↓ πα␈ε¬1␈↓ λ2␈εk
␈ββ∩␈↓ αm␈ε¬(␈↓ αw␈εz␈↓ β
␈ε¬,␈↓ β∃␈ε¬...␈↓ β-␈ε¬,␈↓ β5␈εz␈↓ βL␈ε¬)␈α∧in␈↓ βw␈εS␈↓ ∧∞␈ε¬and␈↓ ∧A␈εz␈↓ ∧V␈ε¬+␈↓ ∧s␈ε→↓↓↓␈↓ ¬␈ε¬+␈↓ ¬(␈εz␈↓ ¬?␈ε→∀␈↓ ¬\␈εv
␈ββ~␈↓ ¬?␈ε↓␈␈↓ πz␈ε↓↓
␈ββ≠␈↓ β↓␈επ1␈↓ β?␈ε
k␈↓ ∧K␈επ1␈↓ ¬2␈ε
k
␈ββ≡␈↓ βI␈ε↓R
␈ββ∨␈↓ 
p␈εα(20)
␈ββ/␈↓ α\␈∧β/α\απ<
␈ββ7␈↓ ε␈ε¬2␈↓ π<␈ε¬2
␈ββ:␈↓ ¬↓␈εαexp␈↓ ¬M␈ε⊗␈␈εα(␈↓ ¬⎇␈ελz␈↓ ε#␈εα+␈↓ εO␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π↓␈εα+␈↓ π-␈ελz␈↓ πJ␈εα)/2␈↓ λ∞␈ελd␈↓ λ"␈ελz␈↓ λC␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λs␈ελd␈↓ 	π␈ελz␈↓ 	!␈εα.
␈ββG␈↓ λ.␈ε¬2␈↓ 	∪␈εk
␈ββL␈↓ ε␈ε¬1␈↓ π<␈εk
␈ββM␈↓ βZ␈ε¬(␈↓ βc␈εz␈↓ βy␈ε¬,␈↓ ∧↓␈ε¬...␈↓ ∧→␈ε¬,␈↓ ∧!␈εz␈↓ ∧8␈ε¬)␈α∧in␈↓ ∧c␈εS
␈ββU␈↓ βn␈επ1␈↓ ∧+␈ε
k
␈β∧↔␈↓ ↓H␈εαSince␈αthe␈α
h␈α␈yperplane␈α(19)␈α
passes␈αthrough␈α
the␈αorigin␈α
of␈↓ λ+␈ελk␈↓ λ=␈εα-dimensional␈α
space,␈αthe
␈β∧B␈↓ ↓H␈εαn␈α␈umerator␈α∂in␈α⊂(20)␈α⊂is␈α⊂an␈α∂in␈α␈tegration␈α⊂o␈α␈v␈α␈er␈α⊂the␈α∂in␈α␈terior␈α⊂of␈α⊂a␈α⊂(␈↓ λ}␈ελk␈↓ 	~␈ε⊗␈␈εα␈α
1)-dimensional
␈β∧n␈↓ ↓H␈εαh␈α␈ypersphere␈α	cen␈α␈tered␈α	at␈α	the␈α	origin.␈αAn␈α	appropriate␈αλtransformation␈α	to␈α	generalized
␈β¬→␈↓ ↓H␈εαpolar␈αcoordinates␈αwith␈αradius␈↓ ¬ ␈ελ∨␈↓ ¬C␈εαand␈αangles␈↓ εu␈ελ|␈↓ π↔␈εα,␈↓ π-␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π]␈εα,␈↓ πs␈ελ|␈↓ λM␈εαtransforms␈α(20)␈αin␈α␈to
␈β¬&␈↓ π	␈ε¬1␈↓ λπ␈εk␈↓ λ⊗␈ε→␈␈ε¬␈α␈2
␈β¬Y␈↓ β4␈ε↓R
␈β¬l␈↓ ∧Y␈επ2
␈β¬p␈↓ ∧)␈ε→␈␈↓ ∧F␈ε∨␈↓ ∧d␈ε¬/2␈↓ ¬_␈εk␈↓ ¬&␈ε→␈␈ε¬2
␈β¬u␈↓ ∧≠␈ελe␈↓ ¬↓␈ελ∨␈↓ ¬R␈ελf␈↓ ¬c␈εα(␈↓ ¬o␈ελ|␈↓ ε⊃␈εα,␈↓ ε!␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εQ␈εα,␈↓ εa␈ελ|␈↓ π/␈εα)␈↓ πA␈ελd␈↓ πU␈ελ∨␈↓ πr␈ελd␈↓ λε␈ελ|␈↓ λ/␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ←␈ελd␈↓ λs␈ελ|
␈βεα␈↓ εβ␈ε¬1␈↓ εu␈εk␈↓ π∧␈ε→␈␈ε¬2␈↓ λ~␈ε¬1␈↓ 	π␈εk␈↓ 	∃␈ε→␈␈ε¬2
␈βεε␈↓ βW␈επ2
␈βελ␈↓ βE␈ε∨␈↓ βc␈ε→∀␈↓ β␈␈εv
␈βε∩␈↓ βU␈ε↓R
␈βε#␈↓ β4␈∧ε#β4αε∞
␈βε)␈↓ ∧7␈επ2
␈βε,␈↓ ∧π␈ε→␈␈↓ ∧$␈ε∨␈↓ ∧B␈ε¬/␈α↓2␈↓ ∧v␈εk␈↓ ¬¬␈ε→␈␈ε¬␈α␈2
␈βε.␈↓ βy␈ελe␈↓ ∧←␈ελ∨␈↓ ¬0␈ελf␈↓ ¬A␈εα(␈↓ ¬M␈ελ|␈↓ ¬o␈εα,␈↓ ¬␈␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε/␈εα,␈↓ ε?␈ελ|␈↓ π
␈εα)␈↓ π∨␈ελd␈↓ π3␈ελ∨␈↓ πP␈ελd␈↓ πd␈ελ|␈↓ λ
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ=␈ελd␈↓ λQ␈ελ|
␈βε;␈↓ ¬a␈ε¬1␈↓ εS␈εk␈↓ εb␈ε→␈␈ε¬2␈↓ πx␈ε¬1␈↓ λe␈εk␈↓ λt␈ε→␈␈ε¬␈α␈2
␈βπβ␈↓ ↓H␈εαfor␈α∞some␈α∂function␈↓ βo␈ελf␈↓ ∧∂␈εα(see␈α∂ex␈α␈ercise␈α∞15);␈α⊂then␈α∂in␈α␈tegration␈α∞o␈α␈v␈α␈er␈α∂the␈α∞angles␈↓ 
7␈ελ|␈↓ 
Y␈εα,␈↓ 
r␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ "␈εα,
␈βπ⊃␈↓ 
K␈ε¬1
␈βπ.␈↓ ↓H␈ελ|␈↓ α!␈εαgiv␈α␈es␈αa␈αconstan␈α␈t␈αfactor␈αthat␈αcancels␈αfrom␈αn␈α␈umerator␈αand␈αdenominator.␈αWe
␈βπ<␈↓ ↓\␈εk␈↓ ↓j␈ε→␈␈ε¬2
␈βπZ␈↓ ↓H␈εα|nally␈αobtain␈αthe␈αform␈α␈ula
␈βλ"␈↓ ¬!␈ε↓R
␈βλ/␈↓ ¬V␈∧λ/¬Vα⊂
␈βλ0␈↓ ¬9␈ε→p
␈βλ1␈↓ ¬V␈εv
␈βλ6␈↓ ε)␈επ2
␈βλ9␈↓ ¬z␈ε→␈␈↓ ε⊗␈ε∨␈↓ ε4␈ε¬/␈α↓2␈↓ εh␈εk␈↓ εw␈ε→␈␈ε¬2
␈βλ>␈↓ ¬k␈ελe␈↓ εQ␈ελ∨␈↓ π(␈ελd␈↓ π<␈ελ∨
␈βλQ␈↓ ¬2␈ε¬0
␈βλW␈↓ 
p␈εα(21)
␈βλX␈↓ ¬)␈ε↓R
␈βλf␈↓ ¬A␈ε→1
␈βλg␈↓ ¬!␈∧λg¬!αα3
␈βλo␈↓ ε!␈επ2
␈βλr␈↓ ¬r␈ε→␈␈↓ ε∂␈ε∨␈↓ ε-␈ε¬/2␈↓ ε`␈εk␈↓ εo␈ε→␈␈ε¬2
␈βλt␈↓ ¬d␈ελe␈↓ εI␈ελ∨␈↓ π ␈ελd␈↓ π4␈ελ∨
␈β	π␈↓ ¬:␈ε¬0
␈β	I␈↓ ↓H␈εαfor␈αthe␈αappro␈α␈ximate␈αprobability␈αthat␈↓ ε↔␈ελV␈↓ ε;␈ε⊗∀␈↓ εi␈ελv␈↓ ε{␈εα.
␈β	u␈↓ α␈εαThe␈α	abo␈α␈v␈α␈e␈αλderivation␈α	uses␈α	the␈α	sym␈α␈bol␈↓ εY␈ελ∨␈↓ εy␈εαto␈α	stand␈αλfor␈α	the␈α	radial␈αλlength,␈α
just␈αλas
␈β
≠␈↓ πA␈ε¬2
␈β
 ␈↓ ↓H␈εαPearson␈αλdid␈αλin␈αλhis␈αλoriginal␈αλpaper;␈α	this␈αλis␈αλho␈α␈w␈αλthe␈↓ π*␈ελ∨␈↓ πX␈εαtest␈αλgot␈αλits␈αλname.␈α
Substituting
␈β
F␈↓ α2␈ε¬2
␈β
K␈↓ ↓H␈ελt␈↓ ↓f␈εα=␈↓ α≠␈ελ∨␈↓ αA␈εα/2,␈α⊃the␈α⊂in␈α␈tegrals␈α⊃can␈α⊂be␈α⊂expressed␈α⊃in␈α⊂terms␈α⊂of␈α⊃the␈α⊂incomplete␈α⊂gamma
␈β
w␈↓ ↓H␈εαfunction,␈αwhich␈αw␈α␈e␈αdiscussed␈αin␈αSection␈α1.2.11.3:
␈βI␈↓ π¬␈ε↓∩␈↓ λ&␈ε↓∪␈↓ λ<␈ε↓≡␈↓ λw␈ε↓∩␈↓ 	m␈ε↓∪
␈βL␈↓ π∨␈ελk␈↓ π9␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ λ∂␈ελv␈↓ 	⊃␈ελk␈↓ 	+␈ε⊗␈␈εα␈αλ1
␈βc␈↓ αp␈εαlim␈↓ β4␈εαprobability␈αthat␈↓ ¬<␈εα(␈↓ ¬H␈ελV␈↓ ¬l␈ε⊗∀␈↓ ε~␈ελv␈↓ ε-␈εα)␈α
=␈↓ εq␈ελ␈
␈↓ π{␈εα,␈↓ λa␈εα␈␈↓ 
π␈εα.␈↓ 
p␈εα(22)
␈βs␈↓ π∨␈∧sπ∨αX␈↓ λ∂␈∧sλ∂α∪␈↓ 	⊃␈∧s	⊃αX
␈β{␈↓ πB␈εα2␈↓ λ∂␈εα2␈↓ 	4␈εα2
␈β∧␈↓ αc␈εn␈↓ αu␈ε→!1
␈β\␈↓ ↓H␈εαThis␈α	is␈α	the␈α	de|nition␈α	of␈α	the␈α	chi-square␈α	distribution␈α	with␈↓ λ)␈ελk␈↓ λ?␈ε⊗␈␈εα␈α∧1␈α	degrees␈α	of␈α	freedom.
␈β
∃␈↓ α␈εαWe␈α∂no␈α␈w␈α∞turn␈α∂to␈α∞the␈α∞KS␈α∂test.␈α∪In␈α∂1933,␈α∂A.␈α∞N.␈α∂Kolmogoro␈α␈v␈α∞proposed␈α∂a␈α∞test
␈β
@␈↓ ↓H␈εαbased␈αon␈αthe␈αstatistic
␈β∞∪␈↓ λo␈ε¬+␈↓ 	:␈ε→␈
␈β∞⊗␈↓ ∧∞␈∧∞⊗∧∞α⊗
␈β∞↔␈↓ βj␈ε⊗p
␈β∞→␈↓ βπ␈ελK␈↓ β<␈εα=␈↓ ∧∞␈ελn␈↓ ∧f␈εαmax␈↓ ¬l␈ε⊗j␈↓ ¬v␈ελF␈↓ ε≤␈εα(␈↓ ε(␈ελx␈↓ ε;␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ε{␈ελF␈↓ π∀␈εα(␈↓ π ␈ελx␈↓ π3␈εα)␈ε⊗j␈↓ πS␈εα=␈↓ λ↓␈εαmax␈↓ λE␈εα(␈↓ λQ␈ελK␈↓ 	␈εα,␈↓ 	≤␈ελK␈↓ 	W␈εα).␈↓ 
p␈εα(23)
␈β∞'␈↓ β ␈εn␈↓ ε
␈εn
␈β∞+␈↓ λo␈εn␈↓ 	:␈εn
␈β∞:␈↓ ∧*␈ε→␈1␈ε¬<␈↓ ¬␈εx␈↓ ¬⊂␈ε¬<+␈ε→1
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαN.␈α
V.␈αSmirno␈α␈v␈α
gav␈α␈e␈α
sev␈α␈eral␈α
modi|cations␈α
of␈α
this␈α
test␈α
in␈α
1939,␈α
including␈α
the␈αin-
␈β∂=␈↓ ∧←␈ε¬+␈↓ ¬d␈ε→␈
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαdividual␈αλexamination␈αλof␈↓ ∧A␈ελK␈↓ ¬∧␈εαand␈↓ ¬F␈ελK␈↓ ε	␈εαas␈α	w␈α␈e␈αλhav␈α␈e␈αλsuggested␈α	abo␈α␈v␈α␈e.␈α
There␈α	is␈αλa␈αλlarge
␈β∂T␈↓ ∧←␈εn␈↓ ¬d␈εn
␈β∂h␈↓ ¬D␈ε¬+␈↓ εK␈ε→␈
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαfamily␈α	of␈α	similar␈α	tests,␈α
but␈α
the␈↓ ¬&␈ελK␈↓ ¬j␈εαand␈↓ ε-␈ελK␈↓ εq␈εαstatistics␈α	seem␈α
to␈α	be␈α	most␈α	con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t
␈β∂␈␈↓ ¬D␈εn␈↓ εK␈εn
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαfor␈α
computer␈α∞application.␈α⊃A␈α
comprehensiv␈α␈e␈α∞review␈α∞of␈α
the␈α∞literature␈α
concerning
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαKS␈αtests␈αand␈αtheir␈αgeneralizations,␈αincluding␈αan␈αextensiv␈α␈e␈αbibliograph␈α␈y,␈αappears
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαin␈α
a␈αmonograph␈αby␈αJ.␈α
Durbin,␈ε∂␈αRegional␈αConf.␈αSeries␈αon␈α
Applied␈αMath.␈ε∩␈α9␈εα␈α
(SIAM,
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εα1973).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα54␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.1
␈βα ␈↓ ¬k␈ε¬+␈↓ εu␈ε→␈
␈βα%␈↓ α␈εαTo␈αstudy␈α
the␈αdistribution␈αof␈↓ ¬M␈ελK␈↓ ε∪␈εαand␈↓ εW␈ελK␈↓ π∩␈εα,␈αw␈α␈e␈αbegin␈α
with␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈α
basic
␈βα7␈↓ ¬k␈εn␈↓ εu␈εn
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαfact:␈ε∂␈αIf␈↓ α<␈ελX␈↓ αe␈ε∂is␈α
a␈αrandom␈αvariable␈αwith␈αthe␈αcon␈α␈tin␈α␈uous␈α
distribution␈↓ 	3␈ελF␈↓ 	M␈εα(␈↓ 	Y␈ελx␈↓ 	k␈εα)␈ε∂,␈αthen␈↓ 
]␈ελF␈↓ 
v␈εα(␈↓ α␈ελX␈↓  ␈εα)
␈βα|␈↓ ↓H␈ε∂is␈αa␈αuniformly␈αdistributed␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αbet␈α␈w␈α␈een␈εα␈α0␈ε∂␈αand␈εα␈α1␈ε∂.␈εα␈αTo␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthis,␈αw␈α␈e␈αneed
␈ββ'␈↓ ↓H␈εαonly␈α
v␈α␈erify␈α∞that␈α∞if␈α∞0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧F␈ελy␈↓ ∧g␈ε⊗∀␈εα␈α
1␈α∞w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈↓ εE␈ελF␈↓ ε←␈εα(␈↓ εk␈ελX␈↓ πλ␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ πR␈ελy␈↓ πt␈εαwith␈α∞probability␈↓ 
∧␈ελy␈↓ 
_␈εα.␈α⊃Since␈↓ ∪␈ελF
␈ββR␈↓ ↓H␈εαis␈αcon␈α␈tin␈α␈uous,␈↓ β*␈ελF␈↓ βC␈εα(␈↓ βO␈ελx␈↓ βn␈εα)␈α
=␈↓ ∧2␈ελy␈↓ ∧R␈εαfor␈αsome␈↓ ¬d␈ελx␈↓ εβ␈εα;␈α
th␈α␈us␈αthe␈αprobability␈αthat␈↓ 	/␈ελF␈↓ 	H␈εα(␈↓ 	T␈ελX␈↓ 	r␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ 
6␈ελy␈↓ 
V␈εαis␈αthe
␈ββ`␈↓ β`␈ε¬0␈↓ ¬u␈ε¬0
␈ββ⎇␈↓ ↓H␈εαprobability␈αthat␈↓ βN␈ελX␈↓ βv␈ε⊗∀␈↓ ∧$␈ελx␈↓ ∧C␈εα.␈αBy␈αde|nition,␈αthe␈αlatter␈αprobability␈αis␈↓ 	4␈ελF␈↓ 	M␈εα(␈↓ 	Y␈ελx␈↓ 	x␈εα),␈αthat␈αis,␈αit
␈β∧␈↓ ∧5␈ε¬0␈↓ 	j␈ε¬0
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαis␈↓ ↓l␈ελy␈↓ α␈εα.
␈β∧T␈↓ α␈εαLet␈↓ αQ␈ελY␈↓ βα␈εα=␈↓ β5␈ελn␈↓ βP␈ελF␈↓ βj␈εα(␈↓ βv␈ελX␈↓ ∧≤␈εα),␈α⊂for␈α∞1␈ε⊗␈α∂∀␈↓ ¬P␈ελj␈↓ ¬o␈ε⊗∀␈↓ ε"␈ελn␈↓ ε8␈εα,␈α∂where␈α∂the␈↓ π⎇␈ελX␈↓ λ≠␈εα's␈α∂hav␈α␈e␈α∂been␈α∂sorted␈α∂as␈α∞in
␈β∧a␈↓ αf␈εj␈↓ ∧∂␈εj
␈β∧␈␈↓ ↓H␈εαStep␈α∂2␈α∂abo␈α␈v␈α␈e.␈α⊗Then␈α∂the␈α∂variables␈↓ ¬u␈ελY␈↓ ε'␈εαare␈α∂essen␈α␈tially␈α∂the␈α∂same␈α∂as␈α∂independen␈α␈t,
␈β¬␈↓ ε
␈εj
␈β¬*␈↓ ↓H␈εαuniformly␈α
distributed␈α∞random␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈α∞0␈α
and␈α∞1␈α
that␈α∞hav␈α␈e␈α
been␈α
sorted
␈β¬U␈↓ ↓H␈εαin␈α␈to␈α∞nondecreasing␈α∂order,␈↓ ∧i␈ελY␈↓ ¬~␈ε⊗∀␈↓ ¬L␈ελY␈↓ ¬}␈ε⊗∀␈↓ ε0␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εh␈ε⊗∀␈↓ π~␈ελY␈↓ πA␈εα;␈α∂and␈α∂the␈α∞|rst␈α∂equation␈α∞of␈α∞(13)
␈β¬c␈↓ ∧}␈ε¬1␈↓ ¬a␈ε¬2␈↓ π/␈εn
␈βε↓␈↓ ↓H␈εαmay␈αbe␈αtransformed␈αin␈α␈to
␈βεC␈↓ ∧c␈εα1
␈βεT␈↓ βv␈ε¬+
␈βεZ␈↓ βX␈ελK␈↓ ∧≥␈εα=␈↓ ¬∪␈εαmax␈↓ ¬W␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ε)␈ελY␈↓ εL␈εα,␈αε2␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π"␈ελY␈↓ πE␈εα,␈↓ πU␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ¬␈εα,␈↓ λ∃␈ελn␈↓ λ3␈ε⊗␈␈↓ λ←␈ελY␈↓ 	ε␈εα).
␈βεg␈↓ ε>␈ε¬1␈↓ π7␈ε¬2␈↓ λt␈εn
␈βεj␈↓ ∧O␈∧εj∧Oα:
␈βεl␈↓ βv␈εn
␈βε|␈↓ ∧s␈∧ε|∧sα⊗
␈βε⎇␈↓ ∧O␈ε⊗p␈↓ ∧s␈ελn
␈βπB␈↓ ε↓␈ε¬+
␈βπE␈↓ π∨␈∧πEπ∨α⊗
␈βπF␈↓ ε{␈ε⊗p
␈βπG␈↓ ↓H␈εαIf␈α
0␈ε⊗␈α
∀␈↓ α4␈ελt␈↓ αK␈ε⊗∀␈↓ αy␈ελn␈↓ β∞␈εα,␈αthe␈α
probability␈α
that␈↓ ¬c␈ελK␈↓ ε(␈ε⊗∀␈↓ εV␈ελt␈↓ εi␈εα/␈↓ π∨␈ελn␈↓ π>␈εαis␈α
therefore␈α
the␈α
probability␈α
that
␈βπY␈↓ ε↓␈εn
␈βπr␈↓ ↓H␈ελY␈↓ ↓t␈ε⊗∃␈↓ α"␈ελj␈↓ α9␈ε⊗␈␈↓ αc␈ελt␈↓ α{␈εαfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ β|␈ελj␈↓ ∧⊗␈ε⊗∀␈↓ ∧D␈ελn␈↓ ∧Z␈εα.␈αThis␈αis␈αnot␈αhard␈αto␈α
express␈αin␈αterms␈αof␈↓ 	Q␈ελn␈↓ 	f␈εα-dimensional
␈βλ␈↓ ↓]␈εj
␈βλ≥␈↓ ↓H␈εαin␈α␈tegrals,
␈βλL␈↓ ↓L␈ε↓R␈↓ αE␈ε↓R␈↓ ∧?␈ε↓R
␈βλZ␈↓ ↓d␈εn␈↓ α]␈εy␈↓ ∧W␈εy
␈βλc␈↓ αk␈ε
n␈↓ ∧e␈επ2
␈βλh␈↓ αλ␈ελd␈↓ α≤␈ελy␈↓ β#␈ελd␈↓ β7␈ελy␈↓ ∧∂␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧⎇␈ελd␈↓ ¬⊃␈ελy
␈βλu␈↓ α-␈εn␈↓ βH␈εn␈↓ βZ␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬"␈ε¬1
␈βλ{␈↓ ↓]␈ε␈↓ αV␈ε␈↓ ∧P␈ε
␈β	β␈↓ ↓l␈ε
n␈↓ αf␈ε
n␈↓ αu␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ ∧`␈επ1
␈β	¬␈↓ ↓]␈ε↓R␈↓ αP␈ε↓R␈↓ ∧.␈ε↓R␈↓ ¬4␈εα,␈↓ ε␈εαwhere␈↓ π0␈ελ␈↓ πZ␈εα=␈↓ λλ␈εαmax␈↓ λL␈εα(␈↓ λX␈ελj␈↓ λq␈ε⊗␈␈↓ 	≥␈ελt␈↓ 	*␈εα,␈αε0).␈↓ 
p␈εα(24)
␈β	∩␈↓ πC␈εj
␈β	∀␈↓ ↓u␈εn␈↓ αh␈εy␈↓ ∧F␈εy
␈β	∃␈↓ ↓L␈∧	∃↓Lαβe
␈β	≤␈↓ αv␈ε
n␈↓ ∧T␈επ2
␈β	!␈↓ α∪␈ελd␈↓ α'␈ελy␈↓ β∩␈ελd␈↓ β&␈ελy␈↓ β}␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧k␈ελd␈↓ ¬␈ελy
␈β	/␈↓ α8␈εn␈↓ β7␈εn␈↓ βI␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ¬⊃␈ε¬1
␈β	4␈↓ ↓n␈ε¬0␈↓ αa␈ε¬0␈↓ ∧?␈ε¬0
␈β	e␈↓ 	v␈εn
␈β	j␈↓ ↓H␈εαThe␈αdenominator␈αhere␈α
is␈αimmediately␈α
evaluated:␈α
it␈αis␈αfound␈α
to␈αbe␈↓ 	a␈ελn␈↓ 
λ␈εα/␈↓ 
~␈ελn␈↓ 
0␈εα!,␈αwhich
␈β
∃␈↓ ↓H␈εαmak␈α␈es␈α
sense␈α
since␈α
the␈α
h␈α␈ypercube␈α∞of␈α
all␈α
v␈α␈ectors␈α
(␈↓ π@␈ελy␈↓ π`␈εα,␈↓ πp␈ελy␈↓ λ∂␈εα,␈↓ λ∨␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λO␈εα,␈↓ λ←␈ελy␈↓ 	α␈εα)␈α
with␈α
0␈ε⊗␈α∀␈↓ 
=␈ελy␈↓ 
g␈εα<␈↓ ↔␈ελn
␈β
#␈↓ πQ␈ε¬1␈↓ λ↓␈ε¬2␈↓ λp␈εn␈↓ 
N␈εj
␈β
;␈↓ β≠␈εn
␈β
@␈↓ ↓H␈εαhas␈αv␈α␈olume␈↓ βε␈ελn␈↓ β-␈εα,␈α
and␈αit␈α
can␈α
be␈αdivided␈α
in␈α␈to␈↓ εl␈ελn␈↓ πα␈εα!␈αequal␈α
parts␈αcorresponding␈α
to␈αeach
␈β
l␈↓ ↓H␈εαpossible␈αλordering␈αλof␈α	the␈↓ ∧5␈ελy␈↓ ∧I␈εα's.␈αThe␈αλin␈α␈tegral␈αλin␈α	the␈αλn␈α␈umerator␈αλis␈α	a␈αλlittle␈αλmore␈αλdi}cult,
␈β↔␈↓ ↓H␈εαbut␈αλit␈αλyields␈α	to␈αλthe␈αλattack␈α	suggested␈αλin␈αλex␈α␈ercise␈α	17,␈α	and␈αλw␈α␈e␈αλget␈α	the␈αλgeneral␈αλform␈α␈ula
␈βZ␈↓ βP␈ε↓ ␈↓ ¬≠␈ε↓!
␈β\␈↓ ε6␈ε↓X
␈βe␈↓ ππ␈ε↓∩␈↓ π2␈ε↓∪
␈βi␈↓ ∧t␈ελt␈↓ ¬{␈ελt␈↓ π≥␈ελn
␈βy␈↓ ∧¬␈ε¬+␈↓ λ*␈εk␈↓ 	Z␈εn␈↓ 	l␈ε→␈␈↓ 
	␈εk␈↓ 
↔␈ε→␈␈ε¬1
␈β␈␈↓ ↓H␈εαprobability␈αthat␈↓ βg␈ελK␈↓ ∧+␈ε⊗∀␈↓ ¬<␈εα=␈↓ πH␈εα(␈↓ πT␈ελk␈↓ πi␈ε⊗␈␈↓ λ⊃␈ελt␈↓ λ≡␈εα)␈↓ λ8␈εα(␈↓ λD␈ελt␈↓ λU␈εα+␈↓ λ|␈ελn␈↓ 	∃␈ε⊗␈␈↓ 	<␈ελk␈↓ 	N␈εα)␈↓ 
B␈εα.␈↓ 
p␈εα(25)
␈β⊂␈↓ ∧]␈∧⊂∧]α:␈↓ ¬n␈∧⊂¬nα(
␈β⊃␈↓ ∧¬␈εn
␈β∃␈↓ ε∧␈εn
␈β_␈↓ ¬n␈ελn␈↓ π∨␈ελk
␈β!␈↓ ¬↓␈∧!¬↓α⊗
␈β"␈↓ ∧]␈ε⊗p
␈β#␈↓ ¬↓␈ελn
␈β1␈↓ ε ␈ε¬0␈ε→∀␈↓ εK␈εk␈↓ εY␈ε→∀␈↓ εv␈εt
␈β|␈↓ ∧≠␈ε→␈
␈β
↓␈↓ ↓H␈εαThe␈αdistribution␈αof␈↓ β⎇␈ελK␈↓ ∧C␈εαis␈αexactly␈αthe␈αsame.␈αEquation␈α(25)␈αwas␈α|rst␈αobtained␈αby
␈β
∪␈↓ ∧≠␈εn
␈β
,␈↓ ↓H␈εαZ.␈αW.␈α
Birn␈α␈baum␈αand␈αFred␈αH.␈αTingey␈α[␈ε∂Annals␈αMath.␈α
Stat.␈ε∩␈α22␈εα␈α(1951),␈α592↑596];␈αit
␈β
W␈↓ ↓H␈εαmay␈αbe␈αused␈αto␈αextend␈αTable␈α2.
␈β∞β␈↓ α␈εαIn␈αhis␈αoriginal␈αpaper,␈αSmirno␈α␈v␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αthat
␈β∞+␈↓ ¬ ␈ε↓⊂␈↓ ε4␈ε↓⊃
␈β∞L␈↓ λ	␈επ2
␈β∞P␈↓ ¬P␈ε¬+␈↓ πR␈ε→␈␈ε¬2␈↓ π⎇␈εs
␈β∞V␈↓ αS␈εαlim␈↓ β_␈εαprobability␈αthat␈↓ ¬2␈ελK␈↓ ¬w␈ε⊗∀␈↓ ε%␈ελs␈↓ εP␈εα=␈α
1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ πD␈ελe␈↓ λ∃␈εα,␈↓ λm␈εαif␈↓ 	K␈ελs␈↓ 	d␈ε⊗∃␈εα␈α
0.␈↓ 
p␈εα(26)
␈β∞h␈↓ ¬P␈εn
␈β∞w␈↓ αF␈εn␈↓ αX␈ε→!1
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαThis␈αtogether␈αwith␈α(25)␈αimplies␈αthat,␈αfor␈αall␈↓ ε}␈ελs␈↓ π↔␈ε⊗∃␈εα␈α
0,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β⊂π␈↓ ¬␈␈εk␈↓ λ∃␈εn␈↓ λ'␈ε→␈␈↓ λD␈εk␈↓ λR␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊂⊂␈↓ ∧>␈ε↓ ␈↓ ¬h␈ε↓!␈↓ ε∞␈ε↓ ␈↓ π}␈ε↓!
␈β⊂∩␈↓ β⊃␈ε↓X
␈β⊂≠␈↓ β|␈ε↓∩␈↓ ∧(␈ε↓∪
␈β⊂≡␈↓ α2␈ελs␈↓ ∧∩␈ελn␈↓ ∧[␈ελk␈↓ ¬@␈ελs␈↓ ε>␈ελs␈↓ πf␈ελk
␈β⊂,␈↓ 	{␈επ2
␈β⊂/␈↓ 	C␈ε→␈␈ε¬2␈↓ 	o␈εs
␈β⊂5␈↓ ↓T␈εαlim␈↓ ∧z␈ε⊗␈␈↓ εn␈εα+␈αλ1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	π␈εα=␈↓ 	5␈ελe␈↓ 
ε␈εα.␈↓ 
p␈εα(27)
␈β⊂E␈↓ α≥␈∧⊂Eα≥α:␈↓ ∧Y␈∧⊂E∧Yα⊗␈↓ ¬*␈∧⊂E¬*α:␈↓ ε)␈∧⊂Eε)α:␈↓ πd␈∧⊂Eπdα⊗
␈β⊂M␈↓ ∧∀␈ελk␈↓ ∧Y␈ελn␈↓ πd␈ελn
␈β⊂V␈↓ ↓H␈εn␈↓ ↓Z␈ε→!␈α␈1
␈β⊂W␈↓ αA␈∧⊂WαAα⊗␈↓ ¬N␈∧⊂W¬Nα⊗␈↓ εM␈∧⊂WεMα⊗
␈β⊂X␈↓ α≥␈ε⊗p␈↓ αA␈ελn␈↓ ¬*␈ε⊗p␈↓ ¬N␈ελn␈↓ ε)␈ε⊗p␈↓ εM␈ελn
␈β⊂h␈↓ α}␈∧⊂hα}α∩
␈β⊂i␈↓ αa␈ε→p
␈β⊂j␈↓ α}␈εn␈↓ β⊂␈εs␈↓ β≤␈ε¬<␈↓ β9␈εk␈↓ βG␈ε→∀␈↓ βd␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.1␈ε∞␈↓ β↑GENERAL␈α	T␈α␈EST␈α	P␈α␈ROCEDU␈α␈R␈α↓ES␈α	F␈α␈OR␈α	STU␈α␈DYING␈α	RA␈α␈NDOM␈α	DA␈α}T␈α⎇A␈↓ λ␈εα55
␈βα(␈↓ ↓H␈εαThe␈α	more␈α
precise␈α	asymptotic␈α
form␈α␈ulas␈α	in␈α
Table␈α
2␈α	follo␈α␈w␈α
from␈α	results␈α
obtained␈α	by
␈βαS␈↓ ↓H␈εαD.␈α
A.␈αDarling␈α[␈ε∂Theory␈αof␈αProb.␈α
and␈αAppl.␈ε∩␈α5␈εα␈α(1960),␈α356-361],␈αwho␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈α
among
␈βαy␈↓ β}␈ε¬+
␈βα}␈↓ ↓H␈εαother␈αthings␈αthat␈↓ β`␈ελK␈↓ ∧$␈ε⊗∀␈↓ ∧R␈ελs␈↓ ∧m␈εαwith␈αprobability
␈ββ⊂␈↓ β}␈εn
␈ββU␈↓ ¬B␈ε↓∩␈↓ λ3␈ε↓∪
␈ββX␈↓ ε"␈εα2
␈ββe␈↓ ¬7␈επ2
␈ββi␈↓ ∧␈␈ε→␈␈ε¬2␈↓ ¬+␈εs
␈ββl␈↓ ε⎇␈∧βlε⎇α⊗
␈ββm␈↓ εY␈ε⊗p
␈ββo␈↓ ∧+␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧q␈ελe␈↓ ¬X␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ε8␈ελs␈↓ εG␈εα/␈↓ ε⎇␈ελn␈↓ π≠␈εα+␈↓ πG␈ελO␈↓ πa␈εα(1/␈↓ λ⊃␈ελn␈↓ λ'␈εα)␈↓ 
p␈εα(28)
␈ββ␈␈↓ ε"␈∧β␈ε"α∩
␈β∧π␈↓ ε"␈εα3
␈β∧]␈↓ ↓H␈εαfor␈αall␈α|x␈α␈ed␈↓ β	␈ελs␈↓ β"␈ε⊗∃␈εα␈α
0.
␈β¬m␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈βεD␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	00␈↓ α;␈εβ]␈α⊗What␈α	l␈α↓in␈α␈e␈α
of␈α	the␈α	chi-squ␈α␈are␈α	tab␈α␈l␈α↓e␈α	sho␈α␈uld␈α	be␈α
u␈α␈sed␈α	to␈α	chec␈α␈k␈α
wh␈α␈eth␈α␈er␈α
or␈α	no␈α␈t␈α
the
␈βεh␈↓ βπ␈εε7
␈βεk␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈↓ α ␈ε	V␈↓ αA␈εβ=␈α
7␈↓ β(␈εβof␈αEq.␈α(␈α↓5␈α␈)␈αi␈α↓s␈αimp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈l␈α↓y␈α
high␈α␈?
␈βεz␈↓ β␈∧εzβα~
␈βε|␈↓ β␈εε48
␈βπ#␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗If␈αt␈α␈w␈α␈o␈α
dice␈α
are␈α
\lo␈α␈ade␈α␈d"␈α
so␈α
tha␈α␈t,␈αon␈α
o␈α␈ne␈α
die,␈αth␈α␈e␈α
valu␈α␈e␈α1␈α
will␈αtur␈α␈n␈α
up␈α
ex␈α␈actly
␈βπJ␈↓ ↓H␈εβt␈α␈wice␈α
as␈αo␈α␈ften␈α
as␈αa␈α␈n␈α␈y␈α
of␈αt␈α␈he␈α
othe␈α␈r␈αva␈α␈lues,␈αa␈α␈nd␈α
the␈α
oth␈α␈er␈αd␈α␈ie␈αis␈αsimilarly␈α
biase␈α␈d␈αto␈α}ward␈α␈s
␈βπr␈↓ ↓H␈εβ6␈α␈,␈αcomp␈α␈ute␈α
the␈α
prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈↓ ∧X␈ε	p␈↓ ∧}␈εβtha␈α␈t␈αa␈αto␈α␈tal␈αof␈αe␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈↓ πL␈ε	s␈↓ πe␈εβwill␈αapp␈α␈ea␈α␈r␈αon␈α
the␈αt␈α␈w␈α␈o␈α
dice,␈αfo␈α␈r
␈βπ⎇␈↓ ∧h␈εs
␈βλ~␈↓ ↓H␈εβ2␈ε↔␈α	∀␈↓ α␈ε	s␈↓ α#␈ε↔∀␈εβ␈α
1␈α␈2.
␈βλM␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλQ␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	23␈↓ α;␈εβ]␈α⊗So␈α␈me␈αd␈α␈ice␈αth␈α␈at␈αw␈α␈ere␈α
l␈α↓o␈α␈ad␈α␈ed␈αa␈α␈s␈αde␈α␈scribed␈α
in␈αth␈α␈e␈αp␈α␈rev␈α␈i␈α↓o␈α␈us␈αex␈α}ercise␈α
we␈α␈re␈αrolled
␈βλx␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈44␈αtime␈α␈s,␈αa␈α␈nd␈α
the␈αfollo␈α␈wing␈α
valu␈α␈es␈αw␈α␈ere␈αob␈α␈serv␈α}ed:
␈β	D␈↓ βg␈εβvalu␈α␈e␈αof␈↓ ∧g␈ε	s␈↓ ∧}␈εβ=␈↓ ¬<␈εβ2␈↓ ¬j␈εβ3␈↓ ε(␈εβ4␈↓ εf␈εβ5␈↓ π$␈εβ6␈↓ πb␈εβ7␈↓ λ ␈εβ8␈↓ λ↑␈εβ9␈↓ 	␈εβ1␈α␈0␈↓ 	J␈εβ1␈α␈1␈↓ 
λ␈εβ12
␈β	v␈↓ αK␈εβo␈α␈bserv␈α}ed␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er,␈↓ ∧V␈ε	Y␈↓ ∧}␈εβ=␈↓ ¬<␈εβ2␈↓ ¬j␈εβ6␈↓ ε↔␈εβ10␈↓ εU␈εβ16␈↓ π∪␈εβ18␈↓ πQ␈εβ32␈↓ λ⊂␈εβ2␈α␈0␈↓ λN␈εβ1␈α␈3␈↓ 	␈εβ1␈α␈6␈↓ 	Z␈εβ9␈↓ 
→␈εβ2
␈β
↓␈↓ ∧j␈εs
␈β
D␈↓ ↓H␈εβAp␈α␈ply␈αth␈α␈e␈αch␈α␈i␈α↓-sq␈α␈uar␈α␈e␈α
t␈α␈est␈αto␈ε⊂␈αthe␈α␈se␈εβ␈αvalu␈α␈es,␈α
u␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ities␈αin␈α(1),␈α
p␈α␈reten␈α␈din␈α␈g␈αit
␈β
k␈↓ ↓H␈εβis␈αn␈α␈ot␈αk␈α␈no␈α␈wn␈αtha␈α␈t␈αthe␈αdice␈αa␈α␈re␈αin␈αfact␈αf␈α↓a␈α␈ulty␈α␈.␈α∞Does␈αth␈α␈e␈αch␈α␈i␈α↓-sq␈α␈ua␈α␈re␈αtest␈αd␈α␈etect␈αt␈α␈he␈αb␈α␈ad
␈β∪␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ice?␈αIf␈αno␈α␈t,␈αex␈α␈pla␈α␈i␈α↓n␈α
wh␈α␈y␈αn␈α␈ot.
␈βF␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βJ␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	23␈↓ α;␈εβ]␈α⊗The␈αau␈α␈tho␈α␈r␈αa␈α␈ctua␈α␈l␈α↓ly␈αob␈α␈tain␈α␈ed␈αthe␈αda␈α␈ta␈αi␈α↓n␈αex␈α␈pe␈α␈ri␈α↓m␈α␈en␈α␈t␈α1␈αof␈α(9␈α␈)␈αby␈αsim␈α␈u␈α␈lating
␈βr␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ice␈α∂in␈α∞which␈α∞on␈α␈e␈α∂was␈α∞no␈α␈rmal,␈α⊂th␈α␈e␈α∂oth␈α␈er␈α∂wa␈α␈s␈α∂load␈α␈ed␈α∞so␈α∞that␈α∞i␈α↓t␈α∞alway␈α␈s␈α∂tur␈α␈ned␈α∞up␈α∞1
␈β→␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈α6␈α␈.␈α~(␈α↓Th␈α␈e␈αl␈α↓a␈α␈tter␈αt␈α␈wo␈αp␈α␈ossib␈α␈i␈α↓lities␈αw␈α␈er␈α␈e␈αeq␈α␈ua␈α␈l␈α↓ly␈αp␈α␈rob␈α␈able.)␈α~Co␈α␈mpu␈α␈te␈αthe␈αp␈α␈roba␈α␈biliti␈α↓e␈α␈s
␈βA␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α
rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈α
(1)␈αin␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
ca␈α␈se,␈αan␈α␈d␈α
by␈α
u␈α␈sing␈α
a␈α
ch␈α␈i␈α↓-sq␈α␈ua␈α␈re␈αte␈α␈st␈αd␈α␈ecide␈α
if␈αth␈α␈e␈α
results␈α
of␈α
tha␈α␈t
␈βi␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xp␈α␈erimen␈α␈t␈αa␈α␈re␈αcon␈α␈sisten␈α␈t␈αwith␈α
the␈αd␈α␈i␈α↓c␈α␈e␈αbein␈α␈g␈αload␈α␈ed␈α
i␈α↓n␈α
this␈αway␈α␈.
␈β
≠␈↓ 	≤␈εε+
␈β
≤␈↓ 
!␈ε~␈
␈β
 ␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	22␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β~␈ε	F␈↓ β1␈εβ(␈↓ β<␈ε	x␈↓ βM␈εβ)␈α∞b␈α␈e␈α∞th␈α␈e␈α∞u␈α␈niform␈α
d␈α␈i␈α↓st␈α␈ri␈α↓b␈α␈ution␈α␈,␈α∞F␈α↓ig.␈α
3(b).␈α∩F␈α↓in␈α␈d␈↓ 	␈ε	K␈↓ 	C␈εβa␈α␈nd␈↓ 
ε␈ε	K␈↓ 
H␈εβfor␈α
the
␈β
/␈↓ 
!␈εε20
␈β
0␈↓ 	≤␈εε2␈α␈0
␈β
H␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈α20␈αo␈α␈bse␈α␈rvatio␈α␈ns:
␈β∞∪␈↓ ↓b␈εβ0␈α␈.␈α↓4␈α␈14,␈α'0␈α␈.␈α↓7␈α␈32,␈α'0␈α␈.␈α↓2␈α␈36␈α␈,␈α(0␈α␈.162␈α␈,␈α(0␈α␈.259␈α␈,␈α'0.442␈α␈,␈α'0.189␈α␈,␈α'0.693␈α␈,␈α'0.098␈α␈,␈α'0.30␈α␈2,
␈β∞F␈↓ ↓b␈εβ0␈α␈.␈α↓4␈α␈42,␈α'0␈α␈.␈α↓4␈α␈34,␈α'0␈α␈.␈α↓1␈α␈41␈α␈,␈α(0␈α␈.017␈α␈,␈α(0␈α␈.318␈α␈,␈α'0.869␈α␈,␈α'0.772␈α␈,␈α'0.678␈α␈,␈α'0.354␈α␈,␈α'0.71␈α␈8,
␈β∂⊃␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α	sta␈α␈te␈α
wh␈α␈eth␈α␈er␈α
th␈α␈ese␈α	ob␈α␈serv␈α␈ation␈α␈s␈α
a␈α␈re␈α
sign␈α␈i|ca␈α␈n␈α␈tly␈α	d␈α␈i␈α↓{eren␈α}t␈α
fro␈α␈m␈α
e␈α␈xp␈α␈ected␈α	b␈α␈eh␈α␈avio␈α␈r
␈β∂9␈↓ ↓H␈εβwith␈α
respe␈α␈ct␈αto␈αeithe␈α␈r␈αof␈αthe␈α␈se␈αt␈α␈w␈α␈o␈αtests.
␈β∂p␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Co␈α␈nside␈α␈r␈↓ ∧¬␈ε	F␈↓ ∧(␈εβ(␈↓ ∧3␈ε	x␈↓ ∧D␈εβ),␈α∞as␈αgiv␈α␈en␈αin␈αEq.␈α
(10),␈α
for␈α
|␈α␈x␈α␈e␈α␈d␈↓ λ%␈ε	x␈↓ λ6␈εβ.␈α⊂W␈α↓h␈α␈at␈α
is␈αthe␈αprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈β∂{␈↓ ∧_␈εn
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊃␈ε	F␈↓ α4␈εβ(␈↓ α?␈ε	x␈↓ αQ␈εβ)␈α=␈↓ β∃␈ε	s␈↓ β#␈εβ/␈↓ β4␈ε	n␈↓ βH␈εβ,␈α
giv␈α␈en␈αa␈α␈n␈α
in␈α␈te␈α␈ger␈↓ ¬X␈ε	s␈↓ ¬e␈εβ?␈α
What␈αi␈α↓s␈αthe␈αmean␈αv␈α␈alue␈αof␈↓ 	→␈ε	F␈↓ 	<␈εβ(␈↓ 	G␈ε	x␈↓ 	X␈εβ)?␈α
Wha␈α␈t␈α
is␈α
the
␈β⊂"␈↓ α$␈εn␈↓ 	+␈εn
␈β⊂?␈↓ ↓H␈εβsta␈α␈nd␈α␈ard␈α
dev␈α␈iation␈α␈?
␈β⊂r␈↓ ∧0␈εε+␈↓ ¬.␈ε~␈
␈β⊂w␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	M15␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α	that␈↓ ∧∀␈ε	K␈↓ ∧S␈εβan␈α␈d␈↓ ¬∪␈ε	K␈↓ ¬Q␈εβcan␈α	ne␈α␈v␈α␈er␈α
b␈α␈e␈α
n␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e.␈αWha␈α␈t␈α
is␈α
the␈α	l␈α↓a␈α␈rgest␈α
p␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e
␈β⊃ε␈↓ ∧0␈εn␈↓ ¬.␈εn
␈β⊃~␈↓ α<␈εε+
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈↓ α ␈ε	K␈↓ α`␈εβcan␈α
be?
␈β⊃-␈↓ α<␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα56␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.1
␈βα%␈↓ 
H␈εε+
␈βα)␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	00␈↓ α;␈εβ]␈α⊗The␈α	te␈α␈xt␈α	de␈α␈scribes␈α	a␈α␈n␈α	ex␈α␈perime␈α␈n␈α␈t␈α	in␈α	which␈αλ20␈α	v␈α␈alues␈α	o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈α	statistic␈↓ 
-␈ε	K␈↓ 
k␈εβw␈α␈ere
␈βα9␈↓ 
H␈εε10
␈βαQ␈↓ ↓H␈εβo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈απi␈α↓n␈απth␈α␈e␈αλstud␈α␈y␈αλo␈α␈f␈αλa␈αλra␈α␈nd␈α␈om␈αλse␈α␈que␈α␈nce␈α␈.␈αTh␈α␈ese␈αλv␈α␈alue␈α␈s␈αλw␈α␈ere␈αλp␈α␈l␈α↓o␈α␈tted,␈αλto␈αλob␈α␈tain␈απFi␈α↓g␈α␈.␈α	4␈α␈,
␈βαy␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
a␈α
KS␈α	statistic␈α
w␈α↓a␈α␈s␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈α␈d␈α
from␈α
the␈α
re␈α␈sulting␈α
gra␈α␈ph␈α␈.␈αW␈α↓h␈α}y␈α
w␈α␈ere␈α
th␈α␈e␈αta␈α␈ble␈α
en␈α␈t␈α␈ri␈α↓e␈α␈s
␈ββ ␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈↓ ↓z␈ε	n␈↓ α↔␈εβ=␈α
2␈α␈0␈α	use␈α␈d␈α	to␈α	stud␈α␈y␈α	th␈α␈e␈α
re␈α␈sulting␈α	sta␈α␈ti␈α↓st␈α␈i␈α↓c,␈α	i␈α↓n␈α␈stead␈αλof␈α
t␈α␈he␈α	tab␈α␈l␈α↓e␈α	e␈α␈n␈α␈tries␈α	for␈↓ 
6␈ε	n␈↓ 
T␈εβ=␈α	10␈α␈?
␈ββJ␈↓ 
␈εε+
␈ββK␈↓ ↓;␈ε↓x
␈ββO␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗The␈α
exp␈α␈erimen␈α}t␈αdesc␈α␈ri␈α↓b␈α␈ed␈α
i␈α↓n␈α
th␈α␈e␈αtex␈α␈t␈αcon␈α␈sisted␈αo␈α␈f␈αplottin␈α␈g␈α20␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αo␈α␈f␈↓ 
n␈ε	K␈↓ #␈εβ,
␈ββ←␈↓ 
␈εε10
␈ββw␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈uted␈αεfrom␈απth␈α␈e␈απ\m␈α␈ax␈α␈i␈α↓m␈α␈u␈α␈m␈απo␈α␈f␈αλ5␈α␈"␈απtest␈απa␈α␈pp␈α␈li␈α↓ed␈αεto␈απd␈α␈i{␈α↓ere␈α␈n␈α␈t␈απp␈α␈arts␈απof␈απa␈αεran␈α␈dom␈αεsequ␈α␈enc␈α␈e.
␈β∧~␈↓ λ|␈ε~␈␈↓ 
≠␈ε~␈
␈β∧≡␈↓ ↓H␈εβWe␈α
co␈α␈uld␈αhav␈α}e␈α
co␈α␈mpu␈α␈ted␈αalso␈α
th␈α␈e␈α
co␈α␈rrespo␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
2␈α␈0␈α
v␈α␈alues␈α
o␈α␈f␈↓ λ`␈ε	K␈↓ 	∃␈εβ;␈α∞since␈↓ 	␈␈ε	K␈↓ 
A␈εβha␈α␈s␈α
the
␈β∧-␈↓ λ|␈εε1␈α␈0␈↓ 
≠␈εε10
␈β∧A␈↓ ∧∪␈εε+
␈β∧F␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈me␈α
distribu␈α␈tion␈α
as␈↓ βw␈ε	K␈↓ ∧,␈εβ,␈αw␈α␈e␈α
cou␈α␈ld␈α
l␈α↓u␈α␈mp␈α
tog␈α␈eth␈α␈er␈αth␈α␈e␈α
40␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈α
th␈α␈us␈α
ob␈α␈tain␈α␈ed␈α
(that␈α
is,
␈β∧V␈↓ ∧∪␈εε1␈α␈0
␈β∧i␈↓ αp␈εε+␈↓ ¬∃␈ε~␈
␈β∧m␈↓ ↓H␈εβ2␈α␈0␈αof␈αthe␈↓ αU␈ε	K␈↓ β
␈εβ's␈αan␈α␈d␈α20␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈↓ ∧y␈ε	K␈↓ ¬.␈εβ's),␈αan␈α␈d␈αa␈αKS␈αte␈α␈st␈αc␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αb␈α␈e␈αap␈α␈plied␈αso␈αth␈α␈at␈αw␈α␈e␈αwo␈α␈uld
␈β∧⎇␈↓ αp␈εε10␈↓ ¬∃␈εε1␈α␈0
␈β¬⊂␈↓ βE␈εε+
␈β¬⊃␈↓ ∧λ␈ε~␈
␈β¬∃␈↓ ↓H␈εβg␈α␈et␈αne␈α␈w␈αv␈α␈alu␈α␈es␈↓ β)␈ε	K␈↓ β↑␈εβ,␈↓ βm␈ε	K␈↓ ∧"␈εβ.␈αDiscu␈α␈ss␈αthe␈αm␈α␈erits␈αof␈αthis␈αidea␈α␈.
␈β¬$␈↓ ∧λ␈εε40
␈β¬%␈↓ βE␈εε4␈α␈0
␈β¬@␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β¬D␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Su␈α␈pp␈α␈ose␈α	a␈α	chi-squ␈α␈are␈α	test␈α	is␈α
d␈α␈one␈α	b␈α␈y␈α
m␈α␈ak␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ π`␈ε	n␈↓ π}␈εβob␈α␈serv␈α␈ation␈α␈s,␈α
and␈α	th␈α␈e␈α	valu␈α␈e␈↓ ∃␈ε	V
␈β¬l␈↓ ↓H␈εβis␈αob␈α␈taine␈α␈d.␈αNo␈α}w␈αw␈α␈e␈αrep␈α␈eat␈αth␈α␈e␈αtest␈αon␈αth␈α␈ese␈αsa␈α␈me␈↓ π1␈ε	n␈↓ πQ␈εβo␈α␈bse␈α␈rvat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈αo␈α␈v␈α}er␈αaga␈α␈i␈α↓n␈α
(getting␈α␈,
␈βε∪␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
c␈α␈our␈α␈se,␈α
th␈α␈e␈αsame␈αre␈α␈sults),␈α
an␈α␈d␈αw␈α␈e␈αp␈α␈ut␈αtog␈α␈eth␈α␈er␈αthe␈αd␈α␈ata␈αfro␈α␈m␈αboth␈αtests,␈α
r␈α␈egard␈α␈ing
␈βε;␈↓ ↓H␈εβit␈αa␈α␈s␈αa␈αs␈α␈i␈α↓n␈α␈gle␈αch␈α␈i-squ␈α␈are␈αte␈α␈st␈αwith␈α2␈↓ ¬B␈ε	n␈↓ ¬a␈εβob␈α␈serva␈α␈tions.␈α_(This␈αp␈α␈roced␈α␈ure␈α
viola␈α␈tes␈αth␈α␈e␈αtex␈α␈t's
␈βεb␈↓ ↓H␈εβstip␈α␈ulation␈αth␈α␈at␈αall␈αof␈αth␈α␈e␈αo␈α␈bserv␈α␈ation␈α␈s␈αm␈α␈u␈α␈st␈αbe␈αi␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈de␈α␈n␈α␈t␈αof␈αo␈α␈ne␈αano␈α␈the␈α␈r.␈α↓)␈α≠Ho␈α}w␈αis
␈βπ
␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αseco␈α␈nd␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αof␈↓ βl␈ε	V␈↓ ∧∂␈εβrela␈α␈ted␈αto␈αt␈α␈he␈α|␈α␈rst␈αon␈α␈e?
␈βπ9␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	10␈↓ α;␈εβ]␈α⊗So␈α␈l␈α↓v␈α}e␈αex␈α}ercise␈α10␈α
sub␈α␈sti␈α↓t␈α␈uting␈α
the␈αKS␈α
test␈αfor␈αth␈α␈e␈αch␈α␈i␈α↓-sq␈α␈uare␈α
test.
␈βπh␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	M28␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈up␈α␈po␈α␈se␈α	a␈α	ch␈α␈i-␈α↓sq␈α␈ua␈α␈re␈α	test␈α	is␈α	ma␈α␈de␈α	o␈α␈n␈α	a␈α	se␈α␈t␈α	of␈↓ π|␈ε	n␈↓ λ→␈εβob␈α␈serva␈α␈tions␈α␈,␈α
assu␈α␈ming␈αλtha␈α␈t
␈βλ∂␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓p␈εβis␈α∞th␈α␈e␈α
pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈αthat␈α
ea␈α␈ch␈α
ob␈α␈serv␈α␈ation␈α
fa␈α␈l␈α↓ls␈α
in␈α␈to␈α
ca␈α␈tego␈α␈ry␈↓ λc␈ε	s␈↓ λq␈εβ;␈α∂b␈α␈ut␈α
sup␈α␈po␈α␈se␈α
tha␈α␈t␈α∞in
␈βλ~␈↓ ↓W␈εs
␈βλ7␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ctua␈α␈l␈α
fact␈αthe␈αob␈α␈serv␈α␈ation␈α␈s␈α
h␈α␈av␈α}e␈α
p␈α␈rob␈α␈ability␈↓ εk␈ε	q␈↓ π∞␈ε↔≤␈↓ π;␈ε	p␈↓ πc␈εβof␈αfall␈α↓in␈α␈g␈α
in␈α}to␈αcateg␈α␈ory␈↓ 
@␈ε	s␈↓ 
N␈εβ.␈α≤(Cf.
␈βλB␈↓ εw␈εs␈↓ πK␈εs
␈βλ←␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α
3.)␈α_We␈α
w␈α␈ould␈α␈,␈αof␈α
cou␈α␈rse,␈αli␈α↓k␈α}e␈α
the␈α
ch␈α␈i␈α↓-sq␈α␈uar␈α␈e␈αtes␈α␈t␈αto␈α
de␈α␈tect␈α
the␈α
fact␈α
tha␈α␈t␈αth␈α␈e␈↓ ⊃␈ε	p
␈βλi␈↓ !␈εs
␈β	ε␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ssum␈α␈ption␈α
w␈α↓a␈α␈s␈αi␈α↓n␈α␈cor␈α␈rect.␈αS␈α␈ho␈α}w␈αt␈α␈hat␈αth␈α␈is␈ε⊂␈αwill␈εβ␈αh␈α␈ap␈α␈pen␈α␈,␈αif␈↓ λ
␈ε	n␈↓ λ)␈εβi␈α↓s␈αlarg␈α␈e␈αen␈α␈oug␈α␈h.␈αP␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈αalso
␈β	.␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αan␈α␈alog␈α␈ou␈α␈s␈αr␈α␈esult␈αfor␈αth␈α␈e␈αKS␈αte␈α␈st.
␈β	]␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈αE␈α↓q␈α␈s.␈α(1␈α␈3)␈αare␈αeq␈α␈uiv␈α␈alen␈α␈t␈αto␈α
E␈α↓q␈α␈s.␈α(1␈α␈1).
␈β
λ␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈26␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βH␈ε	Z␈↓ βo␈εβbe␈α
g␈α␈iv␈α␈en␈α	by␈α
Eq␈α␈.␈α(1␈α␈8).␈αSh␈α␈o␈α␈w␈α
direc␈α␈tl␈α↓y␈α	by␈α	using␈α	Stirling's␈α
ap␈α␈pr␈α␈o␈α␈xima␈α␈-
␈β
⊗␈↓ βZ␈εs
␈β
3␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈n␈αtha␈α␈t␈αthe␈αm␈α}ultinom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity
␈β
G␈↓ ε<␈ε↓p
␈β
b␈↓ ε`␈∧
bε`α↓l
␈β
f␈↓ β≠␈εY␈↓ βt␈εY
␈β
g␈↓ ¬g␈ε~␈␈↓ ε␈εV␈↓ ε∩␈εε/2␈↓ 	3␈ε~␈␈↓ 	L␈εk␈↓ 	Z␈εε/␈α␈2
␈β
j␈↓ π.␈εk␈↓ π;␈ε~␈␈εε1
␈β
l␈↓ αm␈ε	n␈↓ β↓␈εβ!␈↓ β
␈ε	p␈↓ β6␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βc␈ε	p␈↓ ∧⊂␈εβ/␈↓ ∧!␈ε	Y␈↓ ∧A␈εβ!␈↓ ∧P␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧|␈ε	Y␈↓ ¬≥␈εβ!␈α	=␈↓ ¬Z␈ε	e␈↓ ε,␈εβ/␈↓ ε`␈εβ(2␈↓ ε|␈ε	n␈↓ π⊂␈ε	→␈↓ π"␈εβ)␈↓ πa␈ε	p␈↓ λα␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ/␈ε	p␈↓ λS␈εβ+␈↓ λ|␈ε	O␈↓ 	∀␈εβ(␈↓ 	∨␈ε	n␈↓ 	s␈εβ),
␈β
n␈↓ β+␈επ1␈↓ ∧∧␈ε
k
␈β
w␈↓ ∧4␈εε1␈↓ ¬∂␈εk␈↓ πp␈εε1␈↓ λ?␈εk
␈β
|␈↓ β≠␈εε1␈↓ βt␈εk
␈β ␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓h␈ε	Z␈↓ αε␈εβ,␈↓ α∃␈ε	Z␈↓ α3␈εβ,␈↓ αB␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αo␈εβ,␈↓ α⎇␈ε	Z␈↓ β(␈εβare␈αbo␈α␈un␈α␈ded␈αas␈↓ ¬∪␈ε	n␈↓ ¬2␈ε↔!␈α1␈εβ.␈α≤(This␈αidea␈αl␈α↓ea␈α␈ds␈αto␈αa␈αp␈α␈roo␈α␈f␈α
o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈αchi-squ␈α␈are
␈β*␈↓ ↓z␈εε1␈↓ α'␈εε2␈↓ β∂␈εk
␈βG␈↓ ↓H␈εβte␈α␈st␈α∞t␈α␈hat␈α
is␈α
m␈α␈uc␈α␈h␈α
closer␈α
to␈α
\␈α␈|rst␈α
p␈α␈ri␈α↓n␈α␈ciples,"␈α
and␈αrequ␈α␈ires␈α
l␈α↓e␈α␈ss␈α∞h␈α␈an␈α␈dwa␈α␈ving␈α␈,␈α∞tha␈α␈n␈α
the
␈βo␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eriva␈α␈tion␈αin␈αth␈α␈e␈αtex␈α␈t.)
␈β≡␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈24␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Polar␈αco␈α␈ord␈α␈i␈α↓n␈α␈ate␈α␈s␈αi␈α↓n␈αt␈α␈w␈α␈o␈αdimen␈α␈sions␈αare␈αc␈α␈on␈α␈v␈α}en␈α␈tio␈α␈nally␈αtak␈α␈e␈α␈n␈αto␈αbe␈↓ 
o␈ε	x␈↓ ␈εβ=
␈βE␈↓ ↓H␈ε	r␈↓ ↓\␈εβco␈α␈s␈↓ α∞␈ε	∩␈↓ α'␈εβan␈α␈d␈↓ αh␈ε	y␈↓ β∧␈εβ=␈↓ β/␈ε	r␈↓ βC␈εβsin␈↓ βq␈ε	∩␈↓ ∧␈εβ.␈αF␈α↓o␈α␈r␈αthe␈αp␈α␈urp␈α␈oses␈αof␈αin␈α␈teg␈α␈ration␈α␈,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e␈↓ λp␈ε	d␈↓ 	α␈ε	x␈↓ 	→␈ε	d␈↓ 	+␈ε	y␈↓ 	G␈εβ=␈↓ 	r␈ε	r␈↓ 
ε␈ε	d␈↓ 
→␈ε	r␈↓ 
-␈ε	d␈↓ 
?␈ε	∩␈↓ 
N␈εβ.␈αMore
␈βm␈↓ ↓H␈εβg␈α␈ene␈α␈rally,␈αi␈α↓n␈↓ βε␈ε	n␈↓ β~␈εβ-dimen␈α␈sion␈α␈al␈αspac␈α␈e␈αw␈α␈e␈αcan␈α
l␈α↓e␈α␈t
␈β
 ␈↓ α↔␈ε	x␈↓ α=␈εβ=␈↓ αg␈ε	r␈↓ α|␈εβs␈α␈i␈α↓n␈↓ β*␈ε	∩␈↓ βG␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βy␈εβsin␈↓ ∧'␈ε	∩␈↓ ∧k␈εβco␈α␈s␈↓ ¬≥␈ε	∩␈↓ ¬5␈εβ,␈↓ ε1␈ε↔␈α	∀␈↓ εP␈ε	k␈↓ εj␈εβ<␈↓ π∃␈ε	n␈↓ π)␈εβ,␈↓ π␈␈ε	x␈↓ λ(␈εβ=␈↓ λS␈ε	r␈↓ λg␈εβsin␈↓ 	∃␈ε	∩␈↓ 	3␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	d␈εβsi␈α↓n␈↓ 
∪␈ε	∩␈↓ 
T␈εβ.
␈β
+␈↓ α&␈εk␈↓ β5␈εε1␈↓ ∧2␈εk␈↓ ∧@␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬(␈εk␈↓ λ∂␈εn␈↓ 	 ␈εε1␈↓ 
≡␈εn␈↓ 
.␈ε~␈␈εε1
␈β
S␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ho␈α}w␈αt␈α␈hat␈αin␈αt␈α␈his␈αcase
␈β
↑␈↓ ¬α␈ε↓␈␈↓ 	W␈ε↓␈
␈β
t␈↓ ¬α␈ε↓␈␈↓ 	W␈ε↓␈
␈β∞β␈↓ ε↓␈εn␈↓ ε⊃␈ε~␈␈εε␈α↓2
␈β∞¬␈↓ ¬≥␈εn␈↓ ¬-␈ε~␈␈εε1
␈β∞	␈↓ ¬α␈ε↓␈␈↓ 	W␈ε↓␈
␈β∞␈↓ βλ␈ε	d␈↓ β~␈ε	x␈↓ β<␈ε	d␈↓ βN␈ε	x␈↓ βp␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧≤␈ε	d␈↓ ∧/␈ε	x␈↓ ∧X␈εβ=␈↓ ¬∞␈ε	r␈↓ ¬X␈εβsi␈α↓n␈↓ ε=␈ε	∩␈↓ εZ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π␈εβsin␈↓ π:␈ε	∩␈↓ λ↓␈ε	d␈↓ λ∪␈ε	r␈↓ λ'␈ε	d␈↓ λ:␈ε	∩␈↓ λW␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	∧␈ε	d␈↓ 	⊗␈ε	∩␈↓ 	c␈εβ.
␈β∞∃␈↓ β*␈εε1␈↓ β↑␈εε2␈↓ ∧>␈εn␈↓ εH␈εε1␈↓ πE␈εn␈↓ πV␈ε~␈␈εε2␈↓ λE␈εε1␈↓ 	!␈εn␈↓ 	1␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β∞N␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∞R␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈35␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Gen␈α␈eralize␈αTh␈α␈eorem␈α
1.2.11.3␈α␈A␈αto␈α
|n␈α␈d␈αth␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αof
␈β∂β␈↓ ε.␈∧∂βε.α#
␈β∂∧␈↓ ε
␈ε↔p
␈β∂
␈↓ ∧?␈ε	␈
␈↓ ∧R␈εβ(␈↓ ∧]␈ε	x␈↓ ∧v␈εβ+␈απ1,␈↓ ¬>␈ε	x␈↓ ¬W␈εβ+␈↓ ¬␈␈ε	z␈↓ ε.␈εβ2␈↓ ε?␈ε	x␈↓ εX␈εβ+␈↓ π↓␈ε	y␈↓ π∪␈εβ)/␈(␈↓ πN␈ε	x␈↓ πg␈εβ+␈αλ1␈α␈),
␈β∂>␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α
larg␈α␈e␈↓ αI␈ε	x␈↓ αd␈εβan␈α␈d␈α	|␈α␈x␈α␈ed␈↓ βr␈ε	y␈↓ ∧∧␈εβ,␈↓ ∧∪␈ε	z␈↓ ∧!␈εβ.␈α
Di␈α↓sre␈α␈gard␈αλterms␈α	of␈α	the␈α	a␈α␈nsw␈α␈er␈α	tha␈α␈t␈α	are␈↓ λj␈ε	O␈↓ 	α␈εβ(1/␈↓ 	/␈ε	x␈↓ 	@␈εβ).␈αUse␈α	this␈α	resu␈α␈lt
␈β∂e␈↓ ↓H␈εβto␈α
|n␈α␈d␈αth␈α␈e␈αap␈α␈pro␈α␈x␈α␈imate␈αso␈α␈lution␈α␈,␈↓ ¬5␈ε	t␈↓ ¬A␈εβ,␈αto␈αth␈α␈e␈αeq␈α␈uatio␈α␈n
␈β⊂↓␈↓ εO␈ε↓⊂␈↓ εy␈ε↓⊃
␈β⊂∩␈↓ ¬*␈ε↓∩␈↓ ¬␈␈ε↓∪␈↓ ε∃␈ε↓≡
␈β⊂_␈↓ ¬D␈ε	↔␈↓ ¬m␈ε	t␈↓ εe␈ε	↔
␈β⊂.␈↓ ¬_␈ε	␈
␈↓ ¬X␈εβ,␈↓ ε:␈εβ␈␈↓ π_␈εβ=␈↓ πB␈ε	p␈↓ πS␈εβ,
␈β⊂<␈↓ ¬D␈∧⊂<¬Dα⊃␈↓ ¬k␈∧⊂<¬kα⊃␈↓ εe␈∧⊂<εeα⊃
␈β⊂F␈↓ ¬D␈εβ2␈↓ ¬k␈εβ2␈↓ εe␈εβ2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α∞larg␈α␈e␈↓ αR␈ε	↔␈↓ αo␈εβa␈α␈nd␈α
|␈α␈x␈α␈ed␈↓ ∧¬␈ε	p␈↓ ∧⊗␈εβ,␈α∞th␈α␈ereb␈α␈y␈α
acco␈α␈un␈α}ti␈α↓n␈α␈g␈α
for␈α
the␈α
asy␈α␈mpto␈α␈tic␈α∞fo␈α␈rm␈α␈ulas␈α
ind␈α␈i␈α↓c␈α␈ated␈α
in
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβTa␈α␈ble␈α1.␈α→[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:␈εβ␈αS␈α␈ee␈αex␈α}ercise␈α1␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓1␈α␈1.3↑␈α␈8.]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.2␈ε∞␈↓ λ<EMPIRICA␈α␈L␈α	TEST␈α␈S␈↓ λ␈εα57
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈26␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βI␈ε	t␈↓ β`␈εβbe␈αa␈α
|x␈α}ed␈αrea␈α␈l␈αn␈α}um␈α}ber.␈αFor␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ π>␈ε	k␈↓ πX␈ε↔∀␈↓ λβ␈ε	n␈↓ λ↔␈εβ,␈αlet
␈βαb␈↓ β,␈ε↓Z␈↓ ∧6␈ε↓Z␈↓ ε<␈ε↓Z␈↓ λ␈ε↓Z␈↓ 	Z␈ε↓Z
␈βαk␈↓ βP␈εx␈↓ ∧Z␈εx␈↓ ε`␈εx␈↓ λ/␈εx␈↓ 	}␈εx
␈βαq␈↓ ∧g␈ε
n
␈βαs␈↓ εm␈ε
k␈↓ εz␈επ+␈α␈2␈↓ λ<␈ε
k␈↓ λI␈επ+␈α␈1␈↓ 
␈επ2
␈ββ⊃␈↓ α ␈ε	P␈↓ αQ␈εβ(␈↓ α\␈ε	x␈↓ αm␈εβ)␈α
=␈↓ β␈␈ε	d␈↓ ∧⊃␈ε	x␈↓ ¬.␈ε	d␈↓ ¬A␈ε	x␈↓ ε⊂␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π1␈ε	d␈↓ πC␈ε	x␈↓ λv␈ε	d␈↓ 	λ␈ε	x␈↓ 	.␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
≤␈ε	d␈↓ 
/␈ε	x␈↓ 
K␈εβ;
␈ββ≤␈↓ α3␈εn␈↓ αD␈εk␈↓ ∧ ␈εn␈↓ ¬P␈εn␈↓ ¬`␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ πS␈εk␈↓ π`␈εε+1␈↓ 	_␈εk␈↓ 
>␈εε1
␈ββ5␈↓ β@␈εn␈↓ βQ␈ε~␈␈↓ βj␈εt␈↓ ∧J␈εn␈↓ ∧[␈ε~␈␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ ¬~␈εt␈↓ εP␈εk␈↓ ε]␈εε+1␈ε~␈␈↓ π≤␈εt␈↓ λ∨␈εε0␈↓ 	n␈εε0
␈ββr␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αco␈α␈n␈α␈v␈α}en␈α␈tion␈α␈,␈αl␈α↓e␈α␈t␈↓ βY␈ε	P␈↓ ∧¬␈εβ(␈↓ ∧⊂␈ε	x␈↓ ∧"␈εβ)␈α	=␈α
1␈α␈.␈αPro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈e␈αfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈αrelat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns:
␈ββ⎇␈↓ βl␈εε00
␈β∧/␈↓ β_␈ε↓Z␈↓ ∧0␈ε↓Z␈↓ ε∪␈ε↓Z␈↓ πX␈ε↓Z␈↓ 	"␈ε↓Z
␈β∧8␈↓ β<␈εx␈↓ βK␈εε+␈↓ βd␈εt␈↓ ∧T␈εx␈↓ ε7␈εx␈↓ π|␈εx␈↓ 	F␈εx
␈β∧?␈↓ ∧a␈ε
n
␈β∧@␈↓ εD␈ε
k␈↓ εQ␈επ+␈α␈2␈↓ λ	␈ε
k␈↓ λ⊗␈επ+␈α␈1␈↓ 	S␈επ2
␈β∧↑␈↓ ↓e␈εβa)␈↓ α␈ε	P␈↓ α=␈εβ(␈↓ αH␈ε	x␈↓ αY␈εβ)␈α
=␈↓ βy␈ε	d␈↓ ∧␈ε	x␈↓ ¬ε␈ε	d␈↓ ¬_␈ε	x␈↓ ¬g␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ε}␈ε	d␈↓ π⊂␈ε	x␈↓ λ=␈ε	d␈↓ λO␈ε	x␈↓ λu␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	i␈ε	d␈↓ 	|␈ε	x␈↓ 
_␈εβ.
␈β∧i␈↓ α∨␈εn␈↓ α0␈εk␈↓ ∧~␈εn␈↓ ¬'␈εn␈↓ ¬8␈ε~␈␈εε1␈↓ π∨␈εk␈↓ π-␈εε+1␈↓ λ←␈εk␈↓ 
␈εε1
␈β¬α␈↓ β,␈εn␈↓ ∧D␈εn␈↓ ∧U␈ε~␈␈εε1␈↓ ε'␈εk␈↓ ε4␈εε+␈α↓1␈↓ πl␈εt␈↓ 	6␈εt
␈β¬#␈↓ β{␈εn␈↓ ¬M␈εn␈↓ ¬↑␈ε~␈␈εε1
␈β¬'␈↓ ↓c␈εβb)␈↓ α␈ε	P␈↓ α<␈εβ(␈↓ αG␈ε	x␈↓ αY␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ β#␈ε	x␈↓ β<␈εβ+␈↓ βd␈ε	t␈↓ βp␈εβ)␈↓ ∧␈εβ/␈↓ ∧≤␈ε	n␈↓ ∧0␈εβ!␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈αλ(␈↓ ∧u␈ε	x␈↓ ¬∞␈εβ+␈↓ ¬6␈ε	t␈↓ ¬B␈εβ)␈↓ εβ␈εβ/(␈↓ ε∨␈ε	n␈↓ ε:␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)!.
␈β¬1␈↓ α∨␈εn␈↓ α0␈εε0
␈β¬R␈↓ ¬>␈εk
␈β¬W␈↓ ∧[␈εβ(␈↓ ∧f␈ε	k␈↓ ∧}␈ε↔␈␈↓ ¬'␈ε	t␈↓ ¬3␈εβ)
␈β¬m␈↓ ↓g␈εβc)␈↓ α␈ε	P␈↓ α=␈εβ(␈↓ αH␈ε	x␈↓ αY␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ β∃␈ε	P␈↓ β|␈εβ(␈↓ ∧π␈ε	x␈↓ ∧→␈εβ)␈α	=␈↓ ¬O␈ε	P␈↓ ε6␈εβ(␈↓ εA␈ε	x␈↓ εZ␈ε↔␈␈↓ πβ␈ε	k␈↓ π∪␈εβ),␈αif␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ λ⊗␈ε	k␈↓ λ0␈ε↔∀␈↓ λ[␈ε	n␈↓ λo␈εβ.
␈β¬w␈↓ α∨␈εn␈↓ α0␈εk
␈β¬x␈↓ β(␈εn␈↓ β8␈εε(␈↓ βA␈εk␈↓ βN␈ε~␈␈εε1)␈↓ ¬b␈εε(␈↓ ¬k␈εn␈↓ ¬{␈ε~␈␈↓ ε∀␈εk␈↓ ε!␈εε)␈α↓0
␈β¬{␈↓ ∧[␈∧¬{∧[αp
␈βε∧␈↓ ¬ε␈ε	k␈↓ ¬↔␈εβ!
␈βε*␈↓ ↓c␈εβd)␈↓ α␈εβOb␈α␈tain␈αa␈αg␈α␈ene␈α␈ral␈αform␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α
for␈↓ ¬:␈ε	P␈↓ ¬k␈εβ(␈↓ ¬v␈ε	x␈↓ ελ␈εβ),␈αan␈α␈d␈αa␈α␈pp␈α␈l␈α↓y␈α
i␈α↓t␈αto␈α
the␈αe␈α␈valu␈α␈ation␈α
of␈αEq.␈α(␈α↓2␈α␈4).
␈βε5␈↓ ¬N␈εn␈↓ ¬↑␈εk
␈βεX␈↓ ε≠␈ε~␈␈↓ 
␈εε+
␈βε\␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈e␈α¬a␈αε\simp␈α␈l␈α↓e␈α␈"␈αεrea␈α␈son␈αεwh␈α}y␈↓ ε␈ε	K␈↓ ε;␈εβh␈α␈as␈αεth␈α␈e␈αεsame␈α¬prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈αεd␈α␈istribu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αεa␈α␈s␈↓ 
n␈ε	K␈↓ #␈εβ.
␈βεk␈↓ ε≠␈εn␈↓ 
␈εn
␈βπ∞␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈48␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Dev␈α}elop␈αtests,␈α
an␈α␈alogo␈α␈us␈α
t␈α␈o␈α
th␈α␈e␈α
Ko␈α␈l␈α↓o␈α␈mog␈α␈ro␈α␈v↑␈α␈Sm␈α␈i␈α↓rn␈α␈o␈α␈v␈αtest,␈α
for␈α
u␈α␈se␈α
with
␈βπ6␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultivaria␈α␈te␈α⊂distribu␈α␈tions␈↓ ∧R␈ε	F␈↓ ∧i␈εβ(␈↓ ∧t␈ε	x␈↓ ¬⊂␈εβ,␈↓ ¬∨␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬K␈εβ,␈↓ ¬Z␈ε	x␈↓ ¬v␈εβ)␈α∩=␈↓ εF␈εβp␈α␈roba␈α␈bility␈αth␈α␈at␈↓ λ:␈εβ(␈↓ λE␈ε	X␈↓ λ{␈ε↔∀␈↓ 	.␈ε	x␈↓ 	J␈εβ,␈↓ 	Y␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
¬␈εβ,␈↓ 
∀␈ε	X␈↓ 
I␈ε↔∀␈↓ 
|␈ε	x␈↓ _␈εβ).
␈βπ@␈↓ ¬∧␈εε1␈↓ ¬j␈εr␈↓ λ\␈εε1␈↓ 	=␈εε1␈↓ 
+␈εr␈↓ ␈εr
␈βπ]␈↓ ↓H␈εβ(S␈α␈uch␈αpro␈α␈ced␈α␈ures␈αco␈α␈uld␈αb␈α␈e␈αuse␈α␈d,␈α
fo␈α␈r␈α
e␈α␈xam␈α␈ple,␈α
in␈αp␈α␈lace␈αo␈α␈f␈α
th␈α␈e␈α\ser␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
test␈α␈"␈αi␈α↓n␈αthe␈αn␈α␈ex␈α␈t
␈βλ¬␈↓ ↓H␈εβse␈α␈ction.)
␈βλ7␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈41␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Ded␈α␈uce␈α
furth␈α␈er␈αte␈α␈rms␈αo␈α␈f␈αthe␈α
asy␈α␈mpt␈α␈otic␈αb␈α␈eha␈α␈vior␈α
of␈αth␈α␈e␈αKS␈α
d␈α␈i␈α↓strib␈α␈ution␈α␈,
␈βλ←␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xten␈α␈din␈α␈g␈α(28).
␈β	⊃␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ[␈ε	M40␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Altho␈α␈ug␈α␈h␈α	th␈α␈e␈α	te␈α␈xt␈α	sta␈α␈tes␈α	th␈α␈at␈αλthe␈αλKS␈α	te␈α␈st␈α	sh␈α␈ould␈αλbe␈αλap␈α␈plied␈αλonly␈αλwhe␈α␈n␈↓ 
n␈ε	F␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β	4␈↓ ∪␈εε+
␈β	8␈↓ ↓H␈εβis␈α
a␈α
c␈α␈on␈α␈tin␈α}uou␈α␈s␈α
distrib␈α␈ution␈αfun␈α␈ction,␈α
i␈α↓t␈α
is,␈α∞o␈α␈f␈α∞c␈α␈ou␈α␈rse,␈α∞p␈α␈ossible␈α
to␈α
tr␈α␈y␈α
to␈α
co␈α␈mp␈α␈ute␈↓ 
x␈ε	K
␈β	G␈↓ ∪␈εn
␈β	\␈↓ α$␈ε~␈␈↓ ∪␈εε+
␈β	`␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α	␈ε	K␈↓ αI␈εβe␈α␈v␈α␈en␈αwh␈α␈en␈αth␈α␈e␈αdistribu␈α␈tion␈αh␈α␈as␈αjump␈α␈s.␈αAna␈α␈lyze␈αth␈α␈e␈αprob␈α␈ab␈α␈le␈αb␈α␈eh␈α␈avio␈α␈r␈αo␈α␈f␈↓ 
x␈ε	K
␈β	o␈↓ α$␈εn␈↓ ∪␈εn
␈β
β␈↓ α#␈ε~␈
␈β
π␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	K␈↓ αG␈εβfor␈αv␈α␈ariou␈α␈s␈αd␈α␈iscon␈α}ti␈α↓n␈α}uo␈α␈us␈α
distribu␈α␈tion␈α␈s␈↓ ε␈␈ε	F␈↓ π⊗␈εβ(␈↓ π!␈ε	x␈↓ π3␈εβ).␈αCom␈α␈pa␈α␈re␈αth␈α␈e␈αe␈α␈{␈α↓ec␈α␈ti␈α↓v␈α}ene␈α␈ss␈αo␈α␈f␈αthe
␈β
⊗␈↓ α#␈εn
␈β
/␈↓ ↓H␈εβre␈α␈sulting␈αλstatistical␈α	t␈α␈est␈α	with␈αλthe␈αλchi-squ␈α␈are␈αλtest␈α	o␈α␈n␈α	se␈α␈v␈α␈era␈α␈l␈α	samp␈α␈les␈α	of␈αλran␈α␈dom␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers.
␈β
a␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈46␈↓ αm␈εβ]␈α⊗In␈α␈v␈α}estigate␈α	the␈α	\imp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α␈d"␈α	KS␈α	test␈α
su␈α␈gge␈α␈sted␈α	i␈α↓n␈α	th␈α␈e␈α
a␈α␈nsw␈α␈er␈α
t␈α␈o␈α
ex␈α}ercise␈α
6␈α␈.
␈β∪␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(T.␈α∞G␈α␈onz␈α␈alez,␈α∞S␈α␈.␈α∞S␈α␈ahn␈α␈i,␈α∞and␈αW␈α↓.␈α
R.␈α∞Fran␈α}ta.)␈α≡(a␈α␈)␈α∞S␈α␈up␈α␈po␈α␈se␈α
tha␈α␈t␈α∞th␈α␈e␈α
max␈α␈i-
␈β6␈↓ π,␈εε+
␈β;␈↓ ↓H␈εβm␈α}um␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α
i␈α↓n␈αf␈α↓o␈α␈rm␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α
(13␈α␈)␈α∞fo␈α␈r␈α∞th␈α␈e␈α∞K␈α␈S␈α
statistic␈↓ π⊂␈ε	K␈↓ πS␈εβo␈α␈ccu␈α␈rs␈α∞a␈α␈t␈α∞a␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α
ind␈α␈ex␈↓ 
;␈ε	j␈↓ 
W␈εβwhere
␈βJ␈↓ π,␈εn
␈βb␈↓ ↓H␈ε↔b␈↓ ↓U␈ε	n␈↓ ↓n␈ε	F␈↓ α¬␈εβ(␈↓ α⊂␈ε	X␈↓ α4␈εβ)␈ε↔c␈εβ␈α	=␈↓ β␈ε	k␈↓ β⊂␈εβ.␈αPro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈↓ ∧I␈ε	F␈↓ ∧a␈εβ(␈↓ ∧l␈ε	X␈↓ ¬∂␈εβ)␈α	=␈↓ ¬N␈εβmax␈↓ εg␈ε↔f␈↓ ε⎇␈ε	F␈↓ π∀␈εβ(␈↓ π∨␈ε	X␈↓ πA␈εβ)␈ε↔␈α
j␈α	b␈↓ πu␈ε	n␈↓ λ∂␈ε	F␈↓ λ&␈εβ(␈↓ λ1␈ε	X␈↓ λS␈εβ)␈ε↔c␈εβ␈α	=␈↓ 	∨␈ε	k␈↓ 	5␈ε↔g␈↓ 	F␈εβ.␈α→(b)␈αDesign␈α
an
␈βm␈↓ α(␈εj␈↓ ¬β␈εj␈↓ ε
␈εε1␈ε~∀␈↓ ε3␈εi␈↓ ε=␈ε~∀␈↓ εW␈εn␈↓ π7␈εi␈↓ λH␈εi
␈βε␈↓ ∧[␈εε+␈↓ ¬[␈ε~␈
␈β
␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈αtha␈α␈t␈αcalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈tes␈↓ ∧?␈ε	K␈↓ ∧␈␈εβan␈α␈d␈↓ ¬@␈ε	K␈↓ ε␈εβin␈↓ ε&␈ε	O␈↓ ε>␈εβ(␈↓ εJ␈ε	n␈↓ ε↑␈εβ)␈αstep␈α␈s␈α(withou␈α␈t␈αsortin␈α␈g).
␈β→␈↓ ∧[␈εn␈↓ ¬[␈εn
␈β8␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β<␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβ[␈ε	40␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Exp␈α␈erimen␈α}t␈αλwi␈α↓th␈απva␈α␈rious␈αλp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈απdistribu␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αλ(␈↓ λ9␈ε	p␈↓ λJ␈εβ,␈↓ λX␈ε	q␈↓ λg␈εβ,␈↓ λv␈ε	r␈↓ 	¬␈εβ)␈αλo␈α␈n␈αλth␈α␈ree␈αλca␈α␈tego␈α␈ries,
␈βc␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α)␈ε	p␈↓ αB␈εβ+␈↓ αk␈ε	q␈↓ βα␈εβ+␈↓ β,␈ε	r␈↓ βE␈εβ=␈α1,␈α
b␈α␈y␈αco␈α␈mpu␈α␈ting␈αth␈α␈e␈αex␈α␈act␈αd␈α␈i␈α↓st␈α␈ri␈α↓b␈α␈ution␈αof␈αthe␈αchi-squ␈α␈are␈αsta␈α␈tisti␈α↓c
␈β
␈↓ ↓H␈ε	V␈↓ ↓m␈εβfor␈α
va␈α␈rious␈↓ β~␈ε	n␈↓ β.␈εβ,␈α∞there␈α␈by␈α
d␈α␈etermin␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
ho␈α}w␈α∞ac␈α␈cura␈α␈te␈α∞a␈α␈n␈α
ap␈α␈pro␈α␈x␈α␈imation␈α
th␈α␈e␈α
chi-squ␈α␈are
␈β
3␈↓ ↓H␈εβd␈α␈istribu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αwith␈αt␈α␈w␈α␈o␈αd␈α␈egre␈α␈es␈αof␈αfreed␈α␈om␈αre␈α␈all␈α↓y␈α
is.
␈β∞+␈↓ ↓H␈ε≥3␈α␈.3.2.␈α
Empirical␈α
Te␈α␈s␈α↓ts
␈β∞l␈↓ α␈εαIn␈α⊂this␈α⊂section␈α⊂w␈α␈e␈α⊂shall␈α∂discuss␈α⊂ten␈α⊂kinds␈α⊂of␈α⊂speci|c␈α⊂tests␈α⊂that␈α⊂hav␈α␈e␈α∂been
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαapplied␈αto␈αsequences␈αin␈αorder␈αto␈αin␈α␈v␈α␈estigate␈αtheir␈αrandomness.␈αThe␈αdiscussion␈αof
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαeach␈α
test␈αhas␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
parts:␈α∞(a)␈α
a␈α
\plug-in"␈α
description␈α
of␈α
ho␈α␈w␈α
to␈α
perform␈α
the␈αtest;
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαand␈α∞(b)␈α∞a␈α∂study␈α∞of␈α∞the␈α∂theoretical␈α∞basis␈α∂for␈α∞the␈α∞test.␈α≡(Readers␈α∞lacking␈α∞mathe-
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαmatical␈α
training␈α
may␈α
wish␈α
to␈α
skip␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α
theoretical␈α
discussions.␈α∂Con␈α␈v␈α␈ersely,
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαmathematically-inclined␈α∞readers␈α∂may␈α∂|nd␈α∂the␈α∞associated␈α∂theory␈α∂quite␈α∞in␈α␈terest-
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαing,␈α⊃ev␈α␈en␈α⊂if␈α⊃they␈α⊂nev␈α␈er␈α⊂in␈α␈tend␈α⊃to␈α⊂test␈α⊂random-n␈α␈um␈α␈ber␈α⊃generators,␈α⊃since␈α⊂some
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαinstructiv␈α␈e␈αcom␈α␈binatorial␈αquestions␈αare␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈αhere.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα58␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.2
␈βα(␈↓ α␈εαEach␈αtest␈αis␈αapplied␈αto␈αa␈αsequence
␈βα}␈↓ ¬_␈ε⊗h␈↓ ¬$␈ελU␈↓ ¬M␈ε⊗i␈εα␈α
=␈↓ ε⊃␈ελU␈↓ ε7␈εα,␈↓ εG␈ελU␈↓ εl␈εα,␈↓ ε|␈ελU␈↓ π"␈εα,␈↓ π2␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α␈εα(1)
␈ββ␈↓ ¬;␈εn␈↓ ε(␈ε¬0␈↓ ε↑␈ε¬1␈↓ π∪␈ε¬2
␈ββU␈↓ ↓H␈εαof␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈α
which␈αpurports␈α
to␈αbe␈αindependen␈α␈tly␈α
and␈αuniformly␈αdistributed
␈β∧␈↓ ↓H␈εαbet␈α␈w␈α␈een␈α	zero␈α	and␈α	one.␈αSome␈α	of␈α	the␈α	tests␈α	are␈αλdesigned␈α	primarily␈α	for␈α	in␈α␈teger-valued
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαsequences,␈α⊃instead␈α∂of␈α⊂the␈α⊂real-valued␈α⊂sequence␈α⊂(1).␈α_In␈α⊂this␈α⊂case,␈α⊃the␈α∂auxiliary
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαsequence
␈β¬α␈↓ ¬∀␈ε⊗h␈↓ ¬ ␈ελY␈↓ ¬G␈ε⊗i␈εα␈α
=␈↓ ε␈ελY␈↓ ε/␈εα,␈↓ ε?␈ελY␈↓ εb␈εα,␈↓ εr␈ελY␈↓ π⊗␈εα,␈↓ π&␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πV␈εα,␈↓ α␈εα(2)
␈β¬∂␈↓ ¬5␈εn␈↓ ε ␈ε¬0␈↓ εT␈ε¬1␈↓ ππ␈ε¬2
␈β¬F␈↓ ↓H␈εαwhich␈αis␈αde|ned␈αby␈αthe␈αrule
␈β¬q␈↓ ¬Y␈ελY␈↓ ε
␈εα=␈ε⊗␈α
b␈↓ εF␈ελd␈↓ εZ␈ελU␈↓ πβ␈ε⊗c␈εα,␈↓ α␈εα(3)
␈β¬␈␈↓ ¬n␈εn␈↓ εq␈εn
␈βε6␈↓ ↓H␈εαis␈αused␈αinstead.␈αThis␈αis␈αa␈αsequence␈αof␈αin␈α␈tegers␈αthat␈αpurports␈αto␈αbe␈αindependen␈α␈tly
␈βεa␈↓ ↓H␈εαand␈α∂uniformly␈α∂distributed␈α⊂bet␈α␈w␈α␈een␈α∂0␈α∂and␈↓ εm␈ελd␈↓ π␈ε⊗␈␈εα␈α
1.␈α⊗The␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈↓ 	>␈ελd␈↓ 	b␈εαis␈α∂chosen␈α∂for
␈βππ␈↓ λ+␈ε¬6
␈βπ␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈v␈α␈enience;␈α∞for␈α∞example,␈α∞w␈α␈e␈α∞migh␈α␈t␈α∞hav␈α␈e␈↓ εe␈ελd␈↓ πε␈εα=␈α
64␈α
=␈↓ λ→␈εα2␈↓ λG␈εαon␈α∞a␈α∞binary␈α
computer,
␈βπ7␈↓ ↓H␈εαso␈α∞that␈↓ αE␈ελY␈↓ αz␈εαrepresen␈α␈ts␈α∞the␈α∞six␈α∞most␈α∞signi|can␈α␈t␈α∞bits␈α∞of␈α∞the␈α∞binary␈α
represen␈α␈tation
␈βπE␈↓ αZ␈εn
␈βπb␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓q␈ελU␈↓ α~␈εα.␈αThe␈αvalue␈αof␈↓ ∧α␈ελd␈↓ ∧!␈εαshould␈αbe␈αlarge␈αenough␈αso␈αthat␈αthe␈αtest␈αis␈αmeaningful,␈αbut
␈βπp␈↓ αλ␈εn
␈βλ∞␈↓ ↓H␈εαnot␈αso␈αlarge␈αthat␈αthe␈αtest␈αbecomes␈αimpracticably␈αdi}cult␈αto␈αcarry␈αout.
␈βλ9␈↓ α␈εαThe␈α	quan␈α␈tities␈↓ βu␈ελU␈↓ ∧≡␈εα,␈↓ ∧2␈ελY␈↓ ∧Y␈εα,␈α	and␈↓ ¬0␈ελd␈↓ ¬M␈εαwill␈α	hav␈α␈e␈α	the␈α	abo␈α␈v␈α␈e␈α	signi|cance␈α	throughout␈α	this
␈βλF␈↓ ∧␈εn␈↓ ∧G␈εn
␈βλd␈↓ ↓H␈εαsection,␈αalthough␈αthe␈αvalue␈αof␈↓ ¬(␈ελd␈↓ ¬H␈εαwill␈αprobably␈αbe␈αdi{eren␈α␈t␈αin␈αdi{eren␈α␈t␈αtests.
␈β	%␈↓ ↓H␈ε∩A.␈α
Equidistribution␈α
test␈α
(Frequency␈α∞test).␈εα␈α≠The␈α∞|rst␈α
requiremen␈α␈t␈α
that␈α
sequence
␈β	P␈↓ ↓H␈εα(1)␈α∂m␈α␈ust␈α⊂meet␈α∂is␈α⊂that␈α∂its␈α⊂n␈α␈um␈α␈bers␈α∂are,␈α⊃in␈α∂fact,␈α⊂uniformly␈α⊂distributed␈α∂bet␈α␈w␈α␈een
␈β	{␈↓ ↓H␈εαzero␈αand␈α
one.␈α∂There␈αare␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
ways␈α
to␈α
mak␈α␈e␈α
this␈αtest:␈α≠(a)␈α
Use␈α
the␈αKolmogoro␈α␈v↑
␈β
&␈↓ ↓H␈εαSmirno␈α␈v␈αtest,␈αwith␈↓ βx␈ελF␈↓ ∧⊃␈εα(␈↓ ∧≥␈ελx␈↓ ∧0␈εα)␈α
=␈↓ ∧t␈ελx␈↓ ¬∩␈εαfor␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ε∀␈ελx␈↓ ε1␈ε⊗∀␈εα␈α
1.␈α_(b)␈αLet␈↓ λ
␈ελd␈↓ λ,␈εαbe␈αa␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈ber,
␈β
R␈↓ ↓H␈εαe.g.,␈α∞100␈α
on␈α∞a␈α
decimal␈α∞computer,␈α∞64␈α
or␈α∞128␈α∞on␈α
a␈α∞binary␈α
computer,␈α∞and␈α∞use␈α
the
␈β
⎇␈↓ ↓H␈εαsequence␈α∞(2)␈α∞instead␈α∞of␈α∂(1).␈α∩For␈α∞each␈α∂in␈α␈teger␈↓ π≠␈ελr␈↓ π+␈εα,␈α∞0␈ε⊗␈α∞∀␈↓ λ∃␈ελr␈↓ λ2␈εα<␈↓ λd␈ελd␈↓ λx␈εα,␈α∂coun␈α␈t␈α∞the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber
␈β(␈↓ ↓H␈εαof␈α
times␈α∞that␈↓ β%␈ελY␈↓ βT␈εα=␈↓ ∧∧␈ελr␈↓ ∧"␈εαfor␈α
0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬+␈ελj␈↓ ¬H␈εα<␈↓ ¬y␈ελn␈↓ ε∞␈εα,␈α∂and␈α
then␈α∞apply␈α
the␈α∞chi-square␈α∞test␈α
using
␈β5␈↓ β:␈εj
␈βS␈↓ ↓H␈ελk␈↓ ↓c␈εα=␈↓ α⊃␈ελd␈↓ α2␈εαand␈αprobability␈↓ ∧2␈ελp␈↓ ∧Y␈εα=␈α
1/␈↓ ¬+␈ελd␈↓ ¬K␈εαfor␈αeach␈αcategory.
␈βa␈↓ ∧C␈εs
␈β}␈↓ α␈εαThe␈αtheory␈αbehind␈αthis␈αtest␈αhas␈αbeen␈αco␈α␈v␈α␈ered␈αin␈αSection␈α3.3.1.
␈β?␈↓ ↓H␈ε∩B.␈απSerial␈απtest.␈εα␈α
More␈απgenerally,␈αλw␈α␈e␈απwan␈α␈t␈απpairs␈απof␈απsuccessiv␈α␈e␈απn␈α␈um␈α␈bers␈αεto␈απbe␈απuniformly
␈βj␈↓ ↓H␈εαdistributed␈αin␈αan␈αindependen␈α␈t␈αmanner.␈αThe␈αsun␈αcomes␈αup␈αjust␈αabout␈αas␈αoften␈αas
␈β
⊗␈↓ ↓H␈εαit␈αgoes␈αdo␈α␈wn,␈αin␈αthe␈αlong␈αrun,␈αbut␈αthis␈αdoesn't␈αmak␈α␈e␈αits␈αmotion␈αrandom.
␈β
A␈↓ α␈εαTo␈αλcarry␈απout␈αλthe␈απserial␈αλtest,␈αλcoun␈α␈t␈αλthe␈απn␈α␈um␈α␈ber␈αλof␈απtimes␈αλthe␈απpair␈αλ(␈↓ 	V␈ελY␈↓ 
π␈εα,␈↓ 
↔␈ελY␈↓ 
r␈εα)␈α
=
␈β
N␈↓ 	k␈ε¬2␈↓ 	y␈εj␈↓ 
,␈ε¬2␈↓ 
:␈εj␈↓ 
G␈ε¬+1
␈β
l␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελq␈↓ ↓d␈εα,␈↓ ↓t␈ελr␈↓ α∧␈εα)␈α
occurs,␈α
for␈α
0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧⊂␈ελj␈↓ ∧+␈εα<␈↓ ∧Y␈ελn␈↓ ∧n␈εα;␈αthese␈α
coun␈α␈ts␈α
are␈α
to␈αbe␈α
made␈α
for␈α
each␈α
pair␈α
of␈α
in␈α␈tegers
␈β∞∩␈↓ ≡␈ε¬2
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελq␈↓ ↓d␈εα,␈↓ ↓t␈ελr␈↓ α∧␈εα)␈α⊂with␈α⊂0␈ε⊗␈α⊃∀␈↓ βN␈ελq␈↓ β↑␈εα,␈↓ βn␈ελr␈↓ ∧∂␈εα<␈↓ ∧D␈ελd␈↓ ∧X␈εα,␈α⊃and␈α⊂the␈α⊂chi-square␈α⊂test␈α⊃is␈α⊂applied␈α⊂to␈α⊂these␈↓ 
2␈ελk␈↓ 
U␈εα=␈↓ 
␈ελd
␈β∞=␈↓ ¬5␈ε¬2
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαcategories␈α
with␈α
probability␈α
1/␈↓ ¬!␈ελd␈↓ ¬P␈εαin␈α
each␈α
category.␈α∂As␈α
with␈α
the␈α
equidistribution
␈β∞n␈↓ ↓H␈εαtest,␈↓ α↔␈ελd␈↓ α5␈εαmay␈αbe␈α
an␈α␈y␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈ber,␈α
but␈αit␈αwill␈α
be␈αsomewhat␈α
smaller␈αthan␈α
the
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαvalues␈αλsuggested␈α	abo␈α␈v␈α␈e␈αλsince␈α	a␈αλvalid␈α	chi-square␈αλtest␈α	should␈αλhav␈α␈e␈↓ 	"␈ελn␈↓ 	@␈εαlarge␈αλcompared
␈β∂?␈↓ βQ␈ε¬2
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαto␈↓ ↓t␈ελk␈↓ α⊃␈εα(say␈↓ α]␈ελn␈↓ α⎇␈ε⊗∃␈εα␈α
5␈↓ β=␈ελd␈↓ βl␈εαat␈αleast).
␈β∂o␈↓ α␈εαClearly␈α⊂w␈α␈e␈α∂can␈α⊂generalize␈α⊂this␈α⊂test␈α∂to␈α⊂triples,␈α⊃quadruples,␈α⊂etc.,␈α⊃instead␈α∂of
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαpairs␈α(see␈α
ex␈α␈ercise␈α2);␈α
ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
the␈α
value␈αof␈↓ π↓␈ελd␈↓ π"␈εαm␈α␈ust␈αthen␈α
be␈αsev␈α␈erely␈α
reduced␈αin
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαorder␈α	to␈α	av␈α␈oid␈α
having␈α	too␈α	man␈α␈y␈α
categories.␈αWhen␈α	quadruples␈α
and␈α	larger␈α	n␈α␈um␈α␈bers
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαof␈α∞adjacen␈α␈t␈α∂elemen␈α␈ts␈α∂are␈α∂considered,␈α⊂w␈α␈e␈α∞therefore␈α∂mak␈α␈e␈α∂use␈α∂of␈α∂less␈α∂exact␈α∞tests
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαsuch␈αas␈αthe␈αpok␈α␈er␈αtest␈αor␈αthe␈αmaxim␈α␈um␈αtest␈αdescribed␈αbelo␈α␈w.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.2␈ε∞␈↓ λ<EMPIRICA␈α␈L␈α	TEST␈α␈S␈↓ λ␈εα59
␈βα/␈↓ ¬f␈ε The␈αequanimity␈αof␈αy␈α␈our␈αav␈α␈erage␈αtosser␈αof␈αcoins
␈βαW␈↓ ε≤␈ε depends␈αupon␈αa␈αlaw␈α.␈α.␈α.␈αwhich␈αensures␈αthat
␈βα}␈↓ ε⊃␈ε he␈αwill␈αnot␈αupset␈αhimself␈αby␈αlosing␈αtoo␈αmuch
␈ββ&␈↓ ¬␈␈ε nor␈αupset␈αhis␈αopponent␈αby␈αwinning␈αtoo␈αoften.
␈ββ`␈↓ β9␈ε∨←TOM␈αSTOPP␈α⎇ARD,␈ε ␈αRosencrantz␈α&␈αGuildenstern␈αare␈αDead␈ε∨␈α(1966)
␈β∧h␈↓ α␈εαNote␈α∞that␈α
2␈↓ βG␈ελn␈↓ βk␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈α
of␈α∞the␈α∞sequence␈α
(2)␈α∞are␈α∞used␈α
in␈α∞this␈α
test␈α∞in␈α∞order␈α
to
␈β¬∀␈↓ ↓H␈εαmak␈α␈e␈↓ α*␈ελn␈↓ αN␈εαobservations.␈α∃It␈α∂w␈α␈ould␈α∞be␈α∂a␈α∂mistak␈α␈e␈α∂to␈α∂perform␈α∂the␈α∂serial␈α∂test␈α∂on␈α∞the
␈β¬?␈↓ ↓H␈εαpairs␈α	(␈↓ α)␈ελY␈↓ αL␈εα,␈↓ α\␈ελY␈↓ α␈␈εα),␈α
(␈↓ β+␈ελY␈↓ βN␈εα,␈↓ β↑␈ελY␈↓ ∧α␈εα),␈↓ ∧!␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧Q␈εα,␈α
(␈↓ ∧q␈ελY␈↓ ¬C␈εα,␈↓ ¬S␈ελY␈↓ ¬z␈εα);␈α
can␈α	the␈α	reader␈α	see␈α	wh␈α␈y?␈αWe␈α	migh␈α␈t␈αλperform
␈β¬L␈↓ α>␈ε¬0␈↓ αq␈ε¬1␈↓ β@␈ε¬1␈↓ βs␈ε¬2␈↓ ¬ε␈εn␈↓ ¬_␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬h␈εn
␈β¬j␈↓ ↓H␈εαanother␈αserial␈α
test␈αon␈α
the␈α
pairs␈α(␈↓ ¬G␈ελY␈↓ ε#␈εα,␈↓ ε3␈ελY␈↓ π∂␈εα),␈α
and␈αexpect␈α
the␈αsequence␈α
to␈αpass
␈β¬w␈↓ ¬\␈ε¬2␈↓ ¬k␈εj␈↓ ¬x␈ε¬+1␈↓ εH␈ε¬2␈↓ εV␈εj␈↓ εd␈ε¬+␈α␈2
␈βε∃␈↓ ↓H␈εαboth␈α∞tests.␈α∃Alternativ␈α␈ely,␈α∂I.␈α∂J.␈α∞Good␈α∂has␈α∂pro␈α␈v␈α␈ed␈α∂that␈α∞if␈↓ λP␈ελd␈↓ λs␈εαis␈α∂prime,␈α∂and␈α∂if␈α∞the
␈βε@␈↓ ↓H␈εαpairs␈α	(␈↓ α)␈ελY␈↓ αM␈εα,␈↓ α]␈ελY␈↓ β␈εα),␈α
(␈↓ β,␈ελY␈↓ βP␈εα,␈↓ β`␈ελY␈↓ ∧β␈εα),␈↓ ∧#␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧S␈εα,␈α
(␈↓ ∧s␈ελY␈↓ ¬E␈εα,␈↓ ¬U␈ελY␈↓ ¬|␈εα)␈α
are␈α
used,␈α
and␈α	if␈α
w␈α␈e␈α
use␈α	the␈α
usual␈α	chi-square
␈βεN␈↓ α>␈ε¬0␈↓ αr␈ε¬1␈↓ βA␈ε¬1␈↓ βu␈ε¬2␈↓ ¬λ␈εn␈↓ ¬~␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬j␈εn
␈βεl␈↓ ↓H␈εαmethod␈α
to␈α
compute␈α∞both␈α
the␈α
statistics␈↓ ε8␈ελV␈↓ εg␈εαfor␈α∞the␈α
serial␈α
test␈α∞and␈↓ 	N␈ελV␈↓ 	}␈εαfor␈α
the␈α
fre-
␈βεy␈↓ εL␈ε¬2␈↓ 	b␈ε¬1
␈βπ↔␈↓ ↓H␈εαquency␈α
test␈α	on␈↓ β3␈ελY␈↓ βW␈εα,␈↓ βg␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧↔␈εα,␈↓ ∧'␈ελY␈↓ ¬β␈εαwith␈α
the␈α	same␈α
value␈α
of␈↓ πl␈ελd␈↓ λ␈εα,␈αthen␈↓ λd␈ελV␈↓ 	␈ε⊗␈␈εα␈α¬2␈↓ 	G␈ελV␈↓ 	t␈εαshould␈α	hav␈α␈e
␈βπ$␈↓ βH␈ε¬0␈↓ ∧<␈εn␈↓ ∧N␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ λx␈ε¬2␈↓ 	[␈ε¬1
␈βπ=␈↓ ε&␈ε¬2
␈βπB␈↓ ↓H␈εαthe␈α	chi-square␈α	distribution␈α
with␈α	(␈↓ ¬G␈ελd␈↓ ¬`␈ε⊗␈␈εα␈α∧1␈↓ ε~␈εα)␈↓ ε>␈εαdegrees␈α	of␈α
freedom␈α	when␈↓ 	C␈ελn␈↓ 	b␈εαis␈α
large.␈α∩(See
␈βπm␈↓ ↓H␈ε∂Proc.␈α∂Cam␈α␈bridge␈α∞Phil.␈α∂Soc.␈ε∩␈α∂49␈εα␈α∂(1953),␈α⊂276↑284;␈ε∂␈α⊂Annals␈α∂Math.␈α∂Stat.␈ε∩␈α∂28␈εα␈α∞(1957),
␈βλ_␈↓ ↓H␈εα262↑264.)
␈βλT␈↓ ↓H␈ε∩C.␈α⊂Gap␈α⊂test.␈εα␈α!Another␈α⊃test␈α⊂is␈α⊂used␈α⊃to␈α⊂examine␈α⊂the␈α⊂length␈α⊃of␈α⊂\gaps"␈α⊂bet␈α␈w␈α␈een
␈βλ␈␈↓ ↓H␈εαoccurrences␈αof␈↓ β3␈ελU␈↓ βc␈εαin␈α
a␈α
certain␈αrange.␈α∞If␈↓ ε7␈ελ␈↓ εX␈εαand␈↓ π≡␈ελ␈␈↓ πA␈εαare␈αt␈α␈w␈α␈o␈α
real␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α
with␈α
0␈ε⊗␈α
∀
␈β	
␈↓ βJ␈εj
␈β	+␈↓ ↓H␈ελ␈↓ ↓k␈εα<␈↓ α≡␈ελ␈␈↓ αC␈ε⊗∀␈εα␈α∂1,␈α⊂w␈α␈e␈α∂wan␈α␈t␈α∂to␈α∂consider␈α∂the␈α∂lengths␈α∂of␈α∂consecutiv␈α␈e␈α∂subsequences␈↓ 
}␈ελU␈↓ "␈εα,
␈β	8␈↓ ∃␈εj
␈β	V␈↓ ↓H␈ελU␈↓ α↔␈εα,␈↓ α.␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α↑␈εα,␈↓ αv␈ελU␈↓ βQ␈εαin␈α∞which␈↓ ∧f␈ελU␈↓ ¬A␈εαlies␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈↓ π␈ελ␈↓ π-␈εαand␈↓ πt␈ελ␈␈↓ λ↔␈εαbut␈α
the␈α
other␈↓ 	y␈ελU␈↓ 
⊗␈εα's␈α
do␈α
not.
␈β	c␈↓ ↓←␈εj␈↓ ↓l␈ε¬+1␈↓ β
␈εj␈↓ β~␈ε¬+␈↓ β7␈εr␈↓ ∧⎇␈εj␈↓ ¬
␈ε¬+␈↓ ¬'␈εr
␈β
↓␈↓ ↓H␈εα(This␈αsubsequence␈αof␈↓ ∧~␈ελr␈↓ ∧1␈εα+␈αλ1␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αrepresen␈α␈ts␈αa␈αgap␈αof␈αlength␈↓ 	.␈ελr␈↓ 	>␈εα.)
␈β
=␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈απG␈εα␈αλ(␈ε∂Data␈απfor␈αλgap␈απtest␈εα)␈ε∩.␈εα␈α∂The␈απfollo␈α␈wing␈αλalgorithm,␈αλapplied␈απto␈αλthe␈απsequence
␈β
h␈↓ ↓H␈εα(1)␈α
for␈α
an␈α␈y␈α
giv␈α␈en␈α
values␈α
of␈↓ ∧x␈ελ␈↓ ¬→␈εαand␈↓ ¬`␈ελ␈␈↓ ¬v␈εα,␈α
coun␈α␈ts␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
gaps␈α
of␈α
lengths␈α
0,␈α
1,
␈β∪␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓x␈εα,␈↓ α␈ελt␈↓ α≠␈ε⊗␈␈εα␈αβ1␈α	and␈αλthe␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈αλof␈α	gaps␈αλof␈α	length␈ε⊗␈αλ∃␈↓ π␈ελt␈↓ π→␈εα,␈α	un␈α␈til␈↓ π}␈ελn␈↓ λ≤␈εαgaps␈αλhav␈α␈e␈α	been␈αλtabulated.
␈βF␈↓ ↓H␈ε∩G1.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α→Set␈↓ ∧	␈ελj␈↓ ∧$␈ε⊗ ␈α
␈␈εα1,␈↓ ¬≡␈ελs␈↓ ¬7␈ε⊗ ␈εα␈α
0,␈αand␈αset␈↓ π␈ε∃C␈α␈OUN␈α␈T␈↓ πr␈εα[␈↓ π|␈ελr␈↓ λ␈εα]␈ε⊗␈α
 ␈εα␈α
0␈αfor␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	n␈ελr␈↓ 
λ␈ε⊗∀␈↓ 
6␈ελt␈↓ 
C␈εα.
␈βz␈↓ ↓H␈ε∩G2.␈↓ α␈εα[Set␈↓ αT␈ελr␈↓ αp␈εαzero.]␈α→Set␈↓ ∧≠␈ελr␈↓ ∧5␈ε⊗ ␈εα␈α
0.
␈β-␈↓ ↓H␈ε∩G3.␈↓ α␈εα[␈↓ α⊗␈ελ␈↓ α4␈ε⊗∀␈↓ αb␈ελU␈↓ β⊂␈εα<␈↓ β>␈ελ␈␈↓ βT␈εα?]␈α~Increase␈↓ ¬⊂␈ελj␈↓ ¬,␈εαby␈α1.␈αIf␈↓ ε,␈ελU␈↓ εZ␈ε⊗∃␈↓ πλ␈ελ␈↓ π(␈εαand␈↓ πn␈ελU␈↓ λ≤␈εα<␈↓ λJ␈ελ␈␈↓ λa␈εα,␈αgo␈αto␈αstep␈αG5.
␈β;␈↓ αy␈εj␈↓ εC␈εj␈↓ λ¬␈εj
␈βa␈↓ ↓H␈ε∩G4.␈↓ α␈εα[Increase␈↓ β ␈ελr␈↓ β0␈εα.]␈α→Increase␈↓ ∧g␈ελr␈↓ ¬β␈εαby␈αone,␈αand␈αreturn␈αto␈αstep␈αG3.
␈β
∀␈↓ ↓H␈ε∩G5.␈↓ α␈εα[Record␈α∂gap␈α∂length.]␈α≡(A␈α∂gap␈α∂of␈α∂length␈↓ π	␈ελr␈↓ π'␈εαhas␈α∂no␈α␈w␈α∂been␈α∂found.)␈α≡If␈↓ 
D␈ελr␈↓ 
c␈ε⊗∃␈↓ ∃␈ελt␈↓ "␈εα,
␈β
?␈↓ α␈εαincrease␈↓ β∀␈ε∃CO␈α␈UNT␈↓ β|␈εα[␈↓ ∧ε␈ελt␈↓ ∧∪␈εα]␈αby␈αone,␈αotherwise␈αincrease␈↓ πQ␈ε∃C␈α␈OUN␈α␈T␈↓ λ8␈εα[␈↓ λB␈ελr␈↓ λR␈εα]␈αby␈αone.
␈β
s␈↓ ↓H␈ε∩G6.␈↓ α␈εα[␈↓ α⊗␈ελn␈↓ α8␈εαgaps␈αfound?]␈α→Increase␈↓ ¬∨␈ελs␈↓ ¬:␈εαby␈αone.␈αIf␈↓ ε↑␈ελs␈↓ εw␈εα<␈↓ π%␈ελn␈↓ π;␈εα,␈αreturn␈αto␈αstep␈αG2.
␈β
x␈↓ 
⊗␈∧
x
⊗≠∂
␈β∞.␈↓ α␈εαAfter␈α∂this␈α∞algorithm␈α∂has␈α∂been␈α∂performed,␈α∂the␈α∂chi-square␈α∞test␈α∂is␈α∂applied␈α∞to
␈β∞Z␈↓ ↓H␈εαthe␈↓ απ␈ελk␈↓ α$␈εα=␈↓ αT␈ελt␈↓ αj␈εα+␈α	1␈α
values␈α
of␈↓ ∧P␈ε∃COU␈α␈NT␈↓ ¬8␈εα[0],␈↓ ¬u␈ε∃CO␈α␈UNT␈↓ ε]␈εα[1],␈↓ π~␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πJ␈εα,␈↓ πa␈ε∃COU␈α␈NT␈↓ λI␈εα[␈↓ λS␈ελt␈↓ λ`␈εα],␈α
using␈α
the␈α
follo␈α␈wing
␈β∂¬␈↓ ↓H␈εαprobabilities:
␈β∂K␈↓ π:␈ε¬2
␈β∂P␈↓ ↓l␈ελp␈↓ α∃␈εα=␈↓ αC␈ελp␈↓ αU␈εα,␈↓ β-␈ελp␈↓ βW␈εα=␈↓ ∧¬␈ελp␈↓ ∧↔␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧i␈ελp␈↓ ∧{␈εα),␈↓ ¬←␈ελp␈↓ ε	␈εα=␈↓ ε7␈ελp␈↓ εI␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π≠␈ελp␈↓ π.␈εα)␈↓ πH␈εα,␈↓ λ ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λP␈εα,
␈β∂]␈↓ ↓⎇␈ε¬0␈↓ β>␈ε¬1␈↓ ¬p␈ε¬2
␈β∂v␈↓ πT␈εt␈↓ π←␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
&␈εt
␈β∂{␈↓ ¬S␈ελp␈↓ ε$␈εα=␈↓ εR␈ελp␈↓ εd␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π6␈ελp␈↓ πH␈εα)␈↓ λ
␈εα,␈↓ λb␈ελp␈↓ 	λ␈εα=␈α
(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 
λ␈ελp␈↓ 
~␈εα)␈↓ 
0␈εα.␈↓ α(4)
␈β⊂λ␈↓ ¬d␈εt␈↓ ¬n␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λs␈εt
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαHere␈↓ α≠␈ελp␈↓ α8␈εα=␈↓ αf␈ελ␈␈↓ ββ␈ε⊗␈␈↓ β/␈ελ␈↓ βB␈εα,␈αthe␈αprobability␈αthat␈↓ ε≥␈ελ␈↓ ε;␈ε⊗∀␈↓ εi␈ελU␈↓ π↔␈εα<␈↓ πE␈ελ␈␈↓ π[␈εα.␈αThe␈αvalues␈αof␈↓ 	R␈ελn␈↓ 	s␈εαand␈↓ 
8␈ελt␈↓ 
Q␈εαare␈αto
␈β⊂S␈↓ π␈εj
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαbe␈α
chosen,␈αas␈αusual,␈αso␈αthat␈αeach␈α
of␈αthe␈αvalues␈αof␈↓ πI␈ε∃C␈α␈OUN␈α␈T␈↓ λ0␈εα[␈↓ λ:␈ελr␈↓ λJ␈εα]␈αis␈α
expected␈αto␈αbe␈α5␈α
or
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαmore,␈αpreferably␈αmore.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα60␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.2
␈β¬C␈↓ ↓H␈ε∪Fig.␈α
6.␈εβ␈α_Gat␈α␈herin␈α␈g␈αd␈α␈ata␈α
for␈α
th␈α␈e␈αg␈α␈ap␈α
test.␈α_(Algo␈α␈rithms␈α
for␈α
the␈α
\c␈α␈oup␈α␈on␈α␈-collector␈α␈'␈α↓s␈α
test"
␈β¬k␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
the␈α\␈α␈run␈α
test"␈αa␈α␈re␈αsi␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈r.␈α↓)
␈βεi␈↓ α␈εαThe␈α
gap␈α
test␈α
is␈αoften␈α
applied␈α
with␈↓ ε6␈ελ␈↓ εU␈εα=␈α0␈αor␈↓ πP␈ελ␈␈↓ πr␈εα=␈α1␈α
in␈α
order␈α
to␈α
omit␈α
one␈αof
␈βπ⊃␈↓ λs␈ε¬1␈↓ 	\␈ε¬1
␈βπ∀␈↓ ↓H␈εαthe␈α
comparisons␈α∞in␈α
step␈α
G3.␈α⊃The␈α
special␈α∞cases␈α
(␈↓ π>␈ελ␈↓ πR␈εα,␈↓ πb␈ελ␈␈↓ πx␈εα)␈α
=␈α(0,␈↓ 	¬␈εα)␈α∞or␈α
(␈↓ 	o␈εα,␈αε1)␈α
giv␈α␈e␈α
rise
␈βπ$␈↓ λs␈∧π$λsα∂␈↓ 	\␈∧π$	\α∂
␈βπ'␈↓ λs␈ε¬2␈↓ 	\␈ε¬2
␈βπ?␈↓ ↓H␈εαto␈α
tests␈α
that␈α
are␈α∞sometimes␈α
called␈α
\runs␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α
the␈α∞mean"␈α
and␈α
\runs␈α
belo␈α␈w␈α
the
␈βπj␈↓ ↓H␈εαmean,"␈αrespectiv␈α␈ely.
␈βλ⊗␈↓ α␈εαThe␈α
probabilities␈α∞in␈α
Eq.␈α
(4)␈α
are␈α
easily␈α∞deduced,␈α
so␈α
this␈α∞derivation␈α
is␈α
left␈α
to
␈βλA␈↓ ↓H␈εαthe␈αreader.␈α∞Note␈αthat␈α
the␈αgap␈α
test␈αas␈α
described␈αabo␈α␈v␈α␈e␈α
observ␈α␈es␈αthe␈α
lengths␈αof␈↓ ↔␈ελn
␈βλl␈↓ ↓H␈ε∂gaps␈↓ α∞␈εα;␈αit␈αdoes␈αnot␈α
observ␈α␈e␈αthe␈αgap␈α
lengths␈αamong␈↓ π@␈ελn␈↓ π`␈ε∂n␈α␈um␈α␈bers.␈εα␈αIf␈αthe␈αsequence␈ε⊗␈αh␈↓ 
x␈ελU␈↓  ␈ε⊗i
␈βλy␈↓ ∂␈εn
␈β	↔␈↓ ↓H␈εαis␈α
su}cien␈α␈tly␈α
nonrandom,␈αAlgorithm␈αG␈α
may␈α
not␈αterminate.␈αOther␈αgap␈α
tests␈α
that
␈β	B␈↓ ↓H␈εαexamine␈αa␈α|x␈α␈ed␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈↓ ∧w␈ελU␈↓ ¬∀␈εα's␈αhav␈α␈e␈αalso␈αbeen␈αproposed␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α5).
␈β
β␈↓ ↓H␈ε∩D.␈αλPok␈α␈er␈αλtest␈αλ(Partition␈αλtest).␈εα␈α⊂The␈α	\classical"␈αλpok␈α␈er␈αλtest␈αλconsiders␈↓ 	A␈ελn␈↓ 	←␈εαgroups␈αλof␈αλ|v␈α␈e
␈β
.␈↓ ↓H␈εαsuccessiv␈α␈e␈α
in␈α␈tegers,␈α
(␈↓ ∧ε␈ελY␈↓ ∧7␈εα,␈↓ ∧G␈ελY␈↓ ¬#␈εα,␈↓ ¬3␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬c␈εα,␈↓ ¬s␈ελY␈↓ εN␈εα)␈αfor␈α
0␈ε⊗␈α
∀␈↓ πe␈ελj␈↓ π␈␈εα<␈↓ λ-␈ελn␈↓ λC␈εα,␈α
and␈α
observ␈α␈es␈α
which␈α
of
␈β
;␈↓ ∧≠␈ε¬5␈↓ ∧*␈εj␈↓ ∧\␈ε¬5␈↓ ∧j␈εj␈↓ ∧w␈ε¬+1␈↓ ελ␈ε¬5␈↓ ε⊗␈εj␈↓ ε#␈ε¬+4
␈β
Y␈↓ ↓H␈εαthe␈αfollo␈α␈wing␈αsev␈α␈en␈αpatterns␈αis␈αmatched␈αby␈αeach␈αquin␈α␈tuple:
␈β.␈↓ β∀␈εαAll␈αdi{eren␈α␈t:␈↓ ¬#␈ελa␈↓ ¬5␈ελb␈↓ ¬C␈ελc␈↓ ¬R␈ελd␈↓ ¬f␈ελe␈↓ πJ␈εαFull␈αhouse:␈↓ 	@␈ελa␈↓ 	Q␈ελa␈↓ 	c␈ελa␈↓ 	u␈ελb␈↓ 
∧␈ελb
␈βg␈↓ βG␈εαOne␈αpair:␈↓ ¬#␈ελa␈↓ ¬5␈ελa␈↓ ¬G␈ελb␈↓ ¬U␈ελc␈↓ ¬c␈ελd␈↓ πλ␈εαFour␈αof␈αa␈αkind:␈↓ 	@␈ελa␈↓ 	Q␈ελa␈↓ 	c␈ελa␈↓ 	u␈ελa␈↓ 
π␈ελb
␈β ␈↓ β2␈εαTw␈α␈o␈αPairs:␈↓ ¬#␈ελa␈↓ ¬5␈ελa␈↓ ¬G␈ελb␈↓ ¬U␈ελb␈↓ ¬d␈ελc␈↓ π∂␈εαFiv␈α␈e␈αof␈αa␈αkind:␈↓ 	@␈ελa␈↓ 	Q␈ελa␈↓ 	c␈ελa␈↓ 	u␈ελa␈↓ 
π␈ελa
␈βZ␈↓ α[␈εαThree␈αof␈αa␈αkind:␈↓ ¬#␈ελa␈↓ ¬5␈ελa␈↓ ¬G␈ελa␈↓ ¬Y␈ελb␈↓ ¬g␈ελc
␈β
/␈↓ ↓H␈εαA␈αchi-square␈αtest␈αis␈αbased␈αon␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αquin␈α␈tuples␈αin␈αeach␈αcategory.
␈β
Z␈↓ α␈εαIt␈αλis␈α	reasonable␈αλto␈αλask␈α	for␈αλa␈αλsomewhat␈α	simpler␈αλv␈α␈ersion␈αλof␈α	this␈αλtest,␈α	to␈αλfacilitate
␈β∞¬␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞programming␈α∂in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed.␈α∪A␈α∞good␈α∂compromise␈α∞w␈α␈ould␈α∂simply␈α∞be␈α∂to␈α∞coun␈α␈t␈α∞the
␈β∞0␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈ε∂␈αdistinct␈εα␈αvalues␈αin␈αthe␈αset␈αof␈α|v␈α␈e.␈αWe␈αw␈α␈ould␈αthen␈αhav␈α␈e␈α|v␈α␈e␈αcategories:
␈β∞}␈↓ βk␈εα5␈αdi{eren␈α␈t␈↓ ¬⊗␈εα=␈↓ ¬D␈εαall␈αdi{eren␈α␈t;
␈β∂)␈↓ βk␈εα4␈αdi{eren␈α␈t␈↓ ¬⊗␈εα=␈↓ ¬D␈εαone␈αpair;
␈β∂T␈↓ βk␈εα3␈αdi{eren␈α␈t␈↓ ¬⊗␈εα=␈↓ ¬D␈εαt␈α␈w␈α␈o␈αpairs,␈αor␈αthree␈αof␈αa␈αkind;
␈β∂␈␈↓ βk␈εα2␈αdi{eren␈α␈t␈↓ ¬⊗␈εα=␈↓ ¬D␈εαfull␈αhouse,␈αor␈αfour␈αof␈αa␈αkind;
␈β⊂*␈↓ βk␈εα1␈αdi{eren␈α␈t␈↓ ¬⊗␈εα=␈↓ ¬D␈εα|v␈α␈e␈αof␈αa␈αkind.
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαThis␈α
breakdo␈α␈wn␈α
is␈α
easier␈α
to␈α
determine␈α
systematically,␈α∞and␈α
the␈α
test␈α
is␈α
nearly␈α
as
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαgood.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.2␈ε∞␈↓ λ<EMPIRICA␈α␈L␈α	TEST␈α␈S␈↓ λ␈εα61
␈βα(␈↓ α␈εαIn␈α∂general␈α∂w␈α␈e␈α∂can␈α∞consider␈↓ ¬E␈ελn␈↓ ¬j␈εαgroups␈α∂of␈↓ π∞␈ελk␈↓ π.␈εαsuccessiv␈α␈e␈α∂n␈α␈um␈α␈bers,␈α⊂and␈α∂w␈α␈e␈α∞can
␈βαS␈↓ ↓H␈εαcoun␈α␈t␈α
the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈↓ ∧≤␈ελk␈↓ ∧.␈εα-tuples␈α∞with␈↓ ¬y␈ελr␈↓ ε↔␈εαdi{eren␈α␈t␈α∞values.␈α⊃A␈α∞chi-square␈α∞test␈α∞is␈α
then
␈βα}␈↓ ↓H␈εαmade,␈αusing␈αthe␈αprobability
␈ββS␈↓ λβ␈ε↓~␈↓ λ+␈ε↓≠
␈ββV␈↓ ¬
␈ελd␈↓ ¬!␈εα(␈↓ ¬-␈ελd␈↓ ¬I␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ ε→␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εI␈εα(␈↓ εU␈ελd␈↓ εr␈ε⊗␈␈↓ π≡␈ελr␈↓ π5␈εα+␈αλ1)
␈ββW␈↓ λ→␈ελk
␈ββm␈↓ ∧3␈ελp␈↓ ∧[␈εα=␈↓ α␈εα(5)
␈ββ{␈↓ ∧D␈εr
␈ββ}␈↓ ¬
␈∧β}¬
ααs
␈β∧β␈↓ εI␈εk
␈β∧ε␈↓ ε5␈ελd␈↓ λ~␈ελr
␈β∧F␈↓ πD␈ε↓λ␈↓ πd␈ε↓␈	
␈β∧]␈↓ πV␈εk
␈β∧e␈↓ ↓H␈εαthat␈α
there␈α
are␈↓ β(␈ελr␈↓ βB␈εαdi{eren␈α␈t.␈α∀(The␈α
Stirling␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈↓ λ␈εαare␈α
de|ned␈α
in␈α
Section␈α
1.2.6,
␈β∧x␈↓ πV␈εr
␈β¬⊂␈↓ ↓H␈εαand␈α∞they␈α∂can␈α∞readily␈α∂be␈α∞computed␈α∞using␈α∂the␈α∞form␈α␈ulas␈α∂giv␈α␈en␈α∞there.)␈α≡Since␈α∞the
␈β¬<␈↓ ↓H␈εαprobability␈↓ β↓␈ελp␈↓ β*␈εαis␈αv␈α␈ery␈αsmall␈α
when␈↓ ¬V␈ελr␈↓ ¬p␈εα=␈α
1␈αor␈α2,␈αw␈α␈e␈αgenerally␈αlump␈αa␈αfew␈α
categories
␈β¬I␈↓ β∩␈εr
␈β¬g␈↓ ↓H␈εαof␈αlo␈α␈w␈αprobability␈αtogether␈αbefore␈αthe␈αchi-square␈αtest␈αis␈αapplied.
␈βε∂␈↓ 
t␈εk
␈βε∀␈↓ α␈εαTo␈α
deriv␈α␈e␈αthe␈α
proper␈αform␈α␈ula␈α
for␈↓ ε∨␈ελp␈↓ ε>␈εα,␈αw␈α␈e␈α
m␈α␈ust␈α
coun␈α␈t␈αho␈α␈w␈α
man␈α␈y␈αof␈α
the␈↓ 
←␈ελd␈↓ ∂␈ελk␈↓  ␈εα-
␈βε!␈↓ ε0␈εr
␈βε?␈↓ ↓H␈εαtuples␈α
of␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∞bet␈α␈w␈α␈een␈α∞0␈α
and␈↓ ¬d␈ελd␈↓ ε↓␈ε⊗␈␈εα␈α
1␈α
hav␈α␈e␈α∞exactly␈↓ λ%␈ελr␈↓ λB␈εαdi{eren␈α␈t␈α∞elemen␈α␈ts,␈α∞and
␈βεe␈↓ ∧∃␈εk
␈βεj␈↓ ↓H␈εαdivide␈α
the␈α
total␈α∞by␈↓ ∧↓␈ελd␈↓ ∧$␈εα.␈α⊂Since␈↓ ¬≡␈ελd␈↓ ¬2␈εα(␈↓ ¬>␈ελd␈↓ ¬[␈ε⊗␈␈εα␈α	1)␈↓ ε,␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε\␈εα(␈↓ εh␈ελd␈↓ π¬␈ε⊗␈␈↓ π2␈ελr␈↓ πJ␈εα+␈α	1)␈α∞is␈α
the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
ordered
␈βεv␈↓ 
∪␈ε↓λ␈↓ 
4␈ε↓␈	
␈βπ
␈↓ 
%␈εk
␈βπ∃␈↓ ↓H␈εαchoices␈α∞of␈↓ αq␈ελr␈↓ β∂␈εαthings␈α∞from␈α∂a␈α∞set␈α∂of␈↓ ¬]␈ελd␈↓ ε␈εαobjects,␈α∂w␈α␈e␈α∞need␈α∂only␈α∞sho␈α␈w␈α∂that␈↓ 
T␈εαis␈α∞the
␈βπ(␈↓ 
&␈εr
␈βπ@␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
ways␈α
to␈αpartition␈α
a␈α
set␈α
of␈↓ ε∃␈ελk␈↓ ε4␈εαelemen␈α␈ts␈αin␈α␈to␈α
exactly␈↓ 	⊂␈ελr␈↓ 	,␈εαparts.␈α∞Therefore
␈βπl␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ercise␈α1.2.6↑64␈αcompletes␈αthe␈αderivation␈αof␈αEq.␈α(5).
␈βλ8␈↓ ↓H␈ε∩E.␈α∞Coupon␈α
collector's␈α∞test.␈εα␈α≥This␈α∞test␈α∞is␈α∞related␈α∞to␈α∞the␈α∞pok␈α␈er␈α∞test␈α∞somewhat␈α
as
␈βλc␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞gap␈α∞test␈α∞is␈α∂related␈α∞to␈α∞the␈α∂frequency␈α∞test.␈α∪The␈α∞sequence␈↓ 	¬␈ελY␈↓ 	)␈εα,␈↓ 	B␈ελY␈↓ 	e␈εα,␈↓ 	}␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
6␈εαis␈α∞used,
␈βλq␈↓ 	~␈ε¬0␈↓ 	W␈ε¬1
␈β	∂␈↓ ↓H␈εαand␈αw␈α␈e␈αobserv␈α␈e␈αthe␈αlengths␈αof␈αsegmen␈α␈ts␈↓ εA␈ελY␈↓ π∞␈εα,␈↓ π$␈ελY␈↓ πr␈εα,␈↓ λλ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ8␈εα,␈↓ λN␈ελY␈↓ 	&␈εαrequired␈αto␈αget␈αa
␈β	≤␈↓ εV␈εj␈↓ εc␈ε¬+1␈↓ π9␈εj␈↓ πG␈ε¬+␈α␈2␈↓ λc␈εj␈↓ λp␈ε¬+␈↓ 	
␈εr
␈β	:␈↓ ↓H␈εα\complete␈α
set"␈αof␈αin␈α␈tegers␈α
from␈α0␈αto␈↓ ε↓␈ελd␈↓ ε≤␈ε⊗␈␈εα␈αε1.␈αAlgorithm␈α
C␈αdescribes␈αthis␈α
precisely:
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α
C␈εα␈α(␈ε∂Data␈αfor␈α
coupon␈αcollector's␈αtest␈εα)␈ε∩.␈εα␈α⊗Giv␈α␈en␈α
a␈αsequence␈αof␈α
in␈α␈tegers␈↓ 
␈␈ελY␈↓ "␈εα,
␈β
∀␈↓ ∀␈ε¬0
␈β
2␈↓ ↓H␈ελY␈↓ ↓k␈εα,␈↓ α∧␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α4␈εα,␈α⊂with␈α∞0␈ε⊗␈α∂∀␈↓ βu␈ελY␈↓ ∧&␈εα<␈↓ ∧Y␈ελd␈↓ ∧m␈εα,␈α∂this␈α∂algorithm␈α∞coun␈α␈ts␈α∂the␈α∂lengths␈α∞of␈↓ 	U␈ελn␈↓ 	y␈εαconsecutiv␈α␈e
␈β
?␈↓ ↓]␈ε¬1␈↓ ∧
␈εj
␈β
]␈↓ ↓H␈εα\coupon␈αcollector"␈αsegmen␈α␈ts.␈α
At␈αthe␈αconclusion␈αof␈αthe␈α
algorithm,␈↓ 	S␈ε∃CO␈α␈UNT␈↓ 
:␈εα[␈↓ 
D␈ελr␈↓ 
T␈εα]␈αcon-
␈βλ␈↓ ↓H␈εαtains␈αλthe␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	of␈αλsegmen␈α␈ts␈α	with␈α	length␈↓ εK␈ελr␈↓ ε[␈εα,␈α
for␈↓ π#␈ελd␈↓ πA␈ε⊗∀␈↓ πo␈ελr␈↓ λ	␈εα<␈↓ λ7␈ελt␈↓ λD␈εα,␈α
and␈↓ 	~␈ε∃COU␈α␈NT␈↓ 
α␈εα[␈↓ 
␈ελt␈↓ 
→␈εα]␈αλcon␈α␈tains
␈β3␈↓ ↓H␈εαthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αwith␈αlength␈ε⊗␈α∃␈↓ ∧v␈ελt␈↓ ¬β␈εα.
␈βp␈↓ ↓H␈ε∩C1.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α→Set␈↓ ∧	␈ελj␈↓ ∧$␈ε⊗ ␈α
␈␈εα1,␈↓ ¬≡␈ελs␈↓ ¬7␈ε⊗ ␈εα␈α
0,␈αand␈αset␈↓ π␈ε∃C␈α␈OUN␈α␈T␈↓ πr␈εα[␈↓ π|␈ελr␈↓ λ␈εα]␈ε⊗␈α
 ␈εα␈α
0␈αfor␈↓ 	$␈ελd␈↓ 	B␈ε⊗∀␈↓ 	p␈ελr␈↓ 

␈ε⊗∀␈↓ 
8␈ελt␈↓ 
E␈εα.
␈β-␈↓ ↓H␈ε∩C2.␈↓ α␈εα[Set␈↓ αT␈ελq␈↓ αd␈εα,␈↓ αt␈ελr␈↓ β⊂␈εαzero.]␈α→Set␈↓ ∧;␈ελq␈↓ ∧U␈ε⊗ ␈↓ ¬β␈ελr␈↓ ¬≥␈ε⊗ ␈εα␈α
0,␈αand␈αset␈↓ εq␈ε∃OC␈α␈CURS␈↓ πm␈εα[␈↓ πw␈ελk␈↓ λ	␈εα]␈ε⊗␈α
 ␈εα␈α
0␈αfor␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	k␈ελk␈↓ 
π␈εα<␈↓ 
5␈ελd␈↓ 
I␈εα.
␈βi␈↓ ↓H␈ε∩C3.␈↓ α␈εα[Next␈απobservation.]␈α
Increase␈↓ ¬G␈ελr␈↓ ¬↑␈εαand␈↓ ε∨␈ελj␈↓ ε6␈εαby␈απ1.␈α
If␈↓ π*␈ε∃OCC␈α␈URS␈↓ λ&␈εα[␈↓ λ0␈ελY␈↓ λS␈εα]␈ε⊗␈α
≤␈εα␈α
0,␈αλrepeat␈αεthis␈απstep.
␈βw␈↓ λE␈εj
␈β
&␈↓ ↓H␈ε∩C4.␈↓ α␈εα[Complete␈α∂set?]␈α∨Set␈↓ ∧a␈ε∃OC␈α␈CURS␈↓ ¬]␈εα[␈↓ ¬g␈ελY␈↓ ε	␈εα]␈ε⊗␈α⊂ ␈εα␈α∂1␈α∂and␈↓ π@␈ελq␈↓ π←␈ε⊗ ␈↓ λ∩␈ελq␈↓ λ-␈εα+␈α
1.␈α≡(The␈α∂subsequence
␈β
3␈↓ ¬|␈εj
␈β
Q␈↓ α␈εαobserv␈α␈ed␈α⊂so␈α⊂far␈α∂con␈α␈tains␈↓ ¬!␈ελq␈↓ ¬A␈εαdistinct␈α⊂values;␈α⊃if␈↓ πj␈ελq␈↓ λ
␈εα=␈↓ λ>␈ελd␈↓ λS␈εα,␈α⊂w␈α␈e␈α⊂therefore␈α⊂hav␈α␈e␈α∂a
␈β
|␈↓ α␈εαcomplete␈αset.)␈α→If␈↓ ∧#␈ελq␈↓ ∧=␈εα<␈↓ ∧k␈ελd␈↓ ∧␈␈εα,␈αreturn␈αto␈αstep␈αC3.
␈β∞9␈↓ ↓H␈ε∩C5.␈↓ α␈εα[Record␈α
the␈αlength.]␈α~If␈↓ ¬∧␈ελr␈↓ ¬∨␈ε⊗∃␈↓ ¬N␈ελt␈↓ ¬[␈εα,␈αincrease␈↓ εz␈ε∃CO␈α␈UNT␈↓ πa␈εα[␈↓ πk␈ελt␈↓ πx␈εα]␈α
by␈αone,␈α
otherwise␈αincrease
␈β∞d␈↓ α␈ε∃CO␈α␈UNT␈↓ αt␈εα[␈↓ α}␈ελr␈↓ β
␈εα]␈αby␈αone.
␈β∂!␈↓ ↓H␈ε∩C6.␈↓ α␈εα[␈↓ α⊗␈ελn␈↓ α8␈εαfound?]␈α→Increase␈↓ ∧M␈ελs␈↓ ∧h␈εαby␈αone.␈αIf␈↓ ε␈ελs␈↓ ε%␈εα<␈↓ εS␈ελn␈↓ εi␈εα,␈αreturn␈αto␈αstep␈αC2.
␈β∂&␈↓ 	D␈∧∂&	D≠∂
␈β∂n␈↓ α␈εαFor␈α∞an␈α∂example␈α∞of␈α∞this␈α∂algorithm,␈α∂see␈α∞ex␈α␈ercise␈α∂7.␈α∪We␈α∞may␈α∞think␈α∂of␈α∞a␈α∞bo␈α␈y
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαcollecting␈↓ αi␈ελd␈↓ β␈εαtypes␈α∞of␈α∞coupons,␈α∞which␈α∞are␈α∞randomly␈α∞distributed␈α∞in␈α∞his␈α
breakfast
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαcereal␈απbo␈α␈x␈α␈es;␈α	he␈απm␈α␈ust␈αλk␈α␈eep␈απeating␈απmore␈αλcereal␈απun␈α␈til␈απhe␈αλhas␈απone␈απcoupon␈αλof␈απeach␈απtype.
␈β⊂q␈↓ α␈εαA␈αchi-square␈αtest␈αis␈αto␈αbe␈αapplied␈αto␈↓ εF␈ε∃COU␈α␈NT␈↓ π.␈εα[␈↓ π8␈ελd␈↓ πL␈εα],␈↓ πk␈ε∃COU␈α␈NT␈↓ λS␈εα[␈↓ λ]␈ελd␈↓ λx␈εα+␈απ1],␈↓ 	T␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
∧␈εα,␈↓ 
~␈ε∃CO␈α␈UNT␈↓ ↓␈εα[␈↓ ␈ελt␈↓ _␈εα],
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαwith␈↓ α↔␈ελk␈↓ α3␈εα=␈↓ αa␈ελt␈↓ αs␈ε⊗␈␈↓ β≠␈ελd␈↓ β4␈εα+␈α∧1,␈α
after␈α
Algorithm␈α	C␈α
has␈α	coun␈α␈ted␈↓ πg␈ελn␈↓ λε␈εαlengths.␈αThe␈α	corresponding
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα62␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.2
␈βα(␈↓ ↓H␈εαprobabilities␈αare
␈βα}␈↓ βT␈ε↓~␈↓ ∧D␈ε↓≠␈↓ 	↔␈ε↓~␈↓ 
␈ε↓≠
␈ββ↓␈↓ β0␈ελd␈↓ βE␈εα!␈↓ βl␈ελr␈↓ ∧∧␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ λ←␈ελd␈↓ λs␈εα!␈↓ 	-␈ελt␈↓ 	B␈ε⊗␈␈εα␈αλ1
␈ββ_␈↓ αT␈ελp␈↓ α⎇␈εα=␈↓ ∧Z␈εα,␈↓ ¬2␈ελd␈↓ ¬P␈ε⊗∀␈↓ ¬}␈ελr␈↓ ε_␈εα<␈↓ εF␈ελt␈↓ εS␈εα;␈↓ π+␈ελp␈↓ πQ␈εα=␈α
1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 
⊗␈εα.␈↓ α␈εα(6)
␈ββ%␈↓ αe␈εr␈↓ π<␈εt
␈ββ(␈↓ β/␈∧β(β/α"␈↓ λI␈∧β(λIαJ
␈ββ.␈↓ βC␈εr␈↓ λ]␈εt␈↓ λg␈ε→␈␈ε¬1
␈ββ0␈↓ β/␈ελd␈↓ βj␈ελd␈↓ ∧ε␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ λI␈ελd␈↓ 	L␈ελd
␈β∧λ␈↓ ↓H␈εαTo␈α
deriv␈α␈e␈α
these␈α∞probabilities,␈α
w␈α␈e␈α∞simply␈α
note␈α
that␈α∞if␈↓ λ∀␈ελq␈↓ λ<␈εαdenotes␈α
the␈α
probability
␈β∧∃␈↓ λ!␈εr
␈β∧3␈↓ ↓H␈εαthat␈αa␈αsubsequence␈αof␈αlength␈↓ ¬⊗␈ελr␈↓ ¬1␈εαis␈ε∂␈αincomplete␈εα,␈αthen
␈β¬λ␈↓ ε{␈ε↓~␈↓ π%␈ε↓≠
␈β¬␈↓ εW␈ελd␈↓ εk␈εα!␈↓ π∪␈ελr
␈β¬#␈↓ ¬9␈ελq␈↓ ¬]␈εα=␈α
1␈ε⊗␈αλ␈
␈β¬0␈↓ ¬F␈εr
␈β¬3␈↓ εU␈∧¬3εUα"
␈β¬9␈↓ εj␈εr
␈β¬;␈↓ εU␈ελd␈↓ π⊃␈ελd
␈βε∀␈↓ ↓H␈εαby␈αEq.␈α(5);␈αfor␈αthis␈αmeans␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αan␈↓ ε ␈ελr␈↓ ε0␈εα-tuple␈αof␈αelemen␈α␈ts␈αthat␈αdo␈αnot␈αhav␈α␈e␈αall␈↓ _␈ελd
␈βε?␈↓ ↓H␈εαdi{eren␈α␈t␈αλvalues.␈αThen␈αλ(6)␈αλfollo␈α␈ws␈α	from␈αλthe␈αλrelations␈↓ πe␈ελp␈↓ λ
␈εα=␈↓ λ;␈ελq␈↓ 	β␈ε⊗␈␈↓ 	+␈ελq␈↓ 	M␈εαfor␈↓ 
↓␈ελd␈↓ 
 ␈ε⊗∀␈↓ 
N␈ελr␈↓ 
g␈εα<␈↓ ∃␈ελt␈↓ "␈εα;
␈βεM␈↓ πv␈εr␈↓ λH␈εr␈↓ λU␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	8␈εr
␈βεk␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓m␈εα=␈↓ α≠␈ελq␈↓ α↑␈εα.
␈βεx␈↓ ↓Y␈εt␈↓ α(␈εt␈↓ α3␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βπ_␈↓ α␈εαFor␈α
form␈α␈ulas␈α
that␈α	arise␈α
in␈α
connection␈α
with␈ε∂␈α	generalizations␈εα␈α
of␈α
the␈α
coupon␈α	col-
␈βπC␈↓ ↓H␈εαlector's␈α	test,␈α
see␈α	ex␈α␈ercises␈α
9␈α	and␈α
10␈α	and␈α
also␈α	the␈α
paper␈α	by␈α
Hermann␈α	v␈α␈on␈α	Schelling,
␈βπn␈↓ ↓H␈ε∂AMM␈ε∩␈α61␈εα␈α(1954),␈α306↑311.
␈βλ<␈↓ ↓H␈ε∩F.␈α	Perm␈α␈utation␈α
test.␈εα␈α∀Divide␈α
the␈α
input␈α	sequence␈α
in␈α␈to␈↓ π|␈ελn␈↓ λ≠␈εαgroups␈α
of␈↓ 	5␈ελt␈↓ 	L␈εαelemen␈α␈ts␈α	each,
␈βλh␈↓ ↓H␈εαthat␈α
is,␈α
(␈↓ αL␈ελU␈↓ α{␈εα,␈↓ β␈ελU␈↓ βe␈εα,␈↓ βu␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧%␈εα,␈↓ ∧5␈ελU␈↓ ¬6␈εα)␈αfor␈α
0␈ε⊗␈α
∀␈↓ εM␈ελj␈↓ εg␈εα<␈↓ π∃␈ελn␈↓ π+␈εα.␈αThe␈αelemen␈α␈ts␈α
in␈α
each␈α
group␈α
can
␈βλu␈↓ αc␈εj␈↓ αq␈εt␈↓ β"␈εj␈↓ β/␈εt␈↓ β:␈ε¬+1␈↓ ∧L␈εj␈↓ ∧Y␈εt␈↓ ∧d␈ε¬+␈↓ ¬↓␈εt␈↓ ¬␈ε→␈␈ε¬1
␈β	∪␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈↓ α≤␈ελt␈↓ α)␈εα!␈αpossible␈αrelativ␈α␈e␈αorderings;␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αtimes␈αeach␈αordering␈αappears␈αis
␈β	>␈↓ ↓H␈εαcoun␈α␈ted,␈α
and␈α
a␈α
chi-square␈α∞test␈α
is␈α
applied␈α
with␈↓ π*␈ελk␈↓ πH␈εα=␈↓ πx␈ελt␈↓ λ¬␈εα!␈α
and␈α
with␈α
probability␈α
1/␈↓ ∃␈ελt␈↓ "␈εα!
␈β	i␈↓ ↓H␈εαfor␈αeach␈αordering.
␈β
⊗␈↓ α␈εαFor␈α∞example,␈α∞if␈↓ ∧∂␈ελt␈↓ ∧)␈εα=␈α
3␈α∞w␈α␈e␈α
w␈α␈ould␈α∞hav␈α␈e␈α
six␈α∞categories,␈α∞according␈α∞to␈α
whether
␈β
B␈↓ ↓H␈ελU␈↓ αλ␈εα<␈↓ α9␈ελU␈↓ β%␈εα<␈↓ βW␈ελU␈↓ ∧B␈εαor␈↓ ∧q␈ελU␈↓ ¬1␈εα<␈↓ ¬b␈ελU␈↓ εN␈εα<␈↓ π␈ελU␈↓ πk␈εαor␈↓ λ~␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λR␈εαor␈↓ 	␈ελU␈↓ 	k␈εα<␈↓ 
≥␈ελU␈↓ λ␈εα<
␈β
O␈↓ ↓←␈ε¬3␈↓ ↓m␈εj␈↓ αP␈ε¬3␈↓ α←␈εj␈↓ αl␈ε¬+1␈↓ βn␈ε¬3␈↓ β|␈εj␈↓ ∧	␈ε¬+2␈↓ ¬λ␈ε¬3␈↓ ¬⊗␈εj␈↓ ¬y␈ε¬3␈↓ ελ␈εj␈↓ ε∃␈ε¬+2␈↓ π↔␈ε¬3␈↓ π%␈εj␈↓ π2␈ε¬+1␈↓ 	↔␈ε¬3␈↓ 	%␈εj␈↓ 	3␈ε¬+␈α␈2␈↓ 
4␈ε¬3␈↓ 
B␈εj␈↓ 
P␈ε¬+␈α␈1
␈β
m␈↓ ↓H␈ελU␈↓ ↓z␈εα.␈α⊂We␈α
assume␈α
in␈α∞this␈α
test␈α
that␈α
equality␈α∞bet␈α␈w␈α␈een␈↓ πr␈ελU␈↓ λ⊂␈εα's␈α
does␈α
not␈α
occur;␈α∞such␈α
an
␈β
z␈↓ ↓←␈ε¬3␈↓ ↓m␈εj
␈β_␈↓ ↓H␈εαassumption␈αis␈αjusti|ed,␈αfor␈αthe␈αprobability␈αthat␈αt␈α␈w␈α␈o␈↓ λ␈ελU␈↓ λ≥␈εα's␈αare␈αequal␈αis␈αzero.
␈βE␈↓ α␈εαA␈α
con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α
way␈α
to␈α
perform␈α
the␈α
perm␈α␈utation␈α
test␈α
on␈α
a␈α
computer␈α	mak␈α␈es␈α
use
␈βp␈↓ ↓H␈εαof␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αalgorithm,␈αwhich␈αis␈αof␈αin␈α␈terest␈αin␈αitself:
␈β>␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αεP␈εα␈απ(␈ε∂Analyze␈αεa␈απperm␈α␈utation␈εα)␈ε∩.␈εα␈αGiv␈α␈en␈αεa␈απset␈αεof␈απdistinct␈αεelemen␈α␈ts␈απ(␈↓ 
␈ελU␈↓ 
%␈εα,␈↓ 
5␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
e␈εα,␈↓ 
u␈ελU␈↓ ⊗␈εα),
␈βL␈↓ 
↔␈ε¬1␈↓ ␈εt
␈βj␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αcompute␈αan␈αin␈α␈teger␈↓ ∧8␈ελf␈↓ ∧I␈εα(␈↓ ∧U␈ελU␈↓ ∧z␈εα,␈↓ ¬
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬:␈εα,␈↓ ¬J␈ελU␈↓ ¬l␈εα)␈αsuch␈αthat
␈βw␈↓ ∧l␈ε¬1␈↓ ¬a␈εt
␈β
F␈↓ ¬λ␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬R␈ελf␈↓ ¬d␈εα(␈↓ ¬p␈ελU␈↓ ε∃␈εα,␈↓ ε%␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εU␈εα,␈↓ εe␈ελU␈↓ ππ␈εα)␈α
<␈↓ πK␈ελt␈↓ πX␈εα!,
␈β
S␈↓ επ␈ε¬1␈↓ ε|␈εt
␈β∞"␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∞␈ελf␈↓ α ␈εα(␈↓ α,␈ελU␈↓ αQ␈εα,␈↓ αa␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β⊃␈εα,␈↓ β!␈ελU␈↓ βB␈εα)␈α=␈↓ ∧λ␈ελf␈↓ ∧~␈εα(␈↓ ∧&␈ελV␈↓ ∧H␈εα,␈↓ ∧X␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬λ␈εα,␈↓ ¬_␈ελV␈↓ ¬7␈εα)␈αif␈α
and␈α
only␈αif␈α
(␈↓ π8␈ελU␈↓ π]␈εα,␈↓ πm␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ≥␈εα,␈↓ λ-␈ελU␈↓ λO␈εα)␈αand␈α
(␈↓ 	:␈ελV␈↓ 	\␈εα,␈↓ 	l␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
≤␈εα,␈↓ 
,␈ελV␈↓ 
K␈εα)␈αhav␈α␈e
␈β∞/␈↓ αC␈ε¬1␈↓ β8␈εt␈↓ ∧:␈ε¬1␈↓ ¬,␈εt␈↓ πO␈ε¬1␈↓ λD␈εt␈↓ 	N␈ε¬1␈↓ 
@␈εt
␈β∞M␈↓ ↓H␈εαthe␈αsame␈αrelativ␈α␈e␈αordering.
␈β∂␈↓ ↓N␈ε∩P1.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α↔Set␈↓ ∧ε␈ελr␈↓ ∧∨␈ε⊗ ␈↓ ∧M␈ελt␈↓ ∧Z␈εα,␈↓ ∧p␈ελf␈↓ ¬␈ε⊗ ␈εα␈α
0.␈α↔(During␈α
this␈αalgorithm␈αw␈α␈e␈αwill␈αhav␈α␈e␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ 
m␈ελf␈↓ λ␈εα<
␈β∂6␈↓ α␈ελt␈↓ α→␈εα!/␈↓ α5␈ελr␈↓ αE␈εα!.)
␈β∂t␈↓ ↓N␈ε∩P2.␈↓ α␈εα[Find␈αmaxim␈α␈um.]␈α→Find␈αthe␈αmaxim␈α␈um␈αof␈ε⊗␈αf␈↓ π.␈ελU␈↓ πS␈εα,␈↓ πc␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ∪␈εα,␈↓ λ#␈ελU␈↓ λH␈ε⊗g␈εα,␈αand␈αsuppose␈αthat␈↓ 	␈ελU
␈β⊂↓␈↓ πE␈ε¬1␈↓ λ:␈εr␈↓  ␈εs
␈β⊂∨␈↓ α␈εαis␈αthe␈αmaxim␈α␈um.␈αSet␈↓ ∧←␈ελf␈↓ ∧z␈ε⊗ ␈↓ ¬(␈ελr␈↓ ¬@␈ε⊗↓␈↓ ¬R␈ελf␈↓ ¬k␈εα+␈↓ ε↔␈ελs␈↓ ε.␈ε⊗␈␈εα␈αλ1.
␈β⊂]␈↓ ↓N␈ε∩P3.␈↓ α␈εα[Ex␈α␈change.]␈α→Ex␈α␈change␈↓ ∧⎇␈ελU␈↓ ¬,␈ε⊗$␈↓ ¬Z␈ελU␈↓ ¬⎇␈εα.
␈β⊂j␈↓ ¬∀␈εr␈↓ ¬q␈εs
␈β⊃~␈↓ ↓N␈ε∩P4.␈↓ α␈εα[Decrease␈↓ β,␈ελr␈↓ β<␈εα.]␈α→Decrease␈↓ ∧␈␈ελr␈↓ ¬≠␈εαby␈αone.␈αIf␈↓ ε?␈ελr␈↓ εY␈εα>␈α
1,␈αreturn␈αto␈αstep␈αP2.
␈β⊃∨␈↓ 	n␈∧⊃∨	n≠∂
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.2␈ε∞␈↓ λ<EMPIRICA␈α␈L␈α	TEST␈α␈S␈↓ λ␈εα63
␈βα&␈↓ α␈εαNote␈αλthat␈αλthe␈αλsequence␈α	(␈↓ ¬↓␈ελU␈↓ ¬&␈εα,␈↓ ¬6␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬f␈εα,␈↓ ¬v␈ελU␈↓ ε↔␈εα)␈α	will␈αλhav␈α␈e␈αλbeen␈αλsorted␈αλin␈α␈to␈αλascending␈αλorder
␈βα4␈↓ ¬_␈ε¬1␈↓ ε
␈εt
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαwhen␈αthis␈αalgorithm␈αstops.␈αTo␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthat␈αthe␈αresult␈↓ πx␈ελf␈↓ λ∀␈εαuniquely␈αcharacterizes␈αthe
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ε∂initial␈εα␈α
order␈αof␈α
(␈↓ β?␈ελU␈↓ βd␈εα,␈↓ βt␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧≡␈εα,␈↓ ∧.␈ελU␈↓ ∧P␈εα),␈αw␈α␈e␈α
note␈αthat␈α
Algorithm␈α
P␈αcan␈α
be␈αrun␈α
backwards:␈αFor
␈ββ
␈↓ βV␈ε¬1␈↓ ∧E␈εt
␈ββ(␈↓ ↓H␈ελr␈↓ ↓d␈εα=␈α2,␈α∞3,␈↓ αh␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β_␈εα,␈↓ β0␈ελt␈↓ β=␈εα,␈α∞set␈↓ ∧∞␈ελs␈↓ ∧*␈ε⊗ ␈↓ ∧Z␈ελf␈↓ ∧r␈εαmod␈↓ ¬<␈ελr␈↓ ¬K␈εα,␈↓ ¬c␈ελf␈↓ ε↓␈ε⊗ ␈αb␈↓ ε?␈ελf␈↓ εQ␈εα/␈↓ εc␈ελr␈↓ εr␈ε⊗c␈εα,␈α∞and␈α∞ex␈α␈change␈↓ λ|␈ελU␈↓ 	-␈ε⊗$␈↓ 	↑␈ελU␈↓ 
↓␈εα.␈α⊂It␈α∞is␈α
easy
␈ββ5␈↓ 	∪␈εr␈↓ 	u␈εs
␈ββS␈↓ ↓H␈εαto␈αsee␈αthat␈αthis␈αwill␈αundo␈αthe␈αe{ects␈αof␈αsteps␈αP2↑P4;␈αhence␈αno␈αt␈α␈w␈α␈o␈αperm␈α␈utations
␈ββ}␈↓ ↓H␈εαcan␈αyield␈αthe␈αsame␈αvalue␈αof␈↓ ¬∧␈ελf␈↓ ¬∃␈εα,␈αand␈αAlgorithm␈αP␈αperforms␈αas␈αadv␈α␈ertised.
␈β∧)␈↓ α␈εαThe␈α	essen␈α␈tial␈αλidea␈α	that␈αλunderlies␈α	Algorithm␈αλP␈α	is␈αλa␈α	mix␈α␈ed-radix␈αλrepresen␈α␈tation
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαcalled␈αthe␈α
\factorial␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αsystem":␈αEv␈α␈ery␈αin␈α␈teger␈αin␈α
the␈αrange␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ 
␈ελf␈↓ 
'␈εα<␈↓ 
U␈ελt␈↓ 
b␈εα!␈α
can
␈β¬␈↓ ↓H␈εαbe␈αuniquely␈αwritten␈αin␈αthe␈αform
␈β¬∀␈↓ α}␈ε↓␈␈↓ λr␈ε↓↓
␈β¬4␈↓ α4␈ελf␈↓ αP␈εα=␈↓ β␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β6␈εα(␈↓ βB␈ελc␈↓ ∧␈ε⊗α␈εα␈αλ(␈↓ ∧D␈ελt␈↓ ∧Y␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈αλ+␈↓ ¬W␈ελc␈↓ ε~␈εα)␈ε⊗␈αλα␈εα␈αλ(␈↓ εf␈ελt␈↓ ε{␈ε⊗␈␈εα␈αλ2)␈αλ+␈↓ πy␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ+␈εα+␈↓ λW␈ελc␈↓ 	λ␈ε⊗α␈εα␈αλ2␈αλ+␈↓ 	z␈ελc
␈β¬A␈↓ βO␈εt␈↓ βY␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬d␈εt␈↓ ¬o␈ε→␈␈ε¬2␈↓ λd␈ε¬2␈↓ 
π␈ε¬1
␈β¬j␈↓ αP␈εα=␈α
(␈↓ β
␈ελt␈↓ β∨␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)!␈↓ βs␈ελc␈↓ ∧=␈εα+␈αλ(␈↓ ∧u␈ελt␈↓ ¬
␈ε⊗␈␈εα␈αλ2)!␈↓ ¬↑␈ελc␈↓ ε)␈εα+␈↓ εU␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ππ␈εα+␈αλ2!␈↓ πO␈ελc␈↓ πr␈εα+␈αλ1!␈↓ λ:␈ελc␈↓ α␈εα(7)
␈β¬w␈↓ ∧␈εt␈↓ ∧
␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬k␈εt␈↓ ¬v␈ε→␈␈ε¬2␈↓ π\␈ε¬2␈↓ λG␈ε¬1
␈βε ␈↓ ↓H␈εαwhere␈αthe␈α\digits"␈↓ βt␈ελc␈↓ ∧~␈εαare␈αin␈α␈tegers␈αsatisfying
␈βε-␈↓ ∧↓␈εj
␈βεV␈↓ ∧G␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬⊃␈ελc␈↓ ¬5␈ε⊗∀␈↓ ¬c␈ελj␈↓ ¬t␈εα,␈↓ εL␈εαfor␈↓ π∧␈εα1␈ε⊗␈α
∀␈↓ πN␈ελj␈↓ πh␈εα<␈↓ λ⊗␈ελt␈↓ λ#␈εα.␈↓ α␈εα(8)
␈βεd␈↓ ¬≡␈εj
␈βπ␈↓ ↓H␈εαIn␈αAlgorithm␈αP␈↓ β5␈εα,␈↓ βK␈ελc␈↓ ∧~␈εα=␈↓ ∧H␈ελs␈↓ ∧←␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αwhen␈αstep␈αP2␈αis␈αperformed␈αfor␈αa␈αgiv␈α␈en␈αvalue␈αof␈↓ ∪␈ελr␈↓ "␈εα.
␈βπ~␈↓ βX␈εr␈↓ βe␈ε→␈␈ε¬1
␈βπ?␈↓ ↓H␈ε∩G.␈α	Run␈α	test.␈εα␈α∩A␈α	sequence␈α	may␈α	also␈α	be␈α	tested␈α	for␈α	\runs␈α	up"␈α	and␈α	\runs␈α	do␈α␈wn."␈αThis
␈βπj␈↓ ↓H␈εαmeans␈α	w␈α␈e␈α
examine␈α	the␈α	length␈α
of␈ε∂␈α	monotone␈εα␈α
subsequences␈α	of␈α
the␈α	original␈α	sequence,
␈βλ∃␈↓ ↓H␈εαi.e.,␈αsegmen␈α␈ts␈αthat␈αare␈αincreasing␈αor␈αdecreasing.
␈βλ@␈↓ α␈εαAs␈α
an␈α	example␈α
of␈α
the␈α
precise␈α	de|nition␈α
of␈α
a␈α	run,␈αconsider␈α	the␈α
sequence␈α
of␈α	ten
␈βλl␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈α\1298536704";␈αputting␈αa␈αv␈α␈ertical␈αline␈αat␈αthe␈αleft␈αand␈αrigh␈α␈t␈αand␈αbet␈α␈w␈α␈een
␈β	↔␈↓ ↓H␈ελX␈↓ ↓z␈εαand␈↓ α@␈ελX␈↓ β≥␈εαwhenev␈α␈er␈↓ ∧<␈ελX␈↓ ∧m␈εα>␈↓ ¬≠␈ελX␈↓ ¬l␈εα,␈αw␈α␈e␈αobtain
␈β	$␈↓ ↓a␈εj␈↓ αY␈εj␈↓ αf␈ε¬+1␈↓ ∧U␈εj␈↓ ¬4␈εj␈↓ ¬A␈ε¬+1
␈β	J␈↓ ∧\␈∧	J∧\/α␈↓ ¬↑␈∧	J¬↑/α␈↓ ε	␈∧	Jε	/α␈↓ ε4␈∧	Jε4/α␈↓ π6␈∧	Jπ6/α␈↓ λ␈∧	Jλ/α
␈β	S␈↓ ∧j␈εα1␈↓ ¬∃␈εα2␈↓ ¬@␈εα9␈↓ ¬k␈εα8␈↓ ε⊗␈εα5␈↓ εB␈εα3␈↓ εm␈εα6␈↓ π_␈εα7␈↓ πC␈εα0␈↓ πn␈εα4␈↓ λ~␈εα,␈↓ α␈εα(9)
␈β
	␈↓ ↓H␈εαwhich␈αdisplays␈αthe␈α\runs␈αup":␈αthere␈αis␈αa␈αrun␈αof␈αlength␈α3,␈αfollo␈α␈w␈α␈ed␈αby␈αt␈α␈w␈α␈o␈αruns␈αof
␈β
5␈↓ ↓H␈εαlength␈α
1,␈αfollo␈α␈w␈α␈ed␈αby␈α
another␈αrun␈α
of␈αlength␈α3,␈α
follo␈α␈w␈α␈ed␈αby␈αa␈α
run␈αof␈α
length␈α2.␈αThe
␈β
`␈↓ ↓H␈εαalgorithm␈αof␈αex␈α␈ercise␈α12␈αsho␈α␈ws␈αho␈α␈w␈αto␈αtabulate␈αthe␈αlength␈αof␈α\runs␈αup."
␈β␈↓ α␈εαUnlik␈α␈e␈α
the␈αgap␈α
test␈α
and␈αthe␈α
coupon␈α
collector's␈αtest␈α
(which␈α
are␈αin␈α
man␈α␈y␈α
other
␈β6␈↓ ↓H␈εαrespects␈αsimilar␈αto␈αthis␈αtest),␈ε∂␈αw␈α␈e␈αshould␈αnot␈αapply␈αa␈αchi-square␈αtest␈αto␈αthe␈αabo␈α␈v␈α␈e
␈βa␈↓ ↓H␈ε∂data␈εα,␈α∞since␈α∞adjacen␈α␈t␈α∂runs␈α∞are␈ε∂␈α∞not␈εα␈α∞independen␈α␈t.␈α∩A␈α∂long␈α∞run␈α∞will␈α∞tend␈α∞to␈α∞be␈α∞fol-
␈β
␈↓ ↓H␈εαlo␈α␈w␈α␈ed␈α∞by␈α∞a␈α∞short␈α∂run,␈α∂and␈α∞con␈α␈v␈α␈ersely.␈α∪This␈α∞lack␈α∞of␈α∂independence␈α∞is␈α∞enough␈α∞to
␈β8␈↓ ↓H␈εαin␈α␈validate␈αa␈αstraigh␈α␈tforward␈αchi-square␈αtest.␈αInstead,␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αstatistic␈αmay
␈βc␈↓ ↓H␈εαbe␈αcomputed,␈αwhen␈αthe␈αrun␈αlengths␈αhav␈α␈e␈αbeen␈αdetermined␈αas␈αin␈αex␈α␈ercise␈α12:
␈β
¬␈↓ ∧;␈ε↓X
␈β
∩␈↓ β|␈εα1
␈β
(␈↓ β$␈ελV␈↓ βH␈εα=␈↓ ¬⊃␈εα(␈↓ ¬≥␈ε∃CO␈α␈UNT␈↓ ε∧␈εα[␈↓ ε∞␈ελi␈↓ ε≤␈εα]␈ε⊗␈αλ␈␈↓ εZ␈ελn␈↓ εp␈ελb␈↓ π	␈εα)(␈↓ π!␈ε∃C␈α␈OUN␈α␈T␈↓ λλ␈εα[␈↓ λ∩␈ελj␈↓ λ"␈εα]␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λ`␈ελn␈↓ λv␈ελb␈↓ 	⊂␈εα)␈↓ 	≤␈ελa␈↓ 	F␈εα,␈↓ 
p␈εα(10)
␈β
6␈↓ ε⎇␈εi␈↓ 	β␈εj␈↓ 	-␈εi␈↓ 	9␈εj
␈β
9␈↓ βz␈∧
9βzα⊗
␈β
A␈↓ βz␈ελn
␈β
Z␈↓ ∧~␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ∧E␈εi␈↓ ∧Q␈ε¬,␈↓ ∧Y␈εj␈↓ ∧f␈ε→∀␈ε¬6
␈β∞∀␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α/␈ελn␈↓ αP␈εαis␈αthe␈αlength␈αof␈αthe␈αsequence,␈αand␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈↓ λW␈ελa␈↓ 	␈εαand␈↓ 	Q␈ελb␈↓ 	t␈εαare␈αequal␈αto
␈β∞!␈↓ λh␈εi␈↓ λs␈εj␈↓ 	↑␈εi
␈β∞,␈↓ ∧s␈ε↓0␈↓ 
-␈ε↓1
␈β∞6␈↓ ↓H␈ε↓0␈↓ ∧#␈ε↓1
␈β∞H␈↓ ↓`␈ελa␈↓ α↔␈ελa␈↓ αO␈ελa␈↓ βε␈ελa␈↓ β>␈ελa␈↓ βv␈ελa
␈β∞O␈↓ ¬␈εα4529.4␈↓ ¬{␈εα9044.9␈↓ εk␈εα13568␈↓ πc␈εα18091␈↓ λ[␈εα22615␈↓ 	S␈εα27892
␈β∞U␈↓ ↓p␈ε¬1␈α↓1␈↓ α(␈ε¬12␈↓ α`␈ε¬13␈↓ β↔␈ε¬1␈α↓4␈↓ βO␈ε¬15␈↓ ∧ε␈ε¬1␈α↓6
␈β∞l␈↓ ∧s␈ε↓B␈↓ 
-␈ε↓C
␈β∞s␈↓ ↓`␈ελa␈↓ α↔␈ελa␈↓ αO␈ελa␈↓ βε␈ελa␈↓ β>␈ελa␈↓ βv␈ελa
␈β∞w␈↓ ↓H␈ε↓B␈↓ ∧#␈ε↓C
␈β∞z␈↓ ¬␈εα9044.9␈↓ ε¬␈εα18097␈↓ εk␈εα27139␈↓ πc␈εα36187␈↓ λ[␈εα45234␈↓ 	S␈εα55789
␈β∂␈↓ ↓p␈ε¬2␈α↓1␈↓ α(␈ε¬22␈↓ α`␈ε¬23␈↓ β↔␈ε¬2␈α↓4␈↓ βO␈ε¬25␈↓ ∧ε␈ε¬2␈α↓6
␈β∂α␈↓ ∧s␈ε↓B␈↓ 
-␈ε↓C
␈β∂
␈↓ ↓H␈ε↓B␈↓ ∧#␈ε↓C
␈β∂_␈↓ ∧s␈ε↓B␈↓ 
-␈ε↓C
␈β∂≡␈↓ ↓`␈ελa␈↓ α↔␈ελa␈↓ αO␈ελa␈↓ βε␈ελa␈↓ β>␈ελa␈↓ βv␈ελa
␈β∂"␈↓ ↓H␈ε↓B␈↓ ∧#␈ε↓C
␈β∂%␈↓ ¬∃␈εα13568␈↓ ε¬␈εα27139␈↓ εk␈εα40721␈↓ πc␈εα54281␈↓ λ[␈εα67852␈↓ 	S␈εα83685
␈β∂+␈↓ ↓p␈ε¬3␈α↓1␈↓ α(␈ε¬32␈↓ α`␈ε¬33␈↓ β↔␈ε¬3␈α↓4␈↓ βO␈ε¬35␈↓ ∧ε␈ε¬3␈α↓6
␈β∂-␈↓ ∧s␈ε↓B␈↓ 
-␈ε↓C
␈β∂7␈↓ ∧E␈εα=
␈β∂8␈↓ ↓H␈ε↓B␈↓ ∧#␈ε↓C
␈β∂C␈↓ ∧s␈ε↓B␈↓ 
-␈ε↓C
␈β∂I␈↓ ↓`␈ελa␈↓ α↔␈ελa␈↓ αO␈ελa␈↓ βε␈ελa␈↓ β>␈ελa␈↓ βv␈ελa
␈β∂N␈↓ ↓H␈ε↓B␈↓ ∧#␈ε↓C
␈β∂P␈↓ ¬∃␈εα18091␈↓ ε¬␈εα36187␈↓ εk␈εα54281␈↓ πc␈εα72414␈↓ λ[␈εα90470␈↓ 	A␈εα111580
␈β∂W␈↓ ↓p␈ε¬4␈α↓1␈↓ α(␈ε¬42␈↓ α`␈ε¬43␈↓ β↔␈ε¬4␈α↓4␈↓ βO␈ε¬45␈↓ ∧ε␈ε¬4␈α↓6
␈β∂X␈↓ ∧s␈ε↓B␈↓ 
-␈ε↓C
␈β∂c␈↓ ↓H␈ε↓@␈↓ ∧#␈ε↓A
␈β∂n␈↓ ∧s␈ε↓@␈↓ 
-␈ε↓A
␈β∂t␈↓ ↓`␈ελa␈↓ α↔␈ελa␈↓ αO␈ελa␈↓ βε␈ελa␈↓ β>␈ελa␈↓ βv␈ελa
␈β∂|␈↓ ¬∃␈εα22615␈↓ ε¬␈εα45234␈↓ εk␈εα67852␈↓ πc␈εα90470␈↓ λI␈εα113262␈↓ 	A␈εα139476
␈β⊂α␈↓ ↓p␈ε¬5␈α↓1␈↓ α(␈ε¬52␈↓ α`␈ε¬53␈↓ β↔␈ε¬5␈α↓4␈↓ βO␈ε¬55␈↓ ∧ε␈ε¬5␈α↓6
␈β⊂ ␈↓ ↓`␈ελa␈↓ α↔␈ελa␈↓ αO␈ελa␈↓ βε␈ελa␈↓ β>␈ελa␈↓ βv␈ελa
␈β⊂'␈↓ ¬∃␈εα27892␈↓ ε¬␈εα55789␈↓ εk␈εα83685␈↓ πQ␈εα111580␈↓ λI␈εα139476␈↓ 	A␈εα172860
␈β⊂-␈↓ ↓p␈ε¬6␈α↓1␈↓ α(␈ε¬62␈↓ α`␈ε¬63␈↓ β↔␈ε¬6␈α↓4␈↓ βO␈ε¬65␈↓ ∧ε␈ε¬6␈α↓6
␈β⊂N␈↓ 
p␈εα(11)
␈β⊂t␈↓ ¬β␈εα1␈↓ ¬J␈εα5␈↓ ε~␈εα11␈↓ ε|␈εα19␈↓ πg␈εα29␈↓ λ[␈εα1
␈β⊃␈↓ ↓K␈εα(␈↓ ↓W␈ελb␈↓ α⊗␈ελb␈↓ αV␈ελb␈↓ β∃␈ελb␈↓ βT␈ελb␈↓ ∧∀␈ελb␈↓ ∧/␈εα)␈↓ ∧E␈εα=␈α
(␈↓ 	β␈εα).
␈β⊃_␈↓ ↓d␈ε¬1␈↓ α#␈ε¬2␈↓ αc␈ε¬3␈↓ β"␈ε¬4␈↓ βa␈ε¬5␈↓ ∧!␈ε¬6
␈β⊃≠␈↓ ¬β␈∧⊃≠¬βα∩␈↓ ¬A␈∧⊃≠¬Aα$␈↓ ε⊃␈∧⊃≠ε⊃α6␈↓ εs␈∧⊃≠εsα6␈↓ πU␈∧⊃≠πUαH␈↓ λI␈∧⊃≠λIα6
␈β⊃#␈↓ ¬β␈εα6␈↓ ¬A␈εα24␈↓ ε⊃␈εα120␈↓ εs␈εα720␈↓ πU␈εα5040␈↓ λI␈εα840
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα64␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.2
␈βα%␈↓ ↓H␈εα(The␈απvalues␈αλof␈↓ β)␈ελa␈↓ βZ␈εαsho␈α␈wn␈αλhere␈απare␈αλappro␈α␈ximate␈αλonly;␈α	exact␈απvalues␈αλmay␈αλbe␈απobtained
␈βα2␈↓ β9␈εi␈↓ βE␈εj
␈βαP␈↓ ↓H␈εαby␈α∞using␈α
form␈α␈ulas␈α∞deriv␈α␈ed␈α∞belo␈α␈w.)␈ε∂␈α∩The␈α∞statistic␈↓ πJ␈ελV␈↓ πr␈ε∂in␈εα␈α∞(10)␈ε∂␈α∞should␈α∞hav␈α␈e␈α∞the␈α
chi-
␈βα{␈↓ ↓H␈ε∂square␈αdistribution␈α
with␈α
six␈εα␈α
(not␈α
|v␈α␈e)␈ε∂␈αdegrees␈α
of␈α
freedom␈εα,␈α
when␈↓ 	C␈ελn␈↓ 	e␈εαis␈α
large.␈α∞The
␈ββ'␈↓ ↓H␈εαvalue␈αof␈↓ αR␈ελn␈↓ αt␈εαshould␈αbe,␈αsay,␈α4000␈α
or␈αmore.␈αThe␈αsame␈α
test␈αcan␈αbe␈αapplied␈αto␈α\runs
␈ββR␈↓ ↓H␈εαdo␈α␈wn."
␈β∧ε␈↓ α␈εαA␈α∂vastly␈α∂simpler␈α∂and␈α⊂more␈α∂practical␈α∂run␈α∂test␈α∂appears␈α∂in␈α∂ex␈α␈ercise␈α∂14,␈α⊂so␈α∂a
␈β∧1␈↓ ↓H␈εαreader␈α
who␈α
is␈α
in␈α␈terested␈α
only␈α∞in␈α
testing␈α
random-n␈α␈um␈α␈ber␈α
generators␈α
should␈α
skip
␈β∧\␈↓ ↓H␈εαthe␈αλnext␈α	few␈αλpages␈α	and␈αλgo␈α	on␈α	to␈αλthe␈α	\maxim␈α␈um-of-␈↓ πT␈ελt␈↓ πi␈εαtest"␈α	after␈αλlooking␈α	at␈αλex␈α␈ercise
␈β¬λ␈↓ ↓H␈εα14.␈α⊃On␈α∞the␈α∞other␈α
hand␈α∞it␈α∞is␈α∞instructiv␈α␈e␈α∞from␈α
a␈α∞mathematical␈α∞standpoin␈α␈t␈α∞to␈α
see
␈β¬3␈↓ ↓H␈εαho␈α␈w␈αa␈αcomplicated␈αrun␈αtest␈α
with␈αin␈α␈terdependen␈α␈t␈αruns␈αcan␈αbe␈αtreated,␈αso␈α
w␈α␈e␈αshall
␈β¬↑␈↓ ↓H␈εαno␈α␈w␈αdigress␈αfor␈αa␈αmomen␈α␈t.
␈βε	␈↓ α␈εαGiv␈α␈en␈αan␈α␈y␈αperm␈α␈utation␈αon␈↓ ¬6␈ελn␈↓ ¬W␈εαelemen␈α␈ts,␈αlet␈↓ π'␈ελZ␈↓ π←␈εα=␈α
1␈αif␈αposition␈↓ 	S␈ελi␈↓ 	l␈εαis␈αthe␈αbegin-
␈βε↔␈↓ π:␈εp␈↓ πI␈εi
␈βε4␈↓ ↓H␈εαning␈α∞of␈α∞an␈α∞ascending␈α∂run␈α∞of␈α∞length␈↓ εα␈ελp␈↓ ε"␈εαor␈α∂more,␈α∞and␈α∂let␈↓ λ6␈ελZ␈↓ λq␈εα=␈α∞0␈α∂otherwise.␈α∩For
␈βεB␈↓ λI␈εp␈↓ λX␈εi
␈βε`␈↓ ↓H␈εαexample,␈αconsider␈αthe␈αperm␈α␈utation␈α(9)␈αwith␈↓ ε␈␈ελn␈↓ π≡␈εα=␈α
10;␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βπ.␈↓ α%␈ελZ␈↓ α←␈εα=␈↓ β
␈ελZ␈↓ βG␈εα=␈↓ βu␈ελZ␈↓ ∧.␈εα=␈↓ ∧\␈ελZ␈↓ ¬⊗␈εα=␈↓ ¬D␈ελZ␈↓ ¬}␈εα=␈↓ ε,␈ελZ␈↓ εf␈εα=␈↓ π∀␈ελZ␈↓ πN␈εα=␈↓ π|␈ελZ␈↓ λ5␈εα=␈↓ λc␈ελZ␈↓ 	≥␈εα=␈↓ 	K␈ελZ␈↓ 
¬␈εα=␈α
1,
␈βπ;␈↓ α8␈ε¬11␈↓ β ␈ε¬21␈↓ ∧λ␈ε¬31␈↓ ∧o␈ε¬1␈α↓4␈↓ ¬W␈ε¬1␈α↓5␈↓ ε?␈ε¬16␈↓ π'␈ε¬26␈↓ λ∂␈ε¬36␈↓ λv␈ε¬1␈α↓9␈↓ 	↑␈ε¬2␈α↓9
␈βπ|␈↓ ↓H␈εαand␈αall␈αother␈↓ β≡␈ελZ␈↓ β7␈εα's␈αare␈αzero.␈αWith␈αthis␈αnotation,
␈βλD␈↓ ∧u␈ε→0
␈βλJ␈↓ ∧\␈ελR␈↓ ¬∞␈εα=␈↓ ¬<␈ελZ␈↓ ¬u␈εα+␈↓ ε!␈ελZ␈↓ εZ␈εα+␈↓ πε␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π8␈εα+␈↓ πd␈ελZ␈↓ 
p␈εα(12)
␈βλX␈↓ ¬O␈εp␈↓ ¬←␈ε¬1␈↓ ε4␈εp␈↓ εC␈ε¬2␈↓ πw␈εp␈↓ λε␈εn
␈βλ\␈↓ ∧u␈εp
␈β	→␈↓ ↓H␈εαis␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αruns␈αof␈αlength␈ε⊗␈α∃␈↓ ¬l␈ελp␈↓ ¬}␈εα,␈αand
␈β	a␈↓ ε+␈ε→0␈↓ πλ␈ε→0
␈β	g␈↓ ¬2␈ελR␈↓ ¬d␈εα=␈↓ ε∩␈ελR␈↓ εC␈ε⊗␈␈↓ εo␈ελR␈↓ 
p␈εα(13)
␈β	t␈↓ ¬K␈εp
␈β	y␈↓ ε+␈εp␈↓ πλ␈εp␈↓ π↔␈ε¬+1
␈β
5␈↓ ↓H␈εαis␈α	the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
runs␈α
of␈α
length␈↓ ¬.␈ελp␈↓ ¬J␈εαexactly.␈αOur␈α
goal␈α	is␈α
to␈α
compute␈α
the␈α
mean␈α	value
␈β
`␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελR␈↓ α~␈εα,␈αand␈αalso␈αthe␈ε∂␈αco␈α␈variance
␈β
n␈↓ α␈εp
␈β∂␈↓ ¬H␈ε↓␈␈↓ ¬V␈ε↓␈␈↓ πU␈ε↓↓␈↓ πc␈ε↓␈␈↓ 	]␈ε↓↓␈↓ 	k␈ε↓↓
␈β.␈↓ αq␈εαco␈α␈var␈↓ βF␈εα(␈↓ βR␈ελR␈↓ βz␈εα,␈↓ ∧
␈ελR␈↓ ∧0␈εα)␈α
=␈↓ ∧t␈εαmean␈↓ ¬d␈ελR␈↓ ε∃␈ε⊗␈␈↓ εA␈εαmean␈↓ π∃␈εα(␈↓ π!␈ελR␈↓ πI␈εα)␈↓ πq␈ελR␈↓ λ∨␈ε⊗␈␈↓ λK␈εαmean␈↓ 	∨␈εα(␈↓ 	+␈ελR␈↓ 	Q␈εα)␈↓ 	y␈εα,
␈β<␈↓ βk␈εp␈↓ ∧#␈εq␈↓ ¬⎇␈εp␈↓ π:␈εp␈↓ λ
␈εq␈↓ 	D␈εq
␈β⎇␈↓ ↓H␈εαwhich␈αmeasures␈αthe␈αin␈α␈terdependence␈αof␈↓ ε8␈ελR␈↓ εl␈εαand␈↓ π1␈ελR␈↓ πW␈εα.␈αThese␈αmean␈αvalues␈αare␈αto␈αbe
␈β
␈↓ εQ␈εp␈↓ πJ␈εq
␈β(␈↓ ↓H␈εαcomputed␈αas␈αthe␈αav␈α␈erage␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αset␈αof␈αall␈↓ ε{␈ελn␈↓ π⊂␈εα!␈αperm␈α␈utations.
␈βS␈↓ α␈εαEquations␈α(12)␈αand␈α(13)␈αsho␈α␈w␈αthat␈αthe␈αansw␈α␈ers␈αcan␈αbe␈αexpressed␈αin␈αterms␈αof
␈β}␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞mean␈α∂values␈α∂of␈↓ ∧λ␈ελZ␈↓ ∧E␈εαand␈α∞of␈↓ ¬:␈ελZ␈↓ ¬h␈ελZ␈↓ ε∃␈εα,␈α∂so␈α∂as␈α∂the␈α∞|rst␈α∂step␈α∂of␈α∞the␈α∂derivation␈α∞w␈α␈e
␈β
␈↓ ∧≠␈εp␈↓ ∧*␈εi␈↓ ¬M␈εp␈↓ ¬\␈εi␈↓ ¬{␈εq␈↓ ελ␈εj
␈β
*␈↓ ↓H␈εαobtain␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αresults␈α(assuming␈αthat␈↓ εw␈ελi␈↓ π∂␈εα<␈↓ π=␈ελj␈↓ πM␈εα):
␈β
j␈↓ α%␈ε↓X
␈β
s␈↓ βD␈ε↓~
␈β
w␈↓ αα␈εα1
␈β
y␈↓ βZ␈εα(␈↓ βf␈ελp␈↓ ∧↓␈εα+␈↓ ∧-␈ελ∞␈↓ ∧T␈εα)/(␈↓ ∧}␈ελp␈↓ ¬_␈εα+␈αλ1)!,␈↓ εA␈εαif␈↓ εc␈ελi␈↓ ε{␈ε⊗∀␈↓ π)␈ελn␈↓ πG␈ε⊗␈␈↓ πs␈ελp␈↓ λ
␈εα+␈αλ1;
␈β∞ε␈↓ ∧:␈εi␈↓ ∧E␈ε¬1
␈β∞
␈↓ α←␈ελZ␈↓ β⊗␈εα=
␈β∞≠␈↓ αr␈εp␈↓ β↓␈εi
␈β∞≡␈↓ ↓{␈∧∞≡↓{α 
␈β∞$␈↓ βZ␈εα0,␈↓ εA␈εαotherwise.
␈β∞&␈↓ ↓{␈ελn␈↓ α⊃␈εα!
␈β∞A␈↓ βD␈ε↓8
␈β∞a␈↓ βD␈ε↓>␈↓ β\␈εα(␈↓ βh␈ελp␈↓ ∧β␈εα+␈↓ ∧/␈ελ∞␈↓ ∧V␈εα)␈↓ ∧b␈ελq␈↓ ∧r␈εα/(␈↓ ¬⊂␈ελp␈↓ ¬*␈εα+␈αλ1)!(␈↓ ε
␈ελq␈↓ ε"␈εα+␈αλ1)!,
␈β∞l␈↓ βD␈ε↓>
␈β∞o␈↓ ∧<␈εi␈↓ ∧G␈ε¬1
␈β∞w␈↓ βD␈ε↓>
␈β∂↓␈↓ βD␈ε↓>
␈β∂␈↓ βD␈ε↓>␈↓ εC␈εαif␈↓ εe␈ελi␈↓ ε{␈εα+␈↓ π'␈ελp␈↓ πC␈εα<␈↓ πq␈ελj␈↓ λ␈ε⊗∀␈↓ λ:␈ελn␈↓ λW␈ε⊗␈␈↓ 	β␈ελq␈↓ 	≠␈εα+␈αλ1;
␈β∂
␈↓ 
p␈εα(14)
␈β∂↔␈↓ βD␈ε↓<
␈β∂≡␈↓ ↓u␈ε↓X
␈β∂+␈↓ ↓R␈εα1
␈β∂A␈↓ α/␈ελZ␈↓ α]␈ελZ␈↓ β⊗␈εα=
␈β∂B␈↓ β\␈εα(␈↓ βh␈ελp␈↓ ∧β␈εα+␈↓ ∧/␈ελ∞␈↓ ∧V␈εα)/(␈↓ ¬␈ελp␈↓ ¬~␈εα+␈αλ1)!␈↓ ¬n␈ελq␈↓ ¬}␈εα!␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ(␈↓ εH␈ελp␈↓ εb␈εα+␈↓ π∞␈ελq␈↓ π'␈εα+␈↓ πS␈ελ∞␈↓ πy␈εα)/(␈↓ λ#␈ελp␈↓ λ>␈εα+␈↓ λj␈ελq␈↓ 	α␈εα+␈αλ1)!,
␈β∂O␈↓ αB␈εp␈↓ αR␈εi␈↓ αp␈εp␈↓ α␈␈εj
␈β∂P␈↓ ∧<␈εi␈↓ ∧G␈ε¬1␈↓ π`␈εi␈↓ πk␈ε¬1
␈β∂R␈↓ ↓L␈∧∂R↓Lα 
␈β∂X␈↓ βD␈ε↓>
␈β∂Z␈↓ ↓L␈ελn␈↓ ↓a␈εα!
␈β∂c␈↓ βD␈ε↓>
␈β∂m␈↓ βD␈ε↓>
␈β∂n␈↓ εC␈εαif␈↓ εe␈ελi␈↓ ε{␈εα+␈↓ π'␈ελp␈↓ πC␈εα=␈↓ πq␈ελj␈↓ λ␈ε⊗∀␈↓ λ:␈ελn␈↓ λW␈ε⊗␈␈↓ 	β␈ελq␈↓ 	≠␈εα+␈αλ1;
␈β∂x␈↓ βD␈ε↓>
␈β⊂β␈↓ βD␈ε↓>
␈β⊂∞␈↓ βD␈ε↓:
␈β⊂$␈↓ β\␈εα0,␈↓ εC␈εαotherwise.
␈β⊂U␈↓ α⊂␈ε↓P
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαThe␈↓ α6␈εα-signs␈αstand␈α
for␈α
a␈αsummation␈α
o␈α␈v␈α␈er␈αall␈α
possible␈αperm␈α␈utations.␈αTo␈α
illustrate
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαthe␈α	calculations␈α	in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈α
here,␈α	w␈α␈e␈α
will␈α	w␈α␈ork␈α	the␈α
most␈α	di}cult␈α	case,␈α
when␈↓ 
1␈ελi␈↓ 
D␈εα+␈↓ 
l␈ελp␈↓ λ␈εα=
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.2␈ε∞␈↓ λ<EMPIRICA␈α␈L␈α	TEST␈α␈S␈↓ λ␈εα65
␈βα%␈↓ ↓H␈ελj␈↓ ↓h␈ε⊗∀␈↓ α≥␈ελn␈↓ α=␈ε⊗␈␈↓ αk␈ελq␈↓ βε␈εα+␈α
1,␈α⊃and␈α⊂when␈↓ ¬
␈ελi␈↓ ¬+␈εα>␈α⊂1.␈α↔Note␈α⊂that␈↓ π@␈ελZ␈↓ πm␈ελZ␈↓ λ+␈εαis␈α∂either␈α⊂zero␈α⊂or␈α⊂one,␈α⊂so
␈βα2␈↓ πS␈εp␈↓ πb␈εi␈↓ λ␈εq␈↓ λ∞␈εj
␈βαP␈↓ ↓H␈εαthe␈α
summation␈α
consists␈α
of␈α
coun␈α␈ting␈α
all␈α
perm␈α␈utations␈↓ λ↓␈ελU␈↓ λ&␈ελU␈↓ λQ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	↓␈ελU␈↓ 	4␈εαfor␈αwhich␈↓ 
Q␈ελZ␈↓ λ␈εα=
␈βα↑␈↓ λ_␈ε¬1␈↓ λ=␈ε¬2␈↓ 	_␈εn␈↓ 
d␈εp␈↓ 
s␈εi
␈βα{␈↓ ↓H␈ελZ␈↓ ↓␈␈εα=␈α
1,␈αthat␈αis,␈αall␈αperm␈α␈utations␈αsuch␈αthat
␈ββ	␈↓ ↓[␈εq␈↓ ↓h␈εj
␈ββO␈↓ αu␈ελU␈↓ βM␈εα>␈↓ β{␈ελU␈↓ ∧'␈εα<␈↓ ∧U␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬	␈εα<␈↓ ¬7␈ελU␈↓ ε;␈εα>␈↓ εi␈ελU␈↓ πA␈εα<␈↓ πo␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ#␈εα<␈↓ λQ␈ελU␈↓ 	u␈εα.␈↓ 
p␈εα(15)
␈ββ\␈↓ β␈εi␈↓ β↔␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧∩␈εi␈↓ ¬N␈εi␈↓ ¬Z␈ε¬+␈↓ ¬v␈εp␈↓ εε␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ π␈εi␈↓ π␈ε¬+␈↓ π(␈εp␈↓ λh␈εi␈↓ λt␈ε¬+␈↓ 	⊃␈εp␈↓ 	 ␈ε¬+␈↓ 	=␈εq␈↓ 	J␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧#␈↓ ↓H␈εαThe␈α⊃n␈α␈um␈α␈ber␈α∩of␈α∩such␈α∩perm␈α␈utations␈α∩may␈α∩be␈α⊃en␈α␈umerated␈α∩as␈α∩follo␈α␈ws:␈α_there␈α⊃are
␈β∧.␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ α:␈ε↓↓
␈β∧F␈↓ ↓␈␈εn
␈β∧N␈↓ αR␈εαways␈α	to␈α	choose␈α
the␈α	elemen␈α␈ts␈α
for␈α	the␈α	positions␈α
indicated␈α	in␈α
(15);␈α
there␈α	are
␈β∧a␈↓ ↓V␈εp␈↓ ↓e␈ε¬+␈↓ αα␈εq␈↓ α∂␈ε¬+1
␈β¬$␈↓ ∧4␈ε↓∩␈↓ ¬ ␈ε↓∪␈↓ ¬j␈ε↓∩␈↓ π≤␈ε↓∪␈↓ πf␈ε↓∩␈↓ 	→␈ε↓∪
␈β¬'␈↓ ∧J␈ελp␈↓ ∧d␈εα+␈↓ ¬⊂␈ελq␈↓ ε␈ελp␈↓ ε~␈εα+␈↓ εF␈ελq␈↓ ε↑␈εα+␈αλ1␈↓ π|␈ελp␈↓ λ↔␈εα+␈↓ λC␈ελq␈↓ λ[␈εα+␈αλ1
␈β¬>␈↓ α␈␈εα(␈↓ β␈ελp␈↓ β%␈εα+␈↓ βQ␈ελq␈↓ βj␈εα+␈αλ1)␈↓ ¬>␈ε⊗␈␈↓ π:␈ε⊗␈␈↓ 	7␈εα+␈αλ1␈↓ 
p␈εα(16)
␈β¬V␈↓ ∧l␈ελp␈↓ ε"␈ελp␈↓ ε<␈εα+␈αλ1␈↓ λB␈εα1
␈βε'␈↓ ↓H␈εαways␈α⊃to␈α∩arrange␈α⊃them␈α∩in␈α⊃the␈α∩order␈α⊃(15),␈α∪as␈α⊃sho␈α␈wn␈α∩in␈α⊃ex␈α␈ercise␈α∩13;␈α∀and␈α⊃there
␈βεS␈↓ ↓H␈εαare␈α∞(␈↓ α∩␈ελn␈↓ α1␈ε⊗␈␈↓ α↑␈ελp␈↓ αz␈ε⊗␈␈↓ β(␈ελq␈↓ βA␈ε⊗␈␈εα␈α
1)!␈α∞ways␈α∞to␈α∞arrange␈α∞the␈α∞remaining␈α∂elemen␈α␈ts.␈α∩Th␈α␈us␈α∞there␈α∞are
␈βε↑␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ α:␈ε↓↓
␈βεv␈↓ ↓␈␈εn
␈βε}␈↓ αH␈εα(␈↓ αT␈ελn␈↓ αs␈ε⊗␈␈↓ β∨␈ελp␈↓ β;␈ε⊗␈␈↓ βg␈ελq␈↓ ∧␈ε⊗␈␈εα␈α	1)!␈α
times␈α
(16)␈α∞ways␈α
in␈α
all,␈α∞and␈α
dividing␈α
by␈↓ 	Z␈ελn␈↓ 	p␈εα!␈α
w␈α␈e␈α
get␈α
the
␈βπ⊃␈↓ ↓V␈εp␈↓ ↓e␈ε¬+␈↓ αα␈εq␈↓ α∂␈ε¬+1
␈βπ)␈↓ ↓H␈εαdesired␈αform␈α␈ula.
␈βπT␈↓ α␈εαFrom␈αrelations␈α(14)␈αa␈αrather␈αlength␈α␈y␈αcalculation␈αleads␈αto
␈βλ∨␈↓ βJ␈ε→0
␈βλ%␈↓ αQ␈εαmean␈↓ β%␈εα(␈↓ β1␈ελR␈↓ βY␈εα)␈↓ βo␈εα=␈↓ ∧≥␈εαmean␈↓ ∧q␈εα(␈↓ ∧⎇␈ελZ␈↓ ¬5␈εα+␈↓ ¬a␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε∪␈εα+␈↓ ε?␈ελZ␈↓ εs␈εα)
␈βλ3␈↓ ¬⊂␈εp␈↓ ¬∨␈ε¬1␈↓ εR␈εp␈↓ εb␈εn
␈βλ7␈↓ βJ␈εp
␈βλQ␈↓ βo␈εα=␈α
(␈↓ ∧)␈ελn␈↓ ∧F␈εα+␈αλ1)␈↓ ¬⊂␈ελp␈↓ ¬#␈εα/(␈↓ ¬A␈ελp␈↓ ¬[␈εα+␈αλ1)!␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ(␈↓ εo␈ελp␈↓ π	␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)/␈↓ πe␈ελp␈↓ πx␈εα!,␈↓ λZ1␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	$␈ελp␈↓ 	@␈ε⊗∀␈↓ 	n␈ελn␈↓ 
∧␈εα;␈↓ 
p␈εα(17)
␈β	␈↓ β∪␈ε→0␈↓ βK␈ε→0␈↓ ¬⊗␈ε→0␈↓ ¬D␈ε→0␈↓ π
␈ε→0␈↓ λ≡␈ε→0
␈β	⊃␈↓ α→␈εαco␈α␈var␈↓ αn␈εα(␈↓ αz␈ελR␈↓ β"␈εα,␈↓ β2␈ελR␈↓ βY␈εα)␈↓ βo␈εα=␈↓ ∧≥␈εαmean␈↓ ∧q␈εα(␈↓ ∧⎇␈ελR␈↓ ¬+␈ελR␈↓ ¬Q␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ε⊃␈εαmean␈↓ εe␈εα(␈↓ εq␈ελR␈↓ π→␈εα)␈↓ π%␈εαmean␈↓ πy␈εα(␈↓ λ¬␈ελR␈↓ λ,␈εα)
␈β	#␈↓ β∪␈εp␈↓ βK␈εq␈↓ ¬⊗␈εp␈↓ ¬D␈εq␈↓ π
␈εp␈↓ λ≡␈εq
␈β	0␈↓ ∧@␈ε↓X␈↓ ¬K␈ε↓X
␈β	=␈↓ ¬(␈εα1
␈β	M␈↓ λ∂␈ε→0␈↓ 	#␈ε→0
␈β	T␈↓ βo␈εα=␈↓ ε¬␈ελZ␈↓ ε3␈ελZ␈↓ εj␈ε⊗␈␈↓ π⊗␈εαmean␈↓ πj␈εα(␈↓ πv␈ελR␈↓ λ≡␈εα)␈↓ λ*␈εαmean␈↓ λ}␈εα(␈↓ 	
␈ελR␈↓ 	1␈εα)
␈β	a␈↓ ε_␈εp␈↓ ε'␈εi␈↓ εF␈εp␈↓ εU␈εj
␈β	d␈↓ ¬!␈∧	d¬!α 
␈β	e␈↓ λ∂␈εp␈↓ 	#␈εq
␈β	l␈↓ ¬!␈ελn␈↓ ¬7␈εα!
␈β
¬␈↓ ∧≥␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ∧H␈εi␈↓ ∧S␈ε¬,␈↓ ∧[␈εj␈↓ ∧i␈ε→∀␈↓ ¬¬␈εn
␈β
2␈↓ ¬,␈ε→0
␈β
5␈↓ ∧≥␈ε↓~
␈β
7␈↓ ∧3␈εαmean␈↓ ¬π␈εα(␈↓ ¬∪␈ελR␈↓ ¬6␈εα)␈αλ+␈↓ ¬v␈ελf␈↓ επ␈εα(␈↓ ε∪␈ελp␈↓ ε&␈εα,␈↓ ε6␈ελq␈↓ εF␈εα,␈↓ εV␈ελn␈↓ εl␈εα),␈↓ λK␈εαif␈↓ λm␈ελp␈↓ 	π␈εα+␈↓ 	3␈ελq␈↓ 	M␈ε⊗∀␈↓ 	{␈ελn␈↓ 
⊃␈εα,
␈β
I␈↓ ¬,␈εt
␈β
O␈↓ βo␈εα=␈↓ 
p␈εα(18)
␈β
]␈↓ ¬,␈ε→0␈↓ εo␈ε→0␈↓ λβ␈ε→0
␈β
b␈↓ ∧3␈εαmean␈↓ ¬π␈εα(␈↓ ¬∪␈ελR␈↓ ¬6␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ¬v␈εαmean␈↓ εJ␈εα(␈↓ εV␈ελR␈↓ ε}␈εα)␈↓ π
␈εαmean␈↓ π↑␈εα(␈↓ πj␈ελR␈↓ λ⊃␈εα),␈↓ λK␈εαif␈↓ λm␈ελp␈↓ 	π␈εα+␈↓ 	3␈ελq␈↓ 	M␈εα>␈↓ 	{␈ελn␈↓ 
⊃␈εα,
␈β
t␈↓ ¬,␈εt␈↓ εo␈εp␈↓ λβ␈εq
␈β9␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελt␈↓ αG␈εα=␈↓ αu␈εαmax␈↓ β9␈εα(␈↓ βE␈ελp␈↓ βW␈εα,␈↓ βg␈ελq␈↓ βw␈εα),␈↓ ∧→␈ελs␈↓ ∧2␈εα=␈↓ ∧`␈ελp␈↓ ∧z␈εα+␈↓ ¬&␈ελq␈↓ ¬7␈εα,␈αand
␈βλ␈↓ ∧|␈ε↓∩␈↓ λ@␈ε↓∪␈↓ 	≤␈ε↓∩␈↓ 
∂␈ε↓∪
␈β
␈↓ ¬≥␈ελs␈↓ ¬,␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ¬}␈ελp␈↓ ε⊂␈ελq␈↓ ε ␈εα)␈αλ+␈↓ ε`␈ελp␈↓ εr␈ελq
␈β␈↓ πp␈εα2␈↓ λα␈ελs␈↓ 	6␈ελs␈↓ 	M␈ε⊗␈␈εα␈αλ1
␈β"␈↓ αO␈ελf␈↓ αa␈εα(␈↓ αm␈ελp␈↓ α␈␈εα,␈↓ β∂␈ελq␈↓ β∨␈εα,␈↓ β/␈ελn␈↓ βE␈εα)␈↓ β[␈εα=␈α
(␈↓ ∧∃␈ελn␈↓ ∧2␈εα+␈αλ1)␈↓ π∃␈ε⊗␈␈↓ λ↑␈εα+␈αλ2
␈β2␈↓ ¬⊗␈∧2¬⊗α↓s␈↓ πE␈∧2πEαx␈↓ 	6␈∧2	6αU
␈β:␈↓ ¬⊗␈εα(␈↓ ¬"␈ελp␈↓ ¬=␈εα+␈αλ1)!(␈↓ ε≥␈ελq␈↓ ε5␈εα+␈αλ1)!␈↓ πE␈εα(␈↓ πQ␈ελs␈↓ πh␈εα+␈αλ1)!␈↓ 	T␈ελs␈↓ 	c␈εα!
␈βP␈↓ 
p␈εα(19)
␈βa␈↓ ∧l␈ε¬2␈↓ εu␈ε¬2␈↓ πI␈ε¬2␈↓ πh␈ε¬2
␈βf␈↓ ∧Q␈εα(␈↓ ∧]␈ελs␈↓ ¬α␈ε⊗␈␈↓ ¬.␈ελs␈↓ ¬E␈ε⊗␈␈εα␈αλ2)␈↓ ε∂␈ελp␈↓ ε!␈ελq␈↓ ε:␈ε⊗␈␈↓ εf␈ελs␈↓ π␈ε⊗␈␈↓ π7␈ελp␈↓ πX␈ελq␈↓ π}␈εα+␈αλ1
␈β␈␈↓ ∧!␈εα+␈↓ λ@␈εα.
␈β
∂␈↓ ∧Q␈∧
∂∧Qαβl
␈β
↔␈↓ ¬M␈εα(␈↓ ¬Y␈ελp␈↓ ¬t␈εα+␈αλ1)!(␈↓ εT␈ελq␈↓ εl␈εα+␈αλ1)!
␈β
e␈↓ ↓H␈εαThis␈α
expression␈α
for␈α
the␈α
co␈α␈variance␈α
is␈α
unfortunately␈α
quite␈α
complicated,␈α
but␈α
it␈α
is
␈β∞⊂␈↓ ↓H␈εαnecessary␈αfor␈αa␈αsuccessful␈αrun␈αtest␈αas␈αdescribed␈αabo␈α␈v␈α␈e.␈αFrom␈αthese␈αform␈α␈ulas␈αit␈αis
␈β∞<␈↓ ↓H␈εαeasy␈αto␈αcompute
␈β∂¬␈↓ ε5␈ε→0␈↓ π⎇␈ε→0
␈β∂␈↓ βp␈εαmean␈↓ ∧D␈εα(␈↓ ∧P␈ελR␈↓ ∧x␈εα)␈↓ ¬∞␈εα=␈↓ ¬<␈εαmean␈↓ ε⊂␈εα(␈↓ ε≤␈ελR␈↓ εD␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π∧␈εαmean␈↓ πX␈εα(␈↓ πd␈ελR␈↓ λ7␈εα),
␈β∂_␈↓ ∧i␈εp
␈β∂≥␈↓ ε5␈εp␈↓ π⎇␈εp␈↓ λ␈ε¬+1
␈β∂7␈↓ ∧j␈ε→0␈↓ ε6␈ε→0␈↓ εn␈ε→0␈↓ λ5␈ε→0␈↓ 	→␈ε→0
␈β∂=␈↓ β8␈εαco␈α␈var␈↓ ∧
␈εα(␈↓ ∧→␈ελR␈↓ ∧A␈εα,␈↓ ∧Q␈ελR␈↓ ∧x␈εα)␈↓ ¬∞␈εα=␈↓ ¬<␈εαco␈α␈var␈↓ ε⊃␈εα(␈↓ ε≥␈ελR␈↓ εE␈εα,␈↓ εU␈ελR␈↓ ε{␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π;␈εαco␈α␈var␈↓ λ⊂␈εα(␈↓ λ≤␈ελR␈↓ λp␈εα,␈↓ 	␈ελR␈↓ 	&␈εα),
␈β∂@␈↓ 
p␈εα(20)
␈β∂K␈↓ ∧2␈εp
␈β∂O␈↓ ∧j␈εq␈↓ ε6␈εp␈↓ εn␈εq␈↓ λ5␈εp␈↓ λD␈ε¬+1␈↓ 	→␈εq
␈β∂j␈↓ εn␈ε→0␈↓ λm␈ε→0
␈β∂p␈↓ β8␈εαco␈α␈var␈↓ ∧
␈εα(␈↓ ∧→␈ελR␈↓ ∧A␈εα,␈↓ ∧Q␈ελR␈↓ ∧x␈εα)␈↓ ¬∞␈εα=␈↓ ¬<␈εαco␈α␈var␈↓ ε⊃␈εα(␈↓ ε≥␈ελR␈↓ εE␈εα,␈↓ εU␈ελR␈↓ ε{␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π;␈εαco␈α␈var␈↓ λ⊂␈εα(␈↓ λ≤␈ελR␈↓ λD␈εα,␈↓ λT␈ελR␈↓ 	&␈εα).
␈β∂⎇␈↓ ∧2␈εp␈↓ ∧j␈εq␈↓ ε6␈εp␈↓ λ5␈εp
␈β⊂α␈↓ εn␈εq␈↓ λm␈εq␈↓ λ{␈ε¬+␈α␈1
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαIn␈ε∂␈αλAnnals␈α	Math.␈αλStat.␈ε∩␈αλ15␈εα␈α	(1944),␈α	163↑165,␈α	J.␈α	Wolfo␈α␈witz␈αλpro␈α␈v␈α␈ed␈α	that␈αλthe␈αλquan␈α␈tities
␈β⊂l␈↓ ∧∃␈ε→0
␈β⊂q␈↓ ↓H␈ελR␈↓ ↓o␈εα,␈↓ α	␈ελR␈↓ α0␈εα,␈↓ αJ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αz␈εα,␈↓ β∀␈ελR␈↓ βb␈εα,␈↓ β|␈ελR␈↓ ∧/␈εαbecome␈α∂normally␈α∂distributed␈α∂as␈↓ λ7␈ελn␈↓ λ\␈ε⊗!␈α∂1␈εα,␈α∂subject␈α∂to␈α∂the
␈β⊂}␈↓ ↓a␈ε¬1␈↓ α"␈ε¬2␈↓ β-␈εt␈↓ β7␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊃β␈↓ ∧∃␈εt
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαmean␈α∂and␈α∂co␈α␈variance␈α∂expressed␈α∂abo␈α␈v␈α␈e;␈α⊃this␈α∂implies␈α⊂that␈α∂the␈α∂follo␈α␈wing␈α∂test␈α∂for
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα66␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.2
␈βα(␈↓ ↓H␈εαruns␈α
is␈α∞valid:␈α∂Giv␈α␈en␈α∞a␈α∞sequence␈α
of␈↓ ¬r␈ελn␈↓ ε⊗␈εαrandom␈α
n␈α␈um␈α␈bers,␈α∞compute␈α∞the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
of
␈βαN␈↓ 	
␈ε→0
␈βαS␈↓ ↓H␈εαruns␈↓ α∩␈ελR␈↓ α@␈εαof␈απlength␈↓ βM␈ελp␈↓ βf␈εαfor␈αε1␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧b␈ελp␈↓ ∧}␈εα<␈↓ ¬,␈ελt␈↓ ¬9␈εα,␈αλand␈αεalso␈απthe␈αεn␈α␈um␈α␈ber␈αεof␈απruns␈↓ λq␈ελR␈↓ 	≠␈εαof␈αεlength␈ε⊗␈αε∃␈↓ 
U␈ελt␈↓ 
b␈εα.␈α
Let
␈βαa␈↓ α+␈εp
␈βαe␈↓ 	
␈εt
␈ββ)␈↓ αa␈ελQ␈↓ β⊃␈εα=␈↓ β?␈ελR␈↓ βo␈ε⊗␈␈↓ ∧≠␈εαmean␈↓ ∧o␈εα(␈↓ ∧{␈ελR␈↓ ¬"␈εα),␈↓ ¬b␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε∩␈εα,␈↓ εF␈ελQ␈↓ π≡␈εα=␈↓ πL␈ελR␈↓ λ"␈ε⊗␈␈↓ λN␈εαmean␈↓ 	"␈εα(␈↓ 	.␈ελR␈↓ 	⎇␈εα),
␈ββ7␈↓ αy␈ε¬1␈↓ βX␈ε¬1␈↓ ¬∀␈ε¬1␈↓ ε↑␈εt␈↓ εi␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ πe␈εt␈↓ πo␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	G␈εt␈↓ 	R␈ε→␈␈ε¬1
␈ββ?␈↓ 
p␈εα(21)
␈ββO␈↓ ελ␈ε→0␈↓ π?␈ε→0
␈ββT␈↓ ¬∀␈ελQ␈↓ ¬A␈εα=␈↓ ¬o␈ελR␈↓ ε~␈ε⊗␈␈↓ εF␈εαmean␈↓ π~␈εα(␈↓ π&␈ελR␈↓ πJ␈εα).
␈ββb␈↓ ¬,␈εt
␈ββf␈↓ ελ␈εt␈↓ π?␈εt
␈β∧(␈↓ α␈εαForm␈α∩the␈α∩matrix␈↓ ∧4␈ελC␈↓ ∧d␈εαof␈α∩the␈α∩co␈α␈variances␈α∩of␈α∩the␈ελ␈α∩R␈εα's;␈α⊗for␈α∩example,␈↓ 
?␈ελC␈↓ λ␈εα=
␈β∧6␈↓ 
W␈ε¬1␈α↓3
␈β∧O␈↓ ε"␈ε→0
␈β∧T␈↓ ↓H␈εαco␈α␈var␈↓ α≥␈εα(␈↓ α)␈ελR␈↓ αP␈εα,␈↓ α`␈ελR␈↓ βπ␈εα),␈αwhile␈↓ ∧π␈ελC␈↓ ∧B␈εα=␈↓ ∧p␈εαco␈α␈var␈↓ ¬E␈εα(␈↓ ¬Q␈ελR␈↓ ¬y␈εα,␈↓ ε	␈ελR␈↓ ε,␈εα).␈αWhen␈↓ π6␈ελt␈↓ πM␈εα=␈α
6,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β∧a␈↓ αB␈ε¬1␈↓ αy␈ε¬3␈↓ ∧∨␈ε¬1␈↓ ∧.␈εt␈↓ ¬j␈ε¬1
␈β∧f␈↓ ε"␈εt
␈β¬'␈↓ ↓H␈ελC␈↓ ↓o␈εα=␈↓ α≥␈ελn␈↓ α3␈ελC␈↓ αa␈εα+␈↓ β
␈ελC
␈β¬5␈↓ αK␈ε¬1␈↓ β%␈ε¬2
␈β¬F␈↓ α3␈ε↓0␈↓ 
≠␈ε↓1
␈β¬h␈↓ αk␈ε¬2␈α↓3␈↓ βw␈ε¬-7␈↓ ¬∂␈ε¬-5␈↓ ε'␈ε¬-43␈α↓3␈↓ πk␈ε¬-␈α␈1␈α↓3␈↓ 	.␈ε¬-␈α␈1␈α↓21
␈β¬|␈↓ αd␈∧¬|αdα,␈↓ βn␈∧¬|βnα,␈↓ ¬ε␈∧¬|¬εα,␈↓ ε≡␈∧¬|ε≡αH␈↓ πa␈∧¬|πaα:␈↓ 	≥␈∧¬|	≥αW
␈β¬}␈↓ αd␈ε¬1␈α↓80␈↓ βn␈ε¬36␈α↓0␈↓ ¬ε␈ε¬33␈α↓6␈↓ ε≡␈ε¬60␈α↓480␈↓ πa␈ε¬56␈α↓70␈↓ 	≥␈ε¬18␈α↓14␈α↓40
␈βεπ␈↓ α3␈ε↓B␈↓ 
≠␈ε↓C
␈βε≥␈↓ α3␈ε↓B␈↓ 
≠␈ε↓C
␈βε≡␈↓ αn␈ε¬-␈α␈7␈↓ βg␈ε¬284␈α↓3␈↓ ¬↓␈ε¬-989␈↓ ε ␈ε¬-71␈α↓59␈↓ πU␈ε¬-100␈α↓19␈↓ 	'␈ε¬-␈α␈1␈α↓303
␈βε2␈↓ α3␈ε↓B␈↓ αd␈∧ε2αdα,␈↓ β←␈∧ε2β←αH␈↓ ∧w␈∧ε2∧wαH␈↓ ε↔␈∧ε2ε↔αW␈↓ πK␈∧ε2πKαe␈↓ 	≥␈∧ε2	≥αW␈↓ 
≠␈ε↓C
␈βε4␈↓ αd␈ε¬3␈α↓60␈↓ β←␈ε¬2␈α↓01␈α↓60␈↓ ∧w␈ε¬2␈α↓01␈α↓60␈↓ ε↔␈ε¬362␈α↓88␈α↓0␈↓ πK␈ε¬1␈α↓81␈α↓440␈α↓0␈↓ 	≥␈ε¬90␈α↓72␈α↓00
␈βεH␈↓ α3␈ε↓B␈↓ 
≠␈ε↓C
␈βεT␈↓ αn␈ε¬-␈α␈5␈↓ βi␈ε¬-989␈↓ ∧w␈ε¬5␈α↓45␈α↓63␈↓ ε→␈ε¬-213␈α↓11␈↓ πU␈ε¬-623␈α↓69␈↓ 	'␈ε¬-␈α␈7␈α↓783
␈βε↑␈↓ α3␈ε↓B␈↓ 
≠␈ε↓C
␈βεh␈↓ αd␈∧εhαdα,␈↓ β←␈∧εhβ←αH␈↓ ∧p␈∧εh∧pαW␈↓ ε∂␈∧εhε∂αe␈↓ πD␈∧εhπDαt␈↓ 	⊗␈∧εh	⊗αe
␈βεj␈↓ αd␈ε¬3␈α↓36␈↓ β←␈ε¬2␈α↓01␈α↓60␈↓ ∧p␈ε¬9␈α↓072␈α↓00␈↓ ε∂␈ε¬1␈α↓81␈α↓440␈α↓0␈↓ πD␈ε¬1␈α↓995␈α↓84␈α↓00␈↓ 	⊗␈ε¬99␈α↓792␈α↓00
␈βεr␈↓ ↓o␈εα=␈↓ α≥␈ελn
␈βεs␈↓ α3␈ε↓B␈↓ 
≠␈ε↓C
␈βπ	␈↓ α3␈ε↓B␈↓ 
≠␈ε↓C
␈βπ
␈↓ α←␈ε¬-43␈α↓3␈↓ βb␈ε¬-␈α␈7␈α↓15␈α↓9␈↓ ∧s␈ε¬-␈α␈2␈α↓131␈α↓1␈↓ ε↔␈ε¬886␈α↓65␈α↓7␈↓ πN␈ε¬-␈α␈2␈α↓57␈α↓699␈↓ 	∨␈ε¬-62␈α↓61␈α↓1
␈βπ≡␈↓ α3␈ε↓B␈↓ αV␈∧π≡αVαH␈↓ βX␈∧π≡βXαW␈↓ ∧i␈∧π≡∧iαe␈↓ ελ␈∧π≡ελαt␈↓ π=␈∧π≡π=α↓α␈↓ 	π␈∧π≡	πα↓α␈↓ 
≠␈ε↓C
␈βπ ␈↓ αV␈ε¬60␈α↓480␈↓ βX␈ε¬3␈α↓628␈α↓80␈↓ ∧i␈ε¬18␈α↓14␈α↓400␈↓ ελ␈ε¬3␈α↓991␈α↓68␈α↓00␈↓ π=␈ε¬23␈α↓95␈α↓008␈α↓00␈↓ 	π␈ε¬2␈α↓39␈α↓500␈α↓80␈α↓0
␈βπ4␈↓ α3␈ε↓B␈↓ 
≠␈ε↓C
␈βπ@␈↓ αg␈ε¬-␈α␈1␈α↓3␈↓ β[␈ε¬-␈α␈1␈α↓001␈α↓9␈↓ ∧s␈ε¬-␈α␈6␈α↓236␈α↓9␈↓ ε∩␈ε¬-␈α␈2␈α↓57␈α↓699␈↓ πD␈ε¬2␈α↓987␈α↓48␈α↓11␈↓ 	⊃␈ε¬-140␈α↓71␈α↓79
␈βπJ␈↓ α3␈ε↓@␈↓ 
≠␈ε↓A
␈βπT␈↓ α]␈∧πTα]α:␈↓ βQ␈∧πTβQαe␈↓ ∧b␈∧πT∧bαt␈↓ ε↓␈∧πTε↓α↓α␈↓ π6␈∧πTπ6α↓⊂␈↓ λy␈∧πTλyα↓∨
␈βπV␈↓ α]␈ε¬56␈α↓70␈↓ βQ␈ε¬18␈α↓14␈α↓400␈↓ ∧b␈ε¬19␈α↓958␈α↓40␈α↓0␈↓ ε↓␈ε¬23␈α↓95␈α↓008␈α↓00␈↓ π6␈ε¬54␈α↓486␈α↓43␈α↓200␈↓ λy␈ε¬21␈α↓79␈α↓457␈α↓28␈α↓00
␈βπv␈↓ α←␈ε¬-12␈α↓1␈↓ βb␈ε¬-␈α␈1␈α↓30␈α↓3␈↓ ∧z␈ε¬-␈α␈7␈α↓78␈α↓3␈↓ ε→␈ε¬-626␈α↓11␈↓ πG␈ε¬-␈α␈1␈α↓407␈α↓17␈α↓9␈↓ 	⊗␈ε¬21␈α↓346␈α↓97
␈βλ∧␈↓ 
p␈εα(22)
␈βλ
␈↓ αO␈∧λ
αOαW␈↓ βX␈∧λ
βXαW␈↓ ∧i␈∧λ
∧iαe␈↓ ε↓␈∧λ
ε↓α↓α␈↓ π/␈∧λ
π/α↓∨␈↓ 	␈∧λ
	α↓⊂
␈βλ␈↓ αO␈ε¬181␈α↓44␈α↓0␈↓ βX␈ε¬9␈α↓072␈α↓00␈↓ ∧i␈ε¬99␈α↓79␈α↓200␈↓ ε↓␈ε¬23␈α↓95␈α↓008␈α↓00␈↓ π/␈ε¬217␈α↓94␈α↓572␈α↓80␈α↓0␈↓ 	␈ε¬1␈α↓816␈α↓21␈α↓440␈α↓0
␈βλ$␈↓ α=␈ε↓0␈↓ 
	␈ε↓1
␈βλE␈↓ αn␈ε¬8␈α↓3␈↓ βe␈ε¬-␈α␈2␈α↓9␈↓ ∧v␈ε¬-␈α␈1␈α↓1␈↓ ε≤␈ε¬-41␈↓ π]␈ε¬91␈↓ 	'␈ε¬4␈α↓1
␈βλY␈↓ αg␈∧λYαgα,␈↓ βb␈∧λYβbα,␈↓ ∧s␈∧λY∧sα,␈↓ ε␈∧λYεαH␈↓ πG␈∧λYπGαH␈↓ 	∩␈∧λY	∩αH
␈βλ[␈↓ αg␈ε¬1␈α↓80␈↓ βb␈ε¬1␈α↓80␈↓ ∧s␈ε¬2␈α↓10␈↓ ε␈ε¬1␈α↓209␈α↓6␈↓ πG␈ε¬2␈α↓592␈α↓0␈↓ 	∩␈ε¬181␈α↓44
␈βλd␈↓ α=␈ε↓B␈↓ 
	␈ε↓C
␈βλz␈↓ α=␈ε↓B␈↓ 
	␈ε↓C
␈βλ{␈↓ αj␈ε¬-␈α␈2␈α↓9␈↓ β↑␈ε¬-␈α␈3␈α↓05␈↓ ∧s␈ε¬3␈α↓19␈↓ ε∩␈ε¬2␈α↓55␈α↓7␈↓ πG␈ε¬1␈α↓017␈α↓7␈↓ 	 ␈ε¬41␈α↓3
␈β	∂␈↓ αg␈∧	∂αgα,␈↓ β[␈∧	∂β[α:␈↓ ∧e␈∧	∂∧eαH␈↓ ε␈∧	∂εαH␈↓ π@␈∧	∂π@αW␈↓ 	∩␈∧	∂	∩αH
␈β	⊂␈↓ α=␈ε↓B␈↓ 
	␈ε↓C
␈β	⊃␈↓ αg␈ε¬1␈α↓80␈↓ β[␈ε¬4␈α↓032␈↓ ∧e␈ε¬20␈α↓160␈↓ ε␈ε¬7␈α↓257␈α↓6␈↓ π@␈ε¬60␈α↓48␈α↓00␈↓ 	∩␈ε¬648␈α↓00
␈β	%␈↓ α=␈ε↓B␈↓ 
	␈ε↓C
␈β	1␈↓ αj␈ε¬-␈α␈1␈α↓1␈↓ βb␈ε¬3␈α↓19␈↓ ∧`␈ε¬-587␈α↓47␈↓ ε␈ε¬1␈α↓970␈α↓3␈↓ π@␈ε¬23␈α↓94␈α↓71␈↓ 	∩␈ε¬395␈α↓17
␈β	;␈↓ α=␈ε↓B␈↓ 
	␈ε↓C
␈β	E␈↓ αg␈∧	Eαgα,␈↓ βT␈∧	EβTαH␈↓ ∧↑␈∧	E∧↑αW␈↓ ε∧␈∧	Eε∧αW␈↓ π2␈∧	Eπ2αt␈↓ 	β␈∧	E	βαe
␈β	G␈↓ αg␈ε¬2␈α↓10␈↓ βT␈ε¬20␈α↓16␈α↓0␈↓ ∧↑␈ε¬907␈α↓20␈α↓0␈↓ ε∧␈ε¬60␈α↓48␈α↓00␈↓ π2␈ε¬199␈α↓58␈α↓400␈↓ 	β␈ε¬9␈α↓979␈α↓20␈α↓0
␈β	P␈↓ α⊃␈εα+␈↓ α=␈ε↓B␈↓ 
	␈ε↓C
␈β	f␈↓ α=␈ε↓B␈↓ 
	␈ε↓C
␈β	g␈↓ αj␈ε¬-␈α␈4␈α↓1␈↓ β[␈ε¬2␈α↓557␈↓ ∧e␈ε¬19␈α↓703␈↓ ¬␈␈ε¬-22␈α↓083␈α↓7␈↓ π9␈ε¬11␈α↓964␈α↓01␈↓ 	
␈ε¬3␈α↓60␈α↓989
␈β	{␈↓ αY␈∧	{αYαH␈↓ βT␈∧	{βTαH␈↓ ∧↑␈∧	{∧↑αW␈↓ ¬⎇␈∧	{¬⎇αe␈↓ π*␈∧	{π*α↓α␈↓ λu␈∧	{λuα↓α
␈β	|␈↓ α=␈ε↓B␈↓ 
	␈ε↓C
␈β	⎇␈↓ αY␈ε¬12␈α↓096␈↓ βT␈ε¬72␈α↓57␈α↓6␈↓ ∧↑␈ε¬604␈α↓80␈α↓0␈↓ ¬⎇␈ε¬44␈α↓352␈α↓00␈↓ π*␈ε¬2␈α↓39␈α↓500␈α↓80␈α↓0␈↓ λu␈ε¬23␈α↓950␈α↓08␈α↓00
␈β
⊃␈↓ α=␈ε↓B␈↓ 
	␈ε↓C
␈β
≥␈↓ αn␈ε¬9␈α↓1␈↓ βT␈ε¬10␈α↓17␈α↓7␈↓ ∧↑␈ε¬239␈α↓47␈α↓1␈↓ ¬⎇␈ε¬11␈α↓964␈α↓01␈↓ π&␈ε¬-␈α␈1␈α↓391␈α↓26␈α↓639␈↓ 	β␈ε¬4␈α↓577␈α↓64␈α↓1
␈β
'␈↓ α=␈ε↓@␈↓ 
	␈ε↓A
␈β
1␈↓ αY␈∧
1αYαH␈↓ βM␈∧
1βMαW␈↓ ∧O␈∧
1∧Oαt␈↓ ¬n␈∧
1¬nα↓α␈↓ π#␈∧
1π#α↓⊂␈↓ λf␈∧
1λfα↓∨
␈β
3␈↓ αY␈ε¬25␈α↓920␈↓ βM␈ε¬60␈α↓480␈α↓0␈↓ ∧O␈ε¬1␈α↓995␈α↓84␈α↓00␈↓ ¬n␈ε¬2␈α↓39␈α↓500␈α↓80␈α↓0␈↓ π#␈ε¬7␈α↓264␈α↓85␈α↓760␈α↓0␈↓ λf␈ε¬1␈α↓08␈α↓972␈α↓86␈α↓400
␈β
S␈↓ αn␈ε¬4␈α↓1␈↓ βb␈ε¬4␈α↓13␈↓ ∧e␈ε¬39␈α↓517␈↓ ε∧␈ε¬36␈α↓09␈α↓89␈↓ π9␈ε¬45␈α↓776␈α↓41␈↓ λp␈ε¬-122␈α↓95␈α↓305␈α↓7
␈β
g␈↓ αY␈∧
gαYαH␈↓ βT␈∧
gβTαH␈↓ ∧V␈∧
g∧Vαe␈↓ ¬n␈∧
g¬nα↓α␈↓ π≤␈∧
gπ≤α↓∨␈↓ λf␈∧
gλfα↓∨
␈β
i␈↓ αY␈ε¬18␈α↓144␈↓ βT␈ε¬64␈α↓80␈α↓0␈↓ ∧V␈ε¬9␈α↓97␈α↓920␈α↓0␈↓ ¬n␈ε¬2␈α↓39␈α↓500␈α↓80␈α↓0␈↓ π≤␈ε¬10␈α↓89␈α↓728␈α↓64␈α↓00␈↓ λf␈ε¬2␈α↓17␈α↓945␈α↓72␈α↓800
␈β4␈↓ ↓H␈εαif␈↓ ↓n␈ελn␈↓ α∀␈ε⊗∃␈εα␈α⊃12.␈α→No␈α␈w␈α⊂form␈↓ ∧A␈ελA␈↓ ∧j␈εα=␈α⊃(␈↓ ¬+␈ελa␈↓ ¬T␈εα),␈α⊃the␈α⊂in␈α␈v␈α␈erse␈α⊃of␈α⊂the␈α⊂matrix␈↓ 	$␈ελC␈↓ 	A␈εα,␈α⊃and␈α⊂compute
␈βA␈↓ ¬;␈εi␈↓ ¬G␈εj
␈βC␈↓ ↓H␈ε↓P
␈β←␈↓ αg␈ελQ␈↓ β
␈ελQ␈↓ β0␈ελa␈↓ βY␈εα.␈α_The␈α⊂result␈α⊂for␈α⊂large␈↓ εI␈ελn␈↓ εo␈εαshould␈α⊂hav␈α␈e␈α∂appro␈α␈ximately␈α⊂the␈α⊂chi-
␈βm␈↓ α␈␈εi␈↓ β"␈εj␈↓ β@␈εi␈↓ βL␈εj
␈βr␈↓ ↓n␈ε¬1␈ε→∀␈↓ α→␈εi␈↓ α$␈ε¬,␈↓ α,␈εj␈↓ α:␈ε→∀␈↓ αV␈εt
␈β
␈↓ ↓H␈εαsquare␈αdistribution␈αwith␈↓ ∧N␈ελt␈↓ ∧g␈εαdegrees␈αof␈αfreedom.
␈β6␈↓ α␈εαThe␈α
matrix␈α
(11)␈α
giv␈α␈en␈αearlier␈α
is␈α
the␈α
in␈α␈v␈α␈erse␈α
of␈↓ πm␈ελC␈↓ λ ␈εαto␈α
|v␈α␈e␈α
signi|can␈α␈t␈α|gures.
␈βD␈↓ λ¬␈ε¬1
␈β\␈↓ π>␈ε→␈␈ε¬1
␈βa␈↓ ↓H␈εαWhen␈↓ α.␈ελn␈↓ αN␈εαis␈α
large,␈↓ βP␈ελA␈↓ βr␈εαwill␈α
be␈α
appro␈α␈ximately␈α(1/␈↓ π␈ελn␈↓ π∃␈εα)␈↓ π!␈ελC␈↓ πj␈εα;␈α
a␈α
test␈αwith␈↓ 	/␈ελn␈↓ 	N␈εα=␈α
100␈α
sho␈α␈w␈α␈ed
␈βs␈↓ π>␈ε¬1
␈β

␈↓ ↓H␈εαthat␈αthe␈αen␈α␈tries␈↓ βE␈ελa␈↓ βz␈εαin␈α(11)␈αw␈α␈ere␈αeach␈αabout␈α1␈αpercen␈α␈t␈αlo␈α␈w␈α␈er␈αthan␈αthe␈αtrue␈αvalues
␈β
~␈↓ βV␈εi␈↓ βa␈εj
␈β
8␈↓ ↓H␈εαobtained␈αby␈αin␈α␈v␈α␈erting␈α(22).
␈β
⎇␈↓ ↓H␈ε∩H.␈αMaxim␈α␈um-of-␈↓ βM␈ελt␈↓ βN␈ελt␈↓ βh␈ε∩test.␈εα␈α~For␈α
0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬V␈ελj␈↓ ¬r␈εα<␈↓ ε!␈ελn␈↓ ε6␈εα,␈α
let␈↓ π↓␈ελV␈↓ π.␈εα=␈↓ π]␈εαmax␈↓ λ!␈εα(␈↓ λ-␈ελU␈↓ λ[␈εα,␈↓ λk␈ελU␈↓ 	E␈εα,␈↓ 	U␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
¬␈εα,␈↓ 
∃␈ελU␈↓ ⊗␈εα).
␈β∞
␈↓ π∃␈εj␈↓ λD␈εt␈↓ λN␈εj␈↓ 	α␈εt␈↓ 	
␈εj␈↓ 	~␈ε¬+1␈↓ 
,␈εt␈↓ 
7␈εj␈↓ 
D␈ε¬+␈↓ 
a␈εt␈↓ 
k␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞(␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈α⊂apply␈α⊃the␈α⊃Kolmogoro␈α␈v↑␈αβSmirno␈α␈v␈α⊃test␈α⊂to␈α⊃the␈α⊃sequence␈↓ 		␈ελV␈↓ 	,␈εα,␈↓ 	G␈ελV␈↓ 	j␈εα,␈↓ 
ε␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
6␈εα,␈↓ 
Q␈ελV␈↓ "␈εα,
␈β∞5␈↓ 	≥␈ε¬0␈↓ 	[␈ε¬1␈↓ 
e␈εn␈↓ 
w␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞N␈↓ εB␈εt
␈β∞S␈↓ ↓H␈εαwith␈α
the␈α
distribution␈α∞function␈↓ ¬/␈ελF␈↓ ¬H␈εα(␈↓ ¬T␈ελx␈↓ ¬g␈εα)␈α=␈↓ ε0␈ελx␈↓ εM␈εα,␈α∞0␈ε⊗␈α∀␈↓ π3␈ελx␈↓ πR␈ε⊗∀␈εα␈α1.␈α⊂Alternativ␈α␈ely,␈α∞apply␈α
the
␈β∞y␈↓ ε*␈εt␈↓ εd␈εt␈↓ πe␈εt
␈β∞}␈↓ ↓H␈εαequidistribution␈αtest␈αto␈αthe␈αsequence␈↓ ε⊂␈ελV␈↓ ε4␈εα,␈↓ εJ␈ελV␈↓ εo␈εα,␈↓ π¬␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π5␈εα,␈↓ πK␈ελV␈↓ λ≥␈εα.
␈β∂⊂␈↓ ε%␈ε¬0␈↓ ε←␈ε¬1␈↓ π`␈εn␈↓ πr␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∂*␈↓ α␈εαTo␈αv␈α␈erify␈α
this␈αtest,␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈ust␈α
sho␈α␈w␈αthat␈α
the␈αdistribution␈α
function␈αfor␈α
the␈↓ 
i␈ελV␈↓ ∀␈εαis
␈β∂8␈↓ 
⎇␈εj
␈β∂P␈↓ αX␈εt
␈β∂U␈↓ ↓H␈ελF␈↓ ↓a␈εα(␈↓ ↓m␈ελx␈↓ α␈εα)␈α
=␈↓ αE␈ελx␈↓ αb␈εα.␈α
The␈α
probability␈αthat␈α
max(␈↓ ε≥␈ελU␈↓ εB␈εα,␈↓ εR␈ελU␈↓ εw␈εα,␈↓ ππ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π7␈εα,␈↓ πG␈ελU␈↓ πi␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ.␈ελx␈↓ λM␈εαis␈α
the␈αprobability␈αthat
␈β∂c␈↓ ε4␈ε¬1␈↓ εi␈ε¬2␈↓ π↑␈εt
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈ελU␈↓ ↓x␈ε⊗∀␈↓ α'␈ελx␈↓ αF␈εαand␈↓ β
␈ελU␈↓ β=␈ε⊗∀␈↓ βl␈ελx␈↓ ∧␈εαand␈↓ ∧R␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬λ␈εαand␈↓ ¬O␈ελU␈↓ ¬{␈ε⊗∀␈↓ ε*␈ελx␈↓ ε=␈εα,␈αwhich␈α
is␈αthe␈α
product␈αof␈α
the␈αindividual
␈β⊂∞␈↓ ↓←␈ε¬1␈↓ β$␈ε¬2␈↓ ¬f␈εt
␈β⊂'␈↓ ¬W␈εt
␈β⊂,␈↓ ↓H␈εαprobabilities,␈αnamely␈↓ ∧≡␈ελx␈↓ ∧0␈ελx␈↓ ∧I␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧y␈ελx␈↓ ¬⊗␈εα=␈↓ ¬D␈ελx␈↓ ¬a␈εα.
␈β⊂q␈↓ ↓H␈ε∩I.␈α
Collision␈α
test.␈εα␈α≠Chi-square␈α
tests␈α
can␈α
be␈α
made␈α
only␈α
when␈α
there␈α
is␈α
a␈α
non␈α␈trivial
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∂items␈α∂expected␈α∂in␈α∂each␈α∂category.␈α∀But␈α∂there␈α∂is␈α∂another␈α∂kind␈α∂of␈α∞test
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.2␈ε∞␈↓ λ<EMPIRICA␈α␈L␈α	TEST␈α␈S␈↓ λ␈εα67
␈βα(␈↓ ↓H␈εαthat␈α
can␈α∞be␈α∞used␈α
when␈α∞the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞categories␈α
is␈α∞m␈α␈uch␈α∞larger␈α
than␈α∞the␈α
n␈α␈um-
␈βαS␈↓ ↓H␈εαber␈α
of␈α∞observations;␈α∞this␈α∞test␈α
is␈α∞related␈α
to␈α∞\hashing,"␈α∞an␈α
importan␈α␈t␈α∞method␈α
for
␈βα}␈↓ ↓H␈εαinformation␈αretrieval␈αthat␈αw␈α␈e␈αshall␈αstudy␈αin␈αChapter␈α6.
␈ββ*␈↓ α␈εαSuppose␈α
w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈↓ ∧&␈ελm␈↓ ∧S␈εαurns␈α
and␈α
w␈α␈e␈α∞thro␈α␈w␈↓ π
␈ελn␈↓ π-␈εαballs␈α
at␈α∞random␈α
in␈α␈to␈α
those␈α
urns,
␈ββU␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α1␈ελm␈↓ α↑␈εαis␈α∞m␈α␈uch␈α
greater␈α
than␈↓ ¬7␈ελn␈↓ ¬L␈εα.␈α⊃Most␈α
of␈α∞the␈α
balls␈α
will␈α∞land␈α
in␈α∞urns␈α
that␈α
w␈α␈ere
␈β∧␈↓ ↓H␈εαpreviously␈α	empty,␈α
but␈α
if␈α	a␈α
ball␈α	falls␈α
in␈α␈to␈α	an␈α
urn␈α	that␈α	already␈α
con␈α␈tains␈α	at␈α
least␈α	one
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαball␈αw␈α␈e␈αsay␈αthat␈αa␈α\collision"␈αhas␈αoccurred.␈αThe␈αcollision␈αtest␈αcoun␈α␈ts␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαof␈α
collisions,␈αand␈α
a␈αgenerator␈α
passes␈αthis␈α
test␈αif␈α
it␈αdoesn't␈α
induce␈αtoo␈α
man␈α␈y␈αor␈α
too
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαfew␈αcollisions.
␈β¬(␈↓ ε
␈ε¬20␈↓ πX␈ε¬1␈α↓4
␈β¬-␈↓ α␈εαTo␈α|x␈αthe␈αideas,␈αsuppose␈↓ ¬ ␈ελm␈↓ ¬J␈εα=␈↓ ¬x␈εα2␈↓ ε3␈εαand␈↓ εy␈ελn␈↓ π_␈εα=␈↓ πF␈εα2␈↓ πu␈εα.␈αThen␈αeach␈αurn␈αwill␈αreceiv␈α␈e
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαonly␈α∞one␈α∞64th␈α∞of␈α∞a␈α∞ball,␈α∞on␈α∞the␈α∞av␈α␈erage.␈α∩The␈α∞probability␈α∞that␈α∞a␈α∞giv␈α␈en␈α∞urn␈α∞will
␈β¬d␈↓ ¬;␈ε↓␈␈↓ ¬[␈ε↓↓
␈β¬{␈↓ ¬I␈εn
␈β¬}␈↓ ε	␈ε→␈␈↓ ε&␈εk␈↓ π'␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π↑␈εn␈↓ πp␈ε→␈␈↓ λ
␈εk
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈tain␈α
exactly␈↓ βG␈ελk␈↓ βf␈εαballs␈α
is␈↓ ∧`␈ελp␈↓ ¬␈εα=␈↓ ¬i␈ελm␈↓ ε4␈εα(1␈ε⊗␈α	␈␈↓ πλ␈ελm␈↓ πR␈εα)␈↓ λ≤␈εα,␈α
so␈α
the␈α
expected␈α
n␈α␈um␈α␈ber
␈βε⊃␈↓ ∧q␈εk
␈βε∩␈↓ ∧%␈ε↓P␈↓ εG␈ε↓P␈↓ λ∞␈ε↓P
␈βε⊗␈↓ ¬K␈εk
␈βε.␈↓ ↓H␈εαof␈α
collisions␈α
per␈α
urn␈αis␈↓ ¬¬␈εα(␈↓ ¬⊃␈ελk␈↓ ¬(␈ε⊗␈␈εα␈αε1)␈↓ ¬p␈ελp␈↓ ε→␈εα=␈↓ π-␈ελk␈↓ π?␈ελp␈↓ πd␈ε⊗␈␈↓ λs␈ελp␈↓ 	≥␈εα=␈↓ 	K␈ελn␈↓ 	a␈εα/␈↓ 	s␈ελm␈↓ 
_␈ε⊗␈␈εα␈αε1␈α¬+␈↓ β␈ελp␈↓ "␈εα.
␈βε<␈↓ ε↓␈εk␈↓ πP␈εk␈↓ 	∧␈εk␈↓ ∀␈ε¬0
␈βεA␈↓ ∧K␈εk␈↓ ∧Y␈ε→∃␈ε¬1␈↓ ε$␈ε↓␈␈↓ εD␈ε↓↓␈↓ εm␈εk␈↓ ε|␈ε→∃␈ε¬0␈↓ λ4␈εk␈↓ λB␈ε→∃␈ε¬1
␈βεX␈↓ ε2␈εn
␈βε[␈↓ βi␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧ ␈εn␈↓ εq␈ε→␈␈ε¬2
␈βε`␈↓ ↓H␈εαSince␈↓ α$␈ελp␈↓ αN␈εα=␈α
(1␈ε⊗␈αε␈␈↓ βJ␈ελm␈↓ ∧∀␈εα)␈↓ ∧<␈εα=␈α
1␈ε⊗␈αε␈␈↓ ¬,␈ελn␈↓ ¬B␈εα/␈↓ ¬T␈ελm␈↓ ¬z␈εα+␈↓ εR␈ελm␈↓ π#␈εα+␈↓ πM␈εαsmaller␈α
terms,␈αw␈α␈e␈α
|nd␈αthat␈α
the
␈βεn␈↓ α5␈ε¬0
␈βεs␈↓ ε4␈ε¬2
␈βπ␈↓ ↓H␈εαav␈α␈erage␈α
total␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈αcollisions␈α
tak␈α␈en␈αo␈α␈v␈α␈er␈α
all␈↓ π<␈ελm␈↓ πf␈εαurns␈α
is␈αv␈α␈ery␈α
sligh␈α␈tly␈αless␈α
than
␈βπ2␈↓ ↓]␈ε¬2
␈βπ7␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓l␈εα/2␈↓ α⊂␈ελm␈↓ α9␈εα=␈α
128.
␈βπb␈↓ α␈εαWe␈αcan␈α
use␈αthe␈αcollision␈α
test␈αto␈αrate␈α
a␈αrandom-n␈α␈um␈α␈ber␈αgenerator␈α
in␈αa␈αlarge
␈βλλ␈↓ πP␈ε¬2␈α↓0␈↓ 	≤␈ε¬14
␈βλ
␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
dimensions.␈αFor␈α
example,␈αwhen␈↓ εg␈ελm␈↓ π⊂␈εα=␈↓ π>␈εα2␈↓ πx␈εαand␈↓ λ<␈ελn␈↓ λ\␈εα=␈↓ 	
␈εα2␈↓ 	C␈εαw␈α␈e␈α
can␈α
test␈α
the
␈βλ8␈↓ ↓H␈εα20-dimensional␈α
randomness␈αof␈α
a␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
generator␈α
by␈αletting␈↓ 	¬␈ελd␈↓ 	$␈εα=␈α
2␈α
and␈α
forming
␈βλd␈↓ ↓H␈εα20-dimensional␈αλv␈α␈ectors␈↓ ∧1␈ελV␈↓ ∧\␈εα=␈α
(␈↓ ¬⊗␈ελY␈↓ ¬U␈εα,␈↓ ¬e␈ελY␈↓ εO␈εα,␈↓ ε←␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π∂␈εα,␈↓ π∨␈ελY␈↓ λ_␈εα)␈αλfor␈αλ0␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	*␈ελj␈↓ 	D␈εα<␈↓ 	r␈ελn␈↓ 
λ␈εα.␈α
It␈αλsu}ces
␈βλq␈↓ ∧E␈εj␈↓ ¬+␈ε¬20␈↓ ¬H␈εj␈↓ ¬z␈ε¬20␈↓ ε↔␈εj␈↓ ε$␈ε¬+1␈↓ π4␈ε¬2␈α↓0␈↓ πQ␈εj␈↓ π↑␈ε¬+19
␈β	
␈↓ ∧O␈ε¬2␈α↓0
␈β	∂␈↓ ↓H␈εαto␈αk␈α␈eep␈αa␈αtable␈αof␈↓ βf␈ελm␈↓ ∧∂␈εα=␈↓ ∧=␈εα2␈↓ ∧w␈εαbits␈αto␈αdetermine␈αcollisions,␈αone␈αbit␈αfor␈αeach␈αpossible
␈β	5␈↓ ⊂␈ε¬15
␈β	:␈↓ ↓H␈εαvalue␈α
of␈αthe␈αv␈α␈ector␈↓ βx␈ελV␈↓ ∧→␈εα;␈αon␈αa␈αcomputer␈αwith␈α32␈α
bits␈αper␈αw␈α␈ord,␈αthis␈αamoun␈α␈ts␈αto␈↓ 
}␈εα2
␈β	G␈↓ ∧␈εj
␈β	`␈↓ ∧λ␈ε¬2␈α↓0
␈β	e␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ords.␈α∞Initially␈α
all␈↓ βv␈εα2␈↓ ∧2␈εαbits␈α
of␈αthis␈α
table␈α
are␈α
cleared␈αto␈α
zero;␈α
then␈α
for␈α
each␈↓ 
↑␈ελV␈↓ ␈εα,␈αif
␈β	s␈↓ 
r␈εj
␈β
⊂␈↓ ↓H␈εαthe␈αcorresponding␈αbit␈αis␈αalready␈α1␈αw␈α␈e␈αrecord␈αa␈αcollision,␈αotherwise␈αw␈α␈e␈αset␈αthe␈αbit
␈β
<␈↓ ↓H␈εαto␈α1.␈αThis␈αtest␈αcan␈αalso␈αbe␈αused␈αin␈α10␈αdimensions␈αwith␈↓ λ$␈ελd␈↓ λB␈εα=␈α
4,␈αand␈αso␈αon.
␈β
g␈↓ α␈εαTo␈αdecide␈αif␈αthe␈αtest␈αis␈αpassed,␈αw␈α␈e␈αcan␈αuse␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αtable␈αof␈αpercen␈α␈tage
␈β
␈↓ βz␈ε¬2␈α↓0␈↓ ¬I␈ε¬14
␈β∩␈↓ ↓H␈εαpoin␈α␈ts␈αwhen␈↓ β⊃␈ελm␈↓ β:␈εα=␈↓ βh␈εα2␈↓ ∧#␈εαand␈↓ ∧i␈ελn␈↓ ¬	␈εα=␈↓ ¬7␈εα2␈↓ ¬f␈εα:
␈βV␈↓ β ␈εαcollisions␈ε⊗␈α∀␈↓ ¬
␈εα101␈↓ ¬n␈εα108␈↓ εR␈εα119␈↓ π6␈εα126␈↓ λ~␈εα134␈↓ λ}␈εα145␈↓ 	b␈εα153
␈β↓␈↓ α\␈εαwith␈αprobability␈↓ ¬␈εα.009␈↓ ¬d␈εα.043␈↓ εH␈εα.244␈↓ π,␈εα.476␈↓ λ⊂␈εα.742␈↓ λt␈εα.946␈↓ 	X␈εα.989
␈βD␈↓ ↓H␈εαThe␈αtheory␈αunderlying␈αthese␈αprobabilities␈αis␈αthe␈αsame␈αw␈α␈e␈αused␈αin␈αthe␈αpok␈α␈er␈αtest,
␈βp␈↓ ↓H␈εαEq.␈α(5);␈αthe␈αprobability␈αthat␈↓ ¬␈ελc␈↓ ¬&␈εαcollisions␈αoccur␈αis␈αthe␈αprobability␈αthat␈↓ 
ε␈ελn␈↓ 
#␈ε⊗␈␈↓ 
O␈ελc␈↓ 
h␈εαurns
␈β
≠␈↓ ↓H␈εαare␈αoccupied,␈αnamely
␈β
`␈↓ ∧α␈ελm␈↓ ∧!␈εα(␈↓ ∧-␈ελm␈↓ ∧U␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ ¬%␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬U␈εα(␈↓ ¬a␈ελm␈↓ ε	␈ε⊗␈␈↓ ε5␈ελn␈↓ εR␈εα+␈↓ ε}␈ελc␈↓ π∃␈εα+␈αλ1)
␈β
d␈↓ πi␈ε↓~␈↓ λV␈ε↓≠
␈β
g␈↓ λ ␈ελn
␈β
}␈↓ λl␈εα.
␈β∞∞␈↓ ∧α␈∧∞∞∧ααβ]
␈β∞∀␈↓ ¬w␈εn
␈β∞↔␈↓ ¬W␈ελm␈↓ π␈␈ελn␈↓ λ≤␈ε⊗␈␈↓ λH␈ελc
␈β∞]␈↓ ↓H␈εαAlthough␈↓ αc␈ελm␈↓ β␈εαand␈↓ βP␈ελn␈↓ βo␈εαare␈α	v␈α␈ery␈α
large,␈α	it␈α
is␈α	not␈α
di}cult␈α	to␈α
compute␈α	these␈α	probabilities
␈β∂λ␈↓ ↓H␈εαusing␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αmethod:
␈β∂D␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α	S␈εα␈α	(␈ε∂Percen␈α␈tage␈α
poin␈α␈ts␈α	for␈α	collision␈α
test␈εα)␈ε∩.␈εα␈α∪Giv␈α␈en␈↓ λ;␈ελm␈↓ λd␈εαand␈↓ 	(␈ελn␈↓ 	=␈εα,␈α
this␈α	algorithm
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαdetermines␈αλthe␈αλdistribution␈αλof␈α	the␈αλn␈α␈um␈α␈ber␈αλof␈αλcollisions␈α	that␈αλoccur␈αλwhen␈↓ 
∞␈ελn␈↓ 
,␈εαballs␈αλare
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαscattered␈α	in␈α␈to␈↓ β%␈ελm␈↓ βN␈εαurns.␈αAn␈α	auxiliary␈↓ ¬s␈ελA␈↓ ε␈εα[0],␈↓ εE␈ελA␈↓ ε]␈εα[1],␈↓ π↔␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πG␈εα,␈↓ πZ␈ελA␈↓ πr␈εα[␈↓ π|␈ελn␈↓ λ∩␈εα]␈α	of␈α	⎇oating-poin␈α␈t␈α	n␈α␈um␈α␈bers
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαis␈αused␈αfor␈α
the␈αcomputation;␈α
actually␈↓ ε≤␈ελA␈↓ ε4␈εα[␈↓ ε>␈ελj␈↓ εN␈εα]␈α
will␈αbe␈α
nonzero␈αonly␈αfor␈↓ 	i␈ελj␈↓ 
∂␈ε⊗∀␈↓ 
=␈ελj␈↓ 
X␈ε⊗∀␈↓ π␈ελj␈↓ "␈εα,
␈β⊂S␈↓ 	v␈ε¬0␈↓ ∀␈ε¬1
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α
␈ελj␈↓ α0␈ε⊗␈␈↓ α[␈ελj␈↓ βα␈εαwill␈αbe␈αat␈αmost␈αof␈αorder␈↓ ε␈εαlog␈↓ ε4␈ελn␈↓ εI␈εα,␈αso␈αit␈αw␈α␈ould␈αbe␈αpossible␈αto␈αget␈αby␈αwith
␈β⊂}␈↓ α~␈ε¬1␈↓ αh␈ε¬0
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαconsiderably␈αless␈αstorage.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα68␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.2
␈βα&␈↓ ↓P␈ε∩S1.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α⊗Set␈↓ ∧¬␈ελA␈↓ ∧≥␈εα[␈↓ ∧'␈ελj␈↓ ∧8␈εα]␈ε⊗␈α
 ␈εα␈α
0␈α
for␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ε↔␈ελj␈↓ ε2␈ε⊗∀␈↓ ε`␈ελn␈↓ εu␈εα;␈αthen␈αset␈↓ λ∩␈ελA␈↓ λ*␈εα[1]␈ε⊗␈α
 ␈εα␈α
1␈αand␈↓ 	j␈ελj␈↓ 
∂␈ε⊗ ␈↓ 
=␈ελj␈↓ 
b␈ε⊗ ␈εα␈α
1.
␈βα4␈↓ 	w␈ε¬0␈↓ 
J␈ε¬1
␈βαQ␈↓ α␈εαThen␈αdo␈αstep␈αS2␈αexactly␈↓ ¬_␈ελn␈↓ ¬6␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αtimes␈αand␈αgo␈αon␈αto␈αstep␈αS3.
␈ββ∞␈↓ ↓P␈ε∩S2.␈↓ α␈εα[Update␈αprobabilities.]␈α_(Each␈αtime␈αw␈α␈e␈αdo␈αthis␈αstep␈αit␈αcorresponds␈αto␈αtossing
␈ββ9␈↓ α␈εαa␈αball␈αin␈α␈to␈αan␈αurn;␈↓ ∧4␈ελA␈↓ ∧L␈εα[␈↓ ∧V␈ελj␈↓ ∧g␈εα]␈αrepresen␈α␈ts␈αthe␈αprobability␈αthat␈αexactly␈↓ 	f␈ελj␈↓ 
α␈εαof␈αthe␈αurns
␈ββd␈↓ α␈εαare␈α	occupied.)␈α∩Set␈↓ ∧0␈ελj␈↓ ∧V␈ε⊗ ␈↓ ¬∧␈ελj␈↓ ¬#␈εα+␈α∧1.␈αThen␈α	for␈↓ πα␈ελj␈↓ π≤␈ε⊗ ␈↓ πJ␈ελj␈↓ πf␈εα,␈↓ πy␈ελj␈↓ λ→␈ε⊗␈␈εα␈α∧1,␈↓ λf␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	⊗␈εα,␈↓ 	*␈ελj␈↓ 	N␈εα(in␈α	this␈α	order),
␈ββp␈↓ ¬⊂␈ε↓␈␈↓ πT␈ε↓↓
␈ββr␈↓ ∧=␈ε¬1␈↓ ¬⊃␈ε¬1␈↓ πW␈ε¬1␈↓ λε␈ε¬1␈↓ 	7␈ε¬0
␈β∧⊂␈↓ α␈εαset␈↓ αF␈ελA␈↓ α↑␈εα[␈↓ αh␈ελj␈↓ αy␈εα]␈ε⊗␈α∞ ␈εα␈α∞(␈↓ βO␈ελj␈↓ β←␈εα/␈↓ βq␈ελm␈↓ ∧⊃␈εα)␈↓ ∧≥␈ελA␈↓ ∧5␈εα[␈↓ ∧?␈ελj␈↓ ∧O␈εα]␈α
+␈↓ ¬≡␈εα(1␈α
+␈α	1/␈↓ ε↔␈ελm␈↓ ε7␈εα)␈ε⊗␈α
␈␈εα␈α	(␈↓ πε␈ελj␈↓ π↔␈εα/␈↓ π)␈ελm␈↓ πH␈εα)␈↓ πb␈ελA␈↓ πz␈εα[␈↓ λ∧␈ελj␈↓ λ≡␈ε⊗␈␈εα␈α
1].␈α∪If␈↓ 	+␈ελA␈↓ 	C␈εα[␈↓ 	M␈ελj␈↓ 	↑␈εα]␈α∞has␈α∞become
␈β∧6␈↓ 	
␈ε→␈␈ε¬20
␈β∧;␈↓ α␈εαv␈α␈ery␈α∞small␈α∞as␈α∞a␈α∞result␈α∞of␈α∞this␈α∞calculation,␈α∞say␈↓ πk␈ελA␈↓ λβ␈εα[␈↓ λ
␈ελj␈↓ λ≥␈εα]␈α
<␈α∞1␈↓ λx␈εα0␈↓ 	C␈εα,␈α∂set␈↓ 
⊗␈ελA␈↓ 
.␈εα[␈↓ 
8␈ελj␈↓ 
H␈εα]␈ε⊗␈α
 ␈εα␈α
0;
␈β∧f␈↓ α␈εαand␈αin␈αsuch␈αa␈αcase,␈αif␈↓ ∧d␈ελj␈↓ ∧}␈εα=␈↓ ¬,␈ελj␈↓ ¬T␈εαdecrease␈↓ εb␈ελj␈↓ π	␈εαby␈α1,␈αor␈αif␈↓ λ3␈ελj␈↓ λN␈εα=␈↓ λ|␈ελj␈↓ 	#␈εαincrease␈↓ 
+␈ελj␈↓ 
R␈εαby␈α1.
␈β∧s␈↓ ¬9␈ε¬1␈↓ εo␈ε¬1␈↓ 		␈ε¬0␈↓ 
8␈ε¬0
␈β¬#␈↓ ↓P␈ε∩S3.␈↓ α␈εα[Compute␈α⊃the␈α⊃answ␈α␈ers.]␈α#In␈α⊃this␈α⊃step␈α⊃w␈α␈e␈α∩mak␈α␈e␈α⊃use␈α⊃of␈α⊃an␈α⊃auxiliary␈α⊃table
␈β¬N␈↓ α␈εα(␈↓ α_␈ελT␈↓ α;␈εα,␈↓ αK␈ελT␈↓ αo␈εα,␈↓ α␈␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β/␈εα,␈↓ β?␈ελT␈↓ ∧∃␈εα)␈α
=␈α
(.01,␈αε.05,␈αε.25,␈αε.50,␈αε.75,␈αε.95,␈αε.99,␈αε1.00)␈α
con␈α␈taining␈α	the␈α	speci-
␈β¬[␈↓ α-␈ε¬1␈↓ α`␈ε¬2␈↓ βT␈ε¬tmax
␈β¬y␈↓ α␈εα|ed␈αpercen␈α␈tage␈αpoin␈α␈ts␈αof␈αin␈α␈terest.␈αSet␈↓ ε↑␈ελp␈↓ ε{␈ε⊗ ␈εα␈α
0,␈↓ πP␈ελt␈↓ πg␈ε⊗ ␈εα␈α
1,␈αand␈↓ 	β␈ελj␈↓ 	≥␈ε⊗ ␈↓ 	K␈ελj␈↓ 	n␈ε⊗␈␈εα␈απ1.␈αDo␈αthe
␈βεε␈↓ 	X␈ε¬0
␈βε$␈↓ α␈εαfollo␈α␈wing␈α
iteration␈α∞un␈α␈til␈↓ ¬⊂␈ελt␈↓ ¬*␈εα=␈αtmax:␈α∂Increase␈↓ πQ␈ελj␈↓ πn␈εαby␈α∞1,␈α∞and␈α
set␈↓ 	O␈ελp␈↓ 	m␈ε⊗ ␈↓ 
≡␈ελp␈↓ 
9␈εα+␈↓ 
f␈ελA␈↓ 
}␈εα[␈↓ λ␈ελj␈↓ _␈εα];
␈βεO␈↓ α␈εαthen␈αif␈↓ α␈␈ελp␈↓ β≠␈εα>␈↓ βI␈ελT␈↓ βi␈εα,␈αoutput␈↓ ∧t␈ελn␈↓ ¬⊃␈ε⊗␈␈↓ ¬<␈ελj␈↓ ¬T␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈αand␈α1␈ε⊗␈απ␈␈↓ π&␈ελp␈↓ πD␈εα(meaning␈αthat␈αwith␈αprobability
␈βε]␈↓ β↑␈εt
␈βε{␈↓ α␈εα1␈ε⊗␈απ␈␈↓ αP␈ελp␈↓ αn␈εαthere␈αare␈αat␈αmost␈↓ ¬π␈ελn␈↓ ¬$␈ε⊗␈␈↓ ¬O␈ελj␈↓ ¬g␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈αcollisions)␈αand␈αrepeatedly␈αincrease␈↓ 
O␈ελt␈↓ 
g␈εαby␈α1
␈βπ&␈↓ α␈εαun␈α␈til␈↓ αa␈ελp␈↓ α⎇␈ε⊗∀␈↓ β+␈ελT␈↓ βK␈εα.
␈βπ+␈↓ β|␈∧π+β|≠∂
␈βπ3␈↓ β@␈εt
␈βλ∩␈↓ ↓H␈ε∩J.␈αSerial␈αcorrelation␈αtest.␈εα␈α→We␈αmay␈αalso␈αcompute␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αstatistic:
␈βλh␈↓ β(␈ελn␈↓ β>␈εα(␈↓ βJ␈ελU␈↓ βo␈ελU␈↓ ∧≥␈εα+␈↓ ∧I␈ελU␈↓ ∧n␈ελU␈↓ ¬≠␈εα+␈↓ ¬G␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬y␈εα+␈↓ ε%␈ελU␈↓ εz␈ελU␈↓ πV␈εα+␈↓ λα␈ελU␈↓ λV␈ελU␈↓ λ{␈εα)
␈βλu␈↓ βa␈ε¬0␈↓ ∧ε␈ε¬1␈↓ ∧`␈ε¬1␈↓ ¬¬␈ε¬2␈↓ ε<␈εn␈↓ εN␈ε→␈␈ε¬2␈↓ π⊃␈εn␈↓ π"␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ→␈εn␈↓ λ+␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ λm␈ε¬0
␈β	∞␈↓ 
	␈ε¬2
␈β	∪␈↓ εh␈ε⊗␈␈εα(␈↓ π_␈ελU␈↓ πE␈εα+␈↓ πq␈ελU␈↓ λ∨␈εα+␈↓ λK␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ⎇␈εα+␈↓ 	)␈ελU␈↓ 	⎇␈εα)
␈β	 ␈↓ π/␈ε¬0␈↓ λλ␈ε¬1␈↓ 	@␈εn␈↓ 	R␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β	*␈↓ αO␈ελC␈↓ αv␈εα=␈↓ 
≠␈εα.␈↓ 
p␈εα(23)
␈β	;␈↓ β(␈∧	;β(αεp
␈β	@␈↓ βl␈ε¬2␈↓ ∧L␈ε¬2␈↓ ε
␈ε¬2␈↓ 
∧␈ε¬2
␈β	C␈↓ β-␈ελn␈↓ βB␈εα(␈↓ βN␈ελU␈↓ ∧α␈εα+␈↓ ∧.␈ελU␈↓ ∧c␈εα+␈↓ ¬∂␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬A␈εα+␈↓ ¬m␈ελU␈↓ εG␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ(␈↓ π∪␈ελU␈↓ πA␈εα+␈↓ πm␈ελU␈↓ λ~␈εα+␈↓ λF␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λx␈εα+␈↓ 	$␈ελU␈↓ 	x␈εα)
␈β	P␈↓ π*␈ε¬0␈↓ λ∧␈ε¬1␈↓ 	;␈εn␈↓ 	M␈ε→␈␈ε¬1
␈β	U␈↓ βl␈ε¬0␈↓ ∧L␈ε¬1␈↓ ε
␈εn␈↓ ε≤␈ε→␈␈ε¬1
␈β
→␈↓ ↓H␈εαThis␈α	is␈α	the␈α	\serial␈α	correlation␈α	coe}cien␈α␈t,"␈α	which␈α	is␈α	a␈α	measure␈α	of␈α	the␈α	amoun␈α␈t␈↓ 
]␈ελU
␈β
'␈↓ 
t␈εj␈↓ ↓␈ε¬+1
␈β
E␈↓ ↓H␈εαdepends␈αon␈↓ β∧␈ελU␈↓ β(␈εα.
␈β
R␈↓ β≠␈εj
␈β
q␈↓ α␈εαCorrelation␈α∂coe}cien␈α␈ts␈α∞appear␈α∂frequen␈α␈tly␈α∞in␈α∂statistics;␈α⊂if␈α∞w␈α␈e␈α∂hav␈α␈e␈↓ 
0␈ελn␈↓ 
T␈εαquan-
␈β≥␈↓ ↓H␈εαtities␈↓ α ␈ελU␈↓ αF␈εα,␈↓ α[␈ελU␈↓ β␈εα,␈↓ β∃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βE␈εα,␈↓ βZ␈ελU␈↓ ∧9␈εαand␈↓ ∧⎇␈ελn␈↓ ¬≡␈εαothers␈↓ ελ␈ελV␈↓ ε+␈εα,␈↓ ε@␈ελV␈↓ εb␈εα,␈↓ εw␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π'␈εα,␈↓ π<␈ελV␈↓ λ
␈εα,␈αthe␈αcorrelation␈α
coe}cien␈α␈t
␈β*␈↓ α7␈ε¬0␈↓ αr␈ε¬1␈↓ βq␈εn␈↓ ∧β␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε≤␈ε¬0␈↓ εT␈ε¬1␈↓ πP␈εn␈↓ πb␈ε→␈␈ε¬1
␈βH␈↓ ↓H␈εαbet␈α␈w␈α␈een␈αthem␈αis␈αde|ned␈αto␈αbe
␈β{␈↓ ¬+␈ε↓P␈↓ εo␈ε↓P␈↓ πW␈ε↓P
␈β↔␈↓ ¬∂␈ελn␈↓ ¬Q␈εα(␈↓ ¬]␈ελU␈↓ ε↓␈ελV␈↓ ε"␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈α	(␈↓ π≠␈ελU␈↓ π?␈εα)(␈↓ λβ␈ελV␈↓ λ$␈εα)
␈β$␈↓ ¬t␈εj␈↓ ε∃␈εj␈↓ π2␈εj␈↓ λ↔␈εj
␈β-␈↓ ∧↔␈ε↓q
␈β/␈↓ β=␈ελC␈↓ βe␈εα=␈↓ 	-␈εα.␈↓ 
p␈εα(24)
␈β9␈↓ ∧;␈ε↓␈␈↓ εg␈ε↓↓␈↓ εu␈ε↓␈␈↓ 	≠␈ε↓↓
␈β<␈↓ ∧d␈ε↓P␈↓ ¬|␈ε↓P␈↓ π∨␈ε↓P␈↓ λ3␈ε↓P
␈β?␈↓ ∧↔␈∧?∧↔α¬∩
␈βH␈↓ ∧;␈∧H∧;α∧n
␈βV␈↓ ¬.␈ε¬2␈↓ εY␈ε¬2␈↓ πe␈ε¬2␈↓ 	␈ε¬2
␈βX␈↓ ∧I␈ελn␈↓ ¬⊂␈ελU␈↓ ¬D␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ ε(␈ελU␈↓ εM␈εα)␈↓ πβ␈ελn␈↓ πK␈ελV␈↓ π{␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ λ←␈ελV␈↓ 	␈εα)
␈βf␈↓ ε?␈εj␈↓ λs␈εj
␈βj␈↓ ¬.␈εj␈↓ πe␈εj
␈β
<␈↓ ↓H␈εαAll␈α
summations␈α
in␈αthis␈α
form␈α␈ula␈α
are␈α
to␈α
be␈α
tak␈α␈en␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α
range␈α
0␈ε⊗␈α∀␈↓ 
␈ελj␈↓ 
≤␈εα<␈↓ 
K␈ελn␈↓ 
a␈εα;␈α
Eq.
␈β
g␈↓ ↓H␈εα(23)␈α
is␈α
the␈α
special␈αcase␈↓ ∧)␈ελV␈↓ ∧T␈εα=␈↓ ¬α␈ελU␈↓ ε7␈εα.␈α∃(␈ε∂Note:␈εα␈αThe␈α
denominator␈αof␈α
(24)␈α
is␈α
zero
␈β
t␈↓ ∧=␈εj
␈β
u␈↓ ¬→␈ε¬(␈↓ ¬#␈εj␈↓ ¬0␈ε¬+1)␈↓ ¬j␈ε¬mod␈↓ ε%␈εn
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α'␈ελU␈↓ αY␈εα=␈↓ β	␈ελU␈↓ β:␈εα=␈↓ βj␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧!␈εα=␈↓ ∧Q␈ελU␈↓ ¬2␈εαor␈↓ ¬`␈ελV␈↓ ε∞␈εα=␈↓ ε>␈ελV␈↓ εm␈εα=␈↓ π≥␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πS␈εα=␈↓ λβ␈ελV␈↓ λU␈εα;␈α∞w␈α␈e␈α
ex␈α␈clude␈α
this␈α
case
␈β∞ ␈↓ α>␈ε¬0␈↓ β ␈ε¬1␈↓ ∧h␈εn␈↓ ∧z␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬t␈ε¬0␈↓ εR␈ε¬1␈↓ λ↔␈εn␈↓ λ)␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞=␈↓ ↓H␈εαfrom␈αdiscussion.)
␈β∞j␈↓ α␈εαA␈α∞correlation␈α∞coe}cien␈α␈t␈α∞always␈α∞lies␈α∂bet␈α␈w␈α␈een␈ε⊗␈α∞␈␈εα1␈α∞and␈α∞+1.␈α∩When␈α∞it␈α∞is␈α∞zero
␈β∂∃␈↓ ↓H␈εαor␈αv␈α␈ery␈αsmall,␈αit␈αindicates␈αthat␈αthe␈αquan␈α␈tities␈↓ π∩␈ελU␈↓ πA␈εαand␈↓ λε␈ελV␈↓ λ3␈εαare␈α(relativ␈α␈ely␈αspeaking)
␈β∂#␈↓ π)␈εj␈↓ λ~␈εj
␈β∂A␈↓ ↓H␈εαindependen␈α␈t␈α
of␈α
each␈α
other,␈α
but␈α
when␈α
the␈α
correlation␈α
coe}cien␈α␈t␈α
is␈ε⊗␈α
ε␈εα1␈α
it␈α
indicates
␈β∂l␈↓ ↓H␈εαtotal␈αlinear␈α
dependence;␈α
in␈αfact␈↓ ¬A␈ελV␈↓ ¬m␈εα=␈↓ ε≤␈ελ␈↓ ε8␈ε⊗ε␈↓ εd␈ελ␈␈↓ ε{␈ελU␈↓ π+␈εαfor␈α
all␈↓ λ↔␈ελj␈↓ λ4␈εαin␈αsuch␈α
a␈αcase,␈α
for␈αsome
␈β∂y␈↓ ¬U␈εj␈↓ π∩␈εj
␈β⊂↔␈↓ ↓H␈εαconstan␈α␈ts␈↓ αg␈ελ␈↓ βπ␈εαand␈↓ βM␈ελ␈␈↓ βc␈εα.␈α→(See␈αex␈α␈ercise␈α17.)
␈β⊂D␈↓ α␈εαTherefore␈α
it␈αis␈α
desirable␈α
to␈α
hav␈α␈e␈↓ ε∪␈ελC␈↓ ε=␈εαin␈α
Eq.␈α
(23)␈αclose␈α
to␈α
zero.␈α∞In␈α
actual␈αfact,
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαsince␈↓ α≤␈ελU␈↓ αB␈ελU␈↓ αp␈εαis␈αλnot␈α	completely␈αλindependen␈α␈t␈α	of␈↓ εn␈ελU␈↓ π∪␈ελU␈↓ π8␈εα,␈α
the␈αλserial␈α	correlation␈αλcoe}cien␈α␈t
␈β⊂|␈↓ α3␈ε¬0␈↓ αY␈ε¬1␈↓ π¬␈ε¬1␈↓ π*␈ε¬2
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαis␈αnot␈αexpected␈αto␈αbe␈ε∂␈αexactly␈εα␈αzero.␈α→(See␈αex␈α␈ercise␈α18.)␈α→A␈α\good"␈αvalue␈αof␈↓ 
K␈ελC␈↓ 
t␈εαwill
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.2␈ε∞␈↓ λ<EMPIRICA␈α␈L␈α	TEST␈α␈S␈↓ λ␈εα69
␈βα(␈↓ ↓H␈εαbe␈αbet␈α␈w␈α␈een␈↓ βα␈ελ⊗␈↓ β.␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ βl␈ελ≠␈↓ ∧≠␈εαand␈↓ ∧a␈ελ⊗␈↓ ¬∞␈εα+␈αλ2␈↓ ¬L␈ελ≠␈↓ ¬o␈εα,␈αwhere
␈βα5␈↓ β∀␈εn␈↓ β⎇␈εn␈↓ ∧t␈εn␈↓ ¬]␈εn
␈βαx␈↓ εj␈ε↓s␈↓ π∞␈∧αxπ∞α↓∩
␈ββλ␈↓ π∩␈ελn␈↓ π(␈εα(␈↓ π4␈ελn␈↓ πQ␈ε⊗␈␈εα␈αλ3)
␈ββ␈↓ ∧π␈ε⊗␈␈εα1␈↓ ε/␈εα1
␈ββ#␈↓ β∪␈ελ⊗␈↓ βB␈εα=␈↓ ∧S␈εα,␈↓ ¬+␈ελ≠␈↓ ¬X␈εα=␈↓ λ∨␈εα,␈↓ λw␈ελn␈↓ 	↔␈εα>␈α
2.␈↓ 
p␈εα(25)
␈ββ0␈↓ β&␈εn␈↓ ¬<␈εn
␈ββ3␈↓ βt␈∧β3βtα\␈↓ ε
␈∧β3ε
α\␈↓ π∩␈∧β3π∩α↓

␈ββ;␈↓ βt␈ελn␈↓ ∧⊃␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ ε
␈ελn␈↓ ε(␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ π)␈ελn␈↓ πG␈εα+␈αλ1
␈β∧∂␈↓ ↓H␈εαWe␈αexpect␈↓ αz␈ελC␈↓ β#␈εαto␈αbe␈αbet␈α␈w␈α␈een␈αthese␈αlimits␈αabout␈α95␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αtime.
␈β∧:␈↓ α␈εαEquations␈α
(25)␈α	are␈α
only␈α
conjectured␈α	at␈α
this␈α	time,␈αsince␈α	the␈α
exact␈α	distribution
␈β∧f␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓q␈ελC␈↓ α→␈εαis␈αnot␈αkno␈α␈wn␈αwhen␈αthe␈↓ ¬π␈ελU␈↓ ¬%␈εα's␈αare␈αuniformly␈αdistributed.␈αFor␈αthe␈αtheory␈αwhen
␈β¬⊃␈↓ ↓H␈εαthe␈↓ α¬␈ελU␈↓ α"␈εα's␈αhav␈α␈e␈αthe␈ε∂␈αnormal␈εα␈αdistribution,␈αsee␈αthe␈αpaper␈αby␈αWilfrid␈αJ.␈αDix␈α␈on,␈ε∂␈αAnnals
␈β¬<␈↓ ↓H␈ε∂Math.␈αStat.␈ε∩␈α15␈εα␈α(1944),␈α119↑144.␈αEmpirical␈αevidence␈αsuggests␈αthat␈αw␈α␈e␈αmay␈αsafely
␈β¬g␈↓ ↓H␈εαuse␈α∞the␈α∞form␈α␈ulas␈α∂for␈α∞the␈α∞mean␈α∂and␈α∞standard␈α∞deviation␈α∞that␈α∂hav␈α␈e␈α∞been␈α∞deriv␈α␈ed
␈βε∩␈↓ ↓H␈εαfrom␈α
the␈α
assumption␈α
of␈α
the␈α∞normal␈α
distribution,␈α
without␈α
m␈α␈uch␈α∞error;␈α
these␈α
are
␈βε<␈↓ 	n␈∧ε<	nα⊗
␈βε=␈↓ 	J␈ε⊗p
␈βε>␈↓ ↓H␈εαthe␈αvalues␈αthat␈αhav␈α␈e␈αbeen␈αlisted␈αin␈α(25).␈αIt␈αis␈αkno␈α␈wn␈αthat␈↓ λG␈εαlim␈↓ 	n␈ελn␈↓ 
∧␈ελ≠␈↓ 
1␈εα=␈α
1;␈αcf.
␈βεK␈↓ λy␈εn␈↓ 	␈ε→!1␈↓ 
∃␈εn
␈βεi␈↓ ↓H␈εαthe␈α
article␈α
by␈α
Anderson␈α
and␈α
Walk␈α␈er,␈ε∂␈α
Annals␈α
Math.␈α
Stat.␈ε∩␈α
35␈εα␈α
(1964),␈α
1296↑1303,
␈βπ∀␈↓ ↓H␈εαwhere␈αmore␈α
general␈αresults␈α
about␈α
serial␈αcorrelations␈α
of␈ε∂␈αdependen␈α␈t␈εα␈α
sequences␈αare
␈βπ?␈↓ ↓H␈εαderiv␈α␈ed.
␈βπj␈↓ α␈εαInstead␈α
of␈α
simply␈α
computing␈α
the␈α
correlation␈α
coe}cien␈α␈t␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈α
the␈α	observa-
␈βλ⊗␈↓ ↓H␈εαtions␈απ(␈↓ α'␈ελU␈↓ αM␈εα,␈↓ α]␈ελU␈↓ βα␈εα,␈↓ β∩␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βB␈εα,␈↓ βR␈ελU␈↓ ∧&␈εα)␈αλand␈απtheir␈αλimmediate␈αλsuccessors␈απ(␈↓ λ(␈ελU␈↓ λN␈εα,␈↓ λ↑␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	∞␈εα,␈↓ 	≡␈ελU␈↓ 	r␈εα,␈↓ 
α␈ελU␈↓ 
'␈εα),␈α	w␈α␈e␈απcan
␈βλ#␈↓ α>␈ε¬0␈↓ αt␈ε¬1␈↓ βi␈εn␈↓ β{␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ?␈ε¬1␈↓ 	5␈εn␈↓ 	G␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 
→␈ε¬0
␈βλA␈↓ ↓H␈εαalso␈α∞compute␈α∞it␈α∞bet␈α␈w␈α␈een␈α∞(␈↓ ∧d␈ελU␈↓ ¬
␈εα,␈↓ ¬~␈ελU␈↓ ¬?␈εα,␈↓ ¬O␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬␈␈εα,␈↓ ε∂␈ελU␈↓ εc␈εα)␈α∂and␈α∞an␈α␈y␈α∞cy␈α␈clically␈α∞shifted␈α∞sequence
␈βλN␈↓ ∧{␈ε¬0␈↓ ¬1␈ε¬1␈↓ ε&␈εn␈↓ ε8␈ε→␈␈ε¬1
␈βλl␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελU␈↓ ↓x␈εα,␈↓ αλ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α8␈εα,␈↓ αH␈ελU␈↓ β≤␈εα,␈↓ β,␈ελU␈↓ βQ␈εα,␈↓ βa␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧⊃␈εα,␈↓ ∧!␈ελU␈↓ ∧q␈εα);␈α∞the␈α
correlation␈α∞should␈α
be␈α
small␈α∞for␈α
0␈α
<␈↓ 
⊗␈ελq␈↓ 
2␈εα<␈↓ 
c␈ελn␈↓ 
x␈εα.␈α⊂A
␈βλy␈↓ ↓k␈εq␈↓ α←␈εn␈↓ αq␈ε→␈␈ε¬1␈↓ βC␈ε¬0␈↓ ∧8␈εq␈↓ ∧F␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β	∩␈↓ 
I␈ε¬2
␈β	↔␈↓ ↓H␈εαstraigh␈α␈tforward␈α∞computation␈α∂of␈α∞Eq.␈α∂(24)␈α∞for␈α∞all␈↓ πF␈ελq␈↓ πd␈εαw␈α␈ould␈α∂require␈α∞about␈↓ 
3␈ελn␈↓ 
e␈εαm␈α␈ul-
␈β	B␈↓ ↓H␈εαtiplications,␈α⊂but␈α∂it␈α∂is␈α⊂actually␈α∂possible␈α∂to␈α⊂compute␈α∂all␈α∂the␈α⊂correlations␈α∂in␈α∂only
␈β	N␈↓ λ␈ε↓␈
␈β	n␈↓ ↓H␈ελO␈↓ ↓b␈εα(␈↓ ↓n␈ελn␈↓ α	␈εαlog␈↓ α=␈ελn␈↓ αS␈εα)␈α∞steps␈α
by␈α
using␈α∞\fast␈α
Fourier␈α∞transforms."␈↓ λ~␈εαSee␈α
Section␈α∞4.6.4;␈α∞cf.␈α
also
␈β	y␈↓ ¬⎇␈ε↓↓
␈β
→␈↓ ↓H␈εαL.␈αP.␈αSchmid,␈ε∂␈αCA␈α␈CM␈ε∩␈α8␈εα␈α(1965),␈α115.
␈β
X␈↓ ↓H␈ε∩K.␈α	Tests␈α	on␈α	subsequences.␈εα␈α∩It␈α	frequen␈α␈tly␈α	happens␈α	that␈αλthe␈α	external␈α	program␈α	using
␈β∧␈↓ ↓H␈εαour␈απrandom␈αλsequence␈απwill␈απcall␈αλfor␈απn␈α␈um␈α␈bers␈αλin␈απbatches.␈αFor␈απexample,␈α	if␈απthe␈απprogram
␈β/␈↓ ↓H␈εαw␈α␈orks␈αwith␈αthree␈αrandom␈αvariables␈↓ ¬x␈ελX␈↓ ε⊗␈εα,␈↓ ε+␈ελY␈↓ εF␈εα,␈αand␈↓ π"␈ελZ␈↓ π;␈εα,␈αit␈αmay␈αconsisten␈α␈tly␈αin␈α␈v␈α␈ok␈α␈e␈αthe
␈βZ␈↓ ↓H␈εαgeneration␈απof␈αλthree␈απrandom␈αλn␈α␈um␈α␈bers␈αλat␈απa␈αλtime.␈α
In␈αλsuch␈αλapplications␈απit␈αλis␈απimportan␈α␈t
␈β¬␈↓ ↓H␈εαthat␈αthe␈αsubsequences␈αconsisting␈αof␈αev␈α␈ery␈ε∂␈αthird␈εα␈αterm␈αof␈αthe␈αoriginal␈αsequence␈αbe
␈β0␈↓ ↓H␈εαrandom.␈αIf␈αthe␈αprogram␈αrequires␈↓ ¬N␈ελq␈↓ ¬j␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈αat␈αa␈αtime,␈αthe␈αsequences
␈β
∧␈↓ α↔␈ελU␈↓ α<␈εα,␈↓ αL␈ελU␈↓ αq␈εα,␈↓ β↓␈ελU␈↓ β3␈εα,␈↓ βC␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βs␈εα;␈↓ ∧'␈ελU␈↓ ∧M␈εα,␈↓ ∧]␈ελU␈↓ ¬,␈εα,␈↓ ¬<␈ελU␈↓ ε~␈εα,␈↓ ε*␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εZ␈εα;␈↓ π∞␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π>␈εα;␈↓ πr␈ελU␈↓ λA␈εα,␈↓ λQ␈ελU␈↓ 	/␈εα,␈↓ 	?␈ελU␈↓ 
≥␈εα,␈↓ 
-␈εα.␈αε.␈αε.
␈β
⊃␈↓ α.␈ε¬0␈↓ αc␈εq␈↓ β_␈ε¬2␈↓ β&␈εq␈↓ ∧>␈ε¬1␈↓ ∧t␈εq␈↓ ¬↓␈ε¬+1␈↓ ¬S␈ε¬2␈↓ ¬b␈εq␈↓ ¬o␈ε¬+1␈↓ λ	␈εq␈↓ λ⊗␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λh␈ε¬2␈↓ λw␈εq␈↓ 	∧␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	V␈ε¬3␈↓ 	e␈εq␈↓ 	r␈ε→␈␈ε¬1
␈β
X␈↓ ↓H␈εαcan␈αeach␈αbe␈α
put␈αthrough␈α
the␈αtests␈α
described␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αfor␈α
the␈αoriginal␈α
sequence␈↓ 
⎇␈ελU␈↓ "␈εα,
␈β
e␈↓ ∀␈ε¬0
␈β∞β␈↓ ↓H␈ελU␈↓ ↓m␈εα,␈↓ αβ␈ελU␈↓ α(␈εα,␈↓ α>␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αt␈εα.
␈β∞⊂␈↓ ↓←␈ε¬1␈↓ α~␈ε¬2
␈β∞.␈↓ α␈εαExperience␈αwith␈αlinear␈αcongruen␈α␈tial␈αsequences␈αhas␈αsho␈α␈wn␈αthat␈αthese␈αderiv␈α␈ed
␈β∞Y␈↓ ↓H␈εαsequences␈α	rarely␈α
if␈α	ev␈α␈er␈α
behav␈α␈e␈α	less␈α
randomly␈α	than␈α
the␈α	original␈α
sequence,␈α
unless␈↓ ≤␈ελq
␈β∂∧␈↓ ↓H␈εαhas␈α
a␈α
large␈α
factor␈α	in␈α
common␈α
with␈α
the␈α
period␈α
length.␈αOn␈α
a␈α
binary␈α	computer␈α
with
␈β∂0␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓s␈εαequal␈αto␈αthe␈αw␈α␈ord␈αsize,␈αfor␈αexample,␈αa␈αtest␈αof␈αthe␈αsubsequences␈αfor␈↓ 
∞␈ελq␈↓ 
(␈εα=␈α
8␈αwill
␈β∂[␈↓ ↓H␈εαtend␈αto␈αgiv␈α␈e␈αthe␈αpoorest␈αrandomness␈αfor␈αall␈↓ εu␈ελq␈↓ π∂␈εα<␈α
16;␈αand␈αon␈αa␈αdecimal␈αcomputer,
␈β⊂ε␈↓ ↓H␈ελq␈↓ ↓b␈εα=␈α
10␈α
is␈α
the␈α
most␈α
lik␈α␈ely␈α
to␈α
be␈α
unsatisfactory.␈α∃(This␈α
can␈α
be␈α
explained␈α
somewhat
␈β⊂1␈↓ ↓H␈εαon␈α
the␈α
grounds␈α
of␈α
potency,␈α
since␈α
such␈α
values␈α
of␈↓ π,␈ελq␈↓ πF␈εαwill␈α
tend␈α
to␈α
lo␈α␈w␈α␈er␈α
the␈α
potency.)
␈β⊂q␈↓ ↓H␈ε∩L.␈αHistorical␈αremarks␈αand␈αfurther␈αdiscussion.␈εα␈α↔Statistical␈αtests␈αarose␈αnaturally␈αin
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαthe␈α	course␈α	of␈α	scien␈α␈tists'␈α	e{orts␈α	to␈α	\pro␈α␈v␈α␈e"␈α	or␈αλ\dispro␈α␈v␈α␈e"␈α	h␈α␈ypotheses␈α	about␈α	various
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα70␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.2
␈βα(␈↓ ↓H␈εαobserv␈α␈ed␈αλdata.␈α
The␈αλbest␈αλkno␈α␈wn␈αλearly␈αλpapers␈αλdealing␈αλwith␈αλthe␈αλtesting␈αλof␈αλarti|cially
␈βαS␈↓ ↓H␈εαgenerated␈α⊂n␈α␈um␈α␈bers␈α∂for␈α⊂randomness␈α⊂are␈α⊂t␈α␈w␈α␈o␈α⊂articles␈α⊂by␈α⊂M.␈α⊂G.␈α⊂Kendall␈α⊂and␈α∂B.
␈βα}␈↓ ↓H␈εαBabington-Smith␈α
in␈α
the␈ε∂␈α
Journal␈α
of␈α
the␈α
Ro␈α␈yal␈α
Statistical␈α
Society␈ε∩␈α
101␈εα␈α
(1938),␈α
147↑
␈ββ*␈↓ ↓H␈εα166,␈αand␈α
in␈αthe␈αsupplemen␈α␈t␈α
to␈αthat␈α
journal,␈ε∩␈α6␈εα␈α
(1939),␈α51↑61.␈α∞These␈αpapers␈αw␈α␈ere
␈ββU␈↓ ↓H␈εαconcerned␈α	with␈α	the␈αλtesting␈α	of␈α	random␈α	digits␈α	bet␈α␈w␈α␈een␈α	0␈α	and␈α	9,␈α
rather␈α	than␈αλrandom
␈β∧␈↓ ↓H␈εαreal␈α∞n␈α␈um␈α␈bers;␈α∞for␈α∞this␈α∞purpose,␈α∂the␈α
authors␈α∞discussed␈α∞the␈α∞frequency␈α∞test,␈α∞serial
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαtest,␈αgap␈α
test,␈αand␈αpok␈α␈er␈α
test,␈αalthough␈α
they␈αmisapplied␈αthe␈α
serial␈αtest.␈α
Kendall
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαand␈αBabington-Smith␈αalso␈αused␈αa␈αvarian␈α␈t␈α
of␈αthe␈αcoupon␈αcollector's␈αtest,␈αbut␈αthe
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαmethod␈αdescribed␈αin␈αthis␈αsection␈αwas␈αin␈α␈troduced␈αby␈αR.␈αE.␈αGreen␈α␈w␈α␈ood␈αin␈α1955.
␈β¬-␈↓ α␈εαThe␈α∞run␈α∂test␈α∞has␈α∂a␈α∞rather␈α∂in␈α␈teresting␈α∞history.␈α∪Originally,␈α⊂tests␈α∞w␈α␈ere␈α∞made
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαon␈αruns␈αup␈α
and␈αdo␈α␈wn␈αat␈α
once:␈αa␈α
run␈αup␈αw␈α␈ould␈αbe␈α
follo␈α␈w␈α␈ed␈αby␈αa␈α
run␈αdo␈α␈wn,␈αthen
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαanother␈α∂run␈α⊂up,␈α⊃and␈α∂so␈α⊂on.␈α↔Note␈α⊂that␈α∂the␈α⊂run␈α⊂test␈α∂and␈α⊂the␈α⊂perm␈α␈utation␈α∂test
␈βε.␈↓ ↓H␈εαdo␈αnot␈αdepend␈α
on␈αthe␈αuniform␈α
distribution␈αof␈α
the␈↓ π]␈ελU␈↓ π{␈εα's,␈αthey␈αdepend␈α
only␈αon␈αthe
␈βεZ␈↓ ↓H␈εαfact␈αthat␈↓ α\␈ελU␈↓ β	␈εα=␈↓ β7␈ελU␈↓ βf␈εαoccurs␈αwith␈αprobability␈αzero␈αwhen␈↓ λε␈ελi␈↓ λ≡␈ε⊗≤␈↓ λL␈ελj␈↓ λ\␈εα;␈αtherefore␈αthese␈αtests
␈βεg␈↓ αs␈εi␈↓ βN␈εj
␈βπ¬␈↓ ↓H␈εαcan␈α∞be␈α∞applied␈α∞to␈α∞man␈α␈y␈α∂types␈α∞of␈α∞random␈α∞sequences.␈α∪The␈α∞run␈α∞test␈α∞in␈α∞primitiv␈α␈e
␈βπ0␈↓ ↓H␈εαform␈α	was␈α
originated␈α
by␈α
J.␈α	Bienaym␈↓ ¬g␈εα∞␈↓ ¬h␈εαe␈↓ εα␈εα[␈ε∂Comptes␈α
Rendus␈ε∩␈α
81␈εα␈α	(Paris:␈αAcad.␈αSciences,
␈βπ[␈↓ ↓H␈εα1875),␈α417↑423].␈αSome␈αsixty␈αy␈α␈ears␈αlater,␈αW.␈αO.␈αKermack␈αand␈αA.␈αG.␈αMcKendrick
␈βλε␈↓ ↓H␈εαpublished␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α∞extensiv␈α␈e␈α∞papers␈α
on␈α∞the␈α∞subject␈α
(␈ε∂Proc.␈α∞Ro␈α␈yal␈α∞Society␈α
Edin␈α␈burgh
␈βλ2␈↓ ↓H␈ε∩57␈εα␈α
(1937),␈α228↑240,␈α332↑376];␈αas␈αan␈α
example␈αthey␈αstated␈αthat␈αEdin␈α␈burgh␈α
rainfall
␈βλ]␈↓ ↓H␈εαbet␈α␈w␈α␈een␈αλthe␈α	y␈α␈ears␈α	1785␈α	and␈αλ1930␈α	was␈α	\en␈α␈tirely␈α	random␈αλin␈α	character"␈α	with␈αλrespect
␈β	λ␈↓ ↓H␈εαto␈αλthe␈α	run␈α	test␈α	(although␈α	they␈α	examined␈αλonly␈α	the␈α	mean␈α	and␈α	standard␈α	deviation␈αλof
␈β	3␈↓ ↓H␈εαthe␈αrun␈αlengths).␈αSev␈α␈eral␈αother␈αpeople␈αbegan␈αusing␈αthe␈αtest,␈αbut␈αit␈αwas␈αnot␈αun␈α␈til
␈β	↑␈↓ ↓H␈εα1944␈αλthat␈α	the␈αλuse␈α	of␈αλthe␈α	chi-square␈α	method␈αλin␈α	connection␈αλwith␈α	this␈αλtest␈α	was␈αλsho␈α␈wn
␈β

␈↓ ↓H␈εαto␈α∂be␈α⊂incorrect.␈α↔The␈α⊂paper␈α⊂by␈α∂H.␈α⊂Lev␈α␈ene␈α⊂and␈α⊂J.␈α∂Wolfo␈α␈witz,␈α⊃in␈ε∂␈α⊂Annals␈α∂Math.
␈β
5␈↓ ↓H␈ε∂Stat.␈ε∩␈α∞15␈εα␈α∞(1944),␈α∞58↑69,␈α∂in␈α␈troduced␈α∞the␈α∞correct␈α∞run␈α∞test␈α∞(for␈α
runs␈α∞up␈α∞and␈α∞do␈α␈wn,
␈β
`␈↓ ↓H␈εαalternately)␈α
and␈α
discussed␈α∞the␈α
fallacies␈α
in␈α
earlier␈α∞misuses␈α
of␈α
that␈α∞test.␈α∂Separate
␈β␈↓ ↓H␈εαtests␈αfor␈αruns␈αup␈αand␈αruns␈αdo␈α␈wn,␈αas␈αproposed␈αin␈αthe␈αtext␈αabo␈α␈v␈α␈e,␈αare␈αmore␈αsuited
␈β6␈↓ ↓H␈εαto␈α∞computer␈α∞application,␈α∂so␈α∞w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈α∞not␈α∂giv␈α␈en␈α∞the␈α∞more␈α∞complex␈α∞form␈α␈ulas␈α∞for
␈βb␈↓ ↓H␈εαthe␈α
alternate-up-and-do␈α␈wn␈α
case.␈α⊂See␈α∞the␈α
surv␈α␈ey␈α
paper␈α∞by␈α
D.␈α
E.␈α∞Barton␈α
and␈α
C.
␈β
␈↓ ↓H␈εαL.␈αMallo␈α␈ws,␈ε∂␈αAnnals␈αMath.␈αStat.␈ε∩␈α36␈εα␈α(1965),␈α236↑260.
␈β8␈↓ α␈εαOf␈αall␈αthe␈αtests␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αdiscussed,␈αthe␈αfrequency␈αtest␈αand␈αthe␈αserial␈αcorrela-
␈βc␈↓ ↓H␈εαtion␈α∂test␈α∞seem␈α∂to␈α∂be␈α∂the␈α∂w␈α␈eak␈α␈est,␈α⊂in␈α∂the␈α∂sense␈α∂that␈α∂nearly␈α∂all␈α∞random-n␈α␈um␈α␈ber
␈β
∞␈↓ ↓H␈εαgenerators␈αpass␈α
these␈α
tests.␈α∞Theoretical␈α
grounds␈α
for␈αthe␈α
w␈α␈eakness␈α
of␈α
these␈αtests
␈β
:␈↓ ↓H␈εαare␈αλdiscussed␈α	brie⎇y␈α	in␈αλSection␈α	3.5␈αλ(cf.␈α	ex␈α␈ercise␈α	3.5↑26).␈αThe␈αλrun␈α	test,␈α	on␈α	the␈αλother
␈β
e␈↓ ↓H␈εαhand,␈α
is␈α
a␈α
rather␈α
strong␈α
test:␈αthe␈α
results␈α
of␈α
ex␈α␈ercises␈α
3.3.3↑23␈α
and␈α
24␈α
suggest␈α
that
␈β∞⊂␈↓ ↓H␈εαlinear␈α
congruen␈α␈tial␈α
generators␈α
tend␈α∞to␈α
hav␈α␈e␈α
runs␈α∞somewhat␈α
longer␈α
than␈α
normal
␈β∞;␈↓ ↓H␈εαif␈α
the␈α∞m␈α␈ultiplier␈α
is␈α∞not␈α
large␈α∞enough,␈α
so␈α∞the␈α
run␈α∞test␈α
of␈α∞ex␈α␈ercise␈α
14␈α∞is␈α
de|nitely
␈β∞f␈↓ ↓H␈εαto␈αbe␈αrecommended.
␈β∂∩␈↓ α␈εαThe␈α∞collision␈α∞test␈α∂is␈α∞also␈α∞highly␈α∞recommended,␈α∂since␈α∞it␈α∞has␈α∞been␈α∞especially
␈β∂=␈↓ ↓H␈εαdesigned␈α⊂to␈α⊃detect␈α⊂the␈α⊃de|ciencies␈α⊃of␈α⊂man␈α␈y␈α⊃poor␈α⊃generators␈α⊂that␈α⊃hav␈α␈e␈α⊂unfor-
␈β∂h␈↓ ↓H␈εαtunately␈α∂become␈α∂widespread.␈α↔This␈α∂test,␈α⊂which␈α⊂is␈α∂based␈α⊂on␈α∂ideas␈α⊂of␈α∂H.␈α∂Delgas
␈β⊂∪␈↓ ↓H␈εαChristiansen␈αλ[Inst.␈απMath.␈αλStat.␈αλand␈αλOper.␈αλRes.,␈α	Tech.␈αλUniv.␈αλDenmark␈αλ(Oct.␈απ1975),
␈β⊂>␈↓ ↓H␈εαunpublished],␈αis␈αunlik␈α␈e␈α
the␈αothers␈αin␈αthat␈αit␈α
was␈αnot␈αdev␈α␈eloped␈αbefore␈αthe␈α
adv␈α␈en␈α␈t
␈β⊂j␈↓ ↓H␈εαof␈αcomputers;␈αit␈αis␈αspeci|cally␈αin␈α␈tended␈αfor␈αcomputer␈αuse.
␈β⊃≤␈↓ α␈εαThe␈α
reader␈α
probably␈αw␈α␈onders,␈ε∂␈α
\Wh␈α␈y␈α
are␈α
there␈α
so␈αman␈α␈y␈α
tests?"␈εα␈α
It␈α
has␈αbeen
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.2␈ε∞␈↓ λ<EMPIRICA␈α␈L␈α	TEST␈α␈S␈↓ λ␈εα71
␈βα(␈↓ ↓H␈εαsaid␈α
that␈αmore␈αcomputer␈αtime␈αis␈αspen␈α␈t␈α
testing␈αrandom␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αthan␈αusing␈α
them
␈βαS␈↓ ↓H␈εαin␈α
applications!␈αThis␈αis␈α
un␈α␈true,␈αalthough␈αit␈α
is␈αpossible␈αto␈α
go␈αo␈α␈v␈α␈erboard␈αin␈α
testing.
␈ββ↓␈↓ α␈εαThe␈αneed␈αfor␈αmaking␈αsev␈α␈eral␈αtests␈αhas␈αbeen␈αamply␈αdocumen␈α␈ted.␈αIt␈αhas␈αbeen
␈ββ,␈↓ ↓H␈εαrecorded,␈αfor␈α
example,␈αthat␈αsome␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈αgenerated␈α
by␈αa␈αvarian␈α␈t␈α
of␈αthe␈α
middle-
␈ββW␈↓ ↓H␈εαsquare␈α⊂method␈α⊃hav␈α␈e␈α⊃passed␈α⊂the␈α⊃frequency␈α⊃test,␈α∩gap␈α⊂test,␈α∩and␈α⊃pok␈α␈er␈α⊃test,␈α⊃y␈α␈et
␈β∧α␈↓ ↓H␈εα⎇unk␈α␈ed␈α
the␈α
serial␈α	test.␈αLinear␈α
congruen␈α␈tial␈α
sequences␈α
with␈α
small␈α	m␈α␈ultipliers␈α
hav␈α␈e
␈β∧-␈↓ ↓H␈εαbeen␈α∞kno␈α␈wn␈α∞to␈α∞pass␈α∂man␈α␈y␈α∞tests,␈α∞y␈α␈et␈α∂fail␈α∞on␈α∞the␈α∞run␈α∂test␈α∞because␈α∞there␈α∞are␈α∞too
␈β∧Y␈↓ ↓H␈εαfew␈αruns␈αof␈αlength␈αone.␈α
The␈αmaxim␈α␈um-of-␈↓ ε\␈ελt␈↓ εu␈εαtest␈αhas␈α
also␈αbeen␈αused␈αto␈αferret␈αout
␈β¬∧␈↓ ↓H␈εαsome␈αbad␈αgenerators␈αthat␈αotherwise␈αseemed␈αto␈αperform␈αrespectably.
␈β¬1␈↓ α␈εαPerhaps␈α
the␈α
main␈α	reason␈α
for␈α
doing␈α	extensiv␈α␈e␈α
testing␈α
on␈α
random-n␈α␈um␈α␈ber␈α	gen-
␈β¬]␈↓ ↓H␈εαerators␈αλis␈αλthat␈α	people␈αλmisusing␈αλMr.␈α	X's␈αλrandom-n␈α␈um␈α␈ber␈αλgenerator␈α	will␈αλhardly␈αλev␈α␈er
␈βελ␈↓ ↓H␈εαadmit␈α	that␈α	their␈α	programs␈α	are␈α	at␈α	fault:␈α
they␈α	will␈α	blame␈α	the␈α	generator,␈α	un␈α␈til␈α	Mr.␈α	X
␈βε3␈↓ ↓H␈εαcan␈ε∂␈αpro␈α␈v␈α␈e␈εα␈αto␈αthem␈αthat␈αhis␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αare␈αsu}cien␈α␈tly␈αrandom.␈αOn␈αthe␈αother␈αhand,
␈βε↑␈↓ ↓H␈εαif␈α	the␈α
source␈α	of␈α
random␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈α
is␈α
only␈α	for␈α
Mr.␈α	X's␈α
personal␈α	use,␈α
he␈α
migh␈α␈t␈α	decide
␈βπ	␈↓ ↓H␈εαnot␈α∞to␈α∂bother␈α∞to␈α∂test␈α∞them,␈α∂since␈α∂the␈α∞techniques␈α∂recommended␈α∞in␈α∂this␈α∞chapter
␈βπ5␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈αa␈αhigh␈αprobability␈αof␈αbeing␈αsatisfactory.
␈βλQ␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈β	,␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	10␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Wh␈α␈y␈α
sh␈α␈ou␈α␈ld␈α
the␈α	serial␈α
test␈α
des␈α␈cribed␈α	i␈α↓n␈α	pa␈α␈rt␈α
B␈αb␈α␈e␈α
ap␈α␈plied␈α
to␈α
(␈↓ 	Q␈ε	Y␈↓ 	q␈εβ,␈↓ 	␈␈ε	Y␈↓ 
∨␈εβ)␈α↓,␈α
(␈↓ 
I␈ε	Y␈↓ 
i␈εβ,␈↓ 
x␈ε	Y␈↓ _␈εβ),
␈β	7␈↓ 	d␈εε0␈↓ 
∪␈εε1␈↓ 
]␈εε2␈↓ ␈εε3
␈β	T␈↓ ↓H␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ↓t␈εβ,␈α(␈↓ α∪␈ε	Y␈↓ αj␈εβ,␈↓ αx␈ε	Y␈↓ βO␈εβ)␈αin␈α␈stead␈α
of␈αto␈α(␈↓ ¬2␈ε	Y␈↓ ¬R␈εβ,␈↓ ¬a␈ε	Y␈↓ ε↓␈εβ),␈α(␈↓ ε+␈ε	Y␈↓ εL␈εβ,␈↓ εZ␈ε	Y␈↓ εz␈εβ),␈↓ π~␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ πF␈εβ,␈α(␈↓ πf␈ε	Y␈↓ λ/␈εβ,␈↓ λ>␈ε	Y␈↓ λb␈εβ)?
␈β	←␈↓ α'␈εε2␈↓ α4␈εn␈↓ αD␈ε~␈␈εε2␈↓ β␈εε2␈↓ β_␈εn␈↓ β)␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬F␈εε0␈↓ ¬t␈εε1␈↓ ε?␈εε1␈↓ εn␈εε2␈↓ πy␈εn␈↓ λ	␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λQ␈εn
␈β
∂␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	10␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Sta␈α␈te␈αan␈αa␈α␈pp␈α␈rop␈α␈ri␈α↓a␈α␈te␈αway␈αto␈αg␈α␈ene␈α␈ralize␈αthe␈αseria␈α␈l␈αtest␈αto␈αtrip␈α␈l␈α↓e␈α␈s,␈αqu␈α␈ad␈α␈rup␈α␈les,
␈β
7␈↓ ↓H␈εβe␈α␈tc.,␈αins␈α␈tead␈α
of␈αpa␈α␈i␈α↓rs.
␈β
n␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
r␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Ho␈α␈w␈αman␈α}y␈↓ ∧≡␈ε	U␈↓ ∧:␈εβ's␈αneed␈αto␈αb␈α␈e␈αex␈α␈amin␈α␈ed␈αin␈αth␈α␈e␈αg␈α␈ap␈αtest␈α(Al␈α↓g␈α␈orithm␈αG)␈αb␈α␈efore
␈β~␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓f␈εβga␈α␈ps␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
bee␈α␈n␈α
foun␈α␈d,␈α
on␈α
th␈α␈e␈αa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge,␈αa␈α␈ssum␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
tha␈α␈t␈αth␈α␈e␈α
sequ␈α␈enc␈α␈e␈αis␈α
ran␈α␈do␈α␈m?␈αWha␈α␈t
␈βB␈↓ ↓H␈εβis␈αth␈α␈e␈αstan␈α␈da␈α␈rd␈αde␈α␈viation␈α
of␈αth␈α␈i␈α↓s␈αq␈α␈uan␈α}tity?
␈β⎇␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	12␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ties␈αin␈α(4␈α␈)␈αare␈αco␈α␈rrect␈αfor␈αth␈α␈e␈αga␈α␈p␈αtest.
␈β8␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Th␈α␈e␈α
\class␈α␈i␈α↓ca␈α␈l"␈α
ga␈α␈p␈α
test␈α
u␈α␈sed␈αby␈α
K␈α␈end␈α␈all␈α
and␈αBab␈α␈i␈α↓n␈α␈gto␈α␈n-Sm␈α␈i␈α↓th␈αcon␈α␈sider␈α␈s
␈β`␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s␈↓ β	␈ε	U␈↓ β+␈εβ,␈↓ βA␈ε	U␈↓ βc␈εβ,␈↓ βy␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧%␈εβ,␈↓ ∧;␈ε	U␈↓ ¬~␈εβto␈αbe␈αa␈αcy␈α}cl␈α↓ic␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈αwi␈α↓th␈↓ λC␈ε	U␈↓ 	"␈εβiden␈α}ti|ed␈αwith␈↓ α␈ε	U␈↓ #␈εβ.
␈βk␈↓ β≡␈εε0␈↓ βV␈εε1␈↓ ∧P␈εN␈↓ ∧h␈ε~␈␈εε1␈↓ λY␈εN␈↓ λp␈εε+␈↓ 	
␈εj␈↓ ↔␈εj
␈β
λ␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈re␈↓ α∪␈ε	N␈↓ α;␈εβis␈α	a␈αλ|x␈α}ed␈α	n␈α}um␈α}ber␈α	o␈α␈f␈↓ ∧\␈ε	U␈↓ ∧w␈εβ'␈α↓s␈αλthat␈αλare␈α	to␈αλbe␈αλsub␈α␈jected␈αλto␈αλthe␈αλtest.␈αIf␈↓ 	:␈ε	n␈↓ 	W␈εβo␈α␈f␈α	the␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈β
/␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ ↓j␈εβ,␈↓ ↓}␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α*␈εβ,␈↓ α?␈ε	U␈↓ β≥␈εβfa␈α␈l␈α↓l␈αin␈α␈to␈αth␈α␈e␈αran␈α␈ge␈↓ ¬.␈ε	␈↓ ¬I␈ε↔∀␈↓ ¬t␈ε	U␈↓ ε≡␈εβ<␈↓ εI␈ε	␈␈↓ ε]␈εβ,␈αth␈α␈ere␈αare␈↓ π}␈ε	n␈↓ λ≡␈εβg␈α␈ap␈α␈s␈αin␈α
the␈αcy␈α}clic␈αsequ␈α␈enc␈α␈e.
␈β
:␈↓ ↓]␈εε0␈↓ αT␈εN␈↓ αl␈ε~␈␈εε1␈↓ ε	␈εj
␈β
W␈↓ ↓H␈εβLet␈↓ α¬␈ε	Z␈↓ α/␈εβbe␈αthe␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αof␈αga␈α␈ps␈αof␈αleng␈α␈th␈↓ ε∩␈ε	r␈↓ ε ␈εβ,␈αf␈α↓o␈α␈r␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ π1␈ε	r␈↓ πJ␈εβ<␈↓ πv␈ε	t␈↓ λα␈εβ,␈αan␈α␈d␈αlet␈↓ 		␈ε	Z␈↓ 	0␈εβbe␈αth␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f
␈β
`␈↓ π↔␈ε↓P
␈β
a␈↓ α↔␈εr␈↓ 	≠␈εt
␈β
z␈↓ 	&␈εε2
␈β
}␈↓ ↓H␈εβg␈α␈ap␈α␈s␈αof␈αl␈α↓e␈α␈ng␈α␈th␈ε↔␈α∃␈↓ βM␈ε	t␈↓ βY␈εβ;␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αth␈α␈at␈αthe␈αqu␈α␈an␈α}ti␈α↓ty␈↓ εJ␈ε	V␈↓ εk␈εβ=␈↓ λ∩␈εβ(␈↓ λ≥␈ε	Z␈↓ λB␈ε↔␈␈↓ λk␈ε	n␈↓ λ␈␈ε	p␈↓ 	≠␈εβ)␈↓ 	3␈εβ/␈↓ 	C␈ε	n␈↓ 	X␈ε	p␈↓ 	␈␈εβsh␈α␈ould␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β∞	␈↓ λ.␈εr␈↓ 	∂␈εr␈↓ 	g␈εr
␈β∞⊃␈↓ π=␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ πc␈εr␈↓ πo␈ε~∀␈↓ λλ␈εt
␈β∞&␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
c␈α␈hi-squ␈α␈are␈α
d␈α␈istribu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α	wi␈α↓th␈↓ ¬~␈ε	t␈↓ ¬0␈εβd␈α␈egr␈α␈ees␈α
o␈α␈f␈α
freed␈α␈om,␈α
in␈α
t␈α␈he␈α	l␈α↓imit␈α
a␈α␈s␈↓ 	#␈ε	N␈↓ 	L␈εβg␈α␈oes␈α	to␈α
in␈α␈|n␈α␈i␈α↓ty␈α␈,
␈β∞N␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε	p␈↓ αO␈εβis␈αgiv␈α␈e␈α␈n␈αin␈αEq.␈α(4).
␈β∞X␈↓ α8␈εr
␈β∂	␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	40␈↓ α;␈εβ]␈α⊗(H.␈α⊂Ge␈α␈i␈α↓rin␈α␈ger.)␈α!A␈α∂frequ␈α␈en␈α␈cy␈α∂co␈α␈un␈α}t␈α∂of␈α∂the␈α∂|␈α␈rst␈α∂20␈α␈00␈α∂d␈α␈ecima␈α␈l␈α⊂d␈α␈igits␈α∂i␈α↓n␈α∞the
␈β∂,␈↓ ε<␈εε2
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n␈α∞o␈α␈f␈↓ βM␈ε	e␈↓ βh␈εβ=␈α∞2.71␈α␈828␈↓ ¬∧␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬9␈εβga␈α␈v␈α␈e␈α
a␈↓ ε'␈ε	∨␈↓ εW␈εβv␈α␈alu␈α␈e␈α∞of␈α∞1␈α␈.␈α↓0␈α␈6,␈α∂in␈α␈dicat␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∞th␈α␈at␈α∞th␈α␈e␈α∞a␈α␈ctua␈α␈l
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβfre␈α␈que␈α␈ncies␈αo␈α␈f␈αthe␈αdigits␈α0,␈α1,␈↓ ∧{␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬(␈εβ,␈α9␈αare␈αm␈α␈uch␈αtoo␈αclose␈αto␈αth␈α␈eir␈αex␈α␈pe␈α␈cted␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αto␈αbe
␈β∂|␈↓ ε←␈εε2
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onsid␈α␈ered␈αra␈α␈nd␈α␈omly␈αd␈α␈i␈α↓strib␈α␈uted␈α␈.␈α≤(In␈αfact,␈↓ εJ␈ε	∨␈↓ εw␈ε↔∃␈εβ␈α1.1␈α␈5␈αw␈α↓ith␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α99␈α␈.␈α↓9␈αp␈α␈ercen␈α}t.)
␈β⊂#␈↓ 
(␈εε2
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αλsa␈α␈me␈αλtes␈α␈t␈αλap␈α␈plied␈αλt␈α␈o␈αλth␈α␈e␈αλ|r␈α␈st␈αλ10␈α␈,␈α↓0␈α␈00␈αλd␈α␈igits␈αλof␈↓ πβ␈ε	e␈↓ π_␈εβgiv␈α␈es␈απthe␈απreaso␈α␈nab␈α␈le␈αλv␈α␈alue␈↓ 
∩␈ε	∨␈↓ 
=␈εβ=␈α
8.61␈α␈;
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ut␈αth␈α␈e␈αfact␈αt␈α␈hat␈αth␈α␈e␈α|␈α␈rst␈α200␈α␈0␈αdig␈α␈i␈α↓ts␈αa␈α␈re␈αso␈αev␈α}en␈α␈l␈α↓y␈α
distribu␈α␈ted␈α
i␈α↓s␈αstill␈αsurp␈α␈risi␈α↓n␈α␈g.␈αDoe␈α␈s
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αsam␈α␈e␈αph␈α␈eno␈α␈men␈α␈on␈αoccu␈α␈r␈αi␈α↓n␈αthe␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f␈↓ πX␈ε	e␈↓ πq␈εβto␈αothe␈α␈r␈αbase␈α␈s?␈α≠[␈α↓S␈α␈ee␈ε⊂␈αAM␈α␈M␈ε∪␈α72
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈965␈α␈),␈α4␈α␈83↑␈α␈500␈α␈.␈α↓]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα72␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.2
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	08␈↓ α;␈εβ]␈α⊗App␈α␈ly␈αthe␈αc␈α␈oup␈α␈on␈αcollector's␈αtest␈αp␈α␈roced␈α␈ur␈α␈e␈α(␈α↓Algo␈α␈rithm␈αC)␈αwith␈↓ 
⊂␈ε	d␈↓ 
.␈εβ=␈α3␈αa␈α␈nd
␈βαR␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓e␈εβ=␈α	7,␈αλto␈αεthe␈αεf␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈απse␈α␈que␈α␈nce␈α␈:␈α
1␈α␈101␈α␈221␈α␈02␈α␈212␈α␈020␈α␈200␈α␈121␈α␈220␈α␈101␈α␈02␈α␈011␈α␈21.␈α
Wh␈α␈at␈απlen␈α␈gth␈α␈s
␈βαy␈↓ ↓H␈εβd␈α␈o␈αth␈α␈e␈αsev␈α␈e␈α␈n␈αsu␈α␈bseq␈α␈uen␈α␈ces␈αh␈α␈av␈α}e?
␈ββ%␈↓ ↓;␈ε↓x
␈ββ)␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Ho␈α␈w␈α
man␈α}y␈↓ ∧≤␈ε	U␈↓ ∧7␈εβ'␈α↓s␈α
ne␈α␈ed␈α
to␈α
be␈α
exa␈α␈mined␈α␈,␈αon␈α
th␈α␈e␈αa␈α␈v␈α␈er␈α␈age,␈αin␈α
th␈α␈e␈αc␈α␈oup␈α␈on␈α
co␈α␈ll␈α↓ec␈α␈-
␈ββP␈↓ ↓H␈εβto␈α␈r's␈α∞test␈α∞(Algo␈α␈rithm␈α
C)␈α∞be␈α␈fore␈↓ ¬ ␈ε	n␈↓ ¬A␈εβcomp␈α␈lete␈α∞se␈α␈ts␈α∞h␈α␈av␈α␈e␈α
bee␈α␈n␈α∞fo␈α␈un␈α␈d,␈α∞assum␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
that␈α
the
␈ββx␈↓ ↓H␈εβse␈α␈que␈α␈nce␈αis␈αra␈α␈nd␈α␈om?␈αWha␈α␈t␈αi␈α↓s␈αth␈α␈e␈αstan␈α␈da␈α␈rd␈αd␈α␈evia␈α␈ti␈α↓o␈α␈n?␈α→[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:␈εβ␈αSee␈αEq␈α␈.␈α1␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓9␈α␈↑28␈α␈.]
␈β∧'␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Gen␈α␈era␈α␈l␈α↓ize␈α	the␈α	cou␈α␈pon␈α	co␈α␈l␈α↓lec␈α␈tor's␈α
test␈α	so␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α
sea␈α␈rch␈α	stop␈α␈s␈α
as␈α
so␈α␈on␈α	as␈↓ ∀␈ε	w
␈β∧O␈↓ ↓H␈εβd␈α␈isti␈α↓n␈α␈ct␈αvalu␈α␈es␈αh␈α␈av␈α␈e␈αbe␈α␈en␈αfoun␈α␈d,␈αwh␈α␈ere␈↓ ε
␈ε	w␈↓ ε2␈εβis␈αa␈α|x␈α}ed␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αin␈α␈te␈α␈ger␈αl␈α↓e␈α␈ss␈αth␈α␈an␈αor␈αe␈α␈qua␈α␈l
␈β∧v␈↓ ↓H␈εβto␈↓ ↓p␈ε	d␈↓ αβ␈εβ.␈αWhat␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lities␈αsho␈α␈uld␈αb␈α␈e␈αus␈α␈ed␈αin␈αp␈α␈lace␈αo␈α␈f␈α(6␈α␈)␈α↓?
␈β¬%␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈olv␈α␈e␈α
ex␈α}ercise␈α
8␈α
for␈α
th␈α␈e␈α
mor␈α␈e␈α
gen␈α␈eral␈α
cou␈α␈po␈α␈n␈α
collecto␈α␈r's␈α∞te␈α␈st␈α
desc␈α␈ri␈α↓b␈α␈ed␈α
in
␈β¬M␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α9␈α␈.
␈β¬|␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	00␈↓ α;␈εβ]␈α⊗The␈α
\␈α␈run␈α␈s␈α
up␈α␈"␈α
in␈α
a␈α	particu␈α␈lar␈α
pe␈α␈rm␈α␈uta␈α␈tion␈α
a␈α␈re␈α
disp␈α␈l␈α↓a␈α␈y␈α␈ed␈α	in␈α
(9);␈α
w␈α↓h␈α␈at␈α
a␈α␈re␈α
the
␈βε$␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈run␈α␈s␈αdo␈α␈wn␈α␈"␈αin␈αth␈α␈at␈αp␈α␈erm␈α␈u␈α␈tation␈α␈?
␈βεS␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β↔␈ε	U␈↓ β9␈εβ,␈↓ βM␈ε	U␈↓ βo␈εβ,␈↓ ∧β␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧0␈εβ,␈↓ ∧D␈ε	U␈↓ ¬~␈εβbe␈↓ ¬F␈ε	n␈↓ ¬e␈εβdistinc␈α␈t␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs.␈αWrite␈αa␈α␈n␈αalg␈α␈orithm␈α
tha␈α␈t␈αdete␈α␈r-
␈βε↑␈↓ β,␈εε0␈↓ βb␈εε1␈↓ ∧Y␈εn␈↓ ∧i␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βε{␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓n␈α␈es␈απth␈α␈e␈απlen␈α␈gth␈α␈s␈απof␈αεall␈απasce␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αεrun␈α␈s␈απin␈απt␈α␈he␈αεsequ␈α␈enc␈α␈e.␈α
When␈αεy␈α␈o␈α␈ur␈αεalgor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈απte␈α␈rmina␈α␈tes,
␈βπ∨␈↓ ↓H␈ε∃C␈α␈OUN␈α␈T␈↓ 
"␈ε∃C␈α␈OUNT
␈βπ"␈↓ α/␈εβ[␈↓ α8␈ε	r␈↓ αG␈εβ]␈α∞shou␈α␈ld␈α∞b␈α␈e␈α∞the␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞of␈α∞run␈α␈s␈α∞of␈α∞leng␈α␈th␈↓ π<␈ε	r␈↓ πK␈εβ,␈α∂for␈α∞1␈ε↔␈α∞∀␈↓ λh␈ε	r␈↓ 	¬␈ε↔∀␈εβ␈α∂5,␈α∂an␈α␈d␈↓ 	␈εβ[␈α↓6␈α␈]
␈βπJ␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈ou␈α␈ld␈αbe␈α
the␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αru␈α␈ns␈αof␈αlen␈α␈gth␈α6␈α
or␈αmo␈α␈re.
␈βπy␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈αλtha␈α␈t␈α	(16␈α␈)␈α	is␈α	th␈α␈e␈α	n␈α}um␈α}ber␈αλof␈α	p␈α␈erm␈α␈u␈α␈tation␈α␈s␈α	o␈α␈f␈↓ λ.␈ε	p␈↓ λC␈εβ+␈↓ λh␈ε	q␈↓ λ{␈εβ+␈α¬1␈αλd␈α␈i␈α↓st␈α␈i␈α↓n␈α␈ct␈α	e␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈t␈α␈s
␈βλ!␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈e␈αpa␈α␈ttern␈α(1␈α␈5).
␈βλL␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλP␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	M15␈↓ αX␈εβ]␈α⊗If␈α
w␈α␈e␈α∞\␈α␈thro␈α}w␈α∞a␈α␈way␈α␈"␈α
the␈α
eleme␈α␈n␈α␈t␈α
tha␈α␈t␈α∞imm␈α␈edia␈α␈tely␈α
foll␈α↓o␈α}ws␈α∞a␈αrun␈α␈,␈α∂s␈α␈o␈α
tha␈α␈t
␈βλw␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α!␈ε	X␈↓ αR␈εβis␈α∞gre␈α␈ater␈α
tha␈α␈n␈↓ ∧:␈ε	X␈↓ ¬⊂␈εβw␈α␈e␈α∞star␈α␈t␈α∞the␈α
ne␈α␈xt␈α∞r␈α␈un␈α
with␈↓ λ/␈ε	X␈↓ λx␈εβ,␈α∞the␈α
run␈α
len␈α␈gth␈α␈s␈α∞are
␈β	α␈↓ α8␈εj␈↓ ∧Q␈εj␈↓ ∧]␈εε+1␈↓ λF␈εj␈↓ λR␈εε+2
␈β	∨␈↓ ↓H␈εβin␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}t,␈αa␈α␈nd␈α
a␈α	simple␈α
ch␈α␈i-squa␈α␈re␈α
test␈α
m␈α␈ay␈α
b␈α␈e␈α
u␈α␈sed␈α
(inst␈α␈ead␈α	of␈α
the␈α
h␈α␈orrib␈α␈l␈α↓y␈α	com␈α␈pli-
␈β	G␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ated␈αmeth␈α␈od␈αd␈α␈eriv␈α␈e␈α␈d␈αin␈αth␈α␈e␈αtex␈α␈t).␈α∂Wh␈α␈at␈αare␈αt␈α␈he␈αa␈α␈pp␈α␈ropria␈α␈te␈αrun␈α␈-l␈α↓e␈α␈ng␈α␈th␈αp␈α␈roba␈α␈biliti␈α↓e␈α␈s
␈β	n␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αthis␈αsimple␈αru␈α␈n␈αtest␈α␈?
␈β
→␈↓ πR␈εt␈↓ λ␈εt␈↓ 	␈εt
␈β
≥␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	M10␈↓ αX␈εβ]␈α⊗In␈α∞the␈α∞\ma␈α␈xim␈α␈u␈α␈m-of-␈↓ ¬4␈ε	t␈↓ ¬F␈εβ"␈α∞test,␈α⊂wh␈α}y␈α∂a␈α␈re␈↓ π:␈ε	V␈↓ π[␈εβ,␈↓ πt␈ε	V␈↓ λ⊗␈εβ,␈↓ λ/␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ[␈εβ,␈↓ λt␈ε	V␈↓ 	M␈εβsu␈α␈pp␈α␈ose␈α␈d␈α∂to␈α∞be
␈β
-␈↓ πM␈εε0␈↓ λλ␈εε1␈↓ 	λ␈εn␈↓ 	_␈ε~␈␈εε1
␈β
E␈↓ ↓H␈εβu␈α␈niform␈α␈l␈α↓y␈α
distribu␈α␈ted␈α
bet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈αzero␈α
an␈α␈d␈αon␈α␈e?
␈β
p␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
t␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ[␈ε	15␈↓ α;␈εβ]␈α⊗(a)␈α
M␈α␈r.␈αJ.␈α
H.␈α	Quick␈α	(a␈α	stud␈α␈en␈α␈t)␈α	wan␈α␈te␈α␈d␈α	to␈α
p␈α␈erform␈α	th␈α␈e␈α
ma␈α␈xim␈α␈u␈α␈m-of-␈↓ 
/␈ε	t␈↓ 
D␈εβtest␈α
fo␈α␈r
␈β≤␈↓ ↓H␈εβv␈α␈ariou␈α␈s␈α
v␈α␈alues␈α	of␈↓ βE␈ε	t␈↓ βQ␈εβ.␈αLetting␈↓ ∧Z␈ε	Z␈↓ ¬␈εβ=␈↓ ¬5␈εβmax␈↓ ¬t␈εβ(␈↓ ¬␈␈ε	U␈↓ ε!␈εβ,␈↓ ε/␈ε	U␈↓ εv␈εβ,␈↓ π¬␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π2␈εβ,␈↓ π@␈ε	U␈↓ λ*␈εβ)␈α↓,␈α
h␈α␈e␈α
fou␈α␈nd␈α	a␈α
clev␈α}er␈α
wa␈α␈y␈α
to
␈β&␈↓ ∧l␈εj␈↓ ∧x␈εt␈↓ ε∀␈εj␈↓ εE␈εj␈↓ εQ␈εε+1␈↓ πV␈εj␈↓ πb␈εε+␈↓ π{␈εt␈↓ λ¬␈ε~␈␈εε1
␈βC␈↓ ↓H␈εβg␈α␈o␈α
from␈α
the␈α
seq␈α␈ue␈α␈nce␈↓ ∧β␈ε	Z␈↓ ∧a␈εβ,␈↓ ∧u␈ε	Z␈↓ ¬T␈εβ,␈↓ ¬g␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε∀␈εβ,␈α
to␈α
the␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce␈↓ λ⊂␈ε	Z␈↓ λ8␈εβ,␈↓ λL␈ε	Z␈↓ λt␈εβ,␈↓ 	π␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	4␈εβ,␈αu␈α␈sing␈α
v␈α}ery␈α
littl␈α↓e
␈βN␈↓ λ"␈εε0␈↓ λ.␈εt␈↓ λ]␈εε1␈↓ λj␈εt
␈βO␈↓ ∧∀␈εε0(␈↓ ∧)␈εt␈↓ ∧3␈ε~␈␈εε1)␈↓ ¬π␈εε1␈α␈(␈↓ ¬≤␈εt␈↓ ¬%␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)
␈βk␈↓ ↓H␈εβtime␈α
and␈α
spa␈α␈ce.␈αW␈α↓h␈α␈at␈αwa␈α␈s␈αh␈α␈is␈αbrigh␈α}t␈αi␈α↓d␈α␈ea?
␈β∪␈↓ α␈εβ(b)␈αHe␈α
d␈α␈ecid␈α␈ed␈αto␈αmod␈α␈i␈α↓fy␈αth␈α␈e␈αmax␈α␈i␈α↓m␈α}um-o␈α␈f␈α↓-␈↓ π	␈ε	t␈↓ π!␈εβmeth␈α␈od␈αso␈αth␈α␈at␈αthe␈↓ 	I␈ε	j␈↓ 	X␈εβth␈αob␈α␈serv␈α␈ation
␈β:␈↓ ↓H␈εβw␈α␈o␈α␈uld␈αbe␈↓ αV␈εβma␈α␈x␈↓ β∃␈εβ(␈↓ β ␈ε	U␈↓ βA␈εβ,␈↓ βP␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β⎇␈εβ,␈↓ ∧␈ε	U␈↓ ∧u␈εβ);␈αi␈α↓n␈αo␈α␈ther␈αw␈α␈ord␈α␈s,␈αhe␈αto␈α␈ok␈↓ πv␈ε	V␈↓ λ∨␈εβ=␈↓ λJ␈ε	Z␈↓ λ⎇␈εβin␈α␈stead␈αo␈α␈f␈↓ 
↔␈ε	V␈↓ 
?␈εβ=␈↓ 
k␈ε	Z
␈βE␈↓ β5␈εj␈↓ ∧!␈εj␈↓ ∧-␈εε+␈↓ ∧F␈εt␈↓ ∧O␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λ	␈εj␈↓ λ[␈εj␈↓ λg␈εt␈↓ 
)␈εj
␈βF␈↓ 
|␈εε(␈↓ ¬␈εt␈↓ ∞␈εj␈↓ ~␈εε)␈↓ #␈εt
␈βb␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈α∞th␈α␈e␈α∞t␈α␈ext␈α
say␈α␈s.␈α∪He␈α
reaso␈α␈ned␈α
t␈α␈hat␈ε⊂␈α
all␈εβ␈α∞o␈α␈f␈α∞th␈α␈e␈↓ εp␈ε	Z␈↓ ππ␈εβ's␈α∞sh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
h␈α␈av␈α}e␈α∞th␈α␈e␈α
same␈α
d␈α␈i␈α↓strib␈α␈ution␈α␈,
␈β
	␈↓ ↓H␈εβso␈αthe␈α
te␈α␈st␈α
i␈α↓s␈α
e␈α␈v␈α␈en␈αstron␈α␈ger␈α
if␈α
eac␈α␈h␈↓ ¬U␈ε	Z␈↓ ¬|␈εβ,␈α∞0␈ε↔␈α∀␈↓ ε↑␈ε	j␈↓ εz␈εβ<␈↓ π'␈ε	n␈↓ π;␈εβ,␈α∞i␈α↓s␈α
u␈α␈sed␈αi␈α↓n␈α␈stea␈α␈d␈α
of␈α
ju␈α␈st␈α
ev␈α␈ery␈↓ ↓␈ε	t␈↓ 
␈εβth
␈β
∀␈↓ ¬g␈εj␈↓ ¬s␈εt
␈β
-␈↓ 
.␈εt
␈β
1␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ne.␈α∂B␈α↓u␈α␈t␈α
wh␈α␈en␈αhe␈αtried␈αa␈αch␈α␈i␈α↓-sq␈α␈uare␈αeq␈α␈uidistrib␈α␈ution␈αtest␈αon␈αth␈α␈e␈α
v␈α␈alue␈α␈s␈α
of␈↓ 
⊗␈ε	V␈↓ 
:␈εβ,␈α
he␈αgo␈α␈t
␈β
@␈↓ 
.␈εj
␈β
Y␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xtrem␈α␈ely␈α
h␈α␈igh␈α	va␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈α	of␈α
th␈α␈e␈α
sta␈α␈tisti␈α↓c␈↓ ¬h␈ε	V␈↓ ε␈εβ,␈α
which␈α	g␈α␈ot␈α
e␈α␈v␈α␈en␈α	hig␈α␈her␈α	as␈↓ 	↓␈ε	t␈↓ 	⊗␈εβincre␈α␈ased␈α␈.␈αWh␈α␈y␈α	did
␈β∞␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αhap␈α␈pe␈α␈n?
␈β∞/␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(a)␈αGiv␈α}en␈αan␈α}y␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ ¬O␈ε	U␈↓ ¬q␈εβ,␈↓ ε␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ε,␈εβ,␈↓ ε;␈ε	U␈↓ πε␈εβ,␈↓ π∃␈ε	V␈↓ π4␈εβ,␈↓ πC␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ πo␈εβ,␈↓ π}␈ε	V␈↓ λG␈εβ,␈αlet
␈β∞:␈↓ ¬d␈εε0␈↓ εP␈εn␈↓ ε`␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ π'␈εε0␈↓ λ⊃␈εn␈↓ λ!␈ε~␈␈εε1
␈β∞Q␈↓ ∧x␈ε↓X␈↓ λα␈ε↓X
␈β∞`␈↓ ∧I␈εβ1␈↓ πR␈εβ1
␈β∞v␈↓ β{␈ε	u␈↓ β⎇␈εβ∩␈↓ ∧→␈εβ=␈↓ ¬F␈ε	U␈↓ ¬i␈εβ,␈↓ πλ␈εβ∩␈↓ πλ␈ε	v␈↓ π"␈εβ=␈↓ λP␈ε	V␈↓ λo␈εβ.
␈β∂␈↓ ¬\␈εk␈↓ λb␈εk
␈β∂∧␈↓ ∧G␈∧∂∧∧Gα∃␈↓ πP␈∧∂∧πPα∃
␈β∂∞␈↓ ∧G␈ε	n␈↓ πP␈ε	n
␈β∂'␈↓ ∧d␈εε0␈ε~∀␈↓ ¬
␈εk␈↓ ¬↔␈εε<␈↓ ¬0␈εn␈↓ πn␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ λ∪␈εk␈↓ λ!␈εε<␈↓ λ:␈εn
␈β∂←␈↓ α!␈ε~0␈↓ βy␈ε~0
␈β∂c␈↓ ↓H␈εβLet␈↓ αε␈ε	U␈↓ α9␈εβ=␈↓ αe␈ε	U␈↓ β∂␈ε↔␈␈↓ β8␈ε	u␈↓ β:␈εβ∩␈↓ βL␈εβ,␈↓ βb␈ε	V␈↓ ∧⊃␈εβ=␈↓ ∧=␈ε	V␈↓ ∧e␈ε↔␈␈↓ ¬∞␈ε	v␈↓ ¬∂␈εβ∩␈↓ ¬ ␈εβ.␈α
Sh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αthe␈αcorrela␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αco␈α␈e}cien␈α}t␈↓ 	U␈ε	C␈↓ 	|␈εβgiv␈α}en␈αin␈αE␈α↓q␈α␈.
␈β∂m␈↓ αz␈εk␈↓ ∧P␈εk
␈β∂r␈↓ α!␈εk␈↓ βy␈εk
␈β⊂
␈↓ ↓H␈εβ(2␈α␈4)␈αis␈αe␈α␈qu␈α␈al␈αto
␈β⊂;␈↓ ¬␈ε↓,
␈β⊂=␈↓ βq␈ε↓X␈↓ ¬↑␈ε↓X␈↓ πH␈ε↓X
␈β⊂M␈↓ ¬:␈ε↓r␈↓ ¬↑␈∧⊂M¬↑α↓F␈↓ π$␈ε↓r␈↓ πH␈∧⊂MπHα↓C
␈β⊂Z␈↓ π↔␈εε2␈↓ λ⎇␈εε2
␈β⊂\␈↓ ∧Z␈ε~0␈↓ ∧␈␈ε~0
␈β⊂`␈↓ π
␈ε~0␈↓ λp␈ε~0
␈β⊂b␈↓ ∧?␈ε	U␈↓ ∧g␈ε	V␈↓ εo␈ε	U␈↓ λX␈ε	V␈↓ 	∞␈εβ.
␈β⊂q␈↓ ∧Z␈εk␈↓ ∧␈␈εk␈↓ π
␈εk␈↓ λp␈εk
␈β⊃␈↓ ε∩␈εε0␈ε~∀␈↓ ε8␈εk␈↓ εE␈εε<␈↓ ε←␈εn␈↓ π|␈εε0␈ε~∀␈↓ λ"␈εk␈↓ λ/␈εε<␈↓ λH␈εn
␈β⊃∪␈↓ β]␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧β␈εk␈↓ ∧⊂␈εε<␈↓ ∧)␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.3␈ε∞␈↓ λTH␈α␈EORETICA␈α␈L␈α	TEST␈α␈S␈↓ λ␈εα73
␈βα*␈↓ α␈εβ(b)␈α
Let␈↓ α{␈ε	C␈↓ β ␈εβ=␈↓ βJ␈ε	N␈↓ βi␈εβ/␈↓ βz␈ε	D␈↓ ∧∪␈εβ,␈α
where␈↓ ¬ε␈ε	N␈↓ ¬/␈εβan␈α␈d␈↓ ¬o␈ε	D␈↓ ε∩␈εβden␈α␈ote␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈um␈α␈erato␈α␈r␈αa␈α␈nd␈α
d␈α␈en␈α␈omina␈α␈tor␈α
of␈α
the
␈βαN␈↓ ¬M␈εε2␈↓ ε&␈εε2
␈βαR␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xp␈α␈ression␈α
in␈α
p␈α␈art␈α
(a).␈αS␈α␈ho␈α␈w␈α
th␈α␈at␈↓ ¬.␈ε	N␈↓ ¬c␈ε↔∀␈↓ ε
␈ε	D␈↓ ε3␈εβ,␈αh␈α␈en␈α␈ce␈ε↔␈α
␈␈εβ␈α↓1␈ε↔␈αλ∀␈↓ λλ␈ε	C␈↓ λ,␈ε↔∀␈εβ␈α
1␈α␈;␈αan␈α␈d␈α
ob␈α␈tain␈α
a␈α
fo␈α␈rm␈α␈ula
␈βαu␈↓ βd␈εε2␈↓ ∧?␈εε2
␈βαy␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αthe␈αd␈α␈i␈α↓{ere␈α␈nce␈↓ βK␈ε	D␈↓ βx␈ε↔␈␈↓ ∧ ␈ε	N␈↓ ∧L␈εβ.␈α→[␈ε⊂␈α↓Hin␈α}t:␈εβ␈αS␈α␈ee␈αex␈α}ercise␈α1.2␈α␈.␈α↓3␈α␈↑30␈α␈.␈α↓]
␈ββ#␈↓ α␈εβ(c)␈αIf␈↓ α`␈ε	C␈↓ β¬␈εβ=␈ε↔␈αε␈εβ1,␈αsho␈α}w␈α
th␈α␈at␈↓ ¬⊗␈ε	␈↓ ¬(␈ε	X␈↓ ¬T␈εβ+␈↓ ¬}␈ε	␈␈↓ ε∩␈ε	Y␈↓ ε>␈εβ=␈↓ εj␈ε	≤␈↓ ε{␈εβ,␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ πX␈ε	k␈↓ πt␈εβ<␈↓ λ ␈ε	n␈↓ λ4␈εβ,␈α
fo␈α␈r␈αsome␈αco␈α␈nsta␈α␈n␈α␈ts␈↓ 
g␈ε	␈↓ 
y␈εβ,␈↓ ∂␈ε	␈␈↓ #␈εβ,
␈ββ.␈↓ ¬?␈εk␈↓ ε&␈εk
␈ββK␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	≤␈↓ α→␈εβ,␈αnot␈αa␈α␈ll␈αze␈α␈ro.
␈β∧ε␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(a)␈α	S␈α␈ho␈α␈w␈α	th␈α␈at␈α	if␈↓ ∧a␈ε	n␈↓ ∧}␈εβ=␈α	2,␈α
th␈α␈e␈α	serial␈α	corre␈α␈l␈α↓a␈α␈tion␈α	co␈α␈e}cien␈α}t␈α	(23)␈α	is␈α	alway␈α␈s␈α
e␈α␈qua␈α␈l
␈β∧.␈↓ ↓H␈εβto␈ε↔␈αλ␈␈εβ1␈α	(u␈α␈nless␈α	th␈α␈e␈α	d␈α␈eno␈α␈mina␈α␈tor␈α	is␈α	ze␈α␈ro).␈α∀(b␈α␈)␈α	Similarly␈α␈,␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α	th␈α␈at␈α	wh␈α␈en␈↓ 	?␈ε	n␈↓ 	\␈εβ=␈α	3,␈α
t␈α␈he␈α	se␈α␈ri␈α↓a␈α␈l
␈β∧R␈↓ ¬x␈εε1
␈β∧U␈↓ ↓H␈εβc␈α␈orrelation␈α	c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈α
a␈α␈lways␈α	equ␈α␈als␈ε↔␈α	␈␈↓ ε	␈εβ.␈α∃(c)␈α
S␈α␈ho␈α}w␈α
tha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α	den␈α␈omin␈α␈ator␈α	in␈α	(␈α↓2␈α␈3)␈α	i␈α↓s␈α	zero
␈β∧c␈↓ ¬x␈∧∧c¬xα
␈β∧e␈↓ ¬x␈εε2
␈β∧⎇␈↓ ↓H␈εβif␈αan␈α␈d␈αo␈α␈nly␈αif␈↓ β⊃␈ε	U␈↓ β<␈εβ=␈↓ βg␈ε	U␈↓ ∧∩␈εβ=␈↓ ∧=␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧m␈εβ=␈↓ ¬↔␈ε	U␈↓ ¬c␈εβ.
␈β¬π␈↓ β'␈εε0␈↓ β|␈εε1␈↓ ¬-␈εn␈↓ ¬=␈ε~␈␈εε1
␈β¬8␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[␈ε	M40␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈αεare␈α¬the␈α¬mea␈α␈n␈α¬and␈α¬sta␈α␈nd␈α␈ard␈α¬de␈α␈viation␈α¬of␈α¬the␈α¬serial␈αεco␈α␈rrelation␈α¬coe␈α␈}cien␈α}t
␈β¬←␈↓ ↓H␈εβ(2␈α␈3)␈αwhe␈α␈n␈↓ αa␈ε	n␈↓ α}␈εβ=␈α
4␈α
and␈α
th␈α␈e␈↓ ∧>␈ε	U␈↓ ∧Y␈εβ'␈α↓s␈αa␈α␈re␈αind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈αa␈α␈nd␈α
un␈α␈if␈α↓o␈α␈rmly␈αd␈α␈istribu␈α␈ted␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
zero
␈βεπ␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
one␈α␈?
␈βεB␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ[␈ε	M47␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Find␈α	th␈α␈e␈α
d␈α␈istri␈α↓b␈α␈ut␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α	of␈α
th␈α␈e␈α
se␈α␈ri␈α↓a␈α␈l␈α
cor␈α␈relation␈α	coe␈α␈}cien␈α␈t␈α	(23␈α␈)␈α↓,␈α
fo␈α␈r␈α
ge␈α␈nera␈α␈l␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈βεj␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ssum␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈↓ βV␈ε	U␈↓ ∧↓␈εβare␈α
in␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}t␈α
ran␈α␈do␈α␈m␈α
va␈α␈riables␈α	un␈α␈i␈α↓fo␈α␈rmly␈α
d␈α␈i␈α↓str␈α␈i␈α↓b␈α␈ute␈α␈d␈α
b␈α␈et␈α␈w␈α␈een
␈βεt␈↓ βk␈εj
␈βπ⊃␈↓ ↓H␈εβz␈α␈ero␈αan␈α␈d␈αo␈α␈ne.
␈βπM␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ[␈ε	19␈↓ α;␈εβ]␈α⊗What␈α∂va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α⊂o␈α␈f␈↓ ∧D␈ε	f␈↓ ∧d␈εβis␈α⊂c␈α␈omp␈α␈uted␈α∂b␈α␈y␈α∂A␈α↓lg␈α␈orithm␈α∂P␈α⊂i␈α↓f␈α∂i␈α↓t␈α∂i␈α↓s␈α∂pre␈α␈sen␈α␈ted␈α∂with␈α∂the
␈βπt␈↓ ↓H␈εβp␈α␈erm␈α␈u␈α␈tation␈α
(1,␈αε2␈α␈,␈αε9,␈αε8␈α␈,␈αε5,␈αε3␈α␈,␈αε6,␈αε7␈α␈,␈αε0,␈α¬4)?
␈βλ/␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβ[␈ε	18␈↓ α;␈εβ]␈α⊗For␈αwh␈α␈at␈α
perm␈α}utat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αin␈α␈te␈α␈gers␈ε↔␈α
f␈εβ0,␈α¬1,␈αε2,␈α¬3,␈αε4␈α␈,␈αε5,␈αε6␈α␈,␈αε7,␈αε8␈α␈,␈αε9␈ε↔g␈εβ␈α
wil␈α↓l␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm
␈βλW␈↓ ↓H␈εβP␈αpro␈α␈du␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈↓ βw␈ε	f␈↓ ∧⊂␈εβ=␈α
1␈α␈024␈α␈?
␈β	l␈↓ ↓4␈ε≥*␈↓ ↓H␈ε≥3␈α␈.3.3.␈α
Theor␈α␈etical␈α
Tests
␈β
6␈↓ ↓H␈εαAlthough␈α⊃it␈α∩is␈α⊃always␈α∩possible␈α⊃to␈α∩test␈α⊃a␈α∩random-n␈α␈um␈α␈ber␈α⊃generator␈α∩using␈α⊃the
␈β
a␈↓ ↓H␈εαmethods␈α∂in␈α⊂the␈α⊂previous␈α∂section,␈α⊃it␈α⊂is␈α⊂far␈α∂better␈α⊂to␈α⊂hav␈α␈e␈α∂\␈ε∂a␈α⊂priori␈εα␈α⊂tests,"␈α⊂i.e.,
␈β␈↓ ↓H␈εαtheoretical␈α∂results␈α⊂that␈α∂tell␈α∂us␈α⊂in␈α∂advance␈α⊂ho␈α␈w␈α∂w␈α␈ell␈α⊂those␈α∂tests␈α⊂will␈α∂come␈α∂out.
␈β7␈↓ ↓H␈εαSuch␈αtheoretical␈αresults␈αgiv␈α␈e␈αus␈αm␈α␈uch␈αmore␈αunderstanding␈αabout␈αthe␈αgeneration
␈βc␈↓ ↓H␈εαmethods␈απthan␈αλempirical,␈αλ\trial-and-error"␈απresults␈αλdo.␈α
In␈αλthis␈απsection␈αλw␈α␈e␈απshall␈απstudy
␈β∞␈↓ ↓H␈εαthe␈αlinear␈αcongruen␈α␈tial␈αsequences␈α
in␈αmore␈αdetail;␈α
if␈αw␈α␈e␈αkno␈α␈w␈α
what␈αthe␈αresults␈αof
␈β9␈↓ ↓H␈εαcertain␈α
tests␈αwill␈α
be␈α
before␈α
w␈α␈e␈α
actually␈α
generate␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈bers,␈α
w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈α
a␈αbetter
␈βd␈↓ ↓H␈εαchance␈αof␈αchoosing␈↓ βz␈ελa␈↓ ∧␈εα,␈↓ ∧"␈ελm␈↓ ∧A␈εα,␈αand␈↓ ¬≥␈ελc␈↓ ¬7␈εαproperly.
␈β
∩␈↓ α␈εαThe␈α⊃dev␈α␈elopmen␈α␈t␈α⊃of␈α⊃this␈α⊂kind␈α⊃of␈α⊃theory␈α⊃is␈α⊃quite␈α⊃di}cult,␈α∩although␈α⊂some
␈β
=␈↓ ↓H␈εαprogress␈αhas␈αbeen␈αmade.␈αThe␈αresults␈αobtained␈αso␈αfar␈αare␈αgenerally␈αfor␈ε∂␈αstatistical
␈β
h␈↓ ↓H␈ε∂tests␈αmade␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αen␈α␈tire␈αperiod.␈εα␈αNot␈αall␈αstatistical␈αtests␈αmak␈α␈e␈αsense␈αwhen␈αthey
␈β∞∪␈↓ ↓H␈εαare␈α∞applied␈α∂o␈α␈v␈α␈er␈α∂a␈α∞full␈α∂period←for␈α∂example,␈α∂the␈α∞equidistribution␈α∂test␈α∂will␈α∞giv␈α␈e
␈β∞>␈↓ ↓H␈εαresults␈α
that␈α
are␈α
too␈αperfect←but␈α
the␈α
serial␈α
test,␈αgap␈α
test,␈αperm␈α␈utation␈α
test,␈α
max-
␈β∞j␈↓ ↓H␈εαim␈α␈um␈α
test,␈α
etc.␈α
can␈α
be␈α
fruitfully␈α
analyzed␈α
in␈α
this␈α
way.␈α∂Such␈α
studies␈α
will␈α
detect
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε∂global␈↓ α-␈εαnonrandomness␈απof␈αλa␈απsequence,␈αλi.e.,␈αλimproper␈απbehavior␈αλin␈απv␈α␈ery␈απlarge␈απsamples.
␈β∂B␈↓ α␈εαThe␈αλtheory␈αλw␈α␈e␈αλshall␈αλdiscuss␈αλis␈αλquite␈αλilluminating,␈α	but␈αλit␈αλdoes␈αλnot␈αλeliminate␈αλthe
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαneed␈α
for␈αtesting␈αlocal␈α
nonrandomness␈αby␈α
the␈αmethods␈αof␈α
Section␈α3.3.2.␈αIndeed,␈α
it
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαappears␈α	to␈α
be␈α	extremely␈α	hard␈α
to␈α	pro␈α␈v␈α␈e␈α
an␈α␈ything␈α	useful␈α
about␈α	short␈α	subsequences.
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαOnly␈αλa␈αλfew␈αλtheoretical␈αλresults␈αλare␈αλkno␈α␈wn␈αλabout␈αλthe␈αλbehavior␈αλof␈αλlinear␈αλcongruen␈α␈tial
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαsequences␈α	o␈α␈v␈α␈er␈αλless␈α	than␈α	a␈α	full␈α	period;␈α
these␈α	will␈α	be␈α	discussed␈α	at␈α	the␈α	end␈α	of␈αλSection
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εα3.3.4.␈α→(See␈αalso␈αex␈α␈ercise␈α18.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα74␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.3
␈βα(␈↓ α␈εαLet␈απus␈αεbegin␈απwith␈απa␈απproof␈αεof␈απa␈απsimple␈ε∂␈αεa␈απpriori␈εα␈απlaw,␈αλfor␈αεthe␈απleast␈απcomplicated␈αεcase
␈βαS␈↓ ↓H␈εαof␈α	the␈α	perm␈α␈utation␈α
test.␈αThe␈α	gist␈α
of␈α	our␈α	|rst␈α
theorem␈α	is␈α	that␈α
w␈α␈e␈α	hav␈α␈e␈↓ 	s␈ελX␈↓ 
T␈εα<␈↓ α␈ελX
␈βαa␈↓ 
␈εn␈↓ 
≡␈ε¬+1␈↓ ≠␈εn
␈βα}␈↓ ↓H␈εαabout␈αhalf␈αthe␈αtime,␈αpro␈α␈vided␈αthat␈αthe␈αsequence␈αhas␈αhigh␈αpotency.
␈ββ9␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈αP.␈ε∂␈α→Let␈↓ β[␈ελa␈↓ βl␈ε∂,␈↓ ∧α␈ελc␈↓ ∧⊂␈ε∂,␈αand␈↓ ∧l␈ελm␈↓ ¬_␈ε∂generate␈αa␈αlinear␈αcongruen␈α␈tial␈αsequence␈αwith␈αmax-
␈ββd␈↓ ↓H␈ε∂im␈α␈um␈αperiod;␈αlet␈↓ βY␈ελb␈↓ βr␈εα=␈↓ ∧ ␈ελa␈↓ ∧:␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈ε∂␈α
and␈αlet␈↓ ¬␈␈ελd␈↓ ε∨␈ε∂be␈α
the␈αgreatest␈αcommon␈αdivisor␈αof␈↓ 
G␈ελm␈↓ 
r␈ε∂and
␈β∧␈↓ π5␈ε¬1
␈β∧⊂␈↓ ↓H␈ελb␈↓ ↓V␈ε∂.␈αThe␈αprobability␈αthat␈↓ ∧>␈ελX␈↓ ¬≡␈εα<␈↓ ¬L␈ελX␈↓ εβ␈ε∂is␈αequal␈αto␈↓ πO␈εα+␈↓ π{␈ελr␈↓ λ␈ε∂,␈αwhere
␈β∧≥␈↓ ∧W␈εn␈↓ ∧i␈ε¬+1␈↓ ¬e␈εn
␈β∧ ␈↓ π5␈∧∧ π5α∂
␈β∧"␈↓ π5␈ε¬2
␈β∧9␈↓ ¬7␈ε↓␈␈↓ π)␈ε↓↓
␈β∧X␈↓ ∧o␈ελr␈↓ ¬	␈εα=␈↓ ¬E␈εα2(␈↓ ¬c␈ελc␈↓ ¬w␈εαmod␈↓ εA␈ελd␈↓ εU␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π∃␈ελd␈↓ π7␈εα/2␈↓ π[␈ελm␈↓ π{␈εα;␈↓ α␈εα(1)
␈β¬!␈↓ ↓H␈ε∂hence␈ε⊗␈αj␈↓ α6␈ελr␈↓ αE␈ε⊗j␈εα␈α
<␈↓ βπ␈ελd␈↓ β≤␈εα/2␈↓ β@␈ελm␈↓ β←␈ε∂.
␈β¬\␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α≠The␈α
proof␈α
of␈α
this␈α
theorem␈α
in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α
some␈α
techniques␈α
that␈α
are␈α
of␈α
in␈α␈terest
␈βεπ␈↓ ↓H␈εαin␈αthemselv␈α␈es.␈αFirst␈αw␈α␈e␈αde|ne
␈βεP␈↓ ¬¬␈ελs␈↓ ¬∀␈εα(␈↓ ¬ ␈ελx␈↓ ¬3␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ εβ␈ελa␈↓ ε∃␈ελx␈↓ ε/␈εα+␈↓ ε[␈ελc␈↓ εi␈εα)␈↓ ε{␈εαmod␈↓ πE␈ελm␈↓ πe␈εα.␈↓ α␈εα(2)
␈βπ_␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us,␈↓ α*␈ελX␈↓ β
␈εα=␈↓ β8␈ελs␈↓ βG␈εα(␈↓ βS␈ελX␈↓ β}␈εα),␈α	and␈αλthe␈αλtheorem␈αλreduces␈αλto␈α	coun␈α␈ting␈αλthe␈αλn␈α␈um␈α␈ber␈αλof␈αλin␈α␈tegers
␈βπ&␈↓ αC␈εn␈↓ αU␈ε¬+␈α␈1␈↓ βl␈εn
␈βπC␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓g␈εαsuch␈αthat␈α
0␈ε⊗␈α
∀␈↓ βS␈ελx␈↓ βp␈εα<␈↓ ∧∨␈ελm␈↓ ∧K␈εαand␈↓ ¬⊃␈ελs␈↓ ¬ ␈εα(␈↓ ¬,␈ελx␈↓ ¬?␈εα)␈α<␈↓ ε∧␈ελx␈↓ ε$␈εα(since␈αeach␈αsuch␈α
in␈α␈tger␈αoccurs␈αsomewhere
␈βπo␈↓ ↓H␈εαin␈αthe␈αperiod).␈αWe␈αwan␈α␈t␈αto␈αsho␈α␈w␈αthat␈αthis␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αis
␈βλ_␈↓ ¬⊗␈ε↓␈␈↓ π\␈ε↓↓
␈βλ4␈↓ ¬∧␈ε¬1
␈βλ7␈↓ ¬$␈ελm␈↓ ¬L␈εα+␈αλ2(␈↓ ε⊗␈ελc␈↓ ε*␈εαmod␈↓ εt␈ελd␈↓ πλ␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ πH␈ελd␈↓ πj␈εα.␈↓ α␈εα(3)
␈βλH␈↓ ¬∧␈∧λH¬∧α∂
␈βλJ␈↓ ¬∧␈ε¬2
␈βλ`␈↓ β[␈ε↓ε␈↓ βi␈ε↓␈␈↓ ∧w␈ε↓↓␈↓ ¬7␈ε↓π
␈β	␈↓ α␈εαThe␈απfunction␈↓ βw␈ελx␈↓ ∧⊃␈ε⊗␈␈↓ ∧=␈ελs␈↓ ∧L␈εα(␈↓ ∧X␈ελx␈↓ ∧k␈εα)␈↓ ¬¬␈εα/␈↓ ¬↔␈ελm␈↓ ¬L␈εαis␈απequal␈αλto␈απ1␈απwhen␈↓ π←␈ελx␈↓ π{␈εα>␈↓ λ)␈ελs␈↓ λ8␈εα(␈↓ λD␈ελx␈↓ λW␈εα),␈αλand␈αλit␈απis␈απ0␈απotherwise;
␈β	+␈↓ ↓H␈εαhence␈αthe␈αcoun␈α␈t␈αw␈α␈e␈αwish␈αto␈αobtain␈αcan␈αbe␈αwritten␈αsimply␈αas
␈β	m␈↓ βG␈ε↓&␈↓ ∧a␈ε↓'
␈β	o␈↓ αn␈ε↓X␈↓ β\␈ελx␈↓ βw␈ε⊗␈␈↓ ∧#␈ελs␈↓ ∧2␈εα(␈↓ ∧>␈ελx␈↓ ∧Q␈εα)␈↓ ¬I␈ε↓X
␈β	x␈↓ ε!␈ε↓_␈↓ π
␈ε↓∩␈↓ λF␈ε↓⊗␈↓ 	E␈ε↓↔␈↓ 	U␈ε↓∪␈↓ 	k␈ε↓→
␈β	{␈↓ ε<␈ελx␈↓ π'␈ελa␈↓ π9␈ελx␈↓ πT␈εα+␈↓ λ␈ελc␈↓ λZ␈ελa␈↓ λl␈ελx␈↓ 	ε␈εα+␈↓ 	2␈ελc
␈β
∩␈↓ ∧|␈εα=␈↓ εa␈ε⊗␈␈↓ λ~␈ε⊗␈
␈β
#␈↓ β\␈∧
#β\α↓↓␈↓ ε5␈∧
#ε5α ␈↓ π'␈∧
#π'αg␈↓ λZ␈∧
#λZαg
␈β
+␈↓ ∧
␈ελm␈↓ ε5␈ελm␈↓ πK␈ελm␈↓ λ⎇␈ελm
␈β
D␈↓ αO␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ α{␈εx␈↓ β
␈ε¬<␈↓ β'␈εm␈↓ ¬*␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ¬U␈εx␈↓ ¬e␈ε¬<␈↓ ε↓␈εm
␈β
k␈↓ ¬I␈ε↓X
␈β
t␈↓ ε!␈ε↓∩␈↓ ε7␈ε↓⊗␈↓ π6␈ε↓↔␈↓ πz␈ε↓⊗␈↓ λu␈ε↓↔␈↓ 	¬␈ε↓∪
␈β
w␈↓ εK␈ελa␈↓ ε]␈ελx␈↓ εx␈εα+␈↓ π$␈ελc␈↓ λ∞␈ελb␈↓ λ≤␈ελx␈↓ λ7␈εα+␈↓ λc␈ελc
␈β∞␈↓ ∧|␈εα=␈↓ πN␈ε⊗␈␈↓ 	≠␈εα.␈↓ α␈εα(4)
␈β≡␈↓ εK␈∧≡εKαg␈↓ λ∞␈∧≡λ∞αd
␈β&␈↓ εo␈ελm␈↓ λ0␈ελm
␈β?␈↓ ¬*␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ¬U␈εx␈↓ ¬e␈ε¬<␈↓ ε↓␈εm
␈β∞␈↓ ↓H␈εα(Recall␈αthat␈ε⊗␈αd␈␈↓ β@␈ελy␈↓ βT␈ε⊗e␈εα␈α
=␈ε⊗␈α
␈b␈↓ ∧L␈ελy␈↓ ∧`␈ε⊗c␈εα␈αand␈↓ ¬@␈ελb␈↓ ¬X␈εα=␈↓ εε␈ελa␈↓ ε ␈ε⊗␈␈εα␈αλ1.)␈αSuch␈αsums␈αcan␈αbe␈αevaluated␈αby␈αthe
␈β9␈↓ ↓H␈εαmethod␈αof␈αex␈α␈ercise␈α1.2.4↑37,␈αwhere␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αthat
␈βs␈↓ ↓`␈ε↓X
␈β|␈↓ α1␈ε↓⊗␈↓ β.␈ε↓↔␈↓ βz␈εα(␈↓ ∧ε␈ελh␈↓ ∧ ␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)(␈↓ ∧v␈ελk␈↓ ¬∂␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)
␈β
␈↓ αE␈ελh␈↓ αW␈ελj␈↓ αp␈εα+␈↓ β≤␈ελc␈↓ ε∃␈ελg␈↓ ε/␈ε⊗␈␈εα␈αλ1
␈β
↔␈↓ βH␈εα=␈↓ ¬e␈εα+␈↓ εy␈εα+␈↓ π%␈ελg␈↓ π6␈ε⊗b␈↓ πD␈ελc␈↓ πR␈εα/␈↓ πd␈ελg␈↓ πu␈ε⊗c␈εα,␈↓ λ[␈ελg␈↓ λv␈εα=␈↓ 	$␈εαgcd␈↓ 	Z␈εα(␈↓ 	f␈ελh␈↓ 	x␈εα,␈↓ 
λ␈ελk␈↓ 
~␈εα),␈↓ α␈εα(5)
␈β
'␈↓ αE␈∧
'αEαe␈↓ βz␈∧
'βzα↓`␈↓ ε∃␈∧
'ε∃αX
␈β
/␈↓ αo␈ελk␈↓ ∧a␈εα2␈↓ ε8␈εα2
␈β
H␈↓ ↓H␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ↓s␈εj␈↓ α␈ε¬<␈↓ α≥␈εk
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εαwhenev␈α␈er␈↓ αg␈ελh␈↓ βε␈εαand␈↓ βL␈ελk␈↓ βj␈εαare␈α
in␈α␈tegers␈αand␈↓ ¬s␈ελk␈↓ ε⊂␈εα>␈α0.␈α
Since␈↓ πG␈ελa␈↓ πe␈εαis␈α
relativ␈α␈ely␈αprime␈α
to␈↓ 
<␈ελm␈↓ 
\␈εα,␈αthis
␈β∞@␈↓ ↓H␈εαform␈α␈ula␈αyields
␈β∞z␈↓ αp␈ε↓X
␈β∂β␈↓ βI␈ε↓⊗␈↓ ∧H␈ε↓↔␈↓ ¬∀␈εα(␈↓ ¬ ␈ελa␈↓ ¬:␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)(␈↓ ε⊂␈ελm␈↓ ε8␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)
␈β∂π␈↓ β]␈ελa␈↓ βo␈ελx␈↓ ∧
␈εα+␈↓ ∧6␈ελc
␈β∂≥␈↓ ∧b␈εα=␈↓ π∞␈εα+␈↓ π:␈ελc␈↓ πH␈εα,
␈β∂.␈↓ β]␈∧∂.β]αg␈↓ ¬∀␈∧∂.¬∀α↓n
␈β∂6␈↓ ∧↓␈ελm␈↓ εα␈εα2
␈β∂O␈↓ αR␈ε¬0␈ε→∀␈↓ α⎇␈εx␈↓ β␈ε¬<␈↓ β)␈εm
␈β∂w␈↓ αt␈ε↓X
␈β⊂␈↓ βM␈ε↓⊗␈↓ ∧H␈ε↓↔␈↓ ¬∀␈εα(␈↓ ¬ ␈ελb␈↓ ¬6␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)(␈↓ ε␈ελm␈↓ ε4␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)
␈β⊂β␈↓ βa␈ελb␈↓ βo␈ελx␈↓ ∧
␈εα+␈↓ ∧6␈ελc␈↓ π:␈ελd␈↓ πV␈ε⊗␈␈εα␈αλ1
␈β⊂~␈↓ ∧b␈εα=␈↓ π
␈εα+␈↓ λ ␈εα+␈↓ λL␈ελc␈↓ λb␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ 	~␈ελc␈↓ 	.␈εαmod␈↓ 	x␈ελd␈↓ 

␈εα),
␈β⊂+␈↓ βa␈∧⊂+βaαd␈↓ ¬∀␈∧⊂+¬∀α↓k␈↓ π:␈∧⊂+π:α[
␈β⊂3␈↓ ∧β␈ελm␈↓ ε␈εα2␈↓ π↑␈εα2
␈β⊂L␈↓ αU␈ε¬0␈ε→∀␈↓ β␈εx␈↓ β⊂␈ε¬<␈↓ β-␈εm
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαand␈α(3)␈αfollo␈α␈ws␈αimmediately.
␈β⊃∨␈↓ ¬.␈∧⊃∨¬.≠∂
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.3␈ε∞␈↓ λTH␈α␈EORETICA␈α␈L␈α	TEST␈α␈S␈↓ λ␈εα75
␈β∧∨␈↓ ∧1␈ε∪F␈α↓ig␈α␈.␈α7␈α␈.␈εβ␈α~The␈α
sawtoo␈α␈th␈αfun␈α␈ction␈α
((␈↓ λ∃␈ε	z␈↓ λ#␈εβ)).
␈β¬∂␈↓ α␈εαThe␈α
proof␈α
of␈α
Theorem␈α
P␈α
indicates␈α
that␈ε∂␈α
a␈α
priori␈εα␈α
tests␈α
can␈α
indeed␈αbe␈α
carried
␈β¬;␈↓ ↓H␈εαout,␈αpro␈α␈vided␈αthat␈αw␈α␈e␈αare␈αable␈αto␈αdeal␈αsatisfactorily␈αwith␈αsums␈αin␈α␈v␈α␈olving␈αthe␈ε⊗␈αb␈α
c
␈β¬f␈↓ ↓H␈εαand␈ε⊗␈α
d␈α
e␈εα␈α∞functions.␈α⊃In␈α
man␈α␈y␈α∞cases␈α∞the␈α
most␈α∞po␈α␈w␈α␈erful␈α∞technique␈α
for␈α∞dealing␈α
with
␈βε⊃␈↓ ↓H␈εα⎇oor␈α	and␈α	ceiling␈α
functions␈α	is␈α
to␈α	replace␈α	them␈α
by␈α	t␈α␈w␈α␈o␈α
somewhat␈α	more␈α	symmetrical
␈βε<␈↓ ↓H␈εαones:
␈βεw␈↓ εα␈ε↓~
␈βε{␈↓ ε_␈εα1,␈↓ ε|␈εαif␈↓ π≡␈ελz␈↓ π9␈εαis␈αan␈αin␈α␈teger;
␈βπ⊃␈↓ β	␈ελ∞␈↓ β≠␈εα(␈↓ β'␈ελz␈↓ β6␈εα)␈↓ βL␈εα=␈ε⊗␈α
b␈↓ ∧λ␈ελz␈↓ ∧↔␈ε⊗c␈εα␈αλ+␈αλ1␈ε⊗␈αλ␈␈αλd␈↓ ¬-␈ελz␈↓ ¬<␈ε⊗e␈εα␈α
=␈↓ α␈εα(6)
␈βπ'␈↓ ε_␈εα0,␈↓ ε|␈εαif␈↓ π≡␈ελz␈↓ π9␈εαis␈αnot␈αan␈αin␈α␈teger;
␈βπ←␈↓ ¬ ␈ε¬1␈↓ ¬j␈ε¬1␈↓ λ∪␈ε¬1␈↓ λ]␈ε¬1
␈βπb␈↓ ββ␈εα((␈↓ β≠␈ελz␈↓ β*␈εα))␈↓ βL␈εα=␈↓ βz␈ελz␈↓ ∧⊃␈ε⊗␈␈αλb␈↓ ∧K␈ελz␈↓ ∧Z␈ε⊗c␈αλ␈␈↓ ¬:␈εα+␈↓ ¬|␈ελ∞␈↓ ε∞␈εα(␈↓ ε~␈ελz␈↓ ε)␈εα)␈α
=␈↓ εm␈ελz␈↓ π∧␈ε⊗␈␈αλd␈↓ π>␈ελz␈↓ πM␈ε⊗e␈εα␈αλ+␈↓ λ-␈ε⊗␈␈↓ λo␈ελ∞␈↓ 	↓␈εα(␈↓ 	
␈ελz␈↓ 	≤␈εα).␈↓ α␈εα(7)
␈βπr␈↓ ¬ ␈∧πr¬ α∂␈↓ ¬j␈∧πr¬jα∂␈↓ λ∪␈∧πrλ∪α∂␈↓ λ]␈∧πrλ]α∂
␈βπu␈↓ ¬ ␈ε¬2␈↓ ¬j␈ε¬2␈↓ λ∪␈ε¬2␈↓ λ]␈ε¬2
␈βλ*␈↓ ↓H␈εαThe␈α∂latter␈α⊂function␈α⊂is␈α⊂a␈α∂\sawtooth"␈α⊂function␈α⊂familiar␈α⊂in␈α∂the␈α⊂study␈α⊂of␈α∂Fourier
␈βλV␈↓ ↓H␈εαseries;␈α∞its␈α∞graph␈α
is␈α∞sho␈α␈wn␈α
in␈α∞Fig.␈α∞7.␈α⊂The␈α∞reason␈α
for␈α∞choosing␈α∞to␈α
w␈α␈ork␈α∞with␈α
((␈↓ ¬␈ελz␈↓ ∀␈εα))
␈β	↓␈↓ ↓H␈εαrather␈αthan␈ε⊗␈αb␈↓ β⊗␈ελz␈↓ β%␈ε⊗c␈εα␈αor␈ε⊗␈αd␈↓ βy␈ελz␈↓ ∧λ␈ε⊗e␈εα␈αis␈αthat␈α((␈↓ ¬,␈ελz␈↓ ¬;␈εα))␈αpossesses␈αsev␈α␈eral␈αv␈α␈ery␈αuseful␈αproperties:
␈β	F␈↓ ↓y␈εα((␈ε⊗␈␈↓ α5␈ελz␈↓ αD␈εα))␈↓ αf␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈εα((␈↓ βP␈ελz␈↓ β←␈εα));␈↓ α␈εα(8)
␈β	␈␈↓ ↓S␈εα((␈↓ ↓k␈ελz␈↓ αα␈εα+␈↓ α.␈ελn␈↓ αD␈εα))␈↓ αf␈εα=␈α
((␈↓ β,␈ελz␈↓ β;␈εα)),␈↓ ∧π␈εαin␈α␈teger␈↓ ∧}␈ελn␈↓ ¬∀␈εα;␈↓ α␈εα(9)
␈β
4␈↓ ∧π␈ε↓∩␈↓ ∧≥␈ε↓∩␈↓ ¬∀␈ε↓∪␈↓ ¬*␈ε↓∪␈↓ εR␈ε↓∩␈↓ εh␈ε↓∩␈↓ λ$␈ε↓∪␈↓ λ:␈ε↓∪
␈β
8␈↓ ∧|␈εα1␈↓ πE␈ελn␈↓ πb␈ε⊗␈␈εα␈αλ1
␈β
N␈↓ απ␈εα((␈↓ α∨␈ελn␈↓ α5␈ελz␈↓ αD␈εα))␈↓ αf␈εα=␈α
((␈↓ β,␈ελz␈↓ β;␈εα))␈αλ+␈↓ ∧3␈ελz␈↓ ∧J␈εα+␈↓ ¬H␈εα+␈↓ ¬t␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε&␈εα+␈↓ ε}␈ελz␈↓ π∃␈εα+␈↓ λP␈εα,␈↓ 	∧␈εαin␈α␈teger␈↓ 	{␈ελn␈↓ 
≠␈ε⊗∃␈εα␈α
1.␈↓ 
p␈εα(10)
␈β
←␈↓ ∧z␈∧
←∧zα⊗␈↓ πE␈∧
←πEα\
␈β
g␈↓ ∧z␈ελn␈↓ πh␈ελn
␈β,␈↓ ↓H␈εα(See␈αex␈α␈ercise␈α2.)
␈βW␈↓ α␈εαIn␈α⊃order␈α⊂to␈α⊃get␈α⊂some␈α⊃practice␈α⊂w␈α␈orking␈α⊃with␈α⊂these␈α⊃functions,␈α⊃let␈α⊃us␈α⊂pro␈α␈v␈α␈e
␈ββ␈↓ ↓H␈εαTheorem␈αP␈αagain,␈αthis␈αtime␈αwithout␈αrelying␈α
on␈αex␈α␈ercise␈α1.2.4↑37.␈αWith␈αthe␈αhelp
␈β.␈↓ ↓H␈εαof␈αEqs.␈α(7),␈α(8),␈α(9),␈αw␈α␈e␈αcan␈αsho␈α␈w␈αthat
␈βr␈↓ α(␈ε↓&␈↓ βB␈ε↓'␈↓ ¬G␈ε↓ ␈↓ ¬↑␈ε↓ ␈↓ ε}␈ε↓!␈↓ π∃␈ε↓!␈↓ λY␈ε↓ ␈↓ 	y␈ε↓!
␈βs␈↓ α=␈ελx␈↓ αX␈ε⊗␈␈↓ β∧␈ελs␈↓ β∪␈εα(␈↓ β∨␈ελx␈↓ β2␈εα)␈↓ ∧∂␈ελx␈↓ ∧*␈ε⊗␈␈↓ ∧V␈ελs␈↓ ∧e␈εα(␈↓ ∧q␈ελx␈↓ ¬β␈εα)␈↓ ¬y␈ελx␈↓ ε∀␈ε⊗␈␈↓ ε@␈ελs␈↓ εO␈εα(␈↓ ε[␈ελx␈↓ εn␈εα)␈↓ λt␈ελx␈↓ 	∂␈ε⊗␈␈↓ 	;␈ελs␈↓ 	J␈εα(␈↓ 	V␈ελx␈↓ 	i␈εα)
␈β
␈↓ πd␈εα1␈↓ λ2␈εα1
␈β
↔␈↓ β]␈εα=␈↓ ¬≠␈ε⊗␈␈↓ π4␈εα+␈↓ λα␈ε⊗␈␈↓ λH␈ελ∞
␈β
'␈↓ α=␈∧
'α=α↓↓␈↓ ∧∂␈∧
'∧∂α↓↓␈↓ ¬y␈∧
'¬yα↓↓␈↓ πd␈∧
'πdα∩␈↓ λ2␈∧
'λ2α∩␈↓ λt␈∧
'λtα↓↓
␈β
/␈↓ αn␈ελm␈↓ ∧?␈ελm␈↓ ε*␈ελm␈↓ πd␈εα2␈↓ λ2␈εα2␈↓ 	%␈ελm
␈β
p␈↓ ¬G␈ε↓ ␈↓ ¬↑␈ε↓ ␈↓ πC␈ε↓!␈↓ πZ␈ε↓!
␈β
q␈↓ ∧∂␈ελx␈↓ ∧*␈ε⊗␈␈↓ ∧V␈ελs␈↓ ∧e␈εα(␈↓ ∧q␈ελx␈↓ ¬β␈εα)␈↓ ¬y␈ελx␈↓ ε∀␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ εL␈ελa␈↓ ε↑␈ελx␈↓ εy␈εα+␈↓ π%␈ελc␈↓ π3␈εα)
␈β
}␈↓ λ)␈εα1
␈β∞∃␈↓ β]␈εα=␈↓ ¬≠␈ε⊗␈␈↓ πy␈εα+
␈β∞%␈↓ ∧∂␈∧∞%∧∂α↓↓␈↓ ¬y␈∧∞%¬yα↓F␈↓ λ)␈∧∞%λ)α∩
␈β∞-␈↓ ∧?␈ελm␈↓ εL␈ελm␈↓ λ)␈εα2
␈β∞o␈↓ ∧∂␈ελx␈↓ ∧*␈ε⊗␈␈↓ ∧V␈ελs␈↓ ∧e␈εα(␈↓ ∧q␈ελx␈↓ ¬β␈εα)
␈β∞x␈↓ ¬G␈ε↓∩␈↓ ¬]␈ε↓∩␈↓ ε←␈ε↓∪␈↓ εu␈ε↓∪
␈β∞{␈↓ ¬w␈ελb␈↓ εε␈ελx␈↓ ε!␈εα+␈↓ εM␈ελc␈↓ πC␈εα1
␈β∂∩␈↓ β]␈εα=␈↓ ¬≠␈εα+␈↓ π∪␈εα+␈↓ 
p␈εα(11)
␈β∂"␈↓ ∧∂␈∧∂"∧∂α↓↓␈↓ ¬w␈∧∂"¬wαd␈↓ πC␈∧∂"πCα∩
␈β∂*␈↓ ∧?␈ελm␈↓ ε→␈ελm␈↓ πC␈εα2
␈β∂T␈↓ α ␈ε↓␈␈↓ β.␈ε↓↓
␈β∂t␈↓ ↓H␈εαsince␈↓ α.␈ελx␈↓ αH␈ε⊗␈␈↓ αt␈ελs␈↓ ββ␈εα(␈↓ β∂␈ελx␈↓ β"␈εα)␈↓ β<␈εα/␈↓ βN␈ελm␈↓ βz␈εαis␈αnev␈α␈er␈αan␈αin␈α␈teger.␈αNo␈α␈w
␈β⊂<␈↓ ¬4␈ε↓X␈↓ ε⊃␈ελx␈↓ ε+␈ε⊗␈␈↓ εW␈ελs␈↓ εf␈εα(␈↓ εr␈ελx␈↓ π¬␈εα)
␈β⊂←␈↓ π∨␈εα=␈α
0
␈β⊂p␈↓ ε⊃␈∧⊂pε⊃α↓↓
␈β⊂x␈↓ εA␈ελm
␈β⊃⊃␈↓ ¬∃␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ¬@␈εx␈↓ ¬P␈ε¬<␈↓ ¬m␈εm
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα76␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.3
␈βα&␈↓ ↓H␈εαsince␈α
both␈↓ αp␈ελx␈↓ β
␈εαand␈↓ βR␈ελs␈↓ βa␈εα(␈↓ βm␈ελx␈↓ β␈␈εα)␈αtak␈α␈e␈α
on␈α
each␈α
value␈αof␈ε⊗␈α
f␈εα0,␈αε1,␈↓ π@␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πp␈εα,␈↓ λ␈ελm␈↓ λ%␈ε⊗␈␈εα␈αε1␈ε⊗g␈εα␈α
exactly␈αonce;␈α
hence
␈βαQ␈↓ ↓H␈εα(11)␈αyields
␈βα{␈↓ ∧4␈ε↓&␈↓ ¬N␈ε↓'
␈βα|␈↓ β[␈ε↓X␈↓ ∧I␈ελx␈↓ ∧d␈ε⊗␈␈↓ ¬⊂␈ελs␈↓ ¬∨␈εα(␈↓ ¬+␈ελx␈↓ ¬>␈εα)␈↓ ε6␈ε↓X
␈ββ¬␈↓ π∂␈ε↓∩␈↓ π%␈ε↓∩␈↓ λ&␈ε↓∪␈↓ λ<␈ε↓∪
␈ββ	␈↓ π?␈ελb␈↓ πM␈ελx␈↓ πh␈εα+␈↓ λ∀␈ελc␈↓ 	
␈ελm
␈ββ ␈↓ ¬i␈εα=␈↓ λZ␈εα+␈↓ 	-␈εα.␈↓ 
p␈εα(12)
␈ββ0␈↓ ∧I␈∧β0∧Iα↓↓␈↓ π?␈∧β0π?αd␈↓ 	
␈∧β0	
α 
␈ββ8␈↓ ∧z␈ελm␈↓ π`␈ελm␈↓ 	⊃␈εα2
␈ββQ␈↓ β=␈ε¬0␈ε→∀␈↓ βh␈εx␈↓ βx␈ε¬<␈↓ ∧∀␈εm␈↓ ε↔␈ε¬0␈ε→∀␈↓ εB␈εx␈↓ εR␈ε¬<␈↓ εo␈εm
␈β∧≤␈↓ ↓H␈εαLet␈↓ α␈ελb␈↓ α(␈εα=␈↓ αY␈ελb␈↓ αu␈ελd␈↓ β	␈εα,␈↓ β"␈ελm␈↓ βO␈εα=␈↓ ∧␈ελm␈↓ ∧-␈ελd␈↓ ∧B␈εα,␈α∞where␈↓ ¬D␈ελb␈↓ ¬n␈εαand␈↓ ε6␈ελm␈↓ εq␈εαare␈α∞relativ␈α␈ely␈α∂prime.␈α∩We␈α∞kno␈α␈w␈α∞that
␈β∧)␈↓ αf␈ε¬0␈↓ ∧∨␈ε¬0␈↓ ¬Q␈ε¬0␈↓ εU␈ε¬0
␈β∧G␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελb␈↓ ↓o␈ελx␈↓ αα␈εα)␈↓ α∀␈εαmod␈↓ α↑␈ελm␈↓ β∀␈εαtak␈α␈es␈α	on␈α	the␈α	values␈ε⊗␈α	f␈εα0,␈αε1,␈↓ ε→␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εI␈εα,␈↓ εY␈ελm␈↓ π
␈ε⊗␈␈εα␈α∧1␈ε⊗g␈εα␈α	in␈α	some␈α	order␈α	as␈↓ 	b␈ελx␈↓ 	⎇␈εαvaries␈α	from
␈β∧U␈↓ ↓a␈ε¬0␈↓ α|␈ε¬0␈↓ εx␈ε¬0
␈β∧r␈↓ ↓H␈εα0␈αto␈↓ α∩␈ελm␈↓ αG␈ε⊗␈␈εα␈αλ1.␈αBy␈α(9)␈αand␈α(10)␈αand␈αthe␈αfact␈αthat
␈β¬␈↓ α0␈ε¬0
␈β¬G␈↓ ∧≤␈ε↓ ␈↓ ∧3␈ε↓ ␈↓ ε/␈ε↓!␈↓ εF␈ε↓!
␈β¬H␈↓ ∧N␈ελb␈↓ ∧]␈εα(␈↓ ∧i␈ελx␈↓ ¬β␈εα+␈↓ ¬/␈ελm␈↓ ¬\␈εα)␈αλ+␈↓ ε≤␈ελc
␈β¬R␈↓ π∃␈ε↓∩␈↓ π+␈ε↓∩␈↓ λ,␈ε↓∪␈↓ λB␈ε↓∪
␈β¬U␈↓ πE␈ελb␈↓ πS␈ελx␈↓ πn␈εα+␈↓ λ~␈ελc
␈β¬V␈↓ ¬N␈ε¬0
␈β¬l␈↓ εg␈εα=
␈β¬|␈↓ ∧N␈∧¬|∧Nα↓]␈↓ πE␈∧¬|πEαd
␈βε∧␈↓ ¬-␈ελm␈↓ πf␈ελm
␈βεc␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βπ&␈↓ αY␈ε↓X␈↓ ¬l␈ε↓X
␈βπ/␈↓ β2␈ε↓∩␈↓ βH␈ε↓∩␈↓ ∧I␈ε↓∪␈↓ ∧←␈ε↓∪␈↓ εJ␈ε↓∩␈↓ ε`␈ε↓∩␈↓ πa␈ε↓∪␈↓ πw␈ε↓∪
␈βπ2␈↓ βb␈ελb␈↓ βp␈ελx␈↓ ∧␈εα+␈↓ ∧7␈ελc␈↓ εz␈ελb␈↓ πλ␈ελx␈↓ π#␈εα+␈↓ πO␈ελc
␈βπI␈↓ ∧␈␈εα=␈↓ ¬-␈ελd
␈βπY␈↓ βb␈∧πYβbαd␈↓ εz␈∧πYεzαd
␈βπa␈↓ ∧∧␈ελm␈↓ π≤␈ελm
␈βπz␈↓ α:␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ αe␈εx␈↓ αu␈ε¬<␈↓ β∩␈εm␈↓ ¬G␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬r␈εx␈↓ εα␈ε→∀␈↓ ε∨␈εm
␈βλβ␈↓ ε8␈επ0
␈βλ0␈↓ ¬l␈ε↓X
␈βλ9␈↓ εJ␈ε↓∩␈↓ ε`␈ε↓∩␈↓ λλ␈ε↓∪␈↓ λ≡␈ε↓∪␈↓ 	␈ε↓∩␈↓ 	⊗␈ε↓∩␈↓ 	H␈ε↓∪␈↓ 	↑␈ε↓∪
␈βλ<␈↓ πα␈ελc␈↓ πU␈ελb␈↓ πq␈ελx␈↓ 	3␈ελc
␈βλJ␈↓ πb␈ε¬0
␈βλS␈↓ ∧␈␈εα=␈↓ ¬-␈ελd␈↓ π%␈εα+␈↓ λ>␈εα=␈↓ λl␈ελd␈↓ 	t␈εα.␈↓ 
p␈εα(13)
␈βλc␈↓ εz␈∧λcεzα ␈↓ πU␈∧λcπUα/␈↓ 	0␈∧λc	0α∃
␈βλk␈↓ εz␈ελm␈↓ π]␈ελm␈↓ 	0␈ελd
␈β	∧␈↓ ¬G␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬r␈εx␈↓ εα␈ε¬<␈↓ ε∨␈εm
␈β	
␈↓ ε8␈επ0
␈β	c␈↓ ↓H␈εαTheorem␈αP␈αfollo␈α␈ws␈αimmediately␈αfrom␈α(12)␈αand␈α(13).
␈β
⊂␈↓ α␈εαOne␈αconsequence␈αof␈αTheorem␈αP␈αis␈αthat␈αpractically␈ε∂␈αan␈α␈y␈εα␈αchoice␈αof␈↓ 	z␈ελa␈↓ 
⊗␈εαand␈↓ 
[␈ελc␈↓ 
t␈εαwill
␈β
;␈↓ ↓H␈εαgiv␈α␈e␈α
a␈α∞reasonable␈α∞probability␈α
that␈↓ ¬q␈ελX␈↓ εT␈εα<␈↓ π∧␈ελX␈↓ π/␈εα,␈α∞at␈α∞least␈α∞o␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α∞en␈α␈tire␈α
period,
␈β
H␈↓ ε
␈εn␈↓ ε≤␈ε¬+1␈↓ π≥␈εn
␈β
f␈↓ ↓H␈εαex␈α␈cept␈α
those␈α
that␈α
hav␈α␈e␈α
large␈↓ ¬↔␈ελd␈↓ ¬+␈εα.␈α⊂A␈α
large␈α
value␈α
of␈↓ πQ␈ελd␈↓ πr␈εαcorresponds␈α
to␈α
lo␈α␈w␈α
potency,
␈β⊃␈↓ ↓H␈εαand␈αw␈α␈e␈αalready␈αkno␈α␈w␈αthat␈αgenerators␈αof␈αlo␈α␈w␈αpotency␈αare␈αundesirable.
␈β=␈↓ α␈εαThe␈α
next␈α
theorem␈α	giv␈α␈es␈α
us␈α
a␈α
more␈α	stringen␈α␈t␈α
condition␈α
for␈α
the␈α	choice␈α
of␈↓ 
W␈ελa␈↓ 
r␈εαand
␈βh␈↓ ↓H␈ελc␈↓ ↓V␈εα;␈αw␈α␈e␈αwill␈αconsider␈αthe␈ε∂␈αserial␈αcorrelation␈αtest␈εα␈αapplied␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αen␈α␈tire␈αperiod.␈αThe
␈β∀␈↓ ↓H␈εαquan␈α␈tity␈↓ αY␈ελC␈↓ βα␈εαde|ned␈αin␈αSection␈α3.3.2,␈αEq.␈α(23),␈αis
␈βh␈↓ α≥␈ε↓ ␈↓ ε∀␈ε↓!␈↓ ε+␈ε↓,␈↓ εY␈ε↓ ␈↓ 
'␈ε↓!
␈βj␈↓ αx␈ε↓X␈↓ ¬∧␈ε↓X␈↓ εε␈ε¬2␈↓ π5␈ε↓X␈↓ 	↔␈ε↓X␈↓ 
→␈ε¬2
␈βs␈↓ ∧O␈ε↓∩␈↓ ¬p␈ε↓∪␈↓ λc␈ε↓∩␈↓ 
β␈ε↓∪
␈β
π␈↓ λ ␈ε¬2
␈β

␈↓ ↓H␈ελC␈↓ ↓o␈εα=␈↓ α4␈ελm␈↓ βQ␈ελx␈↓ βd␈ελs␈↓ βs␈εα(␈↓ β␈␈ελx␈↓ ∧∩␈εα)␈ε⊗␈απ␈␈↓ ¬]␈ελx␈↓ εp␈ελm␈↓ λ
␈ελx␈↓ λ7␈ε⊗␈␈↓ 	p␈ελx␈↓ 
B␈εα.␈↓ 
p␈εα(14)
␈β
>␈↓ αZ␈ε¬0␈ε→∀␈↓ β¬␈εx␈↓ β∀␈ε¬<␈↓ β1␈εm␈↓ ∧e␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬⊂␈εx␈↓ ¬ ␈ε¬<␈↓ ¬=␈εm␈↓ π⊗␈ε¬0␈ε→∀␈↓ πA␈εx␈↓ πQ␈ε¬<␈↓ πn␈εm␈↓ λy␈ε¬0␈ε→∀␈↓ 	$␈εx␈↓ 	4␈ε¬<␈↓ 	P␈εm
␈β∞→␈↓ αa␈ε→0␈↓ ε5␈ε→0
␈β∞≡␈↓ α␈εαLet␈↓ αN␈ελx␈↓ αt␈εαbe␈αthe␈αelemen␈α␈t␈αsuch␈αthat␈↓ επ␈ελs␈↓ ε⊗␈εα(␈↓ ε"␈ελx␈↓ ε<␈εα)␈α
=␈α
0.␈αWe␈αhav␈α␈e
␈β∞s␈↓ ∧⎇␈ε↓∩␈↓ ¬∪␈ε↓∩␈↓ ε_␈ε↓∪␈↓ ε.␈ε↓∪
␈β∞v␈↓ ¬-␈ελa␈↓ ¬?␈ελx␈↓ ¬Z␈εα+␈↓ εε␈ελc␈↓ ε|␈ελm
␈β∂π␈↓ λw␈ε→0
␈β∂
␈↓ βl␈ελs␈↓ β{␈εα(␈↓ ∧π␈ελx␈↓ ∧→␈εα)␈α
=␈↓ ∧]␈ελm␈↓ εL␈εα+␈↓ π ␈εα,␈↓ πx␈εαif␈↓ λ~␈ελx␈↓ λ6␈ε⊗≤␈↓ λd␈ελx␈↓ λ}␈εα.␈↓ 
p␈εα(15)
␈β∂≥␈↓ ¬-␈∧∂≥¬-αg␈↓ ε|␈∧∂≥ε|α 
␈β∂%␈↓ ¬Q␈ελm␈↓ πβ␈εα2
␈β∂z␈↓ ↓H␈εαThe␈α∞form␈α␈ulas␈α∞w␈α␈e␈α∞are␈α∞about␈α∞to␈α∞deriv␈α␈e␈α∂can␈α∞be␈α∞expressed␈α∞most␈α∞easily␈α∞in␈α∞terms␈α∞of
␈β⊂%␈↓ ↓H␈εαthe␈αfunction
␈β⊂<␈↓ ¬m␈ε↓X
␈β⊂E␈↓ ε?␈ε↓∩␈↓ εU␈ε↓∩␈↓ π¬␈ε↓∪␈↓ π≠␈ε↓∪␈↓ π1␈ε↓∩␈↓ πG␈ε↓∩␈↓ λI␈ε↓∪␈↓ λ←␈ε↓∪
␈β⊂I␈↓ εo␈ελj␈↓ πa␈ελh␈↓ πr␈ελj␈↓ λ␈εα+␈↓ λ7␈ελc
␈β⊂←␈↓ βu␈ελ≠␈↓ ∧	␈εα(␈↓ ∧∃␈ελh␈↓ ∧'␈εα,␈↓ ∧7␈ελk␈↓ ∧I␈εα,␈↓ ∧Y␈ελc␈↓ ∧g␈εα)␈α
=␈α
12␈↓ λu␈εα,␈↓ 
p␈εα(16)
␈β⊂p␈↓ εo␈∧⊂pεoα∩␈↓ πa␈∧⊂pπaαe
␈β⊂x␈↓ εo␈ελk␈↓ λ
␈ελk
␈β⊃⊃␈↓ ¬U␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ε␈εj␈↓ ε
␈ε¬<␈↓ ε*␈εk
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.3␈ε∞␈↓ λTH␈α␈EORETICA␈α␈L␈α	TEST␈α␈S␈↓ λ␈εα77
␈βα(␈↓ ↓H␈εαan␈αimportan␈α␈t␈αfunction␈αthat␈αarises␈αin␈αsev␈α␈eral␈αmathematical␈αproblems.␈αIt␈αis␈αcalled
␈βαS␈↓ ↓H␈εαa␈ε∂␈α∂generalized␈α∂Dedekind␈α⊂sum␈εα,␈α⊂since␈α∂Richard␈α∂Dedekind␈α⊂in␈α␈troduced␈α∂the␈α∂function
␈βα}␈↓ ↓H␈ελ≠␈↓ ↓\␈εα(␈↓ ↓h␈ελh␈↓ ↓z␈εα,␈↓ α
␈ελk␈↓ α≠␈εα,␈αε0)␈α
in␈α	1876␈α	when␈α	commen␈α␈ting␈α	on␈α
one␈α	of␈α	Riemann's␈α	incomplete␈α	man␈α␈uscripts.
␈ββ*␈↓ ↓H␈εα[See␈αB.␈αRiemann's␈ε∂␈αGesammelte␈αMath.␈αWerk␈α␈e␈εα,␈α2nd␈αed.␈α(1892),␈α466↑478.]
␈ββU␈↓ α␈εαUsing␈αthe␈αw␈α␈ell-kno␈α␈wn␈αform␈α␈ulas
␈β∧≡␈↓ α5␈ε↓X␈↓ εm␈ε↓X
␈β∧'␈↓ β]␈ελm␈↓ β|␈εα(␈↓ ∧λ␈ελm␈↓ ∧0␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ λ#␈ελm␈↓ λC␈εα(␈↓ λO␈ελm␈↓ λv␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)(2␈↓ 	↑␈ελm␈↓ 
ε␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)
␈β∧;␈↓ πX␈ε¬2
␈β∧A␈↓ β∞␈ελx␈↓ β+␈εα=␈↓ ¬F␈εαand␈↓ πF␈ελx␈↓ πq␈εα=␈↓ 
T␈εα,
␈β∧R␈↓ β]␈∧∧Rβ]α↓≡␈↓ λ#␈∧∧Rλ#αα.
␈β∧Z␈↓ ∧"␈εα2␈↓ 	0␈εα6
␈β∧s␈↓ α⊗␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ αA␈εx␈↓ αQ␈ε¬<␈↓ αn␈εm␈↓ εN␈ε¬0␈ε→∀␈↓ εy␈εx␈↓ π	␈ε¬<␈↓ π&␈εm
␈β¬P␈↓ ↓H␈εαit␈αis␈αa␈αstraigh␈α␈tforward␈αmatter␈αto␈αtransform␈αEq.␈α(14)␈αin␈α␈to
␈βε∨␈↓ λ
␈ε→0
␈βε$␈↓ ∧`␈ελm␈↓ ¬␈ελ≠␈↓ ¬∀␈εα(␈↓ ¬ ␈ελa␈↓ ¬2␈εα,␈↓ ¬B␈ελm␈↓ ¬a␈εα,␈↓ ¬q␈ελc␈↓ ¬␈␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ3␈αλ+␈αλ6(␈↓ π#␈ελm␈↓ πK␈ε⊗␈␈↓ πw␈ελx␈↓ λ→␈ε⊗␈␈↓ λE␈ελc␈↓ λS␈εα)
␈βε;␈↓ ∧π␈ελC␈↓ ∧.␈εα=␈↓ λc␈εα.␈↓ 
p␈εα(17)
␈βεK␈↓ ∧`␈∧εK∧`α∧
␈βεQ␈↓ εE␈ε¬2
␈βεT␈↓ ε&␈ελm␈↓ ε\␈ε⊗␈␈εα␈αλ1
␈βπ≡␈↓ ↓H␈εα(See␈α∞ex␈α␈ercise␈α∞5.)␈α∩Since␈↓ ∧7␈ελm␈↓ ∧e␈εαis␈α∞usually␈α∞v␈α␈ery␈α∞large,␈α∂w␈α␈e␈α∞may␈α∞discard␈α∞terms␈α∞of␈α∞order
␈βπJ␈↓ ↓H␈εα1/␈↓ ↓l␈ελm␈↓ α␈εα,␈αand␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αthe␈αappro␈α␈ximation
␈βλ!␈↓ ¬,␈ελC␈↓ ¬S␈ε⊗→␈↓ ε↓␈ελ≠␈↓ ε∃␈εα(␈↓ ε!␈ελa␈↓ ε3␈εα,␈↓ εC␈ελm␈↓ εc␈εα,␈↓ εs␈ελc␈↓ π↓␈εα)/␈↓ π∨␈ελm␈↓ π>␈εα,␈↓ 
p␈εα(18)
␈βλx␈↓ ↓H␈εαwith␈αan␈αerror␈αof␈αless␈αthan␈α6/␈↓ ¬λ␈ελm␈↓ ¬3␈εαin␈αabsolute␈αvalue.
␈β	$␈↓ α␈εαThe␈α∩serial␈α∪correlation␈α∩test␈α∩no␈α␈w␈α∪reduces␈α∩to␈α∩determining␈α∪the␈α∩value␈α∩of␈α∩the
␈β	O␈↓ ↓H␈εαDedekind␈αsum␈↓ β4␈ελ≠␈↓ βH␈εα(␈↓ βT␈ελa␈↓ βf␈εα,␈↓ βv␈ελm␈↓ ∧⊗␈εα,␈↓ ∧&␈ελc␈↓ ∧4␈εα).␈αEvaluating␈↓ ε
␈ελ≠␈↓ ε!␈εα(␈↓ ε-␈ελa␈↓ ε?␈εα,␈↓ εO␈ελm␈↓ εo␈εα,␈↓ ε␈␈ελc␈↓ π
␈εα)␈αdirectly␈αfrom␈αits␈αde|nition␈α(16)␈αis
␈β	z␈↓ ↓H␈εαhardly␈α
an␈α␈y␈α∞easier␈α∞than␈α
evaluating␈α∞the␈α
correlation␈α∞coe}cien␈α␈t␈α∞itself␈α
directly,␈α∞but
␈β
%␈↓ ↓H␈εαfortunately␈α∂there␈α∂are␈α⊂simple␈α∂methods␈α⊂available␈α∂for␈α⊂computing␈α∂Dedekind␈α∂sums
␈β
Q␈↓ ↓H␈εαquite␈αrapidly.
␈β∪␈↓ ↓H␈ε∩Lemma␈α∂B␈εα␈α∂(␈ε∂\Reciprocity␈α∂law"␈α∂for␈α∂Dedekind␈α∂sums␈↓ π[␈εα)␈ε∩.␈ε∂␈α∨Let␈↓ λU␈ελh␈↓ λg␈ε∂,␈↓ 	↓␈ελk␈↓ 	∩␈ε∂,␈↓ 	,␈ελc␈↓ 	I␈ε∂be␈α∂in␈α␈tegers.␈α∃If
␈β?␈↓ ↓H␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ α∩␈ελc␈↓ α*␈εα<␈↓ αX␈ελk␈↓ αj␈ε∂,␈εα␈α0␈α
<␈↓ βJ␈ελh␈↓ βe␈ε⊗∀␈↓ ∧∪␈ελk␈↓ ∧%␈ε∂,␈αand␈αif␈↓ ¬#␈ελh␈↓ ¬A␈ε∂is␈αrelativ␈α␈ely␈αprime␈αto␈↓ λ⊗␈ελk␈↓ λ(␈ε∂,␈αthen
␈β∂␈↓ πa␈ε¬2
␈β⊃␈↓ λ:␈ε↓⊗␈↓ λd␈ε↓↔
␈β∀␈↓ ¬F␈ελh␈↓ ε∀␈ελk␈↓ εj␈εα1␈↓ πA␈εα6␈↓ πS␈ελc␈↓ λP␈ελc
␈β+␈↓ αZ␈ελ≠␈↓ αn␈εα(␈↓ αz␈ελh␈↓ β␈εα,␈↓ β≤␈ελk␈↓ β.␈εα,␈↓ β>␈ελc␈↓ βL␈εα)␈αλ+␈↓ ∧␈ελ≠␈↓ ∧ ␈εα(␈↓ ∧,␈ελk␈↓ ∧>␈εα,␈↓ ∧N␈ελh␈↓ ∧`␈εα,␈↓ ∧p␈ελc␈↓ ∧}␈εα)␈α
=␈↓ ¬d␈εα+␈↓ ε2␈εα+␈↓ π⊃␈εα+␈↓ π|␈ε⊗␈␈εα␈αλ6␈↓ λ|␈ε⊗␈␈εα␈αλ3␈↓ 	:␈ελe␈↓ 	H␈εα(␈↓ 	T␈ελh␈↓ 	f␈εα,␈↓ 	v␈ελc␈↓ 
∧␈εα),␈↓ 
p␈εα(19)
␈β;␈↓ ¬F␈∧;¬Fα∩␈↓ ε∀␈∧;ε∀α∩␈↓ εb␈∧;εbα$␈↓ πA␈∧;πAα/␈↓ λN␈∧;λNα∩
␈βC␈↓ ¬F␈ελk␈↓ ε∀␈ελh␈↓ εb␈ελh␈↓ εs␈ελk␈↓ πG␈ελh␈↓ πY␈ελk␈↓ λN␈ελh
␈β
⊗␈↓ ↓H␈ε∂where
␈β
4␈↓ ∧z␈ε↓~
␈β
:␈↓ ¬⊂␈εα1,␈↓ ¬t␈ε∂if␈↓ ε⊗␈ελc␈↓ ε.␈εα=␈α
0␈↓ ππ␈ε∂or␈↓ π@␈ελc␈↓ πT␈εαmod␈↓ λ≡␈ελh␈↓ λ:␈ε⊗≤␈εα␈α
0;
␈β
N␈↓ βl␈ελe␈↓ βz␈εα(␈↓ ∧ε␈ελh␈↓ ∧_␈εα,␈↓ ∧(␈ελc␈↓ ∧6␈εα)␈α
=␈↓ 
p␈εα(20)
␈β
e␈↓ ¬⊂␈εα0,␈↓ ¬t␈ε∂if␈↓ ε⊗␈ελc␈↓ ε.␈εα>␈α
0␈↓ εz␈ε∂and␈↓ π@␈ελc␈↓ πT␈εαmod␈↓ λ≡␈ελh␈↓ λ:␈εα=␈α
0.
␈β∞?␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α→We␈αleav␈α␈e␈αit␈αto␈αthe␈αreader␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthat,␈αunder␈αthese␈αh␈α␈ypotheses,
␈β∂⊂␈↓ π?␈ε¬2
␈β∂⊃␈↓ λ↔␈ε↓⊗␈↓ λA␈ε↓↔
␈β∂∃␈↓ π∨␈εα6␈↓ π1␈ελc␈↓ λ-␈ελc
␈β∂+␈↓ ↓H␈ελ≠␈↓ ↓\␈εα(␈↓ ↓h␈ελh␈↓ ↓z␈εα,␈↓ α
␈ελk␈↓ α≠␈εα,␈↓ α+␈ελc␈↓ α9␈εα)␈αλ+␈↓ αy␈ελ≠␈↓ β
␈εα(␈↓ β→␈ελk␈↓ β+␈εα,␈↓ β;␈ελh␈↓ βM␈εα,␈↓ β]␈ελc␈↓ βk␈εα)␈α
=␈↓ ∧/␈ελ≠␈↓ ∧C␈εα(␈↓ ∧O␈ελh␈↓ ∧a␈εα,␈↓ ∧q␈ελk␈↓ ¬β␈εα,␈αε0)␈αλ+␈↓ ¬e␈ελ≠␈↓ ¬y␈εα(␈↓ ε¬␈ελk␈↓ ε↔␈εα,␈↓ ε'␈ελh␈↓ ε9␈εα,␈αε0)␈αλ+␈↓ πY␈ε⊗␈␈εα␈αλ6␈↓ λY␈ε⊗␈␈εα␈αλ3␈↓ 	↔␈ελe␈↓ 	%␈εα(␈↓ 	1␈ελh␈↓ 	C␈εα,␈↓ 	S␈ελc␈↓ 	a␈εα)␈αλ+␈αλ3.␈↓ 
p␈εα(21)
␈β∂<␈↓ π∨␈∧∂<π∨α/␈↓ λ+␈∧∂<λ+α∩
␈β∂D␈↓ π$␈ελh␈↓ π6␈ελk␈↓ λ+␈ελh
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εα(See␈αex␈α␈ercise␈α6.)␈αThe␈αlemma␈αno␈α␈w␈αm␈α␈ust␈αbe␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αonly␈αin␈αthe␈αcase␈↓ 	Y␈ελc␈↓ 	q␈εα=␈α
0.
␈β⊂D␈↓ α␈εαThe␈α
proof␈α
w␈α␈e␈α
will␈α
giv␈α␈e,␈α
based␈α
on␈α
complex␈α
roots␈α
of␈α	unity,␈αis␈α
essen␈α␈tially␈α
due␈α	to
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαL.␈α	Carlitz.␈αThere␈α	is␈α
actually␈α	a␈α	simpler␈α
proof␈α	that␈α	uses␈α
only␈α	elemen␈α␈tary␈α	manipula-
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαtions␈α⊂of␈α⊂sums␈α⊃(see␈α⊂ex␈α␈ercise␈α⊂7)←but␈α⊃the␈α⊂follo␈α␈wing␈α⊂method␈α⊂rev␈α␈eals␈α⊃more␈α⊂of␈α⊂the
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα78␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.3
␈βα(␈↓ ↓H␈εαmathematical␈α	tools␈α	that␈α
are␈α	available␈α	for␈α	problems␈α
of␈α	this␈α	kind␈α
and␈α	it␈α	is␈α	therefore
␈βαS␈↓ ↓H␈εαm␈α␈uch␈αmore␈αinstructiv␈α␈e.
␈βα␈␈↓ α␈εαLet␈↓ αN␈ελf␈↓ α←␈εα(␈↓ αk␈ελx␈↓ α}␈εα)␈αand␈↓ β\␈ελg␈↓ βm␈εα(␈↓ βy␈ελx␈↓ ∧␈εα)␈αbe␈αpolynomials␈αde|ned␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈ββP␈↓ ε9␈εk␈↓ εG␈ε→␈␈ε¬1␈↓ πI␈εk
␈ββV␈↓ βG␈ελf␈↓ βY␈εα(␈↓ βe␈ελx␈↓ βw␈εα)␈↓ ∧
␈εα=␈α
1␈αλ+␈↓ ¬↓␈ελx␈↓ ¬≤␈εα+␈↓ ¬H␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬z␈εα+␈↓ ε&␈ελx␈↓ ε⎇␈εα=␈α
(␈↓ π7␈ελx␈↓ π`␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)/(␈↓ λH␈ελx␈↓ λc␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)
␈β∧
␈↓ ¬'␈ε¬2␈↓ πJ␈εk␈↓ πX␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ`␈ε→0
␈β∧∞␈↓ 
p␈εα(22)
␈β∧⊂␈↓ βG␈ελg␈↓ βY␈εα(␈↓ βe␈ελx␈↓ βw␈εα)␈↓ ∧
␈εα=␈↓ ∧;␈ελx␈↓ ∧V␈εα+␈αλ2␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬=␈εα+␈↓ ¬i␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε≠␈εα+␈αλ(␈↓ εS␈ελk␈↓ εm␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ π7␈ελx␈↓ λ∞␈εα=␈↓ λ<␈ελx␈↓ λN␈ελf␈↓ λg␈εα(␈↓ λs␈ελx␈↓ 	ε␈εα)
␈β∧C␈↓ ∧`␈εk␈↓ εW␈εk␈↓ λ:␈ε¬2
␈β∧J␈↓ ∧
␈εα=␈↓ ∧;␈ελk␈↓ ∧M␈ελx␈↓ ∧n␈εα/(␈↓ ¬␈ελx␈↓ ¬'␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ε%␈ελx␈↓ ε8␈εα(␈↓ εD␈ελx␈↓ εm␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)/(␈↓ πU␈ελx␈↓ πp␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ λ.␈εα)␈↓ λI␈εα.
␈β¬≥␈↓ ε#␈ε¬2␈↓ ε1␈ε→␈↓ εA␈εi␈↓ εM␈ε¬/␈↓ ε[␈εk
␈β¬"␈↓ ↓H␈εαIf␈↓ ↓l␈ελ|␈↓ α∂␈εαis␈αthe␈αcomplex␈↓ β␈␈ελk␈↓ ∧⊂␈εαth␈αroot␈αof␈αunity␈↓ ε∀␈ελe␈↓ εj␈εα,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αby␈αEq.␈α1.2.9↑13
␈β¬e␈↓ ∧∞␈ε↓X
␈β¬q␈↓ βZ␈εα1
␈βεα␈↓ ∧w␈ε→␈␈↓ ¬∀␈εj␈↓ ¬!␈εr␈↓ ¬b␈εj␈↓ εi␈εr
␈βελ␈↓ ∧`␈ελ|␈↓ ¬.␈ελg␈↓ ¬?␈εα(␈↓ ¬K␈ελ|␈↓ ¬p␈ελx␈↓ εα␈εα)␈α
=␈↓ εF␈ελr␈↓ εV␈ελx␈↓ εv␈εα,␈↓ πN␈εαif␈↓ πp␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ:␈ελr␈↓ λT␈εα<␈↓ 	α␈ελk␈↓ 	∀␈εα.␈↓ 
p␈εα(23)
␈βε_␈↓ βZ␈∧ε_βZα∩
␈βε ␈↓ βZ␈ελk
␈βε9␈↓ βv␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ∧!␈εj␈↓ ∧/␈ε¬<␈↓ ∧K␈εk
␈βπ∀␈↓ ∧
␈εj␈↓ ¬;␈εj
␈βπ→␈↓ ↓H␈εαSet␈↓ απ␈ελx␈↓ α'␈εα=␈α
1;␈α∞then␈↓ βV␈ελg␈↓ βg␈εα(␈↓ βs␈ελ|␈↓ ∧↔␈ελx␈↓ ∧*␈εα)␈α
=␈↓ ∧t␈ελk␈↓ ¬ε␈εα/(␈↓ ¬$␈ελ|␈↓ ¬Q␈ε⊗␈␈εα␈α	1)␈α∞if␈↓ εM␈ελj␈↓ εk␈ε⊗≤␈εα␈α0,␈α∂otherwise␈α
it␈α∞equals␈↓ 	{␈ελk␈↓ 
␈εα(␈↓ 
_␈ελk␈↓ 
3␈ε⊗␈␈εα␈α	1)/2,
␈βπE␈↓ ↓H␈εαtherefore
␈βλε␈↓ ∧+␈ε↓X
␈βλ
␈↓ ¬&␈ε→␈␈↓ ¬C␈εj␈↓ ¬P␈εr
␈βλ∩␈↓ ¬∂␈ελ|
␈βλ&␈↓ ε'␈ε¬1
␈βλ)␈↓ αj␈ελr␈↓ β␈εαmod␈↓ βJ␈ελk␈↓ βe␈εα=␈↓ ¬w␈εα+␈↓ ε:␈εα(␈↓ εF␈ελk␈↓ ε`␈ε⊗␈␈εα␈αλ1),␈↓ λα␈εαif␈↓ λ$␈ελr␈↓ λ?␈εαis␈αan␈αin␈α␈teger.
␈βλ:␈↓ ¬↓␈∧λ:¬↓αk␈↓ ε'␈∧λ:ε'α∂
␈βλ<␈↓ ε'␈ε¬2
␈βλ?␈↓ ¬_␈εj
␈βλB␈↓ ¬↓␈ελ|␈↓ ¬-␈ε⊗␈␈εα␈αλ1
␈βλ[␈↓ ∧∪␈ε¬0␈α↓<␈↓ ∧?␈εj␈↓ ∧L␈ε¬<␈↓ ∧i␈εk
␈β	≠␈↓ ↓H␈ε↓␈
␈β	;␈↓ ↓V␈εαEq.␈α∂(23)␈α∂sho␈α␈ws␈α⊂that␈α∂the␈α∂righ␈α␈t-hand␈α∂side␈α⊂equals␈↓ πP␈ελr␈↓ πo␈εαwhen␈α∂0␈ε⊗␈α⊂∀␈↓ 	%␈ελr␈↓ 	E␈εα<␈↓ 	x␈ελk␈↓ 

␈εα,␈α⊂and␈α∂it␈α∂is
␈β	G␈↓ π(␈ε↓↓
␈β	f␈↓ ↓H␈εαunchanged␈αwhen␈αm␈α␈ultiples␈αof␈↓ ¬∨␈ελk␈↓ ¬<␈εαare␈αadded␈αto␈↓ π∞␈ελr␈↓ π≡␈εα.␈↓ πB␈εαHence
␈β
4␈↓ ¬A␈ε↓X
␈β
<␈↓ ε<␈ε→␈␈↓ εY␈εj␈↓ εf␈εr
␈β
=␈↓ β`␈ε↓∩␈↓ βv␈ε↓∩␈↓ ∧&␈ε↓∪␈↓ ∧<␈ε↓∪␈↓ λE␈ε↓∩␈↓ λt␈ε↓∪
␈β
A␈↓ ∧⊃␈ελr␈↓ ¬∞␈εα1␈↓ ε%␈ελ|␈↓ πF␈εα1␈↓ λ≥␈εα1␈↓ λ`␈ελr
␈β
W␈↓ ∧\␈εα=␈↓ π∞␈ε⊗␈␈↓ πm␈εα+␈↓ λ3␈ελ∞␈↓ 	
␈εα.␈↓ 
p␈εα(24)
␈β
h␈↓ ∧⊂␈∧
h∧⊂α∩␈↓ ¬∞␈∧
h¬∞α∩␈↓ ε↔␈∧
hε↔αk␈↓ π>␈∧
hπ>α$␈↓ λ≥␈∧
hλ≥α∩␈↓ λ←␈∧
hλ←α∩
␈β
m␈↓ ε.␈εj
␈β
p␈↓ ∧⊂␈ελk␈↓ ¬∞␈ελk␈↓ ε↔␈ελ|␈↓ εD␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ π>␈εα2␈↓ πP␈ελk␈↓ λ≥␈εα2␈↓ λ←␈ελk
␈β	␈↓ ¬*␈ε¬0<␈↓ ¬U␈εj␈↓ ¬b␈ε¬<␈↓ ¬␈␈εk
␈βd␈↓ ↓H␈εαThis␈αλimportan␈α␈t␈α	form␈α␈ula,␈α
which␈α	holds␈αλwhenev␈α␈er␈↓ π$␈ελr␈↓ π=␈εαis␈α	an␈α	in␈α␈teger,␈α	allo␈α␈ws␈α	us␈α	to␈αλreduce
␈β∂␈↓ ↓H␈εαman␈α␈y␈αcalculations␈αin␈α␈v␈α␈olving␈α
((␈↓ ¬$␈ελr␈↓ ¬4␈εα/␈↓ ¬F␈ελk␈↓ ¬W␈εα))␈α
to␈αsums␈αin␈α␈v␈α␈olving␈↓ λ∨␈ελk␈↓ λ1␈εαth␈αroots␈αof␈α
unity,␈αand␈αit
␈β:␈↓ ↓H␈εαbrings␈α
a␈α	whole␈α
new␈α
range␈α
of␈α
techniques␈α
in␈α␈to␈α
the␈α
picture.␈αIn␈α
particular,␈αw␈α␈e␈α
get␈α	the
␈βe␈↓ ↓H␈εαfollo␈α␈wing␈αform␈α␈ula:
␈β
.␈↓ ε
␈ε↓X␈↓ ε{␈ε↓X␈↓ πj␈ε↓X
␈β
5␈↓ λe␈ε→␈␈↓ 	α␈εi␈↓ 	
␈εr␈↓ 	N␈ε→␈␈↓ 	k␈εj␈↓ 	x␈εh␈↓ 
π␈εr
␈β
9␈↓ ∧¬␈εα3(␈↓ ∧#␈ελk␈↓ ∧=␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)
␈β
:␈↓ ¬G␈εα12␈↓ λN␈ελ|␈↓ 	7␈ελ|
␈β
Q␈↓ αK␈ελ≠␈↓ α←␈εα(␈↓ αk␈ελh␈↓ α⎇␈εα,␈↓ β
␈ελk␈↓ β∨␈εα,␈αε0)␈αλ+␈↓ ¬∃␈εα=␈↓ 
∨␈εα.␈↓ 
p␈εα(25)
␈β
a␈↓ ∧¬␈∧
a∧¬α↓α␈↓ ¬G␈∧
a¬Gα$␈↓ λ@␈∧
aλ@αi␈↓ 	1␈∧
a	1αk
␈β
g␈↓ ∧G␈ε¬2␈↓ ¬Z␈ε¬2␈↓ λW␈εi␈↓ 	H␈εj
␈β
i␈↓ ∧6␈ελk␈↓ ¬H␈ελk␈↓ λ@␈ελ|␈↓ λk␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ 	1␈ελ|␈↓ 	]␈ε⊗␈␈εα␈αλ1
␈β∞α␈↓ ¬u␈ε¬0<␈↓ ε ␈εr␈↓ ε-␈ε¬<␈↓ εJ␈εk␈↓ εd␈ε¬0␈α↓<␈↓ π⊂␈εi␈↓ π≠␈ε¬<␈↓ π8␈εk␈↓ πR␈ε¬0␈α↓<␈↓ π}␈εj␈↓ λ␈ε¬<␈↓ λ(␈εk
␈β∞]␈↓ ↓H␈εαThe␈α	righ␈α␈t-hand␈α	side␈α	of␈α	this␈α
form␈α␈ula␈α	may␈α	be␈α	simpli|ed␈α	by␈α
carrying␈α	out␈α	the␈α	sum␈α	on
␈β∞l␈↓ αl␈ε↓P
␈β∂β␈↓ ∧∪␈εr␈↓ ∧ ␈εs␈↓ ¬→␈εs
␈β∂λ␈↓ ↓H␈ελr␈↓ ↓W␈εα;␈α
w␈α␈e␈απhav␈α␈e␈↓ β|␈ελ|␈↓ ∧7␈εα=␈↓ ∧e␈ελf␈↓ ∧v␈εα(␈↓ ¬α␈ελ|␈↓ ¬%␈εα)␈α
=␈α
0␈αλif␈↓ ε!␈ελs␈↓ ε6␈εαmod␈↓ π␈ελk␈↓ π≤␈ε⊗≤␈εα␈α
0.␈α
Equation␈αλ(25)␈αλno␈α␈w␈αλreduces␈απto
␈β∂≠␈↓ β∩␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ β=␈εr␈↓ βK␈ε¬<␈↓ βg␈εk
␈β∂d␈↓ ε3␈ε↓X
␈β∂m␈↓ ∧+␈εα3(␈↓ ∧I␈ελk␈↓ ∧c␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)
␈β∂p␈↓ ¬m␈εα12␈↓ λ_␈εα1
␈β⊂π␈↓ αr␈ελ≠␈↓ βε␈εα(␈↓ β∩␈ελh␈↓ β#␈εα,␈↓ β3␈ελk␈↓ βE␈εα,␈αε0)␈αλ+␈↓ ¬;␈εα=␈↓ 	=␈εα.␈↓ 
p␈εα(26)
␈β⊂↔␈↓ ∧+␈∧⊂↔∧+α↓α␈↓ ¬m␈∧⊂↔¬mα$␈↓ π	␈∧⊂↔π	αα0
␈β⊂≥␈↓ π,␈ε→␈␈↓ πI␈εj␈↓ πV␈εh␈↓ λY␈εj
␈β⊂ ␈↓ ∧c␈ελk␈↓ ¬v␈ελk␈↓ π	␈εα(␈↓ π∃␈ελ|␈↓ πl␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)(␈↓ λB␈ελ|␈↓ λo␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)
␈β⊂9␈↓ ε≠␈ε¬0<␈↓ εF␈εj␈↓ εS␈ε¬<␈↓ εp␈εk
␈β⊃∃␈↓ λ↔␈ε¬2␈↓ λ&␈ε→␈↓ λ6␈εi␈↓ λB␈ε¬/␈↓ λP␈εh
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαA␈αsimilar␈αform␈α␈ula␈αis␈αobtained␈αfor␈↓ ¬Y␈ελ≠␈↓ ¬m␈εα(␈↓ ¬y␈ελk␈↓ ε
␈εα,␈↓ ε~␈ελh␈↓ ε,␈εα,␈αε0),␈αwith␈↓ πB␈ελ⊂␈↓ π[␈εα=␈↓ λ	␈ελe␈↓ λk␈εαreplacing␈↓ 
¬␈ελ|␈↓ 
≤␈εα.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.3␈ε∞␈↓ λTH␈α␈EORETICA␈α␈L␈α	TEST␈α␈S␈↓ λ␈εα79
␈βα&␈↓ α␈εαIt␈α	is␈α
not␈α	obvious␈α
what␈α	w␈α␈e␈α	can␈α
do␈α	with␈α
the␈α	sum␈α	in␈α
(26),␈α
but␈α	there␈α
is␈α	an␈α	elegan␈α␈t
␈βαL␈↓ ∃␈εj
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαway␈αto␈αproceed,␈αbased␈αon␈αthe␈αfact␈αthat␈αeach␈αterm␈αof␈αthe␈αsum␈αis␈αa␈αfunction␈αof␈↓ 
}␈ελ|␈↓ "␈εα,
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαwhere␈α0␈α
<␈↓ αy␈ελj␈↓ β∀␈εα<␈↓ βB␈ελk␈↓ βT␈εα;␈αhence␈αthe␈αsum␈αis␈αessen␈α␈tially␈αtak␈α␈en␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈↓ 	∃␈ελk␈↓ 	'␈εαth␈αroots␈αof␈αunity
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαother␈α∞than␈α∞1.␈α⊃Whenev␈α␈er␈↓ ∧V␈ελx␈↓ ∧u␈εα,␈↓ ¬∞␈ελx␈↓ ¬-␈εα,␈↓ ¬E␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬u␈εα,␈↓ ε∞␈ελx␈↓ ε>␈εαare␈α∞distinct␈α∞complex␈α∞n␈α␈um␈α␈bers,␈α∞w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e
␈ββ5␈↓ ∧g␈ε¬1␈↓ ¬≡␈ε¬2␈↓ ε≡␈εn
␈ββS␈↓ ↓H␈εαthe␈αiden␈α␈tity
␈β∧≤␈↓ α¬␈ε↓X
␈β∧(␈↓ ε¬␈εα1
␈β∧O␈↓ α]␈∧∧Oα]αεd
␈β∧W␈↓ α]␈εα(␈↓ αi␈ελx␈↓ β∂␈ε⊗␈␈↓ β;␈ελx␈↓ βZ␈εα)␈↓ βl␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧≤␈εα(␈↓ ∧(␈ελx␈↓ ∧M␈ε⊗␈␈↓ ∧y␈ελx␈↓ ¬B␈εα)(␈↓ ¬Z␈ελx␈↓ ¬u␈ε⊗␈␈↓ ε!␈ελx␈↓ ε?␈εα)(␈↓ εW␈ελx␈↓ ε⎇␈ε⊗␈␈↓ π)␈ελx␈↓ πr␈εα)␈↓ λ∧␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ4␈εα(␈↓ λ@␈ελx␈↓ λe␈ε⊗␈␈↓ 	⊃␈ελx␈↓ 	4␈εα)
␈β∧e␈↓ αy␈εj␈↓ βK␈ε¬1␈↓ ∧8␈εj␈↓ ¬
␈εj␈↓ ¬↔␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε2␈εj␈↓ εg␈εj␈↓ π9␈εj␈↓ πF␈ε¬+1␈↓ λP␈εj␈↓ 	"␈εn
␈β∧p␈↓ ↓l␈ε¬1␈ε→∀␈↓ α↔␈εj␈↓ α$␈ε→∀␈↓ αA␈εn
␈β¬ ␈↓ 	∂␈εα1
␈β¬6␈↓ πK␈εα=␈↓ 
B␈εα,␈α$(27)
␈β¬G␈↓ π⎇␈∧¬Gπ⎇αα6
␈β¬O␈↓ π⎇␈εα(␈↓ λ	␈ελx␈↓ λ$␈ε⊗␈␈↓ λP␈ελx␈↓ λo␈εα)␈↓ 	↓␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	1␈εα(␈↓ 	=␈ελx␈↓ 	X␈ε⊗␈␈↓ 
∧␈ελx␈↓ 
&␈εα)
␈β¬\␈↓ λa␈ε¬1␈↓ 
∃␈εn
␈βε&␈↓ ↓H␈εαwhich␈αλfollo␈α␈ws␈αλfrom␈αλthe␈αλusual␈αλmethod␈α	of␈αλexpanding␈αλthe␈αλrigh␈α␈t-hand␈αλside␈αλin␈α␈to␈αλpartial
␈βεQ␈↓ ↓H␈εαfractions.␈αMoreo␈α␈v␈α␈er,␈αif␈↓ ∧0␈ελq␈↓ ∧@␈εα(␈↓ ∧L␈ελx␈↓ ∧←␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ ¬/␈ελx␈↓ ¬I␈ε⊗␈␈↓ ¬u␈ελy␈↓ ε∃␈εα)(␈↓ ε-␈ελx␈↓ εG␈ε⊗␈␈↓ εs␈ελy␈↓ π∪␈εα)␈↓ π%␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πU␈εα(␈↓ πa␈ελx␈↓ π|␈ε⊗␈␈↓ λ(␈ελy␈↓ λS␈εα),␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βε←␈↓ εε␈ε¬1␈↓ π∧␈ε¬2␈↓ λ9␈εm
␈βπ(␈↓ β	␈ε→0
␈βπ.␈↓ αy␈ελq␈↓ β⊃␈εα(␈↓ β≥␈ελy␈↓ β;␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ ∧␈ελy␈↓ ∧1␈ε⊗␈␈↓ ∧]␈ελy␈↓ ∧|␈εα)␈↓ ¬∞␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬>␈εα(␈↓ ¬J␈ελy␈↓ ¬q␈ε⊗␈␈↓ ε≥␈ελy␈↓ εf␈εα)(␈↓ ε}␈ελy␈↓ π$␈ε⊗␈␈↓ πP␈ελy␈↓ λ~␈εα)␈↓ λ,␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ\␈εα(␈↓ λh␈ελy␈↓ 	∞␈ε⊗␈␈↓ 	:␈ελy␈↓ 	e␈εα);␈↓ 
p␈εα(28)
␈βπ;␈↓ β.␈εj␈↓ ∧≤␈εj␈↓ ∧n␈ε¬1␈↓ ¬[␈εj␈↓ ε.␈εj␈↓ ε;␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π∂␈εj␈↓ πa␈εj␈↓ πn␈ε¬+1␈↓ λy␈εj␈↓ 	K␈εm
␈βλ␈↓ ↓H␈εαthis␈α	iden␈α␈tity␈α
may␈α	often␈α
be␈α
used␈α	to␈α
simplify␈α	expressions␈α
lik␈α␈e␈α
those␈α	in␈α
the␈α	left-hand
␈βλ1␈↓ 	≥␈ε¬2␈↓ 
↔␈εk␈↓ 
&␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∀␈ε¬2
␈βλ6␈↓ ↓H␈εαside␈απof␈αλ(27).␈α
When␈↓ βe␈ελh␈↓ β}␈εαand␈↓ ∧@␈ελk␈↓ ∧Y␈εαare␈αλrelativ␈α␈ely␈απprime,␈α	the␈απn␈α␈um␈α␈bers␈↓ λ]␈ελ|␈↓ λt␈εα,␈↓ 	ε␈ελ|␈↓ 	,␈εα,␈↓ 	>␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	n␈εα,␈↓ 
␈ελ|␈↓ 
Q␈εα,␈↓ 
d␈ελ⊂␈↓ 
s␈εα,␈↓ ¬␈ελ⊂␈↓ "␈εα,
␈βλ\␈↓ α≠␈εh␈↓ α*␈ε→␈␈ε¬1
␈βλa␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓x␈εα,␈↓ α␈ελ⊂␈↓ α`␈εαare␈α
all␈α
distinct;␈αw␈α␈e␈αcan␈α
therefore␈αconsider␈α
(27)␈α
in␈αthe␈α
special␈αcase␈α
of␈α
the
␈β	π␈↓ ∧}␈εk␈↓ ¬
␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π4␈εh␈↓ πC␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λQ␈εk␈↓ 	F␈εh␈↓ ∀␈ε¬2
␈β	
␈↓ ↓H␈εαpolynomial␈αλ(␈↓ β
␈ελx␈↓ β∨␈ε⊗␈␈↓ βF␈ελ|␈↓ β]␈εα)␈↓ βo␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∨␈εα(␈↓ ∧+␈ελx␈↓ ∧@␈ε⊗␈␈↓ ∧g␈ελ|␈↓ ¬8␈εα)(␈↓ ¬P␈ελx␈↓ ¬e␈ε⊗␈␈↓ ε␈ελ⊂␈↓ ε≠␈εα)␈↓ ε-␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε]␈εα(␈↓ εi␈ελx␈↓ ε␈␈ε⊗␈␈↓ π%␈ελ⊂␈↓ πn␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ λ>␈ελx␈↓ λb␈ε⊗␈␈εα␈αβ1)(␈↓ 	3␈ελx␈↓ 	W␈ε⊗␈␈εα␈αβ1)/(␈↓ 
:␈ελx␈↓ 
O␈ε⊗␈␈εα␈αβ1␈↓ λ␈εα)␈↓ "␈εα,
␈β	8␈↓ ↓H␈εαobtaining␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αiden␈α␈tity␈αin␈↓ ¬p␈ελx␈↓ εα␈εα:
␈β
π␈↓ α⊗␈ε↓X␈↓ ¬`␈ε↓X
␈β

␈↓ β*␈εj␈↓ βS␈εj␈↓ ∧2␈ε¬2␈↓ ε|␈εj␈↓ π,␈εj␈↓ λ␈ε¬2␈↓ 
:␈ε¬2
␈β
∪␈↓ ↓b␈εα1␈↓ β≠␈ελ⊂␈↓ β8␈εα(␈↓ βD␈ελ⊂␈↓ βh␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ ∧&␈εα)␈↓ ¬,␈εα1␈↓ εe␈ελ|␈↓ π	␈εα(␈↓ π∃␈ελ|␈↓ πA␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ π␈␈εα)␈↓ 	I␈εα(␈↓ 	U␈ελx␈↓ 	p␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ 
.␈εα)
␈β
*␈↓ ∧|␈εα+␈↓ λW␈εα=␈↓ ␈εα.
␈β
:␈↓ ↓b␈∧
:↓bα∩␈↓ αl␈∧
:αlαα∧␈↓ ¬,␈∧
:¬,α∩␈↓ ε5␈∧
:ε5αα∀␈↓ 		␈∧
:		α↓␈
␈β
@␈↓ βπ␈εj␈↓ β∀␈εk␈↓ ∧V␈εj␈↓ εX␈εj␈↓ εf␈εh␈↓ λ0␈εj␈↓ 	(␈εh␈↓ 
'␈εk
␈β
B␈↓ ↓b␈ελh␈↓ αl␈εα(␈↓ αx␈ελ⊂␈↓ β+␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)(␈↓ ∧↓␈ελx␈↓ ∧≠␈ε⊗␈␈↓ ∧G␈ελ⊂␈↓ ∧d␈εα)␈↓ ¬,␈ελk␈↓ ε5␈εα(␈↓ εA␈ελ|␈↓ ε|␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)(␈↓ πR␈ελx␈↓ πm␈ε⊗␈␈↓ λ→␈ελ|␈↓ λ=␈εα)␈↓ 		␈εα(␈↓ 	∃␈ελx␈↓ 	?␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)(␈↓ 
∃␈ελx␈↓ 
>␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)
␈β
[␈↓ ↓}␈ε¬0␈α↓<␈↓ α)␈εj␈↓ α7␈ε¬<␈↓ αS␈εh␈↓ ¬H␈ε¬0<␈↓ ¬s␈εj␈↓ ε␈ε¬<␈↓ ε≥␈εk
␈β
m␈↓ 
p␈εα(29)
␈β_␈↓ ↓H␈εαThis␈αiden␈α␈tity␈αhas␈αman␈α␈y␈αin␈α␈teresting␈αconsequences,␈αand␈αit␈αleads␈αto␈αn␈α␈umerous␈αreci-
␈βC␈↓ ↓H␈εαprocity␈α⊂form␈α␈ulas␈α⊂for␈α⊃sums␈α⊂of␈α⊃the␈α⊂type␈α⊃giv␈α␈en␈α⊂in␈α⊂Eq.␈α⊃(26).␈α→For␈α⊃example,␈α⊃if␈α⊂w␈α␈e
␈βn␈↓ ↓H␈εαdi{eren␈α␈tiate␈α(29)␈αt␈α␈wice␈αwith␈αrespect␈αto␈↓ ε.␈ελx␈↓ εL␈εαand␈αlet␈↓ πF␈ελx␈↓ πc␈ε⊗!␈εα␈α
1,␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈β?␈↓ α$␈ε↓X␈↓ ¬{␈ε↓X
␈βF␈↓ β?␈εj␈↓ βg␈εj␈↓ ∧F␈ε¬2␈↓ π≡␈εj␈↓ πN␈εj␈↓ λ-␈ε¬2
␈βK␈↓ β0␈ελ⊂␈↓ βL␈εα(␈↓ βX␈ελ⊂␈↓ β|␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ ∧:␈εα)␈↓ ππ␈ελ|␈↓ π+␈εα(␈↓ π7␈ελ|␈↓ πc␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ λ!␈εα)
␈βL␈↓ ↓p␈εα2␈↓ ¬G␈εα2
␈βc␈↓ ¬↔␈εα+
␈βs␈↓ ↓p␈∧s↓pα∩␈↓ αy␈∧sαyαα∩␈↓ ¬G␈∧s¬Gα∩␈↓ εQ␈∧sεQαα"
␈βy␈↓ β∀␈εj␈↓ β"␈εk␈↓ ∧c␈εj␈↓ ∧|␈ε¬3␈↓ εt␈εj␈↓ π↓␈εh␈↓ λJ␈εj␈↓ λd␈ε¬3
␈β{␈↓ ↓p␈ελh␈↓ αy␈εα(␈↓ β¬␈ελ⊂␈↓ β8␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧T␈ελ⊂␈↓ ∧p␈εα)␈↓ ¬G␈ελk␈↓ εQ␈εα(␈↓ ε]␈ελ|␈↓ π↔␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λ3␈ελ|␈↓ λX␈εα)
␈β
∀␈↓ α␈ε¬0<␈↓ α7␈εj␈↓ αD␈ε¬<␈↓ αa␈εh␈↓ ¬c␈ε¬0<␈↓ ε∞␈εj␈↓ ε≠␈ε¬<␈↓ ε8␈εk
␈β
=␈↓ ε⎇␈ε↓∩␈↓ λ[␈ε↓∪
␈β
@␈↓ εg␈εα1␈↓ π↔␈ελh␈↓ πe␈ελk␈↓ λ<␈εα1␈↓ 	)␈εα1␈↓ 
␈εα1␈↓ 
`␈εα1
␈β
W␈↓ ε5␈εα=␈↓ π5␈εα+␈↓ λβ␈εα+␈↓ λy␈εα+␈↓ 	G␈ε⊗␈␈↓ 
'␈ε⊗␈␈↓ 
}␈εα.
␈β
g␈↓ εg␈∧
gεgα∩␈↓ π↔␈∧
gπ↔α∩␈↓ πe␈∧
gπeα∩␈↓ λ3␈∧
gλ3α$␈↓ 	)␈∧
g	)α∩␈↓ 	w␈∧
g	wα$␈↓ 
W␈∧
g
Wα$
␈β
p␈↓ εg␈εα6␈↓ π↔␈ελk␈↓ πe␈ελh␈↓ λ3␈ελh␈↓ λE␈ελk␈↓ 	)␈εα2␈↓ 	w␈εα2␈↓ 
	␈ελh␈↓ 
W␈εα2␈↓ 
i␈ελk
␈β∞J␈↓ ↓H␈εαReplace␈↓ αO␈ελj␈↓ αk␈εαby␈↓ β∨␈ελh␈↓ β9␈ε⊗␈␈↓ βe␈ελj␈↓ ∧↓␈εαand␈αby␈↓ ∧{␈ελk␈↓ ¬∃␈ε⊗␈␈↓ ¬A␈ελj␈↓ ¬]␈εαin␈αthese␈αsums␈αand␈αuse␈α(26)␈αto␈αget
␈β∂"␈↓ αε␈ε↓ ␈↓ ∧\␈ε↓!␈↓ ¬A␈ε↓ ␈↓ λ_␈ε↓!
␈β∂,␈↓ βV␈εα3(␈↓ βt␈ελh␈↓ ∧∞␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ π∩␈εα3(␈↓ π0␈ελk␈↓ πJ␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)
␈β∂0␈↓ ↓p␈εα1␈↓ ¬+␈εα1
␈β∂G␈↓ α≥␈ελ≠␈↓ α1␈εα(␈↓ α=␈ελk␈↓ αN␈εα,␈↓ α↑␈ελh␈↓ αp␈εα,␈αε0)␈αλ+␈↓ ∧{␈εα+␈↓ ¬X␈ελ≠␈↓ ¬l␈εα(␈↓ ¬x␈ελh␈↓ ε
␈εα,␈↓ ε~␈ελk␈↓ ε,␈εα,␈αε0)␈αλ+
␈β∂W␈↓ ↓p␈∧∂W↓pα∩␈↓ βV␈∧∂WβVα↓α␈↓ ¬+␈∧∂W¬+α∩␈↓ π∩␈∧∂Wπ∩α↓α
␈β∂←␈↓ ↓p␈εα6␈↓ ∧∞␈ελh␈↓ ¬+␈εα6␈↓ πJ␈ελk
␈β⊂⊃␈↓ ε⎇␈ε↓∩␈↓ λ[␈ε↓∪
␈β⊂∃␈↓ εg␈εα1␈↓ π↔␈ελh␈↓ πe␈ελk␈↓ λ<␈εα1␈↓ 	)␈εα1␈↓ 
␈εα1␈↓ 
`␈εα1
␈β⊂,␈↓ ε5␈εα=␈↓ π5␈εα+␈↓ λβ␈εα+␈↓ λy␈εα+␈↓ 	G␈ε⊗␈␈↓ 
'␈ε⊗␈␈↓ 
}␈εα,
␈β⊂<␈↓ εg␈∧⊂<εgα∩␈↓ π↔␈∧⊂<π↔α∩␈↓ πe␈∧⊂<πeα∩␈↓ λ3␈∧⊂<λ3α$␈↓ 	)␈∧⊂<	)α∩␈↓ 	w␈∧⊂<	wα$␈↓ 
W␈∧⊂<
Wα$
␈β⊂D␈↓ εg␈εα6␈↓ π↔␈ελk␈↓ πe␈ελh␈↓ λ3␈ελh␈↓ λE␈ελk␈↓ 	)␈εα2␈↓ 	w␈εα2␈↓ 
	␈ελh␈↓ 
W␈εα2␈↓ 
i␈ελk
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαwhich␈αis␈αequivalen␈α␈t␈αto␈αthe␈αdesired␈αresult.
␈β⊃!␈↓ εn␈∧⊃!εn≠∂
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα80␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.3
␈βα&␈↓ α␈εαLemma␈αB␈αgiv␈α␈es␈αus␈αan␈αexplicit␈αfunction␈↓ εy␈ελf␈↓ π
␈εα(␈↓ π⊗␈ελh␈↓ π(␈εα,␈↓ π8␈ελk␈↓ πJ␈εα,␈↓ πZ␈ελc␈↓ πh␈εα)␈αsuch␈αthat
␈βαt␈↓ ∧I␈ελ≠␈↓ ∧]␈εα(␈↓ ∧i␈ελh␈↓ ∧{␈εα,␈↓ ¬␈ελk␈↓ ¬≤␈εα,␈↓ ¬,␈ελc␈↓ ¬;␈εα)␈α
=␈↓ ¬␈␈ελf␈↓ ε⊂␈εα(␈↓ ε≤␈ελh␈↓ ε.␈εα,␈↓ ε>␈ελk␈↓ εO␈εα,␈↓ ε←␈ελc␈↓ εn␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π.␈ελ≠␈↓ πB␈εα(␈↓ πN␈ελk␈↓ π←␈εα,␈↓ πo␈ελh␈↓ λ↓␈εα,␈↓ λ⊃␈ελc␈↓ λ∨␈εα)␈↓ 
p␈εα(30)
␈ββB␈↓ ↓H␈εαwhenev␈α␈er␈α∂0␈α⊂<␈↓ β@␈ελh␈↓ βa␈ε⊗∀␈↓ ∧∃␈ελk␈↓ ∧'␈εα,␈α⊂0␈ε⊗␈α⊂∀␈↓ ¬↔␈ελc␈↓ ¬5␈εα<␈↓ ¬i␈ελk␈↓ ¬{␈εα,␈α⊂and␈↓ ε↑␈ελh␈↓ π␈εαis␈α∂relativ␈α␈ely␈α⊂prime␈α∂to␈↓ 	c␈ελk␈↓ 	t␈εα.␈α↔From␈α∂the
␈ββm␈↓ ↓H␈εαde|nition␈α(16)␈αit␈αis␈αclear␈αthat
␈β∧;␈↓ ∧3␈ελ≠␈↓ ∧G␈εα(␈↓ ∧S␈ελk␈↓ ∧e␈εα,␈↓ ∧u␈ελh␈↓ ¬π␈εα,␈↓ ¬↔␈ελc␈↓ ¬%␈εα)␈α
=␈↓ ¬i␈ελ≠␈↓ ¬⎇␈εα(␈↓ ε	␈ελk␈↓ ε!␈εαmod␈↓ εk␈ελh␈↓ ε⎇␈εα,␈↓ π∪␈ελh␈↓ π%␈εα,␈↓ π;␈ελc␈↓ πO␈εαmod␈↓ λ→␈ελh␈↓ λ+␈εα).␈↓ 
p␈εα(31)
␈β¬	␈↓ ↓H␈εαTherefore␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
use␈α
(30)␈α
iterativ␈α␈ely␈α
to␈α
evaluate␈↓ πZ␈ελ≠␈↓ πn␈εα(␈↓ πz␈ελh␈↓ λ␈εα,␈↓ λ≤␈ελk␈↓ λ.␈εα,␈↓ λ>␈ελc␈↓ λL␈εα),␈α
using␈α
a␈α
process␈α
that
␈β¬4␈↓ ↓H␈εαreduces␈αthe␈αparameters␈αas␈αin␈αEuclid's␈αalgorithm.
␈β¬←␈↓ α␈εαFurther␈α	simpli|cations␈α	occur␈α	when␈α	w␈α␈e␈α	examine␈α	this␈α	iterativ␈α␈e␈α	procedure␈αλmore
␈βε
␈↓ ↓H␈εαclosely.␈αLet␈αus␈αset␈↓ βn␈ελm␈↓ ∧%␈εα=␈↓ ∧S␈ελk␈↓ ∧d␈εα,␈↓ ∧z␈ελm␈↓ ¬1␈εα=␈↓ ¬←␈ελh␈↓ ¬q␈εα,␈↓ επ␈ελc␈↓ ε-␈εα=␈↓ ε[␈ελc␈↓ εi␈εα,␈αand␈αform␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αtableau:
␈βε_␈↓ ∧␈ε¬1␈↓ ¬→␈ε¬2␈↓ ε∀␈ε¬1
␈βεQ␈↓ ∧↔␈ελm␈↓ ∧N␈εα=␈↓ ∧|␈ελa␈↓ ¬≤␈ελm␈↓ ¬Q␈εα+␈↓ ¬⎇␈ελm␈↓ εq␈ελc␈↓ π↔␈εα=␈↓ πE␈ελb␈↓ π`␈ελm␈↓ λ∃␈εα+␈↓ λA␈ελc
␈βε↑␈↓ ∧6␈ε¬1␈↓ ¬
␈ε¬1␈↓ ¬:␈ε¬2␈↓ ε≠␈ε¬3␈↓ ε}␈ε¬1␈↓ πR␈ε¬1␈↓ π␈␈ε¬2␈↓ λN␈ε¬2
␈βε|␈↓ ∧↔␈ελm␈↓ ∧N␈εα=␈↓ ∧|␈ελa␈↓ ¬≤␈ελm␈↓ ¬Q␈εα+␈↓ ¬⎇␈ελm␈↓ εq␈ελc␈↓ π↔␈εα=␈↓ πE␈ελb␈↓ π`␈ελm␈↓ λ∃␈εα+␈↓ λA␈ελc
␈βπ	␈↓ ∧6␈ε¬2␈↓ ¬
␈ε¬2␈↓ ¬:␈ε¬3␈↓ ε≠␈ε¬4␈↓ ε}␈ε¬2␈↓ πR␈ε¬2␈↓ π␈␈ε¬3␈↓ λN␈ε¬3
␈βπ⊃␈↓ 
p␈εα(32)
␈βπ'␈↓ ∧↔␈ελm␈↓ ∧N␈εα=␈↓ ∧|␈ελa␈↓ ¬≤␈ελm␈↓ ¬Q␈εα+␈↓ ¬⎇␈ελm␈↓ εq␈ελc␈↓ π↔␈εα=␈↓ πE␈ελb␈↓ π`␈ελm␈↓ λ∃␈εα+␈↓ λA␈ελc
␈βπ4␈↓ ∧6␈ε¬3␈↓ ¬
␈ε¬3␈↓ ¬:␈ε¬4␈↓ ε≠␈ε¬5␈↓ ε}␈ε¬3␈↓ πR␈ε¬3␈↓ π␈␈ε¬4␈↓ λN␈ε¬4
␈βπR␈↓ ∧↔␈ελm␈↓ ∧N␈εα=␈↓ ∧|␈ελa␈↓ ¬≤␈ελm␈↓ εq␈ελc␈↓ π↔␈εα=␈↓ πE␈ελb␈↓ π`␈ελm␈↓ λ∃␈εα+␈↓ λA␈ελc
␈βπ`␈↓ ∧6␈ε¬4␈↓ ¬
␈ε¬4␈↓ ¬:␈ε¬5␈↓ ε}␈ε¬4␈↓ πR␈ε¬4␈↓ π␈␈ε¬5␈↓ λN␈ε¬5
␈βλ_␈↓ ↓H␈εαHere
␈βλ7␈↓ β<␈ελa␈↓ βd␈εα=␈ε⊗␈α
b␈↓ ∧ ␈ελm␈↓ ∧L␈εα/␈↓ ∧↑␈ελm␈↓ ¬5␈ε⊗c␈εα,␈↓ εp␈ελb␈↓ π∀␈εα=␈ε⊗␈α
b␈↓ πP␈ελc␈↓ πj␈εα/␈↓ π|␈ελm␈↓ λS␈ε⊗c␈εα,
␈βλD␈↓ βM␈εj␈↓ ∧>␈εj␈↓ ∧|␈εj␈↓ ¬	␈ε¬+1␈↓ ε⎇␈εj␈↓ π]␈εj␈↓ λ≠␈εj␈↓ λ(␈ε¬+1
␈βλT␈↓ 
p␈εα(33)
␈βλq␈↓ β<␈ελm␈↓ ∧≥␈εα=␈↓ ∧K␈ελm␈↓ ∧⎇␈εαmod␈↓ ¬G␈ελm␈↓ ε≡␈εα,␈↓ εp␈ελc␈↓ π?␈εα=␈↓ πm␈ελc␈↓ λ
␈εαmod␈↓ λW␈ελm␈↓ 	.␈εα,
␈βλ}␈↓ βZ␈εj␈↓ βh␈ε¬+␈α␈2␈↓ ∧i␈εj␈↓ ¬e␈εj␈↓ ¬r␈ε¬+1␈↓ ε⎇␈εj␈↓ π
␈ε¬+1␈↓ πz␈εj␈↓ λv␈εj␈↓ 	β␈ε¬+1
␈β	-␈↓ ↓H␈εαand␈αit␈αfollo␈α␈ws␈αthat
␈β	{␈↓ ∧#␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧m␈ελm␈↓ ¬N␈εα<␈↓ ¬|␈ελm␈↓ ε'␈εα,␈↓ ε␈0␈ε⊗␈α
∀␈↓ πI␈ελc␈↓ πn␈εα<␈↓ λ≤␈ελm␈↓ λG␈εα.␈↓ 
p␈εα(34)
␈β
λ␈↓ ¬␈εj␈↓ ¬_␈ε¬+1␈↓ ε~␈εj␈↓ πV␈εj␈↓ λ:␈εj
␈β
I␈↓ ↓H␈εαWe␈αλhav␈α␈e␈α	assumed␈αλfor␈α	con␈α␈v␈α␈enience␈αλthat␈α	Euclid's␈αλalgorithm␈α	terminates␈αλin␈α	(32)␈αλafter
␈β
t␈↓ ↓H␈εαfour␈αiterations;␈αthis␈αassumption␈αwill␈αrev␈α␈eal␈αthe␈αpattern␈αthat␈αholds␈αin␈αthe␈αgeneral
␈β∨␈↓ ↓H␈εαcase.␈α⊂Since␈↓ βα␈ελh␈↓ β!␈εαand␈↓ βi␈ελk␈↓ ∧λ␈εαw␈α␈ere␈α∞relativ␈α␈ely␈α∞prime␈α
to␈α∞start␈α
with,␈α∞w␈α␈e␈α∞m␈α␈ust␈α∞hav␈α␈e␈↓ 
0␈ελm␈↓ 
j␈εα=␈α1
␈β,␈↓ 
O␈ε¬5
␈βJ␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∞␈ελc␈↓ α3␈εα=␈α
0␈αin␈α(32).
␈βX␈↓ α≠␈ε¬5
␈βu␈↓ α␈εαLet␈α
us␈α
further␈α
assume␈αthat␈↓ ¬D␈ελc␈↓ ¬k␈ε⊗≤␈εα␈α0␈α
but␈↓ ε|␈ελc␈↓ π#␈εα=␈α0,␈α
in␈α
order␈α
to␈α
get␈α
a␈α
feeling␈αfor
␈ββ␈↓ ¬Q␈ε¬3␈↓ π	␈ε¬4
␈β!␈↓ ↓H␈εαthe␈αe{ect␈αthis␈αhas␈αon␈αthe␈αrecurrence.␈αEquations␈α(30)␈αand␈α(31)␈αyield
␈βk␈↓ α∂␈ελ≠␈↓ α#␈εα(␈↓ α/␈ελh␈↓ αA␈εα,␈↓ αQ␈ελk␈↓ αc␈εα,␈↓ αs␈ελc␈↓ β↓␈εα)␈↓ β↔␈εα=␈↓ βE␈ελ≠␈↓ βY␈εα(␈↓ βe␈ελm␈↓ ∧∩␈εα,␈↓ ∧"␈ελm␈↓ ∧O␈εα,␈↓ ∧←␈ελc␈↓ ∧z␈εα)
␈βx␈↓ ∧β␈ε¬2␈↓ ∧@␈ε¬1␈↓ ∧l␈ε¬1
␈β
⊗␈↓ β↔␈εα=␈↓ βE␈ελf␈↓ βV␈εα(␈↓ βb␈ελm␈↓ ∧∂␈εα,␈↓ ∧∨␈ελm␈↓ ∧L␈εα,␈↓ ∧\␈ελc␈↓ ∧w␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ¬7␈ελ≠␈↓ ¬K␈εα(␈↓ ¬W␈ελm␈↓ ε∧␈εα,␈↓ ε∀␈ελm␈↓ εA␈εα,␈↓ εQ␈ελc␈↓ εm␈εα)
␈β
#␈↓ ∧↓␈ε¬2␈↓ ∧>␈ε¬1␈↓ ∧i␈ε¬1␈↓ ¬v␈ε¬3␈↓ ε3␈ε¬2␈↓ ε↑␈ε¬2
␈β
A␈↓ β↔␈εα=␈↓ βE␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓
␈β
l␈↓ β↔␈εα=␈↓ βE␈ελf␈↓ βV␈εα(␈↓ βb␈ελm␈↓ ∧∂␈εα,␈↓ ∧∨␈ελm␈↓ ∧L␈εα,␈↓ ∧\␈ελc␈↓ ∧w␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ¬7␈ελf␈↓ ¬I␈εα(␈↓ ¬U␈ελm␈↓ εα␈εα,␈↓ ε∩␈ελm␈↓ ε?␈εα,␈↓ εO␈ελc␈↓ εj␈εα)␈αλ+␈↓ π*␈ελf␈↓ π;␈εα(␈↓ πG␈ελm␈↓ πt␈εα,␈↓ λ∧␈ελm␈↓ λ1␈εα,␈↓ λA␈ελc␈↓ λ]␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	≥␈ελf␈↓ 	.␈εα(␈↓ 	:␈ελm␈↓ 	g␈εα,␈↓ 	w␈ελm␈↓ 
$␈εα,␈↓ 
4␈ελc␈↓ 
O␈εα).
␈β
z␈↓ ∧↓␈ε¬2␈↓ ∧>␈ε¬1␈↓ ∧i␈ε¬1␈↓ ¬s␈ε¬3␈↓ ε0␈ε¬2␈↓ ε\␈ε¬2␈↓ πf␈ε¬4␈↓ λ#␈ε¬3␈↓ λN␈ε¬3␈↓ 	X␈ε¬5␈↓ 
∃␈ε¬4␈↓ 
A␈ε¬4
␈β∞7␈↓ ↓H␈εαThe␈α|rst␈αpart␈α\␈↓ β<␈ελh␈↓ βN␈εα/␈↓ β`␈ελk␈↓ βy␈εα+␈↓ ∧%␈ελk␈↓ ∧7␈εα/␈↓ ∧I␈ελh␈↓ ∧[␈εα"␈αof␈αthe␈αform␈α␈ula␈αfor␈↓ π≡␈ελf␈↓ π/␈εα(␈↓ π;␈ελh␈↓ πM␈εα,␈↓ π]␈ελk␈↓ πo␈εα,␈↓ π␈␈ελc␈↓ λ
␈εα)␈αin␈α(19)␈αcon␈α␈tributes
␈β∞v␈↓ β4␈ελm␈↓ ∧≥␈ελm␈↓ ¬ε␈ελm␈↓ ¬o␈ελm␈↓ εX␈ελm␈↓ πA␈ελm␈↓ λ*␈ελm␈↓ 	∪␈ελm
␈β∂β␈↓ βS␈ε¬2␈↓ ∧<␈ε¬1␈↓ ¬%␈ε¬3␈↓ ε∞␈ε¬2␈↓ εw␈ε¬4␈↓ π`␈ε¬3␈↓ λI␈ε¬5␈↓ 	2␈ε¬4
␈β∂
␈↓ βm␈εα+␈↓ ∧V␈ε⊗␈␈↓ ¬?␈ε⊗␈␈↓ ε(␈εα+␈↓ π⊃␈εα+␈↓ πz␈ε⊗␈␈↓ λc␈ε⊗␈
␈β∂≥␈↓ β4␈∧∂≥β4α-␈↓ ∧≥␈∧∂≥∧≥α-␈↓ ¬ε␈∧∂≥¬εα-␈↓ ¬o␈∧∂≥¬oα-␈↓ εX␈∧∂≥εXα-␈↓ πA␈∧∂≥πAα-␈↓ λ*␈∧∂≥λ*α-␈↓ 	∪␈∧∂≥	∪α-
␈β∂%␈↓ β4␈ελm␈↓ ∧≥␈ελm␈↓ ¬ε␈ελm␈↓ ¬o␈ελm␈↓ εX␈ελm␈↓ πA␈ελm␈↓ λ*␈ελm␈↓ 	∪␈ελm
␈β∂2␈↓ βS␈ε¬1␈↓ ∧<␈ε¬2␈↓ ¬%␈ε¬2␈↓ ε∞␈ε¬3␈↓ εw␈ε¬3␈↓ π`␈ε¬4␈↓ λI␈ε¬4␈↓ 	2␈ε¬5
␈β∂j␈↓ ↓H␈εαto␈αthe␈αtotal,␈αand␈αthis␈αsimpli|es␈αto
␈β⊂1␈↓ α:␈ε↓∩␈↓ βX␈ε↓∪␈↓ ¬␈ε↓∩␈↓ ε)␈ε↓∪␈↓ π\␈ε↓∩␈↓ λz␈ε↓∪
␈β⊂4␈↓ ↓p␈ελh␈↓ β'␈ελm␈↓ ∧&␈ελm␈↓ ¬x␈ελm␈↓ εw␈ελm␈↓ λI␈ελm␈↓ 	H␈ελm
␈β⊂B␈↓ βE␈ε¬3␈↓ ∧D␈ε¬3␈↓ ε⊗␈ε¬4␈↓ π∃␈ε¬4␈↓ λh␈ε¬5␈↓ 	f␈ε¬5
␈β⊂K␈↓ α∞␈εα+␈↓ αP␈ελa␈↓ αw␈εα+␈↓ βv␈ε⊗␈␈↓ ∧←␈ε⊗␈␈↓ ¬!␈ελa␈↓ ¬H␈εα+␈↓ εG␈εα+␈↓ π0␈εα+␈↓ πr␈ελa␈↓ λ→␈εα+␈↓ 	_␈ε⊗␈␈↓ 
↓␈ε⊗␈␈↓ 
-␈ελa
␈β⊂X␈↓ α`␈ε¬1␈↓ ¬1␈ε¬2␈↓ λβ␈ε¬3␈↓ 
>␈ε¬4
␈β⊂[␈↓ ↓p␈∧⊂[↓pα∩␈↓ β'␈∧⊂[β'α-␈↓ ∧&␈∧⊂[∧&α-␈↓ ¬x␈∧⊂[¬xα-␈↓ εw␈∧⊂[εwα-␈↓ λI␈∧⊂[λIα-␈↓ 	H␈∧⊂[	Hα-
␈β⊂c␈↓ ↓p␈ελk␈↓ β'␈ελm␈↓ ∧&␈ελm␈↓ ¬x␈ελm␈↓ εw␈ελm␈↓ λI␈ελm␈↓ 	H␈ελm
␈β⊂q␈↓ βE␈ε¬2␈↓ ∧D␈ε¬2␈↓ ε⊗␈ε¬3␈↓ π∃␈ε¬3␈↓ λh␈ε¬4␈↓ 	f␈ε¬4
␈β⊃~␈↓ πN␈εα=␈↓ π|␈ελh␈↓ λ∞␈εα/␈↓ λ ␈ελk␈↓ λ:␈εα+␈↓ λf␈ελa␈↓ 	
␈ε⊗␈␈↓ 	9␈ελa␈↓ 	`␈εα+␈↓ 
␈ελa␈↓ 
3␈ε⊗␈␈↓ 
←␈ελa␈↓ 
}␈εα.
␈β⊃(␈↓ λv␈ε¬1␈↓ 	J␈ε¬2␈↓ 
≥␈ε¬3␈↓ 
p␈ε¬4
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.3␈ε∞␈↓ λTH␈α␈EORETICA␈α␈L␈α	TEST␈α␈S␈↓ λ␈εα81
␈βα&␈↓ ↓H␈εαThe␈α∞next␈α∞part␈α∞\1/␈↓ βn␈ελh␈↓ ∧␈ελk␈↓ ∧∩␈εα"␈α∞of␈α∞(19)␈α∞also␈α∞leads␈α∞to␈α∞a␈α∞simple␈α∞con␈α␈tribution;␈α∂according␈α∞to
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαEq.␈α4.5.3↑9␈αand␈αother␈αform␈α␈ulas␈αin␈αSection␈α4.5.3,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈ββ%␈↓ λk␈ε→0
␈ββ+␈↓ β∞␈εα1/␈↓ β2␈ελm␈↓ β←␈ελm␈↓ ∧∀␈ε⊗␈␈εα␈αλ1/␈↓ ∧d␈ελm␈↓ ¬⊃␈ελm␈↓ ¬F␈εα+␈αλ1/␈↓ ε⊗␈ελm␈↓ εC␈ελm␈↓ εx␈ε⊗␈␈εα␈αλ1/␈↓ πH␈ελm␈↓ πu␈ελm␈↓ λ+␈εα=␈↓ λY␈ελh␈↓ λs␈εα/␈↓ 	¬␈ελk␈↓ 	≡␈ε⊗␈␈εα␈αλ1,␈↓ 
p␈εα(35)
␈ββ8␈↓ βP␈ε¬1␈↓ β⎇␈ε¬2␈↓ ¬α␈ε¬2␈↓ ¬/␈ε¬3␈↓ ε4␈ε¬3␈↓ εa␈ε¬4␈↓ πf␈ε¬4␈↓ λ∪␈ε¬5
␈ββ␈␈↓ αB␈ε→0
␈β∧∧␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελh␈↓ αU␈εαis␈αthe␈αunique␈αin␈α␈teger␈αsatisfying
␈β∧W␈↓ ∧B␈ε→0␈↓ πi␈ε→0
␈β∧]␈↓ ∧0␈ελh␈↓ ∧I␈ελh␈↓ ∧e␈ε⊗⊃␈εα␈α
1␈α
(modulo␈↓ ε;␈ελk␈↓ εM␈εα),␈α*0␈α
<␈↓ πW␈ελh␈↓ πz␈ε⊗∀␈↓ λ(␈ελk␈↓ λ:␈εα.␈↓ 
p␈εα(36)
␈β¬7␈↓ ↓H␈εαAdding␈α
up␈α
all␈α
the␈α
con␈α␈tributions,␈α∞and␈α
remem␈α␈bering␈α
our␈α
assumption␈α
that␈↓ 
C␈ελc␈↓ 
k␈εα=␈α0
␈β¬B␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ ¬≤␈ε↓↓
␈β¬D␈↓ 
P␈ε¬4
␈β¬b␈↓ ↓V␈εαso␈αthat␈↓ αP␈ελe␈↓ α↑␈εα(␈↓ αj␈ελm␈↓ β↔␈εα,␈↓ β'␈ελc␈↓ βB␈εα)␈α
=␈α
0,␈αcf.␈α(20)␈↓ ¬*␈εα,␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈β¬o␈↓ βλ␈ε¬4␈↓ β4␈ε¬3
␈βε6␈↓ ∧W␈ε→0
␈βε;␈↓ β␈␈ελh␈↓ ∧→␈εα+␈↓ ∧E␈ελh
␈βεR␈↓ αE␈ελ≠␈↓ αY␈εα(␈↓ αe␈ελh␈↓ αw␈εα,␈↓ βπ␈ελk␈↓ β→␈εα,␈↓ β)␈ελc␈↓ β7␈εα)␈↓ βM␈εα=␈↓ ∧j␈εα+␈αλ(␈↓ ¬"␈ελa␈↓ ¬I␈ε⊗␈␈↓ ¬u␈ελa␈↓ ε≥␈εα+␈↓ εI␈ελa␈↓ εp␈ε⊗␈␈↓ π≤␈ελa␈↓ π;␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ6(␈↓ λ→␈ελb␈↓ λ<␈ε⊗␈␈↓ λh␈ελb␈↓ 	␈εα+␈↓ 	8␈ελb␈↓ 	[␈ε⊗␈␈↓ 
π␈ελb␈↓ 
#␈εα)
␈βε`␈↓ ¬3␈ε¬1␈↓ εε␈ε¬2␈↓ εY␈ε¬3␈↓ π-␈ε¬4␈↓ λ&␈ε¬1␈↓ λu␈ε¬2␈↓ 	E␈ε¬3␈↓ 
∀␈ε¬4
␈βεb␈↓ β␈␈∧εbβ␈α←
␈βεk␈↓ ∧&␈ελk
␈βεm␈↓ ∧Q␈ε↓0␈↓ 	
␈ε↓1
␈βπ∂␈↓ ¬~␈ε¬2␈↓ ε0␈ε¬2␈↓ πF␈ε¬2␈↓ λ\␈ε¬2
␈βπ∀␈↓ ¬␈ελc␈↓ ε"␈ελc␈↓ π8␈ελc␈↓ λN␈ελc
␈βπ&␈↓ ¬~␈ε¬1␈↓ ε0␈ε¬2␈↓ πF␈ε¬3␈↓ λ\␈ε¬4
␈βπ.␈↓ ∧Q␈ε↓@␈↓ 	
␈ε↓A
␈βπ8␈↓ ∧∪␈εα+␈αλ6␈↓ ¬S␈ε⊗␈␈↓ εi␈εα+␈↓ π␈␈ε⊗␈␈↓ 	-␈εα+␈αλ2,
␈βπH␈↓ ∧m␈∧πH∧mαZ␈↓ εβ␈∧πHεβαZ␈↓ π→␈∧πHπ→αZ␈↓ λ/␈∧πHλ/αZ
␈βπP␈↓ ∧m␈ελm␈↓ ¬~␈ελm␈↓ εβ␈ελm␈↓ ε0␈ελm␈↓ π→␈ελm␈↓ πF␈ελm␈↓ λ/␈ελm␈↓ λ\␈ελm
␈βπ↑␈↓ ¬␈ε¬1␈↓ ¬9␈ε¬2␈↓ ε"␈ε¬2␈↓ εO␈ε¬3␈↓ π8␈ε¬3␈↓ πe␈ε¬4␈↓ λN␈ε¬4␈↓ λ{␈ε¬5
␈βλ=␈↓ ↓H␈εαin␈αterms␈αof␈αthe␈αassumed␈αtableau␈α(32).␈αSimilar␈αresults␈αhold␈αin␈αgeneral:
␈β	∧␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈α
D.␈ε∂␈α↔Let␈↓ β\␈ελh␈↓ βn␈ε∂,␈↓ ∧β␈ελk␈↓ ∧∃␈ε∂,␈↓ ∧*␈ελc␈↓ ∧C␈ε∂be␈α
in␈α␈tegers␈αwith␈εα␈α0␈α
<␈↓ π⊂␈ελh␈↓ π,␈ε⊗∀␈↓ πZ␈ελk␈↓ πl␈ε∂,␈εα␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ λK␈ελc␈↓ λc␈εα<␈↓ 	⊃␈ελk␈↓ 	#␈ε∂,␈αand␈↓ 	⎇␈ελh␈↓ 
→␈ε∂relativ␈α␈ely
␈β	/␈↓ ↓H␈ε∂prime␈αto␈↓ αZ␈ελk␈↓ αl␈ε∂.␈αForm␈αthe␈α\Euclidean␈αtableau"␈αas␈αde|ned␈αin␈εα␈α(33)␈ε∂␈αabo␈α␈v␈α␈e,␈αand␈αassume
␈β	[␈↓ ↓H␈ε∂that␈αλthe␈αλprocess␈α	stops␈αλafter␈↓ ∧o␈ελt␈↓ ¬∧␈ε∂steps␈α	with␈↓ ε)␈ελm␈↓ ππ␈εα=␈α
1␈ε∂.␈αLet␈↓ λ~␈ελs␈↓ λ2␈ε∂be␈αλthe␈αλsmallest␈αλsubscript
␈β	h␈↓ εH␈εt␈↓ εR␈ε¬+1
␈β
↓␈↓ ∧m␈ε→0
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε∂such␈αthat␈↓ αh␈ελc␈↓ β␈εα=␈α
0␈ε∂,␈αand␈αlet␈↓ ∧[␈ελh␈↓ ¬␈ε∂be␈αde|ned␈αby␈εα␈α(36)␈ε∂.␈αThen
␈β
∪␈↓ αu␈εs
␈β
@␈↓ ε#␈ε↓0␈↓ 	
␈ε↓1
␈β
\␈↓ λD␈ε¬2
␈β
a␈↓ λ6␈ελc
␈β
g␈↓ ∧R␈ε↓X
␈β
n␈↓ β⎇␈ε→0
␈β
s␈↓ λD␈εj
␈β
t␈↓ β%␈ελh␈↓ β?␈εα+␈↓ βk␈ελh
␈β␈↓ ε#␈ε↓@␈↓ 	
␈ε↓A
␈β∧␈↓ ¬j␈εj␈↓ ¬w␈ε¬+1
␈β
␈↓ ↓l␈ελ≠␈↓ α␈εα(␈↓ α␈ελh␈↓ α≡␈εα,␈↓ α.␈ελk␈↓ α?␈εα,␈↓ αO␈ελc␈↓ α]␈εα)␈α
=␈↓ ∧⊂␈εα+␈↓ ¬≤␈εα(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ ¬↑␈εα)␈↓ ε;␈ελa␈↓ εa␈ε⊗␈␈εα␈αλ6␈↓ π∨␈ελb␈↓ πA␈εα+␈αλ6
␈β_␈↓ εK␈εj␈↓ π,␈εj
␈β≠␈↓ β%␈∧≠β%α←␈↓ λβ␈∧≠λβα↓β
␈β#␈↓ βL␈ελk␈↓ λβ␈ελm␈↓ λ/␈ελm
␈β0␈↓ λ!␈εj␈↓ λM␈εj␈↓ λZ␈ε¬+1
␈β<␈↓ ∧<␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ ∧h␈εj␈↓ ∧u␈ε→∀␈↓ ¬∩␈εt
␈βQ␈↓ π ␈ε↓␈␈↓ λd␈ε↓↓
␈βj␈↓ π|␈εs␈↓ 
:␈εt
␈βp␈↓ εb␈εα+␈αλ3␈↓ π.␈εα(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ πp␈εα)␈↓ λ⊃␈εα+␈↓ λ=␈ελ∞␈↓ λz␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈αλ+␈αλ(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ 
.␈εα)␈↓ 
E␈εα.
␈βu␈↓ 
v␈∧u
v≠∂
␈β}␈↓ λJ␈εs␈↓ λV␈ε¬1
␈β
⊃␈↓ α␈εαEuclid's␈α∞algorithm␈α∞is␈α
analyzed␈α∞carefully␈α∞in␈α
Section␈α∞4.5.3;␈α∂the␈α∞quan␈α␈tities␈↓ β␈ελa␈↓ "␈εα,
␈β
∨␈↓ ∀␈ε¬1
␈β
=␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓g␈εα,␈↓ ↓␈␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α/␈εα,␈↓ αG␈ελa␈↓ αp␈εαare␈α∞called␈α
the␈ε∂␈α∞partial␈α∞quotien␈α␈ts␈εα␈α
of␈↓ π∪␈ελh␈↓ π%␈εα/␈↓ π7␈ελk␈↓ πI␈εα.␈α⊃Theorem␈α
4.5.3F␈α∞tells␈α∞us␈α
that
␈β
J␈↓ ↓X␈ε¬2␈↓ αX␈εt
␈β
h␈↓ ↓H␈εαthe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α
iterations,␈↓ ∧b␈ελt␈↓ ∧o␈εα,␈α∞will␈α
nev␈α␈er␈α∞ex␈α␈ceed␈↓ π#␈εαlog␈↓ πh␈ελk␈↓ πz␈εα;␈α∞hence␈α
Dedekind␈α∞sums␈α
can
␈β
y␈↓ πQ␈ε≡
␈β∞∪␈↓ ¬l␈ε¬2
␈β∞_␈↓ ↓H␈εαbe␈α∞evaluated␈α∞rapidly.␈α∩The␈α∞terms␈↓ ¬↑␈ελc␈↓ ¬{␈εα/␈↓ ε
␈ελm␈↓ ε8␈ελm␈↓ π≡␈εαcan␈α∞be␈α∞simpli|ed␈α∞further,␈α∞and␈α∞an
␈β∞%␈↓ ε+␈εj␈↓ εW␈εj␈↓ εd␈ε¬+1
␈β∞*␈↓ ¬l␈εj
␈β∞C␈↓ ↓H␈εαe}cien␈α␈t␈αalgorithm␈αfor␈αevaluating␈↓ ¬Y␈ελ≠␈↓ ¬m␈εα(␈↓ ¬y␈ελh␈↓ ε␈εα,␈↓ ε≠␈ελk␈↓ ε,␈εα,␈↓ ε<␈ελc␈↓ εJ␈εα)␈αappears␈αin␈αex␈α␈ercise␈α17.
␈β∞⎇␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈α∂that␈α⊂w␈α␈e␈α∂hav␈α␈e␈α∂analyzed␈α⊂generalized␈α∂Dedekind␈α∂sums,␈α⊂let␈α⊂us␈α∂apply␈α∂our
␈β∂(␈αAH␈εαkno␈α␈wledge␈αto␈αthe␈αdetermination␈αof␈αserial␈αcorrelation␈αcoe}cien␈α␈ts.
␈β∂k␈↓ λ↓␈ε¬35␈↓ 	∂␈ε¬3␈α↓4
␈β∂p␈↓ ↓H␈ε∩Example␈α1.␈ε∂␈α→Find␈αthe␈αserial␈αcorrelation␈αwhen␈↓ π↔␈ελm␈↓ πA␈εα=␈↓ πo␈εα2␈↓ λ≥␈ε∂,␈↓ λ3␈ελa␈↓ λO␈εα=␈↓ λ⎇␈εα2␈↓ 	4␈εα+␈αλ1␈ε∂,␈↓ 
λ␈ελc␈↓ 
 ␈εα=␈α
1␈ε∂.
␈β⊂=␈↓ ↓H␈ε∂Solution.␈εα␈α→We␈αhav␈α␈e
␈β⊂w␈↓ βα␈ε↓␈␈↓ 	~␈ε↓↓
␈β⊃⊃␈↓ β"␈ε¬3␈α↓5␈↓ βq␈ε¬34␈↓ ∧v␈ε¬35␈↓ εk␈ε¬35␈↓ πY␈ε¬3␈α↓4␈↓ 	X␈ε¬7␈α↓0
␈β⊃↔␈↓ α-␈ελC␈↓ αT␈εα=␈↓ β⊂␈εα2␈↓ β?␈ελ≠␈↓ βS␈εα(␈↓ β←␈εα2␈↓ ∧⊗␈εα+␈αλ1,␈↓ ∧d␈εα2␈↓ ¬∪␈εα,␈αε1)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ3␈αλ+␈αλ6(␈↓ εY␈εα2␈↓ π∂␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ πG␈εα2␈↓ π}␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ1)␈↓ 	(␈εα/(␈↓ 	F␈εα2␈↓ 	⎇␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα82␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.3
␈βα!␈↓ ¬λ␈ε¬34␈↓ ε␈ε¬3␈α↓5
␈βα&␈↓ ↓H␈εαby␈αEq.␈α(17).␈αTo␈αevaluate␈↓ ∧V␈ελ≠␈↓ ∧j␈εα(␈↓ ∧v␈εα2␈↓ ¬,␈εα+␈αλ1,␈↓ ¬z␈εα2␈↓ ε)␈εα,␈αε1),␈αw␈α␈e␈αcan␈αform␈αthe␈αtableau
␈βαu␈↓ ∧
␈ε¬35
␈βα{␈↓ β⊗␈ελm␈↓ βM␈εα=␈↓ β{␈εα2␈↓ πL␈ελc␈↓ πq␈εα=␈α
1
␈ββλ␈↓ β4␈ε¬1␈↓ πY␈ε¬1
␈ββ!␈↓ ∧
␈ε¬34
␈ββ&␈↓ β⊗␈ελm␈↓ βM␈εα=␈↓ β{␈εα2␈↓ ∧2␈εα+␈αλ1␈↓ ¬8␈ελa␈↓ ¬a␈εα=␈α
1␈↓ πL␈ελc␈↓ πq␈εα=␈α
1␈↓ λy␈ελb␈↓ 	≡␈εα=␈α
0
␈ββ3␈↓ β4␈ε¬2␈↓ ¬H␈ε¬1␈↓ πY␈ε¬2␈↓ 	ε␈ε¬1
␈ββL␈↓ ∧
␈ε¬34
␈ββQ␈↓ β⊗␈ελm␈↓ βM␈εα=␈↓ β{␈εα2␈↓ ∧2␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ ¬8␈ελa␈↓ ¬a␈εα=␈α
1␈↓ πL␈ελc␈↓ πq␈εα=␈α
1␈↓ λy␈ελb␈↓ 	≡␈εα=␈α
0
␈ββ↑␈↓ β4␈ε¬3␈↓ ¬H␈ε¬2␈↓ πY␈ε¬3␈↓ 	ε␈ε¬2
␈ββw␈↓ ε!␈ε¬33
␈ββ|␈↓ β⊗␈ελm␈↓ βM␈εα=␈α
2␈↓ ¬8␈ελa␈↓ ¬a␈εα=␈↓ ε∂␈εα2␈↓ εF␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ πL␈ελc␈↓ πq␈εα=␈α
1␈↓ λy␈ελb␈↓ 	≡␈εα=␈α
0
␈β∧
␈↓ β4␈ε¬4␈↓ ¬H␈ε¬3␈↓ πY␈ε¬4␈↓ 	ε␈ε¬3
␈β∧'␈↓ β⊗␈ελm␈↓ βM␈εα=␈α
1␈↓ ¬8␈ελa␈↓ ¬a␈εα=␈α
2␈↓ πL␈ελc␈↓ πq␈εα=␈α
0␈↓ λy␈ελb␈↓ 	≡␈εα=␈α
1
␈β∧5␈↓ β4␈ε¬5␈↓ ¬H␈ε¬4␈↓ πY␈ε¬5␈↓ 	ε␈ε¬4
␈β∧s␈↓ α6␈ε→0␈↓ βλ␈ε¬34␈↓ 	F␈ε¬3␈α↓3␈↓ 
i␈ε→␈␈ε¬32
␈β∧x␈↓ ↓H␈εαSince␈↓ α$␈ελh␈↓ αH␈εα=␈↓ αv␈εα2␈↓ β+␈εα+␈αε1,␈αthe␈αvalue␈αaccording␈αto␈α
Theorem␈αD␈αcomes␈αto␈↓ 	4␈εα2␈↓ 	j␈ε⊗␈␈εα␈αε3␈αε+␈↓ 
W␈εα2␈↓ "␈εα.
␈β¬#␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us
␈β¬I␈↓ ∧!␈ε¬68␈↓ ¬@␈ε¬70␈↓ 	β␈ε→␈␈ε¬67
␈β¬K␈↓ εj␈ε¬1
␈β¬N␈↓ β.␈ελC␈↓ βU␈εα=␈α
(␈↓ ∧∂␈εα2␈↓ ∧F␈εα+␈αλ5)/(␈↓ ¬.␈εα2␈↓ ¬d␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈α
=␈↓ π¬␈εα+␈↓ π1␈ελ∂␈↓ π?␈εα,␈ε⊗␈↓ λ↔j␈↓ λ!␈ελ∂␈↓ λ/␈ε⊗j␈εα␈α
<␈↓ λq␈εα2␈↓ 	<␈εα.␈↓ 
p␈εα(37)
␈β¬←␈↓ εj␈∧¬←εjα∂
␈β¬a␈↓ εj␈ε¬4
␈βε∩␈↓ ↓H␈εαSuch␈αa␈αcorrelation␈αis␈αm␈α␈uch,␈α
m␈α␈uch␈αtoo␈αhigh␈αfor␈αrandomness.␈α
Of␈αcourse,␈αthis␈αgen-
␈βε=␈↓ ↓H␈εαerator␈α⊂has␈α⊂v␈α␈ery␈α⊂lo␈α␈w␈α⊂potency,␈α⊃and␈α⊃w␈α␈e␈α⊂hav␈α␈e␈α⊂already␈α⊂rejected␈α⊂it␈α⊂as␈α⊂nonrandom.
␈βεx␈↓ 	N␈ε¬10
␈βε⎇␈↓ ↓H␈ε∩Example␈α	2.␈ε∂␈α∀Find␈α
the␈α	appro␈α␈ximate␈α
serial␈α
correlation␈α	when␈↓ λR␈ελm␈↓ λ|␈εα=␈α
1␈↓ 	<␈εα0␈↓ 	j␈ε∂,␈↓ 	␈␈ελa␈↓ 
~␈εα=␈α
10001␈ε∂,
␈βπ(␈↓ ↓H␈ελc␈↓ ↓`␈εα=␈α
2113248653␈ε∂.
␈βπh␈↓ ↓H␈ε∂Solution.␈εα␈α↔We␈αhav␈α␈e␈↓ β␈␈ελC␈↓ ∧&␈ε⊗→␈↓ ∧T␈ελ≠␈↓ ∧h␈εα(␈↓ ∧t␈ελa␈↓ ¬ε␈εα,␈↓ ¬⊗␈ελm␈↓ ¬6␈εα,␈↓ ¬F␈ελc␈↓ ¬T␈εα)/␈↓ ¬r␈ελm␈↓ ε⊃␈εα,␈αand␈αthe␈αcomputation␈αproceeds␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈βλ7␈↓ ↓t␈ελm␈↓ α+␈εα=␈↓ αY␈εα10000000000␈↓ εr␈ελc␈↓ π↔␈εα=␈↓ πE␈εα2113248653
␈βλD␈↓ α∩␈ε¬1␈↓ ε␈␈ε¬1
␈βλb␈↓ ↓t␈ελm␈↓ α+␈εα=␈↓ βE␈εα10001␈↓ ∧g␈ελa␈↓ ¬⊂␈εα=␈↓ ¬>␈εα999900␈↓ εr␈ελc␈↓ π↔␈εα=␈↓ λ1␈εα7350␈↓ 	A␈ελb␈↓ 	g␈εα=␈↓ 
∃␈εα211303
␈βλo␈↓ α∩␈ε¬2␈↓ ∧w␈ε¬1␈↓ ε␈␈ε¬2␈↓ 	N␈ε¬1
␈β	
␈↓ ↓t␈ελm␈↓ α+␈εα=␈↓ βi␈εα100␈↓ ∧g␈ελa␈↓ ¬⊂␈εα=␈↓ ¬t␈εα100␈↓ εr␈ελc␈↓ π↔␈εα=␈↓ λU␈εα50␈↓ 	A␈ελb␈↓ 	g␈εα=␈↓ 
]␈εα73
␈β	~␈↓ α∩␈ε¬3␈↓ ∧w␈ε¬2␈↓ ε␈␈ε¬3␈↓ 	N␈ε¬2
␈β	8␈↓ ↓t␈ελm␈↓ α+␈εα=␈↓ ∧
␈εα1␈↓ ∧g␈ελa␈↓ ¬⊂␈εα=␈↓ ¬t␈εα100␈↓ εr␈ελc␈↓ π↔␈εα=␈↓ λg␈εα0␈↓ 	A␈ελb␈↓ 	g␈εα=␈↓ 
]␈εα50
␈β	F␈↓ α∩␈ε¬4␈↓ ∧w␈ε¬3␈↓ ε␈␈ε¬4␈↓ 	N␈ε¬3
␈β
␈↓ ∧5␈ελ≠␈↓ ∧I␈εα(␈↓ ∧U␈ελm␈↓ ¬α␈εα,␈↓ ¬∩␈ελm␈↓ ¬?␈εα,␈↓ ¬O␈ελc␈↓ ¬k␈εα)␈α
=␈ε⊗␈α
␈␈εα31.6926653544;
␈β
∞␈↓ ∧t␈ε¬2␈↓ ¬1␈ε¬1␈↓ ¬\␈ε¬1
␈β
5␈↓ εf␈ε→␈␈ε¬9
␈β
:␈↓ ¬≥␈ελC␈↓ ¬D␈ε⊗→␈α
␈␈εα3␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ1␈↓ εT␈εα0␈↓ π⊃␈εα.␈↓ 
p(38)
␈β∞␈↓ ↓H␈εαThis␈α
is␈α∞a␈α
v␈α␈ery␈α∞respectable␈α
value␈α∞of␈↓ ¬{␈ελC␈↓ ε&␈εαindeed.␈α⊃But␈α
the␈α∞generator␈α
has␈α∞a␈α
potency
␈β9␈↓ ↓H␈εαof␈α
only␈α∞3,␈ε∂␈α∞so␈α
it␈α∞is␈α∞not␈α
really␈α∞a␈α∞v␈α␈ery␈α
good␈α∞source␈α
of␈α∞random␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α
in␈α∞spite␈α
of
␈βd␈↓ ↓H␈ε∂the␈α∂fact␈α∂that␈α∂it␈α∂has␈α∂lo␈α␈w␈α∂serial␈α∂correlation.␈εα␈α∃It␈α∂is␈α∂necessary␈α∂to␈α∂hav␈α␈e␈α∂a␈α∂lo␈α␈w␈α∂serial
␈β⊂␈↓ ↓H␈εαcorrelation,␈αbut␈αnot␈αsu}cien␈α␈t.
␈βP␈↓ ↓H␈ε∩Example␈α3.␈ε∂␈α→Estimate␈αthe␈αserial␈αcorrelation␈αfor␈αgeneral␈↓ λ/␈ελa␈↓ λA␈ε∂,␈↓ λW␈ελm␈↓ λv␈ε∂,␈↓ 	␈ελc␈↓ 	≠␈ε∂.
␈β
∂␈↓ ↓H␈ε∂Solution.␈εα␈α→If␈αw␈α␈e␈αconsider␈αjust␈αone␈αapplication␈αof␈α(30),␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β
←␈↓ ε>␈ε¬2
␈β
d␈↓ ¬7␈ελm␈↓ ε0␈ελc␈↓ π'␈ελc
␈β
z␈↓ βp␈ελ≠␈↓ ∧∧␈εα(␈↓ ∧⊂␈ελa␈↓ ∧"␈εα,␈↓ ∧2␈ελm␈↓ ∧Q␈εα,␈↓ ∧a␈ελc␈↓ ∧o␈εα)␈ε⊗␈α
→␈↓ ¬c␈εα+␈αλ6␈↓ εc␈ε⊗␈␈εα␈αλ6␈↓ πC␈ε⊗␈␈↓ πo␈ελ≠␈↓ λβ␈εα(␈↓ λ∂␈ελm␈↓ λ.␈εα,␈↓ λ>␈ελa␈↓ λP␈εα,␈↓ λ`␈ελc␈↓ λn␈εα).
␈β∞␈↓ ¬7␈∧∞¬7α ␈↓ ε%␈∧∞ε%α2␈↓ π%␈∧∞π%α∩
␈β∞∪␈↓ ¬>␈ελa␈↓ ε%␈ελa␈↓ ε7␈ελm␈↓ π%␈ελa
␈β∞[␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈ε⊗␈αj␈↓ α%␈ελ≠␈↓ α9␈εα(␈↓ αE␈ελm␈↓ αd␈εα,␈↓ αt␈ελa␈↓ βε␈εα,␈↓ β⊗␈ελc␈↓ β$␈εα)␈ε⊗j␈εα␈α
<␈↓ βr␈ελa␈↓ ∧⊂␈εαby␈αex␈α␈ercise␈α12,␈αand␈αtherefore
␈β∂*␈↓ ε(␈ε↓ ␈↓ λf␈ε↓!
␈β∂,␈↓ ∧F␈ελ≠␈↓ ∧Z␈εα(␈↓ ∧f␈ελa␈↓ ∧x␈εα,␈↓ ¬λ␈ελm␈↓ ¬(␈εα,␈↓ ¬8␈ελc␈↓ ¬F␈εα)␈↓ λX␈ε¬2
␈β∂5␈↓ λ∧␈ε↓∩␈↓ λB␈ε↓∪
␈β∂8␈↓ ε∩␈εα1␈↓ π#␈ελc␈↓ λ'␈ελc
␈β∂O␈↓ βm␈ελC␈↓ ∧∀␈ε⊗→␈↓ ¬`␈ε⊗→␈↓ ε?␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ6␈↓ πF␈εα+␈αλ6␈↓ λ⎇␈εα.␈↓ 
p␈εα(39)
␈β∂←␈↓ ∧F␈∧∂←∧Fα↓␈↓ ε∩␈∧∂←ε∩α∩␈↓ π≠␈∧∂←π≠α ␈↓ λ≡␈∧∂←λ≡α 
␈β∂h␈↓ ∧|␈ελm␈↓ ε∩␈ελa␈↓ π≠␈ελm␈↓ λ≡␈ελm
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαThe␈αerror␈αin␈αthis␈αappro␈α␈ximation␈αis␈αless␈αthan␈α(␈↓ π⊃␈ελa␈↓ π+␈εα+␈αλ6)/␈↓ λπ␈ελm␈↓ λ2␈εαin␈αabsolute␈αvalue.
␈β⊂o␈↓ α␈εαThe␈αλestimate␈α	in␈αλ(39)␈α	was␈αλthe␈α	|rst␈αλtheoretical␈α	result␈αλkno␈α␈wn␈α	about␈αλthe␈αλrandom-
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαness␈α	of␈α
congruen␈α␈tial␈α
generators.␈αR.␈α
R.␈α
Co␈α␈v␈α␈ey␈α␈ou␈α
[␈ε∂JA␈α␈CM␈ε∩␈α
7␈εα␈α	(1960),␈α72↑74]␈α	obtained
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.3␈ε∞␈↓ λTH␈α␈EORETICA␈α␈L␈α	TEST␈α␈S␈↓ λ␈εα83
␈βα(␈↓ ↓H␈εαit␈αby␈αav␈α␈eraging␈α
o␈α␈v␈α␈er␈αall␈ε∂␈α
real␈εα␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ ε≠␈ελx␈↓ ε:␈εαbet␈α␈w␈α␈een␈α
0␈αand␈↓ λ*␈ελm␈↓ λV␈εαinstead␈αof␈αconsidering
␈βαS␈↓ ↓H␈εαonly␈αthe␈αin␈α␈teger␈αvalues␈α(cf.␈αex␈α␈ercise␈α21);␈αthen␈αMartin␈αGreen␈α␈berger␈α[␈ε∂Math.␈αComp.
␈βα}␈↓ ↓H␈ε∩15␈εα␈α
(1961),␈α383↑389]␈αgav␈α␈e␈αa␈αrigorous␈αderivation␈α
including␈αan␈αestimate␈αof␈αthe␈α
error
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαterm.
␈ββX␈↓ α␈εαSo␈α⊂began␈α∂one␈α⊂of␈α∂the␈α⊂saddest␈α∂chapters␈α⊂in␈α∂the␈α⊂history␈α∂of␈α⊂computer␈α∂science!
␈β∧β␈↓ ↓H␈εαAlthough␈α	the␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α
appro␈α␈ximation␈α	is␈α
quite␈α
correct,␈α
it␈α	has␈α
been␈α
griev␈α␈ously␈α	misap-
␈β∧/␈↓ ↓H␈εαplied␈α∩in␈α∪practice;␈α⊗people␈α∪abandoned␈α∪the␈α∩perfectly␈α∪good␈α∪generators␈α∪they␈α∩had
␈β∧Z␈↓ ↓H␈εαbeen␈αusing␈α
and␈αreplaced␈α
them␈αby␈α
terrible␈αgenerators␈α
that␈αlook␈α␈ed␈αgood␈α
from␈αthe
␈β¬¬␈↓ ↓H␈εαstandpoin␈α␈t␈αof␈α
(39).␈α
For␈αmore␈α
than␈αa␈α
decade,␈αthe␈α
most␈αcommon␈αrandom-n␈α␈um␈α␈ber
␈β¬0␈↓ ↓H␈εαgenerators␈α∞in␈α∂daily␈α∂use␈α∂w␈α␈ere␈α∞seriously␈α∂de|cien␈α␈t,␈α∂solely␈α∂because␈α∂of␈α∂a␈α∞theoretical
␈β¬[␈↓ ↓H␈εαadvance.␈αA␈αlittle␈αkno␈α␈wledge␈αis␈αa␈αdangerous␈αthing.
␈βε
␈↓ α␈εαIf␈αw␈α␈e␈α
are␈αto␈αlearn␈α
by␈αpast␈αmistak␈α␈es,␈αw␈α␈e␈α
had␈αbetter␈αlook␈α
carefully␈αat␈αho␈α␈w␈α
(39)
␈βε5␈↓ ↓H␈εαhas␈α∂been␈α⊂misused.␈α↔In␈α∂the␈α⊂|rst␈α⊂place␈α∂people␈α⊂assumed␈α⊂uncritically␈α∂that␈α⊂a␈α∂small
␈βε`␈↓ ↓H␈εαserial␈α⊂correlation␈α⊂o␈α␈v␈α␈er␈α⊃the␈α⊂whole␈α⊃period␈α⊂w␈α␈ould␈α⊂be␈α⊃a␈α⊂pretty␈α⊃good␈α⊂guaran␈α␈tee␈α⊂of
␈βπ␈↓ ↓H␈εαrandomness;␈αbut␈αin␈αfact␈αit␈α
doesn't␈αev␈α␈en␈αensure␈αa␈αsmall␈αserial␈αcorrelation␈αfor␈α
1000
␈βπ7␈↓ ↓H␈εαconsecutiv␈α␈e␈αelemen␈α␈ts␈αof␈αthe␈αsequence␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α14).
␈βπe␈↓ α␈εαSecondly,␈α	(39)␈αλand␈αλits␈αλerror␈αλterm␈αλwill␈α	ensure␈αλa␈αλrelativ␈α␈ely␈αλsmall␈αλvalue␈αλof␈↓ 
C␈ελC␈↓ 
h␈εαonly
␈βλ∂␈↓ β∂␈∧λ∂β∂α ␈↓ 
␈∧λ∂
α 
␈βλ⊂␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α!␈ελa␈↓ α=␈ε⊗→␈↓ αk␈ε⊗p␈↓ β∂␈ελm␈↓ β/␈εα;␈α	therefore␈αλpeople␈απsuggested␈αλchoosing␈απm␈α␈ultipliers␈αλnear␈↓ 	g␈ε⊗p␈↓ 
␈ελm␈↓ 
*␈εα.␈αIn␈απfact,
␈βλ<␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α
shall␈α
see␈αthat␈α
nearly␈α
all␈αm␈α␈ultipliers␈α
giv␈α␈e␈αa␈α
value␈α
of␈↓ λ
␈ελC␈↓ λ4␈εαthat␈αis␈α
substan␈α␈tially␈α
less
␈βλe␈↓ αd␈∧λeαdα 
␈βλf␈↓ α@␈ε⊗p
␈βλg␈↓ ↓H␈εαthan␈α1/␈↓ αd␈ελm␈↓ β∧␈εα,␈αhence␈α
(39)␈αis␈αnot␈α
a␈αv␈α␈ery␈α
good␈αappro␈α␈ximation␈αto␈α
the␈αtrue␈αbehavior.
␈β	∩␈↓ ↓H␈εαMinimizing␈αa␈αcrude␈αupper␈αbound␈αfor␈↓ ε⊂␈ελC␈↓ ε9␈εαdoes␈αnot␈αminimize␈↓ λc␈ελC␈↓ 	␈εα.
␈β	@␈↓ α␈εαIn␈α∞the␈α∞third␈α
place,␈α∞people␈α∞observ␈α␈ed␈α∞that␈α∞(39)␈α
yields␈α∞its␈α∞best␈α∞estimate␈α
when
␈β	e␈↓ βD␈∧	eβDα∩
␈β	f␈↓ β ␈ε⊗p
␈β	g␈↓ 	N␈ε¬2
␈β	h␈↓ αC␈ε¬1␈↓ β∞␈ε¬1
␈β	l␈↓ ↓H␈ελc␈↓ ↓V␈εα/␈↓ ↓h␈ελm␈↓ α⊃␈ε⊗→␈↓ α↑␈ε⊗ε␈↓ βD␈εα3␈↓ βV␈εα,␈αsince␈αthese␈αvalues␈αare␈αthe␈αroots␈αof␈α1␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ6␈↓ λc␈ελx␈↓ λ}␈εα+␈απ6␈↓ 	;␈ελx␈↓ 	g␈εα=␈α
0.␈α\In␈αthe
␈β	|␈↓ αC␈∧	|αCα∂␈↓ β∞␈∧	|β∞α∂
␈β	}␈↓ αC␈ε¬2␈↓ β∞␈ε¬6
␈β
↔␈↓ ↓H␈εαabsence␈α
of␈α
an␈α␈y␈α
other␈α
criterion␈α
for␈α
choosing␈↓ εe␈ελc␈↓ εs␈εα,␈αw␈α␈e␈α
migh␈α␈t␈α
as␈α
w␈α␈ell␈α
use␈α
this␈α
one."␈αThe
␈β
B␈↓ ↓H␈εαlatter␈α	statemen␈α␈t␈α	is␈α	not␈α
incorrect,␈α
but␈α	it␈α	is␈α	misleading␈α
at␈α	best,␈α
since␈α	experience␈α	has
␈β
m␈↓ ↓H␈εαsho␈α␈wn␈α
that␈α
the␈αvalue␈α
of␈↓ ∧B␈ελc␈↓ ∧[␈εαhas␈α
hardly␈α
an␈α␈y␈α
in⎇uence␈αon␈α
the␈α
true␈αvalue␈α
of␈α
the␈α
serial
␈β∩␈↓ 	p␈∧∩	pα∩
␈β∪␈↓ 	L␈ε⊗p
␈β∃␈↓ λn␈ε¬1␈↓ 	9␈ε¬1
␈β_␈↓ ↓H␈εαcorrelation␈αwhen␈↓ β[␈ελa␈↓ βz␈εαis␈α
a␈αgood␈α
m␈α␈ultiplier;␈α
the␈α
choice␈↓ πp␈ελc␈↓ π}␈εα/␈↓ λ⊂␈ελm␈↓ λ;␈ε⊗→␈↓ 		␈ε⊗ε␈↓ 	p␈εα3␈↓ 
∞␈εαreduces␈↓ ∂␈ελC
␈β)␈↓ λn␈∧)λnα∂␈↓ 	9␈∧)	9α∂
␈β+␈↓ λn␈ε¬2␈↓ 	9␈ε¬6
␈βD␈↓ ↓H␈εαsubstan␈α␈tially␈α
only␈α
in␈α∞cases␈α
lik␈α␈e␈α
Example␈α∞2␈α
abo␈α␈v␈α␈e.␈α⊂And␈α
w␈α␈e␈α∞are␈α
fooling␈α
ourselv␈α␈es
␈βo␈↓ ↓H␈εαin␈αsuch␈αcases,␈αsince␈αthe␈αbad␈αm␈α␈ultiplier␈αwill␈αrev␈α␈eal␈αits␈αde|ciencies␈αin␈αother␈αways.
␈β≥␈↓ α␈εαClearly␈α∞w␈α␈e␈α∞need␈α∞a␈α∞better␈α∂estimate␈α∞than␈α∞(39);␈α∂and␈α∞such␈α∞an␈α∞estimate␈α∞is␈α∞no␈α␈w
␈βI␈↓ ↓H␈εαavailable␈α∂thanks␈α∂to␈α∂Theorem␈α∂D␈↓ ¬B␈εα,␈α⊂which␈α∂stems␈α∂principally␈α∂from␈α∂the␈α∂w␈α␈ork␈α∂of␈α∂U.
␈βt␈↓ ↓H␈εαDieter␈α
[␈ε∂Math.␈αComp.␈ε∩␈α
25␈εα␈α(1971),␈α855↑883].␈αTheorem␈αD␈α
implies␈αthat␈↓ 	↑␈ελ≠␈↓ 	r␈εα(␈↓ 	}␈ελa␈↓ 
⊂␈εα,␈↓ 
 ␈ελm␈↓ 
@␈εα,␈↓ 
P␈ελc␈↓ 
↑␈εα)␈α
will
␈β
∨␈↓ ↓H␈εαbe␈απsmall␈ε∂␈αλif␈απthe␈αλpartial␈απquotien␈α␈ts␈αλof␈απa/m␈αλare␈απsmall.␈εα␈αIndeed,␈αλby␈αλanalyzing␈απgeneralized
␈β
J␈↓ ↓H␈εαDedekind␈αsums␈αstill␈αmore␈αclosely,␈αit␈αis␈αpossible␈αto␈αobtain␈αquite␈αa␈αsharp␈αestimate:
␈β∞"␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈αK.␈ε∂␈α→Under␈αthe␈αassumptions␈αof␈αTheorem␈αD␈↓ πs␈ε∂,␈αw␈α␈e␈αalways␈αhav␈α␈e
␈β∞n␈↓ α%␈ε↓X␈↓ βb␈ε↓X␈↓ π'␈ε↓X␈↓ 	∧␈ε↓X
␈β∞{␈↓ ↓p␈εα1␈↓ ¬
␈εα1␈↓ λO␈εα1␈↓ 
,␈εα1
␈β∂∩␈↓ ↓H␈ε⊗␈␈↓ αx␈ελa␈↓ β≥␈ε⊗␈␈↓ ∧5␈ελa␈↓ ∧[␈εα+␈↓ ¬*␈ε⊗∀␈↓ ¬X␈ελ≠␈↓ ¬l␈εα(␈↓ ¬x␈ελh␈↓ ε
␈εα,␈↓ ε~␈ελk␈↓ ε,␈εα,␈↓ ε<␈ελc␈↓ εJ␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ πz␈ελa␈↓ λ ␈εα+␈↓ 	W␈ελa␈↓ 	⎇␈ε⊗␈␈↓ 
B␈εα.␈↓ 
p␈εα(40)
␈β∂∨␈↓ β	␈εj␈↓ ∧F␈εj␈↓ λ␈εj␈↓ 	h␈εj
␈β∂"␈↓ ↓p␈∧∂"↓pα∩␈↓ ¬
␈∧∂"¬
α∩␈↓ λO␈∧∂"λOα∩␈↓ 
,␈∧∂"
,α∩
␈β∂*␈↓ ↓p␈εα2␈↓ ¬
␈εα2␈↓ λO␈εα2␈↓ 
,␈εα2
␈β∂A␈↓ α∂␈ε¬1␈ε→∀␈↓ α:␈εj␈↓ αG␈ε→∀␈↓ αd␈εt␈↓ βL␈ε¬1␈ε→∀␈↓ βw␈εj␈↓ ∧¬␈ε→∀␈↓ ∧!␈εt␈↓ π⊃␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ π<␈εj␈↓ πJ␈ε→∀␈↓ πf␈εt␈↓ λn␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ 	~␈εj␈↓ 	'␈ε→∀␈↓ 	D␈εt
␈β∂\␈↓ α≡␈εj␈↓ α1␈ε¬odd␈↓ βV␈εj␈↓ βh␈ε¬even␈↓ π!␈εj␈↓ π3␈ε¬odd␈↓ λx␈εj␈↓ 	
␈ε¬even
␈β⊂F␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α∃See␈α
D.␈αE.␈α
Kn␈α␈uth,␈ε∂␈αActa␈α
Arithmetica␈ε∩␈α33␈εα␈α
(1978),␈α297↑325,␈α
where␈αit␈α
is␈α
sho␈α␈wn
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαfurther␈αthat␈α
these␈α
bounds␈α
are␈α
essen␈α␈tially␈α
the␈αbest␈α
possible␈α
when␈α
there␈α
are␈αlarge
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαpartial␈αquotien␈α␈ts.
␈β⊃!␈↓ β|␈∧⊃!β|≠∂
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα84␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.3
␈βα#␈↓ 
_␈ε¬3␈α↓5
␈βα(␈↓ ↓H␈ε∩Example␈αλ4.␈ε∂␈α∂Estimate␈αλthe␈αλserial␈απcorrelation␈αλfor␈↓ π_␈ελa␈↓ π3␈εα=␈α
3141592621␈ε∂,␈↓ 	/␈ελm␈↓ 	X␈εα=␈↓ 
ε␈εα2␈↓ 
5␈ε∂,␈↓ 
H␈ελc␈↓ 
↑␈ε∂odd.
␈βα␈␈↓ ↓H␈ε∂Solution.␈εα␈α~The␈α
partial␈α
quotien␈α␈ts␈αof␈↓ ¬t␈ελa␈↓ εε␈εα/␈↓ ε_␈ελm␈↓ εD␈εαare␈α
10,␈α
1,␈α
14,␈α
1,␈α
7,␈α
1,␈α
1,␈α
1,␈α
3,␈α
3,␈α
3,␈α
5,␈α2,
␈ββ*␈↓ ↓H␈εα1,␈α8,␈α7,␈α1,␈α4,␈α1,␈α2,␈α4,␈α2;␈αhence␈αby␈αTheorem␈αK
␈β∧¬␈↓ ¬↓␈ε⊗␈␈εα45␈ε⊗␈α
∀␈↓ ε↓␈ελ≠␈↓ ε∃␈εα(␈↓ ε!␈ελa␈↓ ε3␈εα,␈↓ εC␈ελm␈↓ εc␈εα,␈↓ εs␈ελc␈↓ π↓␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈εα␈α
68,
␈β∧a␈↓ ↓H␈εαand␈αthe␈αserial␈αcorrelation␈αis␈αguaran␈α␈teed␈αto␈αbe␈αextremely␈αlo␈α␈w␈αfor␈αall␈↓ 	j␈ελc␈↓ 	x␈εα.
␈β¬
␈↓ α␈εαNote␈αthat␈αthis␈αbound␈αis␈αconsiderably␈αbetter␈αthan␈αw␈α␈e␈αcould␈αobtain␈α
from␈α(39),
␈β¬9␈↓ ↓H␈εαsince␈αthe␈αerror␈αin␈α(39)␈αis␈αof␈αorder␈↓ ¬T␈ελa␈↓ ¬f␈εα/␈↓ ¬x␈ελm␈↓ ε↔␈εα;␈αa␈α\random"␈αm␈α␈ultiplier␈αhas␈αturned␈αout␈αto
␈β¬d␈↓ ↓H␈εαbe␈αm␈α␈uch␈αbetter␈αthan␈αone␈αspeci|cally␈αchosen␈αto␈αlook␈αgood␈αon␈αthe␈αbasis␈αof␈α(39).␈αIn
␈β¬s␈↓ λ∩␈ε↓P
␈βε∂␈↓ ↓H␈εαfact,␈α
it␈α
is␈α
possible␈α
to␈α
sho␈α␈w␈α∞that␈α
the␈ε∂␈α
av␈α␈erage␈εα␈α
value␈α
of␈↓ 	≡␈ελa␈↓ 	<␈εα,␈α
tak␈α␈en␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
all
␈βε≤␈↓ 	/␈εj
␈βε"␈↓ λ8␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ λc␈εj␈↓ λq␈ε→∀␈↓ 	
␈εt
␈βε:␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultipliers␈↓ α{␈ελa␈↓ β→␈εαrelativ␈α␈ely␈αprime␈αto␈↓ ¬J␈ελm␈↓ ¬i␈εα,␈αis
␈βπ¬␈↓ ε⊃␈ε↓␈␈↓ λ8␈ε↓↓
␈βπ∞␈↓ ∧:␈εα6
␈βπ∨␈↓ ¬4␈ε¬2␈↓ λ*␈ε¬4
␈βπ%␈↓ ∧X␈εα(␈↓ ∧d␈εαln␈↓ ¬λ␈ελm␈↓ ¬(␈εα)␈↓ ¬J␈εα+␈↓ ¬v␈ελO␈↓ ε∨␈εα(␈↓ ε+␈εαlog␈↓ ε←␈ελm␈↓ ε}␈εα)(␈↓ π⊗␈εαlog␈↓ πJ␈εαlog␈↓ π}␈ελm␈↓ λ≡␈εα)
␈βπ5␈↓ ∧2␈∧π5∧2α#
␈βπ;␈↓ ∧F␈ε¬2
␈βπ=␈↓ ∧2␈ελ→
␈βλ␈↓ ↓H␈εα(see␈α
ex␈α␈ercise␈α∞4.5.3↑35).␈α⊂Therefore␈α∞the␈α∞probability␈α
that␈α∞a␈α
random␈α∞m␈α␈ultiplier␈α
has
␈βλ≠␈↓ α"␈ε↓P
␈βλ2␈↓ εO␈ε¬2␈α↓+␈↓ εz␈ε∂
␈βλ7␈↓ ↓H␈εαlarge␈↓ β.␈ελa␈↓ βI␈εα,␈α∂say␈α∂larger␈α∞than␈α∂(␈↓ ¬p␈εαlog␈↓ ε$␈ελm␈↓ εC␈εα)␈↓ π∃␈εαfor␈α∞some␈α∂|x␈α␈ed␈↓ 	¬␈ελ∂␈↓ 	!␈εα>␈α∞0,␈α∂approaches
␈βλE␈↓ β?␈εt
␈βλJ␈↓ αH␈ε¬1␈ε→∀␈↓ αs␈εj␈↓ β↓␈ε→∀␈↓ β≥␈εt
␈βλb␈↓ ↓H␈εαzero␈αas␈↓ α>␈ελm␈↓ αh␈ε⊗!␈α
1␈εα.␈αThis␈αsubstan␈α␈tiates␈αthe␈αempirical␈αevidence␈αthat␈αalmost␈αall␈αlinear
␈β	∞␈↓ ↓H␈εαcongruen␈α␈tial␈αεsequences␈απhav␈α␈e␈αεextremely␈απlo␈α␈w␈αεserial␈απcorrelation␈αεo␈α␈v␈α␈er␈αεthe␈απen␈α␈tire␈αεperiod.
␈β	J␈↓ α␈εαThe␈α	ex␈α␈ercises␈α	belo␈α␈w␈α
sho␈α␈w␈α	that␈α	other␈ε∂␈α	a␈α	priori␈εα␈α
tests,␈α	such␈α
as␈α	the␈α	serial␈α	test␈α	o␈α␈v␈α␈er
␈β	v␈↓ ↓H␈εαthe␈αen␈α␈tire␈α
period,␈αcan␈α
also␈αbe␈αexpressed␈α
in␈αterms␈α
of␈αa␈α
few␈αgeneralized␈αDedekind
␈β
!␈↓ ↓H␈εαsums.␈α∃It␈α∂follo␈α␈ws␈α∂from␈α∂Theorem␈α∂K␈α∂that␈α∂linear␈α∞congruen␈α␈tial␈α∂sequences␈α∂will␈α∂pass
␈β
L␈↓ ↓H␈εαthese␈αtests␈α
pro␈α␈vided␈αthat␈α
certain␈αspeci|ed␈α
fractions␈α(depending␈α
on␈↓ 	e␈ελa␈↓ 
∧␈εαand␈↓ 
J␈ελm␈↓ 
v␈εαbut
␈β
w␈↓ ↓H␈εαnot␈α∂on␈↓ α@␈ελc␈↓ αN␈εα)␈α∂hav␈α␈e␈α∂small␈α∂partial␈α⊂quotien␈α␈ts.␈α∃In␈α∂particular,␈α⊂the␈α∂result␈α∂of␈α∂ex␈α␈ercise␈α∂19
␈β"␈↓ ↓H␈εαimplies␈α∞that␈ε∂␈α∂the␈α∞serial␈α∞test␈α∂on␈α∞pairs␈α∂will␈α∞be␈α∂satisfactorily␈α∞passed␈α∞if␈α∂and␈α∞only␈α∂if
␈βN␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓Z␈εα/␈↓ ↓l␈ελm␈↓ α↔␈ε∂has␈αno␈αlarge␈αpartial␈αquotien␈α␈ts.
␈βz␈↓ α␈εαThe␈α
book␈ε∂␈α
Dedekind␈α
Sums␈εα␈α
by␈α
Hans␈α
Rademacher␈α
and␈α
Emil␈α
Grosswald␈α	(Math.
␈β&␈↓ ↓H␈εαAssoc.␈α∂of␈α∂America,␈α⊃Carus␈α∂Monograph␈α∂No.␈α⊂16,␈α⊂1972)␈α∂discusses␈α⊂the␈α∂history␈α∂and
␈βQ␈↓ ↓H␈εαproperties␈α
of␈α
Dedekind␈αsums␈α
and␈αtheir␈α
generalizations.␈αFurther␈α
theoretical␈α
tests,
␈β|␈↓ ↓H␈εαincluding␈αthe␈αserial␈αtest␈αin␈αhigher␈αdimensions,␈αare␈αdiscussed␈αin␈αSection␈α3.3.4.
␈β∞∩␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S←Fir␈α␈s␈α↓t␈α
Set
␈β∞k␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	M10␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Exp␈α␈ress␈α\␈↓ ∧β␈ε	x␈↓ ∧~␈εβmod␈↓ ∧←␈ε	y␈↓ ∧q␈εβ'␈α↓'␈αin␈αte␈α␈rms␈αof␈αthe␈α
sawtoo␈α␈th␈αan␈α␈d␈↓ λB␈ε	∞␈↓ λ]␈εβfu␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns.
␈β∂$␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αthe␈α\␈α␈replicat␈α␈i␈α↓v␈α}e␈αlaw,"␈αEq.␈α(10).
␈β∂]␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈22␈↓ αm␈εβ]␈α⊗What␈α	is␈α	the␈α	Fou␈α␈ri␈α↓e␈α␈r␈α
series␈α	ex␈α␈pa␈α␈nsion␈α	(in␈α	term␈α␈s␈α
o␈α␈f␈α
sin␈α␈es␈α
a␈α␈nd␈α	c␈α␈osines)␈α	of␈α	the
␈β⊂∧␈↓ ↓H␈εβfu␈α␈nct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈↓ αK␈ε	f␈↓ α[␈εβ(␈↓ αf␈ε	x␈↓ αw␈εβ)␈α
=␈α	((␈↓ βL␈ε	x␈↓ β↑␈εβ))?
␈β⊂9␈↓ ↓;␈ε↓x␈↓ ∧↔␈εε1␈α␈0
␈β⊂=␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	M19␈↓ αX␈εβ]␈α⊗If␈↓ β≠␈ε	m␈↓ βF␈εβ=␈α∞1␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧0␈εβ,␈α∂wh␈α␈at␈α∞is␈α∞th␈α␈e␈α∞h␈α␈i␈α↓g␈α␈hest␈α
possib␈α␈l␈α↓e␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α∞o␈α␈f␈↓ λw␈ε	d␈↓ 	_␈εβ(in␈α∞t␈α␈he␈α∞n␈α␈ota␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∞o␈α␈f
␈β⊂e␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈eore␈α␈m␈αP␈α↓),␈αgiv␈α␈e␈α␈n␈αth␈α␈at␈αthe␈α
pote␈α␈ncy␈α
of␈αthe␈α
gen␈α␈erato␈α␈r␈αi␈α↓s␈α1␈α␈0?
␈β⊃≡␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Ca␈α␈rry␈αou␈α␈t␈αthe␈α
deriv␈α␈ation␈αo␈α␈f␈αE␈α↓q␈α␈.␈α(1␈α␈7).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.3␈ε∞␈↓ λTH␈α␈EORETICA␈α␈L␈α	TEST␈α␈S␈↓ λ␈εα85
␈βα&␈↓ βU␈ε~0␈↓ ∧,␈ε~0
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	M27␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β4␈ε	h␈↓ βD␈ε	h␈↓ βb␈εβ+␈↓ ∧␈ε	k␈↓ ∧≠␈ε	k␈↓ ∧;␈εβ=␈α
1.␈α→(a)␈αS␈α␈ho␈α␈w,␈αwitho␈α␈ut␈αus␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αLemm␈α␈a␈αB␈↓ 	
␈εβ,␈αth␈α␈at
␈βαp␈↓ ε4␈ε↓X
␈βαy␈↓ ε}␈ε↓∩␈↓ π∀␈ε↓∩␈↓ πX␈ε↓∪␈↓ πn␈ε↓∪␈↓ λD␈ε↓∩␈↓ λZ␈ε↓∩␈↓ 	≠␈ε↓∪␈↓ 	1␈ε↓∪
␈βα{␈↓ π?␈ε~0␈↓ 	∧␈ε~0
␈βα␈␈↓ π.␈ε	h␈↓ πE␈ε	j␈↓ λt␈ε	h␈↓ 	␈ε	c
␈ββ∃␈↓ β-␈ε	≠␈↓ β?␈εβ(␈↓ βJ␈ε	h␈↓ β[␈εβ,␈↓ βi␈ε	k␈↓ βz␈εβ,␈↓ ∧	␈ε	c␈↓ ∧⊗␈εβ)␈α	=␈↓ ∧T␈ε	≠␈↓ ∧g␈εβ(␈↓ ∧r␈ε	h␈↓ ¬α␈εβ,␈↓ ¬⊃␈ε	k␈↓ ¬"␈εβ,␈α¬0)␈αλ+␈απ12␈↓ λ␈εβ+␈αλ6
␈ββ#␈↓ π.␈∧β#π.α&␈↓ λt␈∧β#λtα$
␈ββ-␈↓ π9␈ε	k␈↓ λ}␈ε	k
␈ββF␈↓ ε#␈εε0<␈↓ εI␈εj␈↓ εU␈εε<␈↓ εn␈εc
␈β∧!␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αall␈αin␈α␈t␈α␈egers␈↓ β%␈ε	c␈↓ β;␈ε↔∃␈εβ␈α
0␈α␈.␈α~(b␈α␈)␈αSh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αi␈α↓f␈α0␈α	<␈↓ εP␈ε	j␈↓ εi␈εβ<␈↓ π∪␈ε	k␈↓ π#␈εβ,
␈β∧o␈↓ ∧≤␈ε↓∩␈↓ ∧2␈ε↓∩␈↓ ∧v␈ε↓∪␈↓ ¬␈ε↓∪␈↓ ¬R␈ε↓∩␈↓ ¬h␈ε↓∩␈↓ ε+␈ε↓∪␈↓ εA␈ε↓∪␈↓ λ␈ε↓∩␈↓ λ8␈ε↓∪
␈β∧q␈↓ ∧]␈ε~0␈↓ ε∩␈ε~0
␈β∧u␈↓ ∧L␈ε	h␈↓ ∧c␈ε	j␈↓ ε↓␈ε	k␈↓ ε_␈ε	j␈↓ π↔␈ε	j␈↓ πf␈εβ1␈↓ λ%␈ε	j
␈β¬␈↓ ¬)␈εβ+␈↓ ε`␈εβ=␈↓ π:␈ε↔␈␈↓ π{␈ε	∞␈↓ λN␈εβ.
␈β¬~␈↓ ∧L␈∧¬~∧Lα&␈↓ ε↓␈∧¬~ε↓α&␈↓ π∞␈∧¬~π∞α!␈↓ πf␈∧¬~πfα⊃␈↓ λ$␈∧¬~λ$α⊃
␈β¬#␈↓ ∧W␈ε	k␈↓ ε␈ε	h␈↓ π∞␈ε	h␈↓ π∨␈ε	k␈↓ πf␈εβ2␈↓ λ$␈ε	h
␈β¬v␈↓ ↓H␈εβ(c)␈αUn␈α␈der␈αth␈α␈e␈αassu␈α␈mp␈α␈tions␈αo␈α␈f␈αLem␈α␈ma␈αB␈↓ επ␈εβ,␈αpro␈α␈v␈α}e␈αEq.␈α(21).
␈βε*␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βε.␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈e␈α
a␈αpro␈α␈of␈αof␈αth␈α␈e␈αrecipro␈α␈city␈αlaw␈α(19␈α␈),␈αwh␈α␈en␈↓ λ∨␈ε	c␈↓ λ5␈εβ=␈α	0,␈αby␈αu␈α␈sing␈α
the␈αg␈α␈enera␈α␈l
␈βεV␈↓ ↓H␈εβre␈α␈ciproc␈α␈i␈α↓ty␈α
law␈αof␈αex␈α}ercise␈α1.2.4↑␈α␈45␈α␈.
␈βπ
␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βπ∞␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	M34␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(L.␈αCarlitz.)␈α~Let
␈βπS␈↓ ε↓␈ε↓X
␈βπ\␈↓ εL␈ε↓∩␈↓ εb␈ε↓∩␈↓ π ␈ε↓∪␈↓ π6␈ε↓∪␈↓ πL␈ε↓∩␈↓ πb␈ε↓∩␈↓ λ≥␈ε↓∪␈↓ λ3␈ε↓∪
␈βπb␈↓ ε|␈ε	j␈↓ π␈ε	p␈↓ π{␈ε	j␈↓ λ
␈ε	q
␈βπx␈↓ ∧"␈ε	~␈↓ ∧3␈εβ(␈↓ ∧>␈ε	p␈↓ ∧O␈εβ,␈↓ ∧↑␈ε	q␈↓ ∧m␈εβ,␈↓ ∧{␈ε	r␈↓ ¬
␈εβ)␈α	=␈α
1␈α␈2␈↓ λI␈εβ.
␈βλπ␈↓ ε|␈∧λπε|α ␈↓ π{␈∧λππ{α≡
␈βλ⊂␈↓ π¬␈ε	r␈↓ λβ␈ε	r
␈βλ*␈↓ ¬p␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ ε∃␈εj␈↓ ε"␈εε<␈↓ ε;␈εr
␈β	α␈↓ ↓H␈εβBy␈αg␈α␈ener␈α␈ali␈α↓z␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αthe␈αmeth␈α␈od␈αo␈α␈f␈α
p␈α␈roof␈αuse␈α␈d␈αi␈α↓n␈αLem␈α␈ma␈αB␈↓ πo␈εβ,␈α
pro␈α␈v␈α}e␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αb␈α␈eau␈α␈ti␈α↓fu␈α␈l
␈β	*␈↓ ↓H␈εβid␈α␈en␈α␈tity␈αd␈α␈ue␈α
to␈αH.␈αR␈α␈ade␈α␈mach␈α␈er:␈αIf␈αe␈α␈ach␈α
of␈↓ ε5␈ε	p␈↓ εF␈εβ,␈↓ εU␈ε	q␈↓ εd␈εβ,␈↓ εs␈ε	r␈↓ π␈εβis␈αr␈α␈el␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αp␈α␈rime␈αto␈αth␈α␈e␈αoth␈α␈er␈αt␈α␈w␈α␈o,
␈β	n␈↓ π,␈ε	p␈↓ λβ␈ε	q␈↓ λZ␈ε	r
␈β
∧␈↓ β5␈ε	~␈↓ βF␈εβ(␈↓ βQ␈ε	p␈↓ βb␈εβ,␈↓ βq␈ε	q␈↓ ∧␈εβ,␈↓ ∧∞␈ε	r␈↓ ∧≥␈εβ)␈απ+␈↓ ∧X␈ε	~␈↓ ∧i␈εβ(␈↓ ∧t␈ε	q␈↓ ¬β␈εβ,␈↓ ¬∩␈ε	r␈↓ ¬ ␈εβ,␈↓ ¬/␈ε	p␈↓ ¬@␈εβ)␈αλ+␈↓ ¬{␈ε	~␈↓ ε␈εβ(␈↓ ε↔␈ε	r␈↓ ε&␈εβ,␈↓ ε5␈ε	p␈↓ εF␈εβ,␈↓ εT␈ε	q␈↓ εc␈εβ)␈α
=␈↓ πN␈εβ+␈↓ λ%␈εβ+␈↓ λ|␈ε↔␈␈εβ␈αλ3.
␈β
∩␈↓ π&␈∧
∩π&α≡␈↓ π{␈∧
∩π{α ␈↓ λR␈∧
∩λRα 
␈β
≤␈↓ π&␈ε	q␈↓ π5␈ε	r␈↓ π{␈ε	r␈↓ λ	␈ε	p␈↓ λR␈ε	p␈↓ λc␈ε	q
␈β
j␈↓ ↓H␈εβ(Th␈α␈e␈αrecip␈α␈rocity␈αlaw␈αfo␈α␈r␈αD␈α␈edek␈α␈ind␈α
sums,␈αwith␈↓ εm␈ε	c␈↓ πβ␈εβ=␈α
0␈α␈,␈αis␈αth␈α␈e␈αspe␈α␈cial␈αcase␈↓ 	←␈ε	r␈↓ 	w␈εβ=␈α	1.)
␈β"␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	M40␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Is␈α	the␈α␈re␈α	a␈α	simple␈α	pr␈α␈oof␈α	of␈α	Rad␈α␈ema␈α␈cher␈α␈'␈α↓s␈α	ide␈α␈n␈α␈tity␈α	(ex␈α}ercise␈α	8)␈α	alon␈α␈g␈α	the␈α	line␈α␈s
␈βI␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αthe␈αp␈α␈roof␈αin␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α7␈α
of␈αa␈αsp␈α␈ecial␈αcase?
␈β↓␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α∂th␈α␈at␈α∂whe␈α␈n␈α∂0␈α⊂<␈↓ ¬L␈ε	h␈↓ ¬m␈εβ<␈↓ ε≡␈ε	k␈↓ ε>␈εβit␈α∂is␈α∂po␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le␈α∂to␈α∂ex␈α␈press␈↓ 	.␈ε	≠␈↓ 	@␈εβ(␈↓ 	K␈ε	k␈↓ 	f␈ε↔␈␈↓ 
⊃␈ε	h␈↓ 
"␈εβ,␈↓ 
0␈ε	k␈↓ 
A␈εβ,␈↓ 
P␈ε	c␈↓ 
]␈εβ)␈α∂a␈α␈nd
␈β)␈↓ ↓H␈ε	≠␈↓ ↓Z␈εβ(␈↓ ↓e␈ε	h␈↓ ↓v␈εβ,␈↓ α∧␈ε	k␈↓ α∃␈εβ,␈ε↔␈αε␈␈↓ αE␈ε	c␈↓ αR␈εβ)␈αea␈α␈si␈α↓ly␈αin␈α
terms␈αof␈↓ ∧o␈ε	≠␈↓ ¬↓␈εβ(␈↓ ¬␈ε	h␈↓ ¬≥␈εβ,␈↓ ¬+␈ε	k␈↓ ¬<␈εβ,␈↓ ¬K␈ε	c␈↓ ¬X␈εβ).
␈βa␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Th␈α␈e␈α
form␈α}ulas␈αgiv␈α␈en␈αin␈αthe␈αtex␈α␈t␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α
u␈α␈s␈α
h␈α␈o␈α␈w␈α
to␈αev␈α␈alua␈α␈te␈↓ 	C␈ε	≠␈↓ 	U␈εβ(␈↓ 	`␈ε	h␈↓ 	q␈εβ,␈↓ 
␈ε	k␈↓ 
⊂␈εβ,␈↓ 
∨␈ε	c␈↓ 
,␈εβ)␈α
wh␈α␈en␈↓ ≤␈ε	h
␈β
λ␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	k␈↓ α$␈εβa␈α␈re␈αrelativ␈α␈ely␈α
prime␈αa␈α␈nd␈↓ ¬∞␈ε	c␈↓ ¬&␈εβis␈αan␈α
in␈α␈teg␈α␈er.␈αF␈α↓o␈α␈r␈αthe␈αg␈α␈ene␈α␈ral␈αcase,␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at
␈β
@␈↓ ↓e␈εβa)␈↓ α␈ε	≠␈↓ α≡␈εβ(␈↓ α*␈ε	d␈↓ α<␈ε	h␈↓ αL␈εβ,␈↓ α[␈ε	d␈↓ αn␈ε	k␈↓ α}␈εβ,␈↓ β
␈ε	d␈↓ β∨␈ε	c␈↓ β,␈εβ)␈α
=␈↓ βk␈ε	≠␈↓ β}␈εβ(␈↓ ∧	␈ε	h␈↓ ∧→␈εβ,␈↓ ∧(␈ε	k␈↓ ∧8␈εβ,␈↓ ∧G␈ε	c␈↓ ∧T␈εβ),␈α"in␈α}teger␈↓ ¬x␈ε	d␈↓ ε∪␈εβ>␈α
0;
␈β
t␈↓ ¬H␈ε~0
␈β
x␈↓ ↓c␈εβb)␈↓ α␈ε	≠␈↓ α≡␈εβ(␈↓ α*␈ε	h␈↓ α:␈εβ,␈↓ αI␈ε	k␈↓ αY␈εβ,␈↓ αh␈ε	c␈↓ α{␈εβ+␈↓ β"␈ε	∩␈↓ β1␈εβ)␈α	=␈↓ βp␈ε	≠␈↓ ∧α␈εβ(␈↓ ∧
␈ε	h␈↓ ∧≥␈εβ,␈↓ ∧,␈ε	k␈↓ ∧=␈εβ,␈↓ ∧K␈ε	c␈↓ ∧X␈εβ)␈απ+␈αε6((␈↓ ¬8␈ε	h␈↓ ¬O␈ε	c␈↓ ¬[␈εβ/␈↓ ¬l␈ε	k␈↓ ¬|␈εβ)␈α↓),␈α!in␈α␈teg␈α␈er␈↓ π*␈ε	c␈↓ π7␈εβ,␈αrea␈α␈l␈α0␈α	<␈↓ λO␈ε	∩␈↓ λg␈εβ<␈α	1,␈α
when␈↓ 
␈ε	h␈↓ 
&␈εβa␈α␈nd␈↓ 
f␈ε	k␈↓ ␈εβare
␈β∞≤␈↓ ∧←␈ε~0
␈β∞ ␈↓ α␈εβrelativ␈α}el␈α↓y␈α
prime␈α
and␈↓ ∧>␈ε	h␈↓ ∧O␈ε	h␈↓ ∧o␈ε↔⊃␈εβ␈α	1␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ ε5␈ε	k␈↓ εE␈εβ).
␈β∞X␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α∞th␈α␈at␈α∞i␈α↓f␈↓ ∧@␈ε	h␈↓ ∧←␈εβis␈α∞relativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α
prime␈α∞to␈↓ π'␈ε	k␈↓ πF␈εβa␈α␈nd␈↓ λ	␈ε	c␈↓ λ%␈εβis␈α∞an␈α∞in␈α␈te␈α␈ger,␈ε↔␈α∂j␈↓ 	␈␈ε	≠␈↓ 
∩␈εβ(␈↓ 
≥␈ε	h␈↓ 
-␈εβ,␈↓ 
<␈ε	k␈↓ 
L␈εβ,␈↓ 
[␈ε	c␈↓ 
h␈εβ)␈ε↔j␈α∂∀
␈β∂␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	k␈↓ ↓j␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)(␈↓ α:␈ε	k␈↓ αR␈ε↔␈␈εβ␈απ2)/␈↓ β'␈ε	k␈↓ β7␈εβ.
␈β∂7␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Gen␈α␈era␈α␈l␈α↓ize␈αEq␈α␈.␈α(26␈α␈)␈αso␈αtha␈α␈t␈αi␈α↓t␈αg␈α␈iv␈α␈es␈αan␈α
ex␈α␈pressio␈α␈n␈αfor␈↓ λ␈␈ε	≠␈↓ 	⊃␈εβ(␈↓ 	≤␈ε	h␈↓ 	-␈εβ,␈↓ 	<␈ε	k␈↓ 	L␈εβ,␈↓ 	[␈ε	c␈↓ 	h␈εβ).
␈β∂k␈↓ ↓;␈ε↓x␈↓ λW␈εε35␈↓ 	↑␈εε18
␈β∂o␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Th␈α␈e␈αli␈α↓n␈α␈ear␈αc␈α␈ong␈α␈rue␈α␈n␈α␈tial␈αgen␈α␈erat␈α␈or␈αtha␈α␈t␈αha␈α␈s␈↓ πr␈ε	m␈↓ λ~␈εβ=␈↓ λG␈εβ2␈↓ λp␈εβ,␈↓ 	ε␈ε	a␈↓ 	!␈εβ=␈↓ 	M␈εβ2␈↓ 	␈␈εβ+␈αλ1,␈↓ 
O␈ε	c␈↓ 
f␈εβ=␈α1␈α␈,
␈β⊂↔␈↓ ↓H␈εβwa␈α␈s␈α
giv␈α␈e␈α␈n␈α
th␈α␈e␈α
ser␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
correlat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
te␈α␈st␈α
on␈α	thre␈α␈e␈α
b␈α␈atch␈α␈es␈α
of␈α
1␈α␈00␈α␈0␈α
co␈α␈nsec␈α␈utiv␈α␈e␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈bers␈α␈,␈αa␈α␈nd
␈β⊂?␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αre␈α␈sult␈αwa␈α␈s␈αa␈αv␈α␈ery␈αh␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈αcorre␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α0.2␈αan␈α␈d␈α0␈α␈.3,␈αin␈αe␈α␈ach␈αca␈α␈se.␈α
W␈α↓h␈α␈at␈αi␈α↓s␈αthe
␈β⊂b␈↓ π-␈εε3␈α␈5
␈β⊂f␈↓ ↓H␈εβse␈α␈ri␈α↓a␈α␈l␈αc␈α␈orrelatio␈α␈n␈αof␈αth␈α␈i␈α↓s␈αg␈α␈ene␈α␈rator,␈αtak␈α}en␈αo␈α}v␈α␈er␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ π≤␈εβ2␈↓ πQ␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αof␈αth␈α␈e␈αperio␈α␈d?
␈β⊃≡␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Gen␈α␈era␈α␈l␈α↓ize␈αLem␈α␈ma␈αB␈αso␈αth␈α␈at␈αit␈αap␈α␈plies␈αto␈αall␈ε⊂␈αreal␈εβ␈αva␈α␈lues␈αo␈α␈f␈↓ 	Y␈ε	c␈↓ 	f␈εβ,␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ 
>␈ε	c␈↓ 
U␈εβ<␈↓ 
␈␈ε	k␈↓ ⊂␈εβ.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα86␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.3
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈e␈α␈n␈α
the␈α
Euc␈α␈l␈α↓id␈α␈ean␈α
ta␈α␈bleau␈α
d␈α␈e|␈α␈ned␈α
in␈α
(3␈α␈3),␈αlet␈↓ λ1␈ε	p␈↓ λW␈εβ=␈α
1␈α␈,␈↓ 	&␈ε	p␈↓ 	L␈εβ=␈↓ 	v␈ε	a␈↓ 
∩␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ 
f␈ε	p␈↓ ␈εβ=
␈βα5␈↓ λA␈εε0␈↓ 	6␈εε1␈↓ 
ε␈εε1␈↓ 
v␈εj
␈βαR␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓c␈ε	p␈↓ α)␈εβ+␈↓ αN␈ε	p␈↓ β_␈εβfo␈α␈r␈α	1␈α	<␈↓ ∧
␈ε	j␈↓ ∧%␈ε↔∀␈↓ ∧P␈ε	t␈↓ ∧\␈εβ.␈α
Sh␈α␈o␈α␈w␈αλtha␈α␈t␈α	th␈α␈e␈αλcomp␈α␈li␈α↓c␈α␈ated␈αλp␈α␈ortion␈απof␈α	th␈α␈e␈αλsum␈αλin␈αλTh␈α␈eorem
␈βα\␈↓ ↓W␈εj␈↓ ↓s␈εj␈↓ ↓␈␈ε~␈␈εε1␈↓ α]␈εj␈↓ αi␈ε~␈␈εε␈α↓2
␈βαy␈↓ ↓H␈εβD␈αc␈α␈an␈αb␈α␈e␈αrewritten␈α
as␈αfollo␈α␈ws,␈αmak␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αit␈αpo␈α␈ssible␈αto␈αa␈α␈v␈α␈oid␈α
non␈α␈in␈α␈teg␈α␈er␈αcom␈α␈pu␈α␈tation␈α␈s:
␈ββC␈↓ ¬ε␈εε2
␈ββH␈↓ βλ␈ε↓X␈↓ ∧y␈ε	c␈↓ ε?␈ε↓X
␈ββW␈↓ ¬ε␈εj␈↓ ελ␈εβ1
␈ββg␈↓ ∧∃␈εj␈↓ ∧!␈εε+1␈↓ πK␈εj␈↓ πW␈εε+1
␈ββm␈↓ βM␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ∧
␈εβ)␈↓ ¬N␈εβ=␈↓ πβ␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ π@␈εβ)␈↓ π⎇␈ε	b␈↓ λ∃␈εβ(␈↓ λ ␈ε	c␈↓ λ@␈εβ+␈↓ λh␈ε	c␈↓ 	&␈εβ)␈↓ 	1␈ε	p␈↓ 	s␈εβ.
␈ββx␈↓ λ	␈εj␈↓ λ,␈εj␈↓ λt␈εj␈↓ 	␈εε+␈α↓1␈↓ 	A␈εj␈↓ 	M␈ε~␈␈εε1
␈ββ{␈↓ ∧J␈∧β{∧Jαw␈↓ ¬|␈∧β{¬|α)
␈β∧¬␈↓ ∧J␈ε	m␈↓ ∧s␈ε	m␈↓ ¬|␈ε	m
␈β∧⊂␈↓ ∧g␈εj␈↓ ¬∂␈εj␈↓ ¬≠␈εε+1␈↓ ε→␈εε1
␈β∧∨␈↓ αx␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ β≡␈εj␈↓ β*␈ε~∀␈↓ βC␈εt␈↓ ε.␈εε1␈ε~∀␈↓ εT␈εj␈↓ ε`␈ε~∀␈↓ εy␈εt
␈β∧[␈↓ βJ␈ε↓P
␈β∧u␈↓ ¬∂␈εj␈↓ ¬≠␈εε+1␈↓ πD␈εr␈↓ πP␈εε+␈α↓1
␈β∧y␈↓ ↓H␈εβ[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈αPro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ ∧G␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ¬∧␈εβ)␈↓ ¬A␈εβ/␈↓ ¬R␈ε	m␈↓ ¬z␈ε	m␈↓ εR␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ π9␈εβ)␈↓ πv␈ε	p␈↓ λ8␈εβ/␈↓ λI␈ε	m␈↓ λr␈ε	m␈↓ 	K␈εβfor␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ 
C␈ε	r␈↓ 
[␈ε↔∀␈↓ ε␈ε	t␈↓ ∩␈εβ.]
␈β¬∧␈↓ ¬n␈εj␈↓ ε⊗␈εj␈↓ ε"␈εε+␈α↓1␈↓ λε␈εr␈↓ λ∩␈ε~␈␈εε1␈↓ λe␈εε1␈↓ 	∞␈εr␈↓ 	~␈εε+1
␈β¬␈↓ βp␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ ∧⊗␈εj␈↓ ∧"␈ε~∀␈↓ ∧;␈εr
␈β¬3␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Des␈α␈i␈α↓g␈α␈n␈αan␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αth␈α␈at␈αev␈α␈alua␈α␈tes␈↓ π
␈ε	≠␈↓ π≥␈εβ(␈↓ π(␈ε	h␈↓ π8␈εβ,␈↓ πG␈ε	k␈↓ πW␈εβ,␈↓ πf␈ε	c␈↓ πs␈εβ)␈α
fo␈α␈r␈α
in␈α}tegers␈↓ 	<␈ε	h␈↓ 	L␈εβ,␈↓ 	b␈ε	k␈↓ 	s␈εβ,␈↓ 
λ␈ε	c␈↓ 
"␈εβsa␈α␈tisf␈α↓y␈α␈ing
␈β¬[␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αh␈α␈y␈α␈poth␈α␈eses␈αof␈αTheo␈α␈rem␈αD␈↓ ∧⎇␈εβ.␈α∂Your␈αalgo␈α␈rithm␈αsh␈α␈ould␈αu␈α␈se␈α
o␈α␈nly␈αin␈α␈te␈α␈ger␈αarithm␈α␈etic␈α
(o␈α␈f
␈βεβ␈↓ ↓H␈εβu␈α␈nlimited␈αp␈α␈recision␈α␈),␈α
an␈α␈d␈αit␈αsho␈α␈uld␈αp␈α␈rodu␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αan␈α␈swe␈α␈r␈α
in␈αt␈α␈he␈αform␈↓ 	*␈ε	A␈↓ 	H␈εβ+␈↓ 	q␈ε	B␈↓ 
λ␈εβ/␈↓ 
_␈ε	k␈↓ 
5␈εβwh␈α␈ere␈↓ ⊗␈ε	A
␈βε*␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ απ␈ε	B␈↓ α(␈εβar␈α␈e␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs.␈α↔(␈α↓C␈α␈f␈α↓.␈α
ex␈α}ercise␈α
16␈α␈.␈α↓)␈α⊗I␈α↓f␈α
p␈α␈ossible,␈α
use␈α
o␈α␈nly␈α
a␈α
|␈α␈nite␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈α
v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α␈s
␈βεR␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αtemp␈α␈orary␈α
stora␈α␈ge,␈αinstea␈α␈d␈αof␈αm␈α␈ain␈α␈tain␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αa␈α␈rrays␈αsu␈α␈ch␈α
as␈↓ λF␈ε	a␈↓ λb␈εβ,␈↓ λw␈ε	a␈↓ 	∪␈εβ,␈↓ 	'␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	S␈εβ,␈↓ 	h␈ε	a␈↓ 
↓␈εβ.
␈βε\␈↓ λV␈εε1␈↓ 	ε␈εε2␈↓ 	w␈εt
␈βπ∧␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βπλ␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(U.␈αDieter.)␈α~G␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αin␈α}tegers␈↓ π∞␈ε	h␈↓ π≡␈εβ,␈↓ π2␈ε	k␈↓ πC␈εβ,␈↓ πW␈ε	z␈↓ πe␈εβ,␈αl␈α↓e␈α␈t
␈βπK␈↓ ε≡␈ε↓X
␈βπT␈↓ εi␈ε↓∩␈↓ ε␈␈ε↓∩␈↓ πx␈ε↓∪␈↓ λ∞␈ε↓∪
␈βπ[␈↓ π_␈ε	h␈↓ π)␈ε	j␈↓ π?␈εβ+␈↓ πh␈ε	c
␈βπq␈↓ ∧F␈ε	S␈↓ ∧[␈εβ(␈↓ ∧f␈ε	h␈↓ ∧v␈εβ,␈↓ ¬¬␈ε	k␈↓ ¬∃␈εβ,␈↓ ¬$␈ε	c␈↓ ¬1␈εβ,␈↓ ¬@␈ε	z␈↓ ¬N␈εβ)␈α	=␈↓ λ$␈εβ.
␈βπ␈␈↓ π_␈∧π␈π_α]
␈βλλ␈↓ π>␈ε	k
␈βλ"␈↓ ε
␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ ε3␈εj␈↓ ε?␈εε<␈↓ εX␈εz
␈βλy␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ho␈α}w␈α	th␈α␈at␈αλth␈α␈i␈α↓s␈αλsu␈α␈m␈αλcan␈απbe␈αλev␈α␈alua␈α␈ted␈αλin␈αλ\c␈α␈l␈α↓o␈α␈sed␈αλfo␈α␈rm,"␈α	in␈αλterm␈α␈s␈α	o␈α␈f␈αλgen␈α␈eralized␈αλDe␈α␈dek␈α␈ind
␈β	!␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ms␈α
an␈α␈d␈α
th␈α␈e␈αsa␈α␈wtoo␈α␈th␈α
fun␈α␈ction␈α␈.␈α_[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈αWhen␈↓ εu␈ε	z␈↓ π␈ε↔∀␈↓ π7␈ε	k␈↓ πG␈εβ,␈αth␈α␈e␈α
qua␈α␈n␈α␈tity␈ε↔␈α
b␈↓ 	&␈ε	j␈↓ 	5␈εβ/␈↓ 	E␈ε	k␈↓ 	V␈ε↔c␈αε␈␈απb␈εβ(␈↓ 
)␈ε	j␈↓ 
>␈ε↔␈␈↓ 
f␈ε	z␈↓ 
s␈εβ)/␈↓ ∂␈ε	k␈↓ ∨␈ε↔c
␈β	H␈↓ ↓H␈εβe␈α␈qua␈α␈ls␈α1␈αfor␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ βB␈ε	j␈↓ βZ␈εβ<␈↓ ∧ε␈ε	z␈↓ ∧∪␈εβ,␈αan␈α␈d␈αit␈αeq␈α␈ua␈α␈l␈α↓s␈α0␈αfor␈↓ ε?␈ε	z␈↓ εW␈ε↔∀␈↓ πα␈ε	j␈↓ π≠␈εβ<␈↓ πF␈ε	k␈↓ πV␈εβ,␈αso␈αw␈α␈e␈αcan␈αin␈α␈tro␈α␈du␈α␈ce␈αthis␈αfacto␈α␈r
␈β	p␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
sum␈αo␈α}v␈α␈er␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ β[␈ε	j␈↓ βs␈εβ<␈↓ ∧≡␈ε	k␈↓ ∧.␈εβ.␈α↓]
␈β
"␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
&␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α∞th␈α␈at␈α∂t␈α␈he␈ε⊂␈α∞serial␈α∂t␈α␈est␈εβ␈α∂c␈α␈an␈α∞be␈α∞a␈α␈naly␈α␈zed␈α∞o␈α␈v␈α}er␈α∞the␈α∞full␈α∂p␈α␈eriod␈α␈,␈α⊂in␈α∞term␈α␈s
␈β
M␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
ge␈α␈nera␈α␈li␈α↓ze␈α␈d␈αDed␈α␈ekind␈αs␈α␈ums,␈α
b␈α␈y␈α|n␈α␈din␈α␈g␈α
a␈α␈n␈αex␈α␈pression␈αf␈α↓o␈α␈r␈α
th␈α␈e␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈αth␈α␈at␈↓ 
m␈ε	␈↓ ␈ε↔∀
␈β
q␈↓ β∩␈ε~0␈↓ ∧b␈ε~0␈↓ ε&␈ε~0␈↓ εT␈ε~0
␈β
u␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ ↓x␈εβ<␈↓ α#␈ε	␈␈↓ αA␈εβa␈α␈nd␈↓ β␈ε	␈↓ β"␈ε↔∀␈↓ βL␈ε	X␈↓ ∧#␈εβ<␈↓ ∧M␈ε	␈␈↓ ∧q␈εβw␈α↓h␈α␈en␈↓ ¬G␈ε	␈↓ ¬Y␈εβ,␈↓ ¬l␈ε	␈␈↓ ε↓␈εβ,␈↓ ε∀␈ε	␈↓ ε,␈εβ,␈↓ ε?␈ε	␈␈↓ εc␈εβare␈α	giv␈α␈en␈α	in␈α}tegers␈α	with␈α	0␈ε↔␈α	∀␈↓ 	x␈ε	␈↓ 
∪␈εβ<␈↓ 
>␈ε	␈␈↓ 
[␈ε↔∀␈↓ ε␈ε	m␈↓ #␈εβ,
␈β␈↓ ↓←␈εn␈↓ βc␈εn␈↓ βt␈εε+1
␈β→␈↓ α≡␈ε~0␈↓ αm␈ε~0
␈β≥␈↓ ↓H␈εβ0␈ε↔␈α	∀␈↓ α␈ε	␈↓ α.␈εβ<␈↓ αX␈ε	␈␈↓ α|␈ε↔∀␈↓ β'␈ε	m␈↓ βD␈εβ.␈α~[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈αCon␈α␈sider␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈an␈α}ti␈α↓ty␈ε↔␈α
b␈εβ(␈↓ π(␈ε	x␈↓ πA␈ε↔␈␈↓ πj␈ε	␈↓ π|␈εβ)/␈↓ λ_␈ε	m␈↓ λ5␈ε↔c␈απ␈␈αλb␈εβ(␈↓ 	
␈ε	x␈↓ 	#␈ε↔␈␈↓ 	L␈ε	␈␈↓ 	`␈εβ)/␈↓ 	|␈ε	m␈↓ 
→␈ε↔c␈εβ.]
␈βS␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ[␈ε	M29␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(U.␈α
Diete␈α␈r.␈α↓)␈α∃Exte␈α␈nd␈α	Th␈α␈eorem␈α	P␈α
b␈α␈y␈α	obt␈α␈aining␈α	a␈α	form␈α␈u␈α␈la␈α	f␈α↓o␈α␈r␈α
th␈α␈e␈α	prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈βz␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊂␈ε	X␈↓ α@␈εβ>␈↓ αk␈ε	X␈↓ βA␈εβ>␈↓ βl␈ε	X␈↓ ∧9␈εβ,␈αin␈α
terms␈αof␈αg␈α␈enera␈α␈li␈α↓z␈α␈ed␈αDed␈α␈ek␈α␈i␈α↓n␈α␈d␈αsu␈α␈ms.
␈β¬␈↓ α'␈εn␈↓ βα␈εn␈↓ β∩␈εε+␈α↓1␈↓ ∧β␈εn␈↓ ∧∪␈εε+␈α↓2
␈β
␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S←Sec␈α␈ond␈α
Set
␈β
H␈↓ ↓H␈εβIn␈αman␈α}y␈α
ca␈α␈ses,␈α∞ex␈α␈ac␈α␈t␈α
comp␈α␈uta␈α␈tions␈α
with␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈α
are␈α
q␈α␈uite␈α
di}c␈α␈ult␈α
to␈α
ca␈α␈rry␈α
o␈α␈ut,␈α
bu␈α␈t
␈β
o␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈α
ca␈α␈n␈α
attem␈α␈pt␈α
to␈α
stud␈α␈y␈α
th␈α␈e␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lities␈α
that␈α
ar␈α␈i␈α↓se␈α
wh␈α␈en␈α
w␈α␈e␈α
tak␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
av␈α␈e␈α␈rage␈α
o␈α␈v␈α}er␈α
all
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εβre␈α␈al␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αof␈↓ β∃␈ε	x␈↓ β1␈εβinste␈α␈ad␈αo␈α␈f␈αrestricting␈α
the␈αc␈α␈alculat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αto␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈αvalu␈α␈es.␈αAl␈α↓th␈α␈ou␈α␈gh␈α
these
␈β∞?␈↓ ↓H␈εβre␈α␈sults␈αare␈αo␈α␈nly␈αa␈α␈pp␈α␈ro␈α␈x␈α␈i␈α↓m␈α␈ate,␈αthe␈α␈y␈αsh␈α␈ed␈αso␈α␈me␈αli␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αon␈α
the␈α
sub␈α␈j␈α↓e␈α␈ct.
␈β∞g␈↓ α␈εβIt␈αλi␈α↓s␈αλco␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈nien␈α}t␈α	to␈αλd␈α␈eal␈αλwith␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈↓ ε#␈ε	U␈↓ εP␈εβbet␈α␈w␈α␈een␈απzero␈αλan␈α␈d␈αλo␈α␈ne;␈α	for␈αλl␈α↓in␈α␈ear␈αλco␈α␈ngru␈α␈en␈α␈-
␈β∞r␈↓ ε8␈εn
␈β∂∂␈↓ ↓H␈εβtia␈α␈l␈αseq␈α␈uen␈α␈ces,␈↓ β"␈ε	U␈↓ βQ␈εβ=␈↓ β|␈ε	X␈↓ ∧#␈εβ/␈↓ ∧4␈ε	m␈↓ ∧Q␈εβ,␈αa␈α␈nd␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ ε&␈ε	U␈↓ ε{␈εβ=␈ε↔␈α
f␈↓ π7␈ε	a␈↓ πG␈ε	U␈↓ πt␈εβ+␈↓ λ≥␈ε	∩␈↓ λ+␈ε↔g␈εβ,␈αwhe␈α␈re␈↓ 	0␈ε	∩␈↓ 	H␈εβ=␈↓ 	s␈ε	c␈↓ 
␈εβ/␈↓ 
⊂␈ε	m␈↓ 
9␈εβan␈α␈d␈ε↔␈αf␈↓ 
␈ε	x␈↓ ≤␈ε↔g
␈β∂→␈↓ β7␈εn␈↓ ∧∪␈εn␈↓ ε<␈εn␈↓ εL␈εε+1␈↓ π\␈εn
␈β∂6␈↓ ↓H␈εβd␈α␈en␈α␈otes␈↓ α@␈ε	x␈↓ αW␈εβmo␈α␈d␈↓ β≠␈εβ1.␈αFor␈αex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈αth␈α␈e␈αform␈α␈u␈α␈la␈αfor␈αserial␈αco␈α␈rrelation␈α
no␈α␈w␈αb␈α␈ecom␈α␈es
␈β∂x␈↓ β≥␈ε↓Z␈↓ ¬U␈ε↓Z␈↓ π@␈ε↓Z␈↓ 	∧␈ε↓Z
␈β⊂␈↓ βA␈εε1␈↓ ¬y␈εε1␈↓ πd␈εε1␈↓ 	(␈εε1
␈β⊂α␈↓ ε\␈εε2␈↓ 

␈εε2
␈β⊂
␈↓ βπ␈ε↓∩␈↓ ¬?␈ε↓∩␈↓ εF␈ε↓∪␈↓ εn␈ε↓∪␈↓ π∧␈ε↓≡␈↓ π*␈ε↓∩␈↓ λn␈ε↓∩␈↓ 	t␈ε↓∪␈↓ 
≥␈ε↓∪
␈β⊂!␈↓ λλ␈εε2
␈β⊂'␈↓ α8␈ε	C␈↓ α\␈εβ=␈↓ βS␈ε	x␈↓ βd␈ε↔f␈↓ βu␈ε	a␈↓ ∧¬␈ε	x␈↓ ∧≡␈εβ+␈↓ ∧G␈ε	∩␈↓ ∧U␈ε↔g␈↓ ∧k␈ε	d␈↓ ∧}␈ε	x␈↓ ¬↔␈ε↔␈␈↓ ε␈ε	x␈↓ ε"␈ε	d␈↓ ε5␈ε	x␈↓ πv␈ε	x␈↓ λ~␈ε	d␈↓ λ,␈ε	x␈↓ λE␈ε↔␈␈↓ 	:␈ε	x␈↓ 	Q␈ε	d␈↓ 	c␈ε	x␈↓ 
3␈εβ.
␈β⊂J␈↓ β1␈εε0␈↓ ¬i␈εε0␈↓ πT␈εε0␈↓ 	_␈εε0
␈β⊃~␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β⊃≡␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈23␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(R.␈αR␈α␈.␈αCo␈α}v␈α␈ey␈α}ou.)␈α→What␈αis␈αth␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αof␈↓ πU␈ε	C␈↓ π{␈εβin␈αth␈α␈e␈αform␈α␈u␈α␈la␈αjust␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en?
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.4␈ε∞␈↓ λ⊃T␈α␈HE␈α	SP␈α␈ECTRA␈α␈L␈α	TEST␈↓ λ␈εα87
␈βα&␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β2␈ε	a␈↓ βL␈εβbe␈α	an␈α	in␈α␈teg␈α␈er,␈α
an␈α␈d␈α
let␈α	0␈ε↔␈α	∀␈↓ εM␈ε	∩␈↓ εd␈εβ<␈α
1␈α␈.␈αIf␈↓ πS␈ε	x␈↓ πn␈εβis␈α
a␈α	real␈α
n␈α}um␈α}ber␈α	bet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈α
0␈α	a␈α␈nd
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈,␈α∞a␈α␈nd␈αif␈↓ αR␈ε	s␈↓ α`␈εβ(␈↓ αk␈ε	x␈↓ α⎇␈εβ)␈α=␈ε↔␈αf␈↓ βR␈ε	a␈↓ βb␈ε	x␈↓ β|␈εβ+␈↓ ∧&␈ε	∩␈↓ ∧4␈ε↔g␈εβ,␈α
wha␈α␈t␈α
is␈α
the␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈αth␈α␈at␈↓ λε␈ε	s␈↓ λ∀␈εβ(␈↓ λ∨␈ε	x␈↓ λ0␈εβ)␈α<␈↓ λu␈ε	x␈↓ 	ε␈εβ?␈α≤(␈α↓Th␈α␈is␈α
is␈α
the␈α\rea␈α␈l
␈βαy␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er"␈αa␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈g␈αof␈αTh␈α␈eorem␈α
P␈α↓.)
␈ββ.␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ[␈ε	28␈↓ α;␈εβ]␈α⊗The␈α
pre␈α␈viou␈α␈s␈α∞ex␈α}ercise␈α∞g␈α␈i␈α↓v␈α}es␈α∞th␈α␈e␈α∞p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α
that␈↓ λ1␈ε	U␈↓ 	
␈εβ<␈↓ 	9␈ε	U␈↓ 	←␈εβ.␈α∪What␈α
is␈α∞the
␈ββ9␈↓ λG␈εn␈↓ λW␈εε+1␈↓ 	O␈εn
␈ββV␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α∂tha␈α␈t␈↓ βE␈ε	U␈↓ ∧!␈εβ<␈↓ ∧R␈ε	U␈↓ ¬.␈εβ<␈↓ ¬`␈ε	U␈↓ εε␈εβ,␈α⊃a␈α␈ssum␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∂tha␈α␈t␈↓ λ↓␈ε	U␈↓ λ6␈εβis␈α⊂a␈α∂ra␈α␈nd␈α␈om␈α∂real␈α∂n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈ββa␈↓ βZ␈εn␈↓ βj␈εε+2␈↓ ∧h␈εn␈↓ ∧x␈εε+1␈↓ ¬u␈εn␈↓ λ⊗␈εn
␈ββ}␈↓ ↓H␈εβb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
zero␈αa␈α␈nd␈α
on␈α␈e?
␈β∧3␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβ[␈ε	M29␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Un␈α␈der␈α
th␈α␈e␈α
assu␈α␈mption␈α␈s␈α
of␈α
the␈α
p␈α␈reced␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
p␈α␈roblem␈α␈,␈αex␈α}cept␈α
with␈↓ 	␈␈ε	∩␈↓ 
⊗␈εβ=␈α
0,␈α
sho␈α}w
␈β∧Z␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊂␈ε	U␈↓ α?␈εβ>␈↓ αi␈ε	U␈↓ β>␈εβ>␈↓ βh␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧_␈εβ>␈↓ ∧C␈ε	U␈↓ ¬<␈εβoccu␈α␈rs␈αwith␈αp␈α␈roba␈α␈bility
␈β∧e␈↓ α%␈εn␈↓ α}␈εn␈↓ β∂␈εε+1␈↓ ∧X␈εn␈↓ ∧i␈εε+␈↓ ¬α␈εt␈↓ ¬␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β¬&␈↓ ¬λ␈ε↓∩␈↓ ¬w␈ε↓∪␈↓ ε?␈ε↓∩␈↓ πi␈ε↓∪
␈β¬-␈↓ ∧q␈εβ1␈↓ ¬b␈εβ1␈↓ π→␈ε	t␈↓ π,␈ε↔␈␈εβ␈αλ2
␈β¬C␈↓ ¬≡␈εβ1␈απ+␈↓ ε∩␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εU␈εβ1␈απ+␈↓ π␈␈εβ.
␈β¬Q␈↓ ∧o␈∧¬Q∧oα⊗␈↓ ¬b␈∧¬Q¬bα⊃␈↓ π→␈∧¬Qπ→αM
␈β¬Z␈↓ ∧o␈ε	t␈↓ ∧{␈εβ!␈↓ ¬b␈ε	a␈↓ π7␈ε	a
␈βε*␈↓ ↓H␈εβWh␈α␈at␈α∞is␈α∞th␈α␈e␈α∞a␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α∞len␈α␈gth␈α
of␈α∞a␈α
de␈α␈scen␈α␈ding␈α
run␈α
sta␈α␈rti␈α↓n␈α␈g␈α
at␈↓ λH␈ε	U␈↓ λm␈εβ,␈α∂assu␈α␈ming␈α
tha␈α␈t␈↓ 
c␈ε	U␈↓ ⊗␈εβis
␈βε4␈↓ λ]␈εn␈↓ 
x␈εn
␈βεQ␈↓ ↓H␈εβse␈α␈l␈α↓e␈α␈cted␈αa␈α␈t␈αran␈α␈dom␈α
bet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈αzero␈α
an␈α␈d␈αon␈α␈e?
␈βπα␈↓ ↓;␈ε↓x␈↓ ∧~␈ε~0␈↓ ∧K␈ε~0␈↓ 
↓␈ε~0␈↓ 
T␈ε~0
␈βπε␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β5␈ε	␈↓ βG␈εβ,␈↓ β]␈ε	␈␈↓ βr␈εβ,␈↓ ∧λ␈ε	␈↓ ∧ ␈εβ,␈↓ ∧6␈ε	␈␈↓ ∧]␈εβbe␈αrea␈α␈l␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈αwi␈α↓th␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ πi␈ε	␈↓ λπ␈εβ<␈↓ λ4␈ε	␈␈↓ λS␈ε↔∀␈εβ␈α1,␈α
0␈ε↔␈α∀␈↓ 	o␈ε	␈↓ 
∪␈εβ<␈↓ 
@␈ε	␈␈↓ 
f␈ε↔∀␈εβ␈α1␈α␈.
␈βπ.␈↓ ↓H␈εβUn␈α␈de␈α␈r␈α∞the␈α
assu␈α␈mp␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α
of␈α∞ex␈α}ercise␈α
22,␈α∞wha␈α␈t␈α∞is␈α∞th␈α␈e␈α∞p␈α␈rob␈α␈ability␈α∞t␈α␈hat␈↓ 	8␈ε	␈↓ 	X␈ε↔∀␈↓ 
π␈ε	x␈↓ 
&␈εβ<␈↓ 
U␈ε	␈␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈βπQ␈↓ ↓Z␈ε~0␈↓ β∩␈ε~0
␈βπU␈↓ ↓H␈ε	␈↓ ↓i␈ε↔∀␈↓ α∀␈ε	s␈↓ α"␈εβ(␈↓ α-␈ε	x␈↓ α>␈εβ)␈α
<␈↓ α⎇␈ε	␈␈↓ β_␈εβ?␈α(This␈αis␈αthe␈α\␈α␈real␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er"␈αa␈α␈nalog␈α
of␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α19␈α␈.␈α↓)
␈βλ␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Co␈α␈nside␈α␈r␈α
a␈α	\Fibo␈α␈nac␈α␈ci"␈α
g␈α␈ene␈α␈rator,␈α
wh␈α␈ere␈↓ πN␈ε	U␈↓ λ#␈εβ=␈ε↔␈α
f␈↓ λ↑␈ε	U␈↓ 		␈εβ+␈↓ 	0␈ε	U␈↓ 	{␈ε↔g␈εβ.␈αAssu␈α␈ming
␈βλ∃␈↓ πd␈εn␈↓ πt␈εε+1␈↓ λt␈εn␈↓ 	E␈εn␈↓ 	V␈ε~␈␈εε1
␈βλ2␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α␈ε	U␈↓ α5␈εβan␈α␈d␈↓ αr␈ε	U␈↓ β≠␈εβare␈απin␈α␈dep␈α␈end␈α␈en␈α}tl␈α↓y␈αεcho␈α␈sen␈απa␈α␈t␈αλra␈α␈nd␈α␈om␈απb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈απ0␈αεand␈αε1,␈αλ|n␈α␈d␈απth␈α␈e␈απprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈βλ=␈↓ α!␈εε1␈↓ βπ␈εε2
␈βλZ␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α∪␈ε	U␈↓ αC␈εβ<␈↓ αs␈ε	U␈↓ β#␈εβ<␈↓ βR␈ε	U␈↓ βt␈εβ,␈↓ ∧␈ε	U␈↓ ∧=␈εβ<␈↓ ∧l␈ε	U␈↓ ¬≤␈εβ<␈↓ ¬L␈ε	U␈↓ ¬n␈εβ,␈↓ εε␈ε	U␈↓ ε6␈εβ<␈↓ εf␈ε	U␈↓ π⊗␈εβ<␈↓ πE␈ε	U␈↓ πg␈εβ,␈α⊂e␈α␈tc.␈α∨[␈ε⊂␈α↓Hin␈α␈t␈α␈:␈εβ␈α∩Divid␈α␈e␈α∞the␈α∞\␈α␈un␈α␈it
␈βλd␈↓ α(␈εε1␈↓ βλ␈εε2␈↓ βh␈εε3␈↓ ∧"␈εε1␈↓ ¬↓␈εε3␈↓ ¬a␈εε2␈↓ ε≠␈εε2␈↓ ε{␈εε1␈↓ π[␈εε3
␈β	↓␈↓ ↓H␈εβsq␈α␈ua␈α␈re,"␈αi␈α↓.e.,␈αth␈α␈e␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈αof␈αthe␈αp␈α␈l␈α↓a␈α␈ne␈↓ ¬←␈ε↔f␈↓ ¬u␈εβ(␈↓ ε␈ε	x␈↓ ε∩␈εβ,␈↓ ε ␈ε	y␈↓ ε3␈εβ)␈ε↔␈α
j␈εβ␈α	0␈ε↔␈α
∀␈↓ π ␈ε	x␈↓ π1␈εβ,␈↓ π@␈ε	y␈↓ π\␈εβ<␈α
1␈↓ λ≥␈ε↔g␈↓ λ-␈εβ,␈αin␈α␈to␈αsix␈αp␈α␈arts,␈αdep␈α␈end␈α␈ing
␈β	)␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈αth␈α␈e␈αrelativ␈α␈e␈αo␈α␈rde␈α␈r␈αo␈α␈f␈↓ ∧$␈ε	x␈↓ ∧6␈εβ,␈↓ ∧J␈ε	y␈↓ ∧]␈εβ,␈αan␈α␈d␈ε↔␈αf␈↓ ¬B␈ε	x␈↓ ¬[␈εβ+␈↓ ε∧␈ε	y␈↓ ε⊗␈ε↔g␈εβ,␈αan␈α␈d␈αde␈α␈termine␈α
the␈αa␈α␈rea␈αof␈αea␈α␈ch␈αp␈α␈art.]
␈β	↑␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβ[␈ε	M32␈↓ αX␈εβ]␈α⊗In␈απthe␈απF␈α↓ib␈α␈on␈α␈acci␈αλg␈α␈ener␈α␈ator␈απof␈αλthe␈απpre␈α␈ced␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αλex␈α}ercise,␈αλl␈α↓e␈α␈t␈↓ 	∩␈ε	U␈↓ 	<␈εβan␈α␈d␈↓ 	y␈ε	U␈↓ 
#␈εβbe␈απcho␈α␈sen
␈β	i␈↓ 	'␈εε0␈↓ 
∂␈εε1
␈β
ε␈↓ ↓H␈εβin␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}tl␈α↓y␈α
in␈αt␈α␈he␈αu␈α␈nit␈αsq␈α␈ua␈α␈re␈αex␈α}cep␈α␈t␈αtha␈α␈t␈↓ ε\␈ε	U␈↓ ππ␈εβ>␈↓ π2␈ε	U␈↓ πT␈εβ.␈αDete␈α␈rmine␈αt␈α␈he␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α
tha␈α␈t
␈β
⊂␈↓ εq␈εε0␈↓ πG␈εε1
␈β
-␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ ↓s␈εβis␈α
th␈α␈e␈α	beg␈α␈i␈α↓n␈α␈nin␈α␈g␈α	of␈α
a␈α␈n␈α	up␈α␈ward␈α	ru␈α␈n␈α	of␈α
len␈α␈gth␈↓ εn␈ε	k␈↓ ε}␈εβ,␈α
so␈α	tha␈α␈t␈↓ π␈␈ε	U␈↓ λ*␈εβ>␈↓ λT␈ε	U␈↓ λ␈␈εβ<␈↓ 	*␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	Z␈εβ<␈↓ 
¬␈ε	U␈↓ 
0␈εβ>␈↓ 
[␈ε	U␈↓ #␈εβ.
␈β
8␈↓ ↓]␈εε1␈↓ λ∀␈εε0␈↓ λj␈εε1␈↓ 
~␈εk␈↓ 
p␈εk␈↓ 
⎇␈εε+␈α↓1
␈β
U␈↓ ↓H␈εβCo␈α␈mp␈α␈are␈αth␈α␈i␈α↓s␈αwith␈αt␈α␈he␈αco␈α␈rresp␈α␈ond␈α␈ing␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lities␈αfor␈αa␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αseq␈α␈uen␈α␈ce.
␈β
␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβ[␈ε	M35␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Acc␈α␈ordin␈α␈g␈αto␈α
Eq.␈α3␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓1␈α␈.␈α↓3␈α␈↑5␈α␈,␈αa␈α
linea␈α␈r␈αco␈α␈ngru␈α␈en␈α}ti␈α↓a␈α␈l␈αgen␈α␈erato␈α␈r␈αwith␈α
pot␈α␈ency␈α
2
␈β2␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈tis|es␈απth␈α␈e␈απcon␈α␈dition␈↓ ∧↓␈ε	X␈↓ ∧Q␈ε↔␈␈εβ␈αα2␈↓ ¬¬␈ε	X␈↓ ¬/␈εβ+␈↓ ¬R␈ε	X␈↓ ε(␈ε↔⊃␈εβ␈α
(␈↓ ε↑␈ε	a␈↓ εq␈ε↔␈␈εβ␈αα1)␈↓ π0␈ε	c␈↓ πF␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ λH␈ε	m␈↓ λe␈εβ).␈α
Con␈α␈sider␈απa␈απg␈α␈en␈α␈erato␈α␈r
␈β<␈↓ ∧→␈εn␈↓ ∧)␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬≤␈εn␈↓ ¬i␈εn␈↓ ¬y␈εε+␈α↓1
␈βY␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αa␈α␈bstra␈α␈cts␈αthis␈αsitua␈α␈tion:␈αlet␈↓ ¬#␈ε	U␈↓ ¬x␈εβ=␈ε↔␈α	f␈↓ ε3␈ε	␈↓ εM␈εβ+␈απ2␈↓ πε␈ε	U␈↓ π3␈ε↔␈␈↓ π\␈ε	U␈↓ λ'␈ε↔g␈εβ.␈αAs␈αin␈αex␈α}ercise␈α26␈α␈,␈αd␈α␈ivide
␈βd␈↓ ¬8␈εn␈↓ ¬I␈εε+1␈↓ π≠␈εn␈↓ πq␈εn␈↓ λ↓␈ε~␈␈εε1
␈β↓␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αun␈α␈i␈α↓t␈αsqu␈α␈are␈αi␈α↓n␈α}to␈αpart␈α␈s␈αth␈α␈at␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αt␈α␈he␈αrelativ␈α␈e␈αord␈α␈er␈αo␈α␈f␈↓ λ⊗␈ε	U␈↓ λ8␈εβ,␈↓ λM␈ε	U␈↓ λo␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓ 	E␈ε	U␈↓ 	r␈εβf␈α↓o␈α␈r␈αea␈α␈ch␈αpa␈α␈ir
␈β␈↓ λ+␈εε1␈↓ λb␈εε2␈↓ 	Z␈εε3
␈β(␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	U␈↓ ↓u␈εβ,␈↓ αβ␈ε	U␈↓ α%␈εβ).␈α∂Are␈αther␈α␈e␈α
a␈α␈n␈α␈y␈αv␈α␈alu␈α␈es␈αof␈↓ ¬.␈ε	␈↓ ¬M␈εβfor␈αwhich␈αall␈α
six␈αp␈α␈ossible␈αo␈α␈rders␈αar␈α␈e␈α
a␈α␈chiev␈α}ed␈αwith
␈β3␈↓ ↓h␈εε1␈↓ α→␈εε2
␈βM␈↓ αw␈εε1
␈βP␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈↓ βλ␈εβ,␈αassu␈α␈ming␈α
tha␈α␈t␈↓ ∧t␈ε	U␈↓ ¬!␈εβand␈↓ ¬b␈ε	U␈↓ ε∂␈εβare␈αc␈α␈hose␈α␈n␈αat␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αin␈αth␈α␈e␈αu␈α␈nit␈αsqu␈α␈are?
␈β[␈↓ ¬
␈εε1␈↓ ¬w␈εε2
␈β↑␈↓ αw␈∧↑αwα
␈β`␈↓ αw␈εε6
␈β
S␈↓ ↓H␈ε≥3␈α␈.3.4.␈α
The␈α
Spec␈α␈t␈α↓r␈α␈al␈α
Test
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εαIn␈α	this␈α
section␈α
w␈α␈e␈α	shall␈α
study␈α	an␈α
especially␈α
importan␈α␈t␈α	way␈α
to␈α
check␈α	the␈α
quality␈α	of
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαlinear␈α
congruen␈α␈tial␈α
random-n␈α␈um␈α␈ber␈α
generators;␈α
not␈α
only␈α
do␈α
all␈α
good␈α
generators
␈β∞m␈↓ ↓H␈εαpass␈αλthis␈α	test,␈α	all␈αλgenerators␈α	no␈α␈w␈αλkno␈α␈wn␈α	to␈αλbe␈α	bad␈α	actually␈ε∂␈αλfail␈εα␈α	it.␈α
Th␈α␈us␈α	it␈αλis␈α	by␈αλfar
␈β∂_␈↓ ↓H␈εαthe␈απmost␈αλpo␈α␈w␈α␈erful␈απtest␈απkno␈α␈wn,␈α	and␈απit␈αλdeserv␈α␈es␈απparticular␈αλatten␈α␈tion.␈α
Our␈απdiscussion
␈β∂C␈↓ ↓H␈εαwill␈α	also␈α
bring␈α
out␈α
some␈α	fundamen␈α␈tal␈α
limitations␈α
on␈α
the␈α	degree␈α
of␈α
randomness␈α	w␈α␈e
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαcan␈αexpect␈αfrom␈αlinear␈αcongruen␈α␈tial␈αsequences␈αand␈αtheir␈αgeneralizations.
␈β⊂~␈↓ α␈εαThe␈α	spectral␈αλtest␈α	em␈α␈bodies␈α	aspects␈αλof␈α	both␈α	the␈αλempirical␈α	and␈α	theoretical␈αλtests
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαstudied␈αin␈αprevious␈α
sections:␈α
it␈αis␈α
lik␈α␈e␈αthe␈αtheoretical␈α
tests␈αbecause␈α
it␈αdeals␈αwith
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαproperties␈α∂of␈α∂the␈α∂full␈α∂period␈α⊂of␈α∂the␈α∂sequence,␈α⊂and␈α∂it␈α⊂is␈α∂lik␈α␈e␈α∂the␈α∂empirical␈α∂tests
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαbecause␈αit␈αrequires␈αa␈αcomputer␈αprogram␈αto␈αdetermine␈αthe␈αresults.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα88␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.4
␈βα(␈↓ ↓H␈ε∩A.␈α⊂Ideas␈α⊃underlying␈α⊃the␈α⊂test.␈εα␈α"The␈α⊃most␈α⊂importan␈α␈t␈α⊃randomness␈α⊃criteria␈α⊂seem
␈βαS␈↓ ↓H␈εαto␈α∞rely␈α∂on␈α∂properties␈α∂of␈α∂the␈α∂join␈α␈t␈α∞distribution␈α∂of␈↓ πZ␈ελt␈↓ πv␈εαconsecutiv␈α␈e␈α∂elemen␈α␈ts␈α∂of␈α∞the
␈βα}␈↓ ↓H␈εαsequence,␈αand␈αthe␈αspectral␈αtest␈α
deals␈αdirectly␈αwith␈αthis␈αdistribution.␈αIf␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈α
a
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαsequence␈ε⊗␈αh␈↓ αh␈ελU␈↓ β⊃␈ε⊗i␈εα␈αof␈αperiod␈↓ ∧A␈ελm␈↓ ∧`␈εα,␈αthe␈αidea␈αis␈αto␈αanalyze␈αthe␈αset␈αof␈αall␈↓ 	$␈ελm␈↓ 	P␈εαpoin␈α␈ts
␈ββ7␈↓ α␈␈εn
␈ββa␈↓ ∧j␈ε↓λ␈↓ πx␈ε↓␈	
␈β∧␈↓ ¬α␈εα(␈↓ ¬∞␈ελU␈↓ ¬7␈εα,␈↓ ¬G␈ελU␈↓ ε≠␈εα,␈↓ ε+␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε[␈εα,␈↓ εk␈ελU␈↓ πf␈εα)␈↓ α␈εα(1)
␈β∧∞␈↓ ¬%␈εn␈↓ ¬↑␈εn␈↓ ¬p␈ε¬+␈α␈1␈↓ πα␈εn␈↓ π∀␈ε¬+␈↓ π1␈εt␈↓ π;␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧W␈↓ ↓H␈εαin␈↓ ↓r␈ελt␈↓ ↓␈␈εα-dimensional␈αspace.
␈β¬α␈↓ α␈εαFor␈αsimplicity␈αw␈α␈e␈α
shall␈αassume␈αthat␈αw␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈αa␈αlinear␈αcongruen␈α␈tial␈αsequence
␈β¬-␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελX␈↓ ↓{␈εα,␈↓ α␈ελa␈↓ α≥␈εα,␈↓ α-␈ελc␈↓ α;␈εα,␈↓ αK␈ελm␈↓ αk␈εα)␈α∞of␈α∂maxim␈α␈um␈α∂period␈α∞length␈↓ ε?␈ελm␈↓ εm␈εα(so␈α∂that␈↓ πx␈ελc␈↓ λ∃␈ε⊗≤␈εα␈α∞0),␈α∂or␈α∂that␈↓ 	}␈ελm␈↓ 
,␈εαis␈α∞prime
␈β¬;␈↓ ↓m␈ε¬0
␈β¬Y␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∂␈ελc␈↓ α*␈εα=␈α
0␈α
and␈α∞the␈α
period␈α∞length␈α
is␈↓ εε␈ελm␈↓ ε/␈ε⊗␈␈εα␈α	1.␈α⊂In␈α∞the␈α∞latter␈α
case␈α∞w␈α␈e␈α
shall␈α∞add␈α
the
␈βε∧␈↓ ↓H␈εαpoin␈α␈t␈α∂(0,␈αε0,␈↓ αx␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β(␈εα,␈αε0)␈α∞to␈α∂the␈α∂set␈α∂(1),␈α⊂so␈α∞that␈α∂there␈α∂are␈α∂always␈↓ λi␈ελm␈↓ 	↔␈εαpoin␈α␈ts␈α∂in␈α∂all;␈α⊂this
␈βε/␈↓ ↓H␈εαextra␈α	poin␈α␈t␈α
has␈α
a␈α
negligible␈α
e{ect␈α
when␈↓ ε0␈ελm␈↓ εY␈εαis␈α
large,␈α
and␈α
it␈α
mak␈α␈es␈α
the␈α
theory␈α	m␈α␈uch
␈βεZ␈↓ ↓H␈εαsimpler.␈αUnder␈αthese␈αassumptions,␈α(1)␈αcan␈αbe␈αrewritten␈αas
␈βπ⊃␈↓ π?␈ε↓␈
␈βπ'␈↓ ∧␈ε↓␈␈↓ π'␈ε↓↓␈↓ π?␈ε↓␈
␈βπ,␈↓ βO␈ε↓~␈↓ 	
␈ε↓≠
␈βπ0␈↓ βo␈εα1
␈βπ<␈↓ π?␈ε↓␈
␈βπ@␈↓ εG␈εt␈↓ εQ␈ε→␈␈ε¬1
␈βπF␈↓ ∧~␈ελx␈↓ ∧-␈εα,␈↓ ∧=␈ελs␈↓ ∧L␈εα(␈↓ ∧X␈ελx␈↓ ∧k␈εα),␈↓ ¬π␈ελs␈↓ ¬⊗␈εα(␈↓ ¬"␈ελs␈↓ ¬1␈εα(␈↓ ¬=␈ελx␈↓ ¬P␈εα)),␈↓ ¬x␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε(␈εα,␈↓ ε8␈ελs␈↓ ε|␈εα(␈↓ πλ␈ελx␈↓ π≠␈εα)␈↓ πU␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ∨␈ελx␈↓ λ<␈εα<␈↓ λj␈ελm␈↓ 	 ␈εα,␈↓ α␈εα(2)
␈βπR␈↓ π?␈ε↓␈
␈βπW␈↓ βi␈∧πWβiα 
␈βπ←␈↓ βi␈ελm
␈βλ1␈↓ ↓H␈εαwhere
␈βλ\␈↓ ¬
␈ελs␈↓ ¬→␈εα(␈↓ ¬%␈ελx␈↓ ¬8␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ ελ␈ελa␈↓ ε~␈ελx␈↓ ε4␈εα+␈↓ ε`␈ελc␈↓ εn␈εα)␈↓ π␈εαmod␈↓ πJ␈ελm␈↓ α␈εα(3)
␈β	!␈↓ ↓H␈εαis␈αλthe␈α	\successor"␈αλof␈↓ ∧∧␈ελx␈↓ ∧↔␈εα.␈αNote␈αλthat␈α	w␈α␈e␈α	are␈αλconsidering␈α	only␈αλthe␈α	set␈α	of␈ε∂␈αλall␈εα␈α	such␈αλpoin␈α␈ts
␈β	L␈↓ ↓H␈εαin␈↓ ↓q␈ελt␈↓ α
␈εαdimensions,␈αnot␈αthe␈αorder␈αin␈αwhich␈αthose␈αpoin␈α␈ts␈αare␈αactually␈αgenerated.␈αBut
␈β	w␈↓ ↓H␈εαthe␈α
order␈α
of␈α
generation␈α
is␈α
re⎇ected␈α
in␈α
the␈α
dependence␈α	bet␈α␈w␈α␈een␈α
componen␈α␈ts␈α
of␈α
the
␈β
"␈↓ ↓H␈εαv␈α␈ectors;␈α
and␈α
the␈α
spectral␈α
test␈α
studies␈α
such␈α
dependence␈α
for␈α
various␈αdimensions␈↓ ∨␈ελt
␈β
M␈↓ ↓H␈εαby␈αdealing␈αwith␈αthe␈αtotality␈αof␈αall␈αpoin␈α␈ts␈α(2).
␈β
y␈↓ α␈εαFor␈α∞example,␈α∞Fig.␈α∞8␈α∞sho␈α␈ws␈α∞a␈α∞typical␈α∞small␈α∞case␈α∞in␈α
2␈α∞and␈α∞3␈α∞dimensions,␈α∞for
␈β$␈↓ ↓H␈εαthe␈αgenerator␈αwith
␈βO␈↓ ∧T␈ελs␈↓ ∧c␈εα(␈↓ ∧o␈ελx␈↓ ¬α␈εα)␈α
=␈α
(137␈↓ ελ␈ελx␈↓ ε"␈εα+␈αλ187)␈↓ π⊗␈εαmod␈↓ π`␈εα256.␈↓ α␈εα(4)
␈β∀␈↓ ↓H␈εαOf␈αcourse␈αa␈α
generator␈αwith␈αperiod␈α
length␈α256␈αwill␈α
hardly␈αbe␈αrandom,␈α
but␈α256␈αis
␈β?␈↓ ↓H␈εαsmall␈α
enough␈α
that␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
draw␈α
the␈α
diagram␈α
and␈α	gain␈α
some␈α
understanding␈α
before
␈βj␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αturn␈αto␈αthe␈αlarger␈↓ ∧≥␈ελm␈↓ ∧<␈εα's␈αthat␈αare␈αof␈αpractical␈αin␈α␈terest.
␈β
⊗␈↓ α␈εαPerhaps␈αthe␈αmost␈αstriking␈αthing␈αabout␈αthe␈αpattern␈αof␈αbo␈α␈x␈α␈es␈αin␈αFig.␈α8␈αis␈αthat
␈β
A␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α
can␈α	co␈α␈v␈α␈er␈α
them␈α
all␈α
by␈α
a␈α
fairly␈α
small␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
parallel␈α
lines;␈α
indeed,␈αthere␈α	are
␈β
l␈↓ ↓H␈εαman␈α␈y␈αdi{eren␈α␈t␈αfamilies␈αof␈αparallel␈αlines␈αthat␈αwill␈αhit␈αall␈αthe␈αpoin␈α␈ts.␈αFor␈αexample,
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εαa␈αset␈αof␈α
20␈αnearly␈α
v␈α␈ertical␈αlines␈αwill␈α
do␈αthe␈α
job,␈αas␈α
will␈αa␈αset␈α
of␈α21␈α
lines␈αthat␈αtilt
␈β∞:␈↓ ∧F␈ε_¬
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαupward␈α∂at␈α∂roughly␈α⊂a␈α∂3␈↓ ∧7␈εα0␈↓ ∧d␈εαangle.␈α⊗We␈α⊂commonly␈α∂observ␈α␈e␈α⊂similar␈α∂patterns␈α∂when
␈β∞n␈↓ ↓H␈εαdriving␈αpast␈αfarmlands␈αthat␈αhav␈α␈e␈αbeen␈αplan␈α␈ted␈αin␈αa␈αsystematic␈αmanner.
␈β∂→␈↓ α␈εαIf␈α
the␈α	same␈α
generator␈α	is␈α	considered␈α
in␈α	three␈α
dimensions,␈α
w␈α␈e␈α	obtain␈α
256␈α	poin␈α␈ts
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαin␈α	a␈α	cube,␈α
obtained␈α	by␈α	appending␈α
a␈α	\heigh␈α␈t"␈α	componen␈α␈t␈↓ λ1␈ελs␈↓ λ@␈εα(␈↓ λL␈ελs␈↓ λ[␈εα(␈↓ λg␈ελx␈↓ λz␈εα))␈α	to␈α
each␈α	of␈α	the␈α	256
␈β∂P␈↓ α1␈ε↓␈␈↓ β≠␈ε↓↓
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαpoin␈α␈ts␈↓ α?␈ελx␈↓ αQ␈εα,␈↓ αa␈ελs␈↓ αp␈εα(␈↓ α|␈ελx␈↓ β∂␈εα)␈↓ β3␈εαin␈α
the␈α
plane␈α
of␈α
Fig.␈α
8(a),␈αas␈α
sho␈α␈wn␈α
in␈α
Fig.␈α
8(b).␈αLet's␈α
imagine␈α
that
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαthis␈α3-D␈αcrystal␈α
structure␈αhas␈α
been␈αmade␈αin␈α␈to␈α
a␈αph␈α␈ysical␈α
model,␈αa␈α
cube␈αthat␈αw␈α␈e
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαcan␈αturn␈αin␈αour␈αhands;␈αas␈αw␈α␈e␈αrotate␈αit,␈αw␈α␈e␈αwill␈αnotice␈αvarious␈αfamilies␈αof␈αparallel
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαplanes␈α∂that␈α∂encompass␈α∂all␈α⊂of␈α∂the␈α∂poin␈α␈ts.␈α⊗In␈α∂the␈α⊂w␈α␈ords␈α∂of␈α∂Wallace␈α∂Giv␈α␈ens,␈α⊂the
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαrandom␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αstay␈α\mainly␈αin␈αthe␈αplanes."
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.4␈ε∞␈↓ λ⊃T␈α␈HE␈α	SP␈α␈ECTRA␈α␈L␈α	TEST␈↓ λ␈εα89
␈βεS␈↓ ↓H␈ε∪Fig.␈α	8␈α␈.␈εβ␈α∪(a)␈α	Th␈α␈e␈αλtw␈α␈o␈α␈-dimen␈α␈siona␈α␈l␈α	grid␈αλform␈α␈ed
␈βε}␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αall␈αpairs␈αof␈αsu␈α␈ccessiv␈α␈e␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈α(␈↓ ¬+␈ε	X␈↓ ¬R␈εβ,␈↓ ¬a␈ε	X␈↓ ε.␈εβ),
␈βπ	␈↓ ¬B␈εn␈↓ ¬x␈εn␈↓ ε	␈εε+1
␈βπ)␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	X␈↓ αu␈εβ=␈α
(1␈α␈37␈↓ β]␈ε	X␈↓ ∧␈εβ+␈αλ18␈α␈7)␈↓ ∧w␈εβmo␈α␈d␈↓ ¬;␈εβ256␈α␈.
␈βπ4␈↓ α6␈εn␈↓ αF␈εε+1␈↓ βt␈εn
␈βπX␈↓ ↓H␈εβ(b␈α␈)␈α
The␈α
th␈α␈ree-d␈α␈i␈α↓m␈α␈ensio␈α␈nal␈α
gr␈α␈i␈α↓d␈αof␈α
triplets␈α
(␈↓ εA␈ε	X␈↓ εh␈εβ,␈↓ εw␈ε	X␈↓ πD␈εβ,␈↓ πS␈ε	X␈↓ λ ␈εβ).␈α⊃[␈α↓Illustra␈α␈tions␈α
c␈α␈our␈α␈tesy␈α
o␈α␈f
␈βπc␈↓ εX␈εn␈↓ π∞␈εn␈↓ π≡␈εε+␈α↓1␈↓ πj␈εn␈↓ πz␈εε+␈α↓2
␈βλβ␈↓ ↓H␈εβBru␈α␈ce␈αG.␈αBaum␈α␈gart.]
␈β		␈↓ α␈εαAt␈αλ|rst␈αλglance␈αλw␈α␈e␈αλmigh␈α␈t␈αλthink␈αλthat␈αλsuch␈αλsystematic␈αλbehavior␈αλis␈αλso␈αλnonrandom
␈β	5␈↓ ↓H␈εαas␈αto␈α
mak␈α␈e␈αcongruen␈α␈tial␈α
generators␈αquite␈α
w␈α␈orthless;␈α
but␈αmore␈α
careful␈αre⎇ection,
␈β	`␈↓ ↓H␈εαremem␈α␈bering␈α∂that␈↓ βs␈ελm␈↓ ∧"␈εαis␈α∂quite␈α∂large␈α⊂in␈α∂practice,␈α⊂pro␈α␈vides␈α∂a␈α∂better␈α⊂insigh␈α␈t.␈α∃The
␈β
␈↓ ↓H␈εαregular␈αstructure␈αin␈αFig.␈α8␈αis␈αessen␈α␈tially␈αthe␈α\grain"␈αw␈α␈e␈αsee␈αwhen␈αexamining␈αour
␈β
6␈↓ ↓H␈εαrandom␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αunder␈αa␈αhigh-po␈α␈w␈α␈er␈αmicroscope.␈αIf␈αw␈α␈e␈αtak␈α␈e␈αtruly␈αrandom␈αn␈α␈um-
␈β
a␈↓ ↓H␈εαbers␈απbet␈α␈w␈α␈een␈αλ0␈αλand␈απ1,␈α	and␈απround␈αλor␈απtruncate␈αλthem␈αλto␈απ|nite␈αλaccuracy␈αλso␈απthat␈αλeach␈απis
␈β
␈↓ ↓H␈εαan␈α	in␈α␈teger␈α	m␈α␈ultiple␈α	of␈α	1/␈↓ ∧@␈ελ↔␈↓ ∧Z␈εαfor␈α
some␈α	giv␈α␈en␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈↓ πB␈ελ↔␈↓ πS␈εα,␈α
then␈α	the␈↓ λq␈ελt␈↓ λ}␈εα-dimensional␈α	poin␈α␈ts
␈β8␈↓ ↓H␈εα(1)␈α
w␈α␈e␈α
obtain␈α∞will␈α
hav␈α␈e␈α
an␈α∞extremely␈α
regular␈α
character␈α
when␈α∞view␈α␈ed␈α
through␈α
a
␈βc␈↓ ↓H␈εαmicroscope.
␈β⊃␈↓ α␈εαLet␈α⊂1/␈↓ αv␈ελ↔␈↓ β#␈εαbe␈α⊂the␈α⊂maxim␈α␈um␈α⊂distance␈α⊂bet␈α␈w␈α␈een␈α⊂lines,␈α⊃tak␈α␈en␈α⊂o␈α␈v␈α␈er␈α⊂all␈α⊂families
␈β≥␈↓ π7␈ε↓λ␈↓ πI␈ε↓␈␈↓ 	≥␈ε↓↓␈↓ 	+␈ε↓␈	
␈β≡␈↓ β¬␈ε¬2
␈β<␈↓ ↓H␈εαof␈α∂parallel␈α∂straigh␈α␈t␈α∂lines␈α∂that␈α⊂co␈α␈v␈α␈er␈α∂the␈α∂poin␈α␈ts␈↓ πW␈ελx␈↓ πj␈εα/␈↓ π|␈ελm␈↓ λ≠␈εα,␈↓ λ1␈ελs␈↓ λ@␈εα(␈↓ λL␈ελx␈↓ λ←␈εα)/␈↓ λ⎇␈ελm␈↓ 	L␈εαin␈α∂t␈α␈w␈α␈o␈α∂dimen-
␈βg␈↓ ↓H␈εαsions.␈α≤We␈α∩shall␈α∩call␈↓ ∧!␈ελ↔␈↓ ∧P␈εαthe␈α∩t␈α␈w␈α␈o-dimensional␈ε∂␈α∩accuracy␈εα␈α⊃of␈α∩the␈α⊃random-n␈α␈um␈α␈ber
␈βu␈↓ ∧0␈ε¬2
␈β
∪␈↓ ↓H␈εαgenerator,␈α⊃since␈α⊂the␈α⊃pairs␈α⊂of␈α⊂successiv␈α␈e␈α⊃n␈α␈um␈α␈bers␈α⊂hav␈α␈e␈α⊂a␈α⊃|ne␈α⊂structure␈α⊂that␈α⊂is
␈β
>␈↓ ↓H␈εαessen␈α␈tially␈αgood␈α
to␈α
one␈α
part␈α
in␈↓ ¬5␈ελ↔␈↓ ¬S␈εα.␈α∞Similarly,␈α
let␈α
1/␈↓ πi␈ελ↔␈↓ λ∪␈εαbe␈α
the␈α
maxim␈α␈um␈αdistance
␈β
K␈↓ ¬D␈ε¬2␈↓ πx␈ε¬3
␈β
i␈↓ ↓H␈εαbet␈α␈w␈α␈een␈α∂planes,␈α⊂tak␈α␈en␈α∂o␈α␈v␈α␈er␈α∂all␈α∂families␈α∂of␈α⊂parallel␈α∂planes␈α∂that␈α∂co␈α␈v␈α␈er␈α∂all␈α∂poin␈α␈ts
␈β
u␈↓ ↓H␈ε↓λ␈↓ ↓Z␈ε↓␈␈↓ ∧V␈ε↓↓␈↓ ∧d␈ε↓␈	
␈β∞∀␈↓ ↓h␈ελx␈↓ ↓z␈εα/␈↓ α␈ελm␈↓ α,␈εα,␈↓ αB␈ελs␈↓ αQ␈εα(␈↓ α]␈ελx␈↓ αp␈εα)/␈↓ β∞␈ελm␈↓ β.␈εα,␈↓ βD␈ελs␈↓ βS␈εα(␈↓ β←␈ελs␈↓ βn␈εα(␈↓ βz␈ελx␈↓ ∧␈εα))/␈↓ ∧6␈ελm␈↓ ∧v␈εα;␈α⊂w␈α␈e␈α∂shall␈α∂call␈↓ εd␈ελ↔␈↓ π⊃␈εαthe␈α∂accuracy␈α∂in␈α∞three␈α∂dimensions.
␈β∞"␈↓ εs␈ε¬3
␈β∞?␈↓ ↓H␈εαThe␈↓ α∂␈ελt␈↓ α≤␈εα-dimensional␈α	accuracy␈↓ ∧}␈ελ↔␈↓ ¬ ␈εαis␈α	the␈α	reciprocal␈α	of␈α	the␈α	maxim␈α␈um␈α	distance␈α	bet␈α␈w␈α␈een
␈β∞M␈↓ ¬
␈εt
␈β∞k␈↓ ↓H␈εαh␈α␈yperplanes,␈α
tak␈α␈en␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
all␈α
families␈α∞of␈α
parallel␈α
(␈↓ π>␈ελt␈↓ πT␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)-dimensional␈α
h␈α␈yperplanes
␈β∞v␈↓ ∧⊃␈ε↓λ␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ πt␈ε↓↓␈↓ λα␈ε↓␈	
␈β∂⊃␈↓ εb␈εt␈↓ εl␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈εαthat␈αco␈α␈v␈α␈er␈αall␈αpoin␈α␈ts␈↓ ∧1␈ελx␈↓ ∧C␈εα/␈↓ ∧U␈ελm␈↓ ∧u␈εα,␈↓ ¬␈ελs␈↓ ¬~␈εα(␈↓ ¬&␈ελx␈↓ ¬9␈εα)/␈↓ ¬W␈ελm␈↓ ¬w␈εα,␈↓ ε
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε=␈εα,␈↓ εS␈ελs␈↓ π↔␈εα(␈↓ π#␈ελx␈↓ π6␈εα)/␈↓ πT␈ελm␈↓ λ∀␈εα.
␈β∂D␈↓ α␈εαThe␈α⊂essen␈α␈tial␈α⊂di{erence␈α⊂bet␈α␈w␈α␈een␈α⊂periodic␈α⊂sequences␈α⊂and␈α⊂truly␈α⊂random␈α∂se-
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαquences␈α
that␈αhav␈α␈e␈α
been␈α
truncated␈α
to␈α
m␈α␈ultiples␈α
of␈α
1/␈↓ λβ␈ελ↔␈↓ λ!␈εαis␈α
that␈α
the␈α
\accuracy"␈αof
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαtruly␈α∞random␈α
sequences␈α∞is␈α∞the␈α∞same␈α∞in␈α∞all␈α∞dimensions,␈α∞while␈α∞the␈α∞\accuracy"␈α
of
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαperiodic␈α
sequences␈αdecreases␈αas␈↓ ¬4␈ελt␈↓ ¬L␈εαincreases.␈αIndeed,␈α
since␈αthere␈αare␈α
only␈↓ 
#␈ελm␈↓ 
M␈εαpoin␈α␈ts
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαin␈α∂the␈↓ α7␈ελt␈↓ αD␈εα-dimensional␈α∂cube␈α⊂when␈↓ ¬S␈ελm␈↓ εα␈εαis␈α∂the␈α⊂period␈α⊂length,␈α⊂w␈α␈e␈α⊂can't␈α∂achiev␈α␈e␈α⊂a␈↓ ∪␈ελt␈↓  ␈εα-
␈β⊃↔␈↓ π↓␈ε¬1␈α↓/␈↓ π≡␈εt
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαdimensional␈αaccuracy␈αof␈αmore␈αthan␈αabout␈↓ εb␈ελm␈↓ π)␈εα.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα90␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.4
␈βα(␈↓ α␈εαWhen␈α⊃the␈α⊃independence␈α⊃of␈↓ ¬N␈ελt␈↓ ¬l␈εαconsecutiv␈α␈e␈α⊃values␈α⊃is␈α⊃considered,␈α∩computer-
␈βαS␈↓ ↓H␈εαgenerated␈α∞random␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈α∞will␈α∂behav␈α␈e␈α∞essen␈α␈tially␈α∂as␈α∞if␈α∂w␈α␈e␈α∞took␈α∂truly␈α∞random
␈βα}␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈α	and␈α
truncated␈α
them␈α
to␈↓ ¬>␈εαlg␈↓ ¬`␈ελ↔␈↓ ε∧␈εαbits,␈α
where␈↓ π8␈ελ↔␈↓ π[␈εαdecreases␈α
with␈α	increasing␈↓ 
j␈ελt␈↓ 
w␈εα.␈αIn
␈ββ␈↓ ¬o␈εt␈↓ πG␈εt
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαpractice,␈αsuch␈αvarying␈α
accuracy␈αis␈α
usually␈αall␈αw␈α␈e␈α
need.␈α
We␈αdon't␈α
insist␈αthat␈αthe
␈ββP␈↓ ¬≥␈ε¬3␈α↓5␈↓ λB␈ε¬35␈↓ λk␈ε¬10
␈ββU␈↓ ↓H␈εα10-dimensional␈α∞accuracy␈α∂be␈↓ ¬␈εα2␈↓ ¬:␈εα,␈α∂in␈α∂the␈α∞sense␈α∂that␈α∞all␈α∂(␈↓ λ0␈εα2␈↓ λ←␈εα)␈↓ 	⊗␈εαpossible␈α∞10-tuples
␈β∧␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελU␈↓ ↓⎇␈εα,␈↓ α
␈ελU␈↓ αa␈εα,␈↓ αq␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β!␈εα,␈↓ β1␈ελU␈↓ ∧¬␈εα)␈α
should␈α
be␈α
equally␈α
lik␈α␈ely␈α
on␈α
a␈α
35-bit␈α
machine;␈α
for␈α
such␈α
large
␈β∧
␈↓ ↓k␈εn␈↓ α$␈εn␈↓ α5␈ε¬+1␈↓ βH␈εn␈↓ βZ␈ε¬+␈α␈9
␈β∧+␈↓ ↓H␈ελt␈↓ ↓`␈εαw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αonly␈αa␈αfew␈αof␈αthe␈αleading␈αbits␈αof␈α(␈↓ εy␈ελU␈↓ π"␈εα,␈↓ π2␈ελU␈↓ λε␈εα,␈↓ λ⊗␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λF␈εα,␈↓ λV␈ελU␈↓ 	Q␈εα)␈αto␈αbehav␈α␈e␈αas
␈β∧9␈↓ π⊂␈εn␈↓ πI␈εn␈↓ πZ␈ε¬+1␈↓ λm␈εn␈↓ λ␈␈ε¬+␈↓ 	≠␈εt␈↓ 	&␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαif␈αthey␈αw␈α␈ere␈αindependen␈α␈tly␈αrandom.
␈β¬α␈↓ α␈εαOn␈α∩the␈α⊃other␈α∩hand␈α⊃when␈α⊃an␈α∩application␈α⊃demands␈α∩high␈α⊃resolution␈α∩of␈α⊃the
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαrandom-n␈α␈um␈α␈ber␈α∞sequence,␈α∂simple␈α∂linear␈α∞congruen␈α␈tial␈α∂sequences␈α∞will␈α∞necessarily
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαbe␈αλinadequate;␈α
a␈αλgenerator␈αλwith␈αλlarger␈α	period␈αλshould␈αλbe␈α	used␈αλinstead,␈α	ev␈α␈en␈αλthough
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαonly␈α	a␈α	small␈α	fraction␈α	of␈α	the␈α	period␈α	will␈α	actually␈αλbe␈α	generated.␈αSquaring␈α	the␈α	period
␈βε.␈↓ ↓H␈εαwill␈αessen␈α␈tially␈αsquare␈α
the␈αaccuracy␈αin␈αhigher␈α
dimensions,␈αi.e.,␈α
it␈αwill␈αdouble␈αthe
␈βεZ␈↓ ↓H␈εαe{ectiv␈α␈e␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αbits␈αof␈αprecision.
␈βπ¬␈↓ α␈εαThe␈α∞spectral␈α∂test␈α∞is␈α∞based␈α∂on␈α∞the␈α∞values␈α∂of␈↓ πG␈ελ↔␈↓ πo␈εαfor␈α∞small␈↓ 	
␈ελt␈↓ 	↔␈εα,␈α∂say␈α∞2␈ε⊗␈α∞∀␈↓ 
D␈ελt␈↓ 
←␈ε⊗∀␈εα␈α
6.
␈βπ∩␈↓ πV␈εt
␈βπ0␈↓ ↓H␈εαDimensions␈α
2,␈α
3,␈α
and␈α
4␈αseem␈α
to␈α
be␈α
adequate␈α
to␈α
detect␈α
importan␈α␈t␈α
de|ciencies␈αin
␈βπ[␈↓ ↓H␈εαa␈α∂sequence,␈α∂but␈α∂since␈α∂w␈α␈e␈α∂are␈α∂considering␈α∂the␈α∂en␈α␈tire␈α∂period␈α∂it␈α∂seems␈α∂best␈α∂to␈α∂be
␈βλε␈↓ ↓H␈εαsomewhat␈αcautious␈αand␈αgo␈αup␈αin␈α␈to␈αanother␈αdimension␈αor␈αt␈α␈w␈α␈o;␈αon␈αthe␈αother␈αhand
␈βλ2␈↓ ↓H␈εαthe␈α	values␈α	of␈↓ β∃␈ελ↔␈↓ β8␈εαfor␈↓ βn␈ελt␈↓ ∧¬␈ε⊗∃␈εα␈α
10␈α	seem␈α	to␈α	be␈α
of␈α	no␈α	practical␈α
signi|cance␈α	whatev␈α␈er.␈α∩(This
␈βλ?␈↓ β$␈εt
␈βλ]␈↓ ↓H␈εαis␈α	fortunate,␈α
because␈α	it␈α	appears␈α	to␈α	be␈α
rather␈α	di}cult␈α	to␈α	calculate␈↓ 	/␈ελ↔␈↓ 	R␈εαwhen␈↓ 
-␈ελt␈↓ 
D␈ε⊗∃␈εα␈α
10.)
␈βλj␈↓ 	>␈εt
␈β	λ␈↓ α␈εαNote␈α
that␈αthere␈α
is␈αa␈α
vague␈αrelation␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α
the␈αspectral␈α
test␈αand␈α
the␈αserial
␈β	3␈↓ ↓H␈εαtest;␈α∞for␈α∞example,␈α∞a␈α∞special␈α∞case␈α∞of␈α
the␈α∞serial␈α∞test,␈α∞tak␈α␈en␈α∞o␈α␈v␈α␈er␈α∞the␈α∞en␈α␈tire␈α
period
␈β	↑␈↓ ↓H␈εαas␈α
in␈α
ex␈α␈ercise␈α
3.3.3↑19,␈α
coun␈α␈ts␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
bo␈α␈x␈α␈es␈α
in␈α
each␈α
of␈α
64␈α
subsquares␈α
of
␈β

␈↓ ↓H␈εαFig.␈α8(a).␈α∞The␈α
main␈αdi{erence␈α
is␈α
that␈αthe␈α
spectral␈α
test␈αrotates␈α
the␈α
dots␈αso␈α
as␈αto
␈β
5␈↓ ↓H␈εαdisco␈α␈v␈α␈er␈α	the␈α
least␈α
fav␈α␈orable␈α
orien␈α␈tation.␈αWe␈α
shall␈α
return␈α	to␈α
a␈α
consideration␈α
of␈α	the
␈β
`␈↓ ↓H␈εαserial␈αtest␈αlater␈αin␈αthis␈αsection.
␈β∩␈↓ α␈εαIt␈α∞may␈α∞appear␈α∞at␈α∞|rst␈α∂that␈α∞w␈α␈e␈α∞should␈α∞apply␈α∞the␈α∞spectral␈α∞test␈α∞only␈α∞for␈α∞one
␈β>␈↓ ↓H␈εαsuitably␈α∂high␈α∂value␈α∂of␈↓ ∧8␈ελt␈↓ ∧E␈εα;␈α⊃if␈α∂a␈α∂generator␈α∂passes␈α∂the␈α∂test␈α∂in␈α∂three␈α⊂dimensions,␈α∂it
␈βi␈↓ ↓H␈εαseems␈α	plausible␈α
that␈α
it␈α	should␈α
also␈α
pass␈α	the␈α
2-D␈α
test,␈α
hence␈α
w␈α␈e␈α	migh␈α␈t␈α
as␈α
w␈α␈ell␈α	omit
␈β∀␈↓ ↓H␈εαthe␈αlatter.␈αThe␈αfallacy␈αin␈αthis␈αreasoning␈αoccurs␈αbecause␈αw␈α␈e␈αapply␈αmore␈αstringen␈α␈t
␈β?␈↓ ↓H␈εαconditions␈α∞in␈α∞lo␈α␈w␈α␈er␈α∞dimensions.␈α∪A␈α∞similar␈α∞situation␈α∂occurs␈α∞with␈α∞the␈α∞serial␈α∞test:
␈βj␈↓ ↓H␈εαConsider␈α
a␈α
generator␈α
that␈α
(quite␈α
properly)␈α
has␈α
almost␈α
the␈α	same␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
poin␈α␈ts
␈β
⊗␈↓ ↓H␈εαin␈α
each␈α
subcube␈α
of␈α
the␈α
unit␈α
cube,␈α
when␈α
the␈α
unit␈α
cube␈α
has␈α
been␈α
divided␈α
in␈α␈to␈α
64
␈β
>␈↓ βS␈ε¬1␈↓ ∧≡␈ε¬1␈↓ ∧h␈ε¬1
␈β
A␈↓ ↓H␈εαsubcubes␈αof␈αsize␈↓ βm␈ε⊗α␈↓ ∧8␈ε⊗α␈↓ ∧{␈εα;␈αthis␈α
same␈αgenerator␈αmigh␈α␈t␈α
yield␈αcompletely␈ε∂␈αempty
␈β
Q␈↓ βS␈∧
QβSα∂␈↓ ∧≡␈∧
Q∧≡α∂␈↓ ∧h␈∧
Q∧hα∂
␈β
T␈↓ βS␈ε¬4␈↓ ∧≡␈ε¬4␈↓ ∧h␈ε¬4
␈β
l␈↓ ↓H␈εαsubsquares␈α∂of␈α∂the␈α∂unit␈α∂square,␈α⊂when␈α∂the␈α⊂unit␈α∂square␈α∂has␈α∂been␈α∂divided␈α∂in␈α␈to␈α∂64
␈β∞∀␈↓ βg␈ε¬1␈↓ ∧+␈ε¬1
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εαsubsquares␈α	of␈α
size␈↓ β}␈ε⊗α␈↓ ∧>␈εα.␈αSince␈α
w␈α␈e␈α
increase␈α	our␈α
expectations␈α
in␈α
lo␈α␈w␈α␈er␈α	dimensions,
␈β∞(␈↓ βg␈∧∞(βgα∂␈↓ ∧+␈∧∞(∧+α∂
␈β∞*␈↓ βg␈ε¬8␈↓ ∧+␈ε¬8
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαa␈αseparate␈αtest␈αfor␈αeach␈αdimension␈αis␈αrequired.
␈β∞i␈↓ ε∧␈ε¬1␈α↓/␈↓ ε!␈εt
␈β∞n␈↓ α␈εαIt␈α	is␈α	not␈α	always␈α	true␈αλthat␈↓ ¬∪␈ελ↔␈↓ ¬7␈ε⊗∀␈↓ ¬e␈ελm␈↓ ε,␈εα,␈α	although␈α	this␈α	upper␈α	bound␈α	is␈α	valid␈αλwhen
␈β∞{␈↓ ¬"␈εt
␈β∂∪␈↓ 
H␈∧∂∪
Hα6
␈β∂∀␈↓ 
$␈ε⊗p
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαthe␈α
poin␈α␈ts␈α
form␈α
a␈αrectangular␈α
grid.␈αFor␈α
example,␈αit␈α
turns␈αout␈α
that␈↓ 	O␈ελ↔␈↓ 	v␈εα=␈↓ 
H␈εα274␈↓ λ␈εα>
␈β∂&␈↓ 	↑␈ε¬2
␈β∂>␈↓ ↓l␈∧∂>↓lα6
␈β∂?␈↓ ↓H␈ε⊗p
␈β∂D␈↓ ↓l␈εα256␈↓ α-␈εαin␈αFig.␈α8,␈αbecause␈αa␈αnearly␈αhexagonal␈αstructure␈αbrings␈αthe␈↓ 	?␈ελm␈↓ 	j␈εαpoin␈α␈ts␈αcloser
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαtogether␈αthan␈αw␈α␈ould␈αbe␈αpossible␈αin␈αa␈αstrictly␈αrectangular␈αarrrangemen␈α␈t.
␈β⊂~␈↓ α␈εαIn␈αorder␈αto␈αdev␈α␈elop␈αan␈αalgorithm␈αthat␈α
computes␈↓ λ
␈ελ↔␈↓ λ/␈εαe}cien␈α␈tly,␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αlook
␈β⊂(␈↓ λ→␈εt
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαmore␈α
deeply␈α∞at␈α
the␈α
associated␈α∞mathematical␈α
theory.␈α⊃Therefore␈α
a␈α∞reader␈α
who␈α
is
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαnot␈αλmathematically␈α	inclined␈α	is␈α	advised␈αλto␈α	skip␈α	to␈αλpart␈α	D␈α	of␈α	this␈αλsection,␈α
where␈αλthe
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαspectral␈απtest␈αλis␈απpresen␈α␈ted␈αλas␈απa␈αλ\plug-in"␈απmethod␈αλaccompanied␈απby␈αλsev␈α␈eral␈απexamples.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.4␈ε∞␈↓ λ⊃T␈α␈HE␈α	SP␈α␈ECTRA␈α␈L␈α	TEST␈↓ λ␈εα91
␈βα(␈↓ ↓H␈εαOn␈α
the␈α
other␈α∞hand,␈α
w␈α␈e␈α∞shall␈α
see␈α
that␈α∞the␈α
mathematics␈α
behind␈α∞the␈α
spectral␈α
test
␈βαS␈↓ ↓H␈εαrequires␈αonly␈αsome␈αelemen␈α␈tary␈αmanipulations␈αof␈αv␈α␈ectors.
␈ββ∞␈↓ α␈εαSome␈α∩authors␈α⊃hav␈α␈e␈α∩suggested␈α∩using␈α⊃the␈α∩minim␈α␈um␈α∩n␈α␈um␈α␈ber␈↓ 	R␈ελN␈↓ 
	␈εαof␈α⊃parallel
␈ββ≠␈↓ 	m␈εt
␈ββ9␈↓ ↓H␈εαco␈α␈v␈α␈ering␈αlines␈αor␈αh␈α␈yperplanes␈αas␈αthe␈αcriterion,␈αinstead␈αof␈αthe␈αmaxim␈α␈um␈αdistance
␈ββd␈↓ ↓H␈εα1/␈↓ ↓l␈ελ↔␈↓ α∪␈εαbet␈α␈w␈α␈een␈α∞them.␈α∩Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α∂this␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞does␈α∞not␈α∞appear␈α∞to␈α∞be␈α∞as␈α∞importan␈α␈t
␈ββr␈↓ ↓{␈εt
␈β∧⊂␈↓ ↓H␈εαas␈α∂the␈α⊂concept␈α∂of␈α⊂accuracy␈α⊂de|ned␈α∂abo␈α␈v␈α␈e,␈α⊃because␈α∂it␈α⊂is␈α⊂biased␈α∂by␈α⊂ho␈α␈w␈α∂nearly
␈β∧;␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞slope␈α∞of␈α∞the␈α∂lines␈α∞or␈α∞h␈α␈yperplanes␈α∞matches␈α∞the␈α∂coordinate␈α∞ax␈α␈es␈α∞of␈α∞the␈α∞cube.
␈β∧f␈↓ ↓H␈εαFor␈α
example,␈α
the␈α
20␈α
nearly␈α
v␈α␈ertical␈α∞lines␈α
that␈α
co␈α␈v␈α␈er␈α
all␈α
the␈α
poin␈α␈ts␈α
of␈α
Fig.␈α
8␈α
are
␈β¬␈↓ β≤␈∧¬β≤α6
␈β¬␈↓ αx␈ε⊗p
␈β¬⊃␈↓ ↓H␈εαactually␈α∞1/␈↓ β≤␈εα328␈↓ β`␈εαunits␈α∞apart,␈α∂and␈α∂this␈α∞migh␈α␈t␈α∞falsely␈α∞imply␈α∂an␈α∞accuracy␈α∞of␈α∞one
␈β¬6␈↓ αc␈∧¬6αcα6
␈β¬7␈↓ α?␈ε⊗p
␈β¬<␈↓ ↓H␈εαpart␈αin␈↓ αc␈εα328␈↓ β→␈εα,␈αor␈αperhaps␈αev␈α␈en␈αof␈αone␈αpart␈αin␈α20.␈αThe␈αtrue␈αaccuracy␈αof␈αonly␈αone
␈β¬a␈↓ α↑␈∧¬aα↑α6
␈β¬b␈↓ α:␈ε⊗p
␈β¬h␈↓ ↓H␈εαpart␈α	in␈↓ α↑␈εα274␈↓ β≥␈εαis␈α
realized␈α	only␈α	for␈α	the␈α	larger␈α
family␈α	of␈α	21␈α	lines␈α
with␈α	a␈α	slope␈α	of␈α	7/15;
␈βε∪␈↓ ↓H␈εαanother␈αfamily␈αof␈α
24␈αlines,␈α
with␈αa␈α
slope␈αof␈ε⊗␈α␈␈εα11/13,␈α
also␈αhas␈α
a␈αgreater␈αin␈α␈ter-line
␈βε8␈↓ εy␈∧ε8εyα6␈↓ λ2␈∧ε8λ2α6
␈βε9␈↓ εU␈ε⊗p␈↓ λ∞␈ε⊗p
␈βε>␈↓ ↓H␈εαdistance␈αthan␈α
the␈α
20-line␈α
family,␈α
since␈α
1/␈↓ εy␈εα290␈↓ π:␈εα>␈α1/␈↓ λ2␈εα328␈↓ λh␈εα.␈α∞The␈α
precise␈α
way␈αin
␈βεi␈↓ ↓H␈εαwhich␈α
families␈α
of␈α
lines␈α
act␈α
at␈α
the␈α
boundaries␈α
of␈α
the␈α	unit␈α
h␈α␈ypercube␈α
does␈α
not␈α
seem
␈βπ∀␈↓ ↓H␈εαto␈α
be␈α
an␈α
especially␈α
\clean"␈α
or␈α
signi|can␈α␈t␈α	criterion;␈αho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αfor␈α	those␈α
people␈α
who
␈βπ@␈↓ ↓H␈εαprefer␈α
to␈α∞coun␈α␈t␈α
h␈α␈yperplanes,␈α∞it␈α
is␈α∞possible␈α
to␈α∞compute␈↓ λ)␈ελN␈↓ λ\␈εαusing␈α∞a␈α
method␈α
quite
␈βπM␈↓ λD␈εt
␈βπk␈↓ ↓H␈εαsimilar␈αto␈αthe␈αway␈αin␈αwhich␈αw␈α␈e␈αshall␈αcalculate␈↓ π%␈ελ↔␈↓ πJ␈εα(see␈αex␈α␈ercise␈α16).
␈βπx␈↓ π4␈εt
␈βλ4␈↓ ↓6␈ε∩*␈↓ ↓H␈ε∩B.␈α
Theory␈αbehind␈α
the␈α
test.␈εα␈α≠In␈α
order␈α
to␈α
analyze␈α
the␈α
basic␈α
set␈α(2),␈α∞w␈α␈e␈α
start␈αwith
␈βλ←␈↓ ↓H␈εαthe␈αobservation␈αthat
␈β	⊃␈↓ ∧[␈ε↓0␈↓ λ;␈ε↓1
␈β	3␈↓ ¬	␈εj␈↓ πe␈εj␈↓ πr␈ε→␈␈ε¬1
␈β	8␈↓ ∧w␈ελa␈↓ ¬⊗␈ελx␈↓ ¬1␈εα+␈αλ(1␈αλ+␈↓ ε/␈ελa␈↓ εI␈εα+␈↓ εu␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π'␈εα+␈↓ πS␈ελa␈↓ λ≥␈εα)␈↓ λ)␈ελc
␈β	E␈↓ β?␈εα1
␈β	Q␈↓ ∧[␈ε↓@␈↓ λ;␈ε↓A
␈β	U␈↓ βk␈εj
␈β	[␈↓ β\␈ελs␈↓ βx␈εα(␈↓ ∧∧␈ελx␈↓ ∧↔␈εα)␈α
=␈↓ λY␈εαmod␈↓ 	#␈εα1.␈↓ α␈εα(5)
␈β	l␈↓ β9␈∧	lβ9α ␈↓ ∧w␈∧	l∧wαβA
␈β	t␈↓ β9␈ελm␈↓ εH␈ελm
␈β
←␈↓ ↓H␈εαWe␈απcan␈αλget␈αλrid␈απof␈αλthe␈αλ\mod␈αλ1"␈απoperation␈αλby␈αλextending␈απthe␈αλset␈αλperiodically,␈αλmaking
␈β
␈↓ ↓H␈εαin|nitely␈αman␈α␈y␈αcopies␈αof␈αthe␈αoriginal␈↓ ε∀␈ελt␈↓ ε!␈εα-dimensional␈αh␈α␈ypercube,␈αproceeding␈αin␈αall
␈β5␈↓ ↓H␈εαdirections.␈αThis␈αgiv␈α␈es␈αus␈αthe␈αset
␈βm␈↓ αF␈ε↓8␈↓ α↑␈ε↓0␈↓ π*␈ε↓1␈↓ πL␈ε↓␈␈↓ 
2␈ε↓9
␈ββ␈↓ πL␈ε↓␈
␈β∞␈↓ αF␈ε↓<␈↓ 
2␈ε↓=
␈β⊂␈↓ ¬w␈εt␈↓ ε↓␈ε→␈␈ε¬1
␈β∃␈↓ ∧∧␈ελs␈↓ ∧∪␈εα(␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧2␈εα)␈↓ ¬h␈ελs␈↓ ε,␈εα(␈↓ ε8␈ελx␈↓ εK␈εα)
␈β→␈↓ πL␈ε↓␈
␈β!␈↓ β␈ελx
␈β.␈↓ α↑␈ε↓@␈↓ π*␈ε↓A␈↓ πL␈ε↓␈
␈β8␈↓ ↓r␈ελL␈↓ α∀␈εα=␈↓ β&␈εα+␈↓ βR␈ελk␈↓ βp␈εα,␈↓ ∧J␈εα+␈↓ ∧v␈ελk␈↓ ¬∀␈εα,␈↓ ¬$␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬T␈εα,␈↓ εc␈εα+␈↓ π∂␈ελk␈↓ πb␈εαin␈α␈teger␈↓ λY␈ελx␈↓ λk␈εα,␈↓ λ{␈ελk␈↓ 	~␈εα,␈↓ 	*␈ελk␈↓ 	H␈εα,␈↓ 	X␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
λ␈εα,␈↓ 
_␈ελk
␈βD␈↓ πL␈ε↓␈
␈βF␈↓ βa␈ε¬1␈↓ ¬¬␈ε¬2␈↓ π∨␈εt␈↓ 	␈ε¬1␈↓ 	9␈ε¬2␈↓ 
'␈εt
␈βI␈↓ αz␈∧Iαzα ␈↓ ∧∧␈∧I∧∧α:␈↓ ¬h␈∧I¬hαp
␈βO␈↓ αF␈ε↓:␈↓ 
2␈ε↓;
␈βQ␈↓ αz␈ελm␈↓ ∧⊃␈ελm␈↓ ε⊂␈ελm
␈βY␈↓ πL␈ε↓␈
␈β⎇␈↓ π{␈ε↓␈
␈β
∪␈↓ π{␈ε↓␈
␈β
_␈↓ αF␈ε↓(␈↓ β9␈ε↓ ␈↓ πZ␈ε↓!␈↓ 
a␈ε↓)
␈β
"␈↓ ε?␈εt␈↓ εI␈ε→␈␈ε¬1
␈β
'␈↓ β[␈ελx␈↓ ∧↑␈ελa␈↓ ∧p␈ελx␈↓ ε-␈ελa␈↓ εu␈ελx
␈β
)␈↓ π{␈ε↓␈
␈β
=␈↓ α∀␈εα=␈↓ αc␈ελV␈↓ β
␈εα+␈↓ ∧␈εα+␈↓ ∧,␈ελk␈↓ ∧J␈εα,␈↓ ¬∂␈εα+␈↓ ¬;␈ελk␈↓ ¬Y␈εα,␈↓ ¬i␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε→␈εα,␈↓ π∪␈εα+␈↓ π?␈ελk␈↓ λ⊃␈εαin␈α␈teger␈↓ 	λ␈ελx␈↓ 	~␈εα,␈↓ 	*␈ελk␈↓ 	I␈εα,␈↓ 	Y␈ελk␈↓ 	w␈εα,␈↓ 
π␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
7␈εα,␈↓ 
G␈ελk␈↓ 
x␈εα,
␈β
>␈↓ π{␈ε↓␈
␈β
K␈↓ αw␈ε¬0␈↓ ∧<␈ε¬1␈↓ ¬K␈ε¬2␈↓ πO␈εt␈↓ 	:␈ε¬1␈↓ 	h␈ε¬2␈↓ 
W␈εt
␈β
N␈↓ βT␈∧
NβTα ␈↓ ∧↑␈∧
N∧↑α%␈↓ ε-␈∧
Nε-α[
␈β
T␈↓ π{␈ε↓␈
␈β
V␈↓ βT␈ελm␈↓ ∧a␈ελm␈↓ εJ␈ελm
␈β∞6␈↓ ↓H␈εαwhere
␈β∞B␈↓ ∧6␈ε↓⊂␈↓ 	.␈ε↓⊃
␈β∞V␈↓ ∧→␈εα1
␈β∞g␈↓ λ↑␈εt␈↓ λi␈ε→␈␈ε¬␈α␈2
␈β∞m␈↓ β4␈ελV␈↓ βa␈εα=␈↓ ∧H␈εα0,␈↓ ∧j␈ελc␈↓ ∧x␈εα,␈αε(1␈αλ+␈↓ ¬Z␈ελa␈↓ ¬l␈εα)␈↓ ¬x␈ελc␈↓ εε␈εα,␈↓ ε⊗␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εF␈εα,␈αε(1␈αλ+␈↓ π(␈ελa␈↓ πB␈εα+␈↓ πn␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ ␈εα+␈↓ λL␈ελa␈↓ 	∀␈εα)␈↓ 	 ␈ελc␈↓ α␈εα(6)
␈β∞z␈↓ βH␈ε¬0
␈β∞⎇␈↓ ∧∪␈∧∞⎇∧∪α 
␈β∂¬␈↓ ∧∪␈ελm
␈β∂?␈↓ ↓H␈εαis␈α∞a␈α∂constan␈α␈t␈α∞v␈α␈ector.␈α∪The␈α∂variable␈↓ ¬y␈ελk␈↓ ε&␈εαis␈α∞redundan␈α␈t␈α∂in␈α∞this␈α∂represen␈α␈tation␈α∞of␈↓ 
␈ελL␈↓ "␈εα,
␈β∂L␈↓ ε	␈ε¬1
␈β∂e␈↓ 
C␈εt␈↓ 
M␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂j␈↓ ↓H␈εαbecause␈α
w␈α␈e␈α
can␈αchange␈α
(␈↓ ∧@␈ελx␈↓ ∧S␈εα,␈↓ ∧c␈ελk␈↓ ¬↓␈εα,␈↓ ¬⊃␈ελk␈↓ ¬/␈εα,␈↓ ¬?␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬o␈εα,␈↓ ¬␈␈ελk␈↓ ε~␈εα)␈α
to␈α
(␈↓ εf␈ελx␈↓ ε␈␈εα+␈↓ π)␈ελk␈↓ πG␈ελm␈↓ πg␈εα,␈αε0,␈↓ λ→␈ελk␈↓ λ=␈ε⊗␈␈↓ λg␈ελa␈↓ λx␈ελk␈↓ 	↔␈εα,␈↓ 	'␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	W␈εα,␈↓ 	g␈ελk␈↓ 
π␈ε⊗␈␈↓ 
1␈ελa␈↓ 
x␈ελk␈↓ ⊗␈εα),
␈β∂w␈↓ ∧s␈ε¬1␈↓ ¬!␈ε¬2␈↓ ε∂␈εt␈↓ π9␈ε¬1␈↓ λ)␈ε¬2␈↓ 	λ␈ε¬1␈↓ 	v␈εt␈↓ λ␈ε¬1
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈εαreducing␈↓ αX␈ελk␈↓ β↓␈εαto␈αzero␈αwithout␈α
loss␈αof␈αgenerality.␈αTherefore␈α
w␈α␈e␈αobtain␈αthe␈α
compara-
␈β⊂"␈↓ αh␈ε¬1
␈β⊂@␈↓ ↓H␈εαtiv␈α␈ely␈αsimple␈αform␈α␈ula
␈β⊃~␈↓ αZ␈ελL␈↓ α|␈εα=␈↓ β*␈ε⊗f␈↓ βB␈ελV␈↓ βm␈εα+␈↓ ∧→␈ελy␈↓ ∧8␈ελV␈↓ ∧c␈εα+␈↓ ¬∂␈ελy␈↓ ¬.␈ελV␈↓ ¬X␈εα+␈↓ ε∧␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε6␈εα+␈↓ εb␈ελy␈↓ ε}␈ελV␈↓ π,␈ε⊗j␈↓ πF␈εαin␈α␈teger␈↓ λ=␈ελy␈↓ λ]␈εα,␈↓ λm␈ελy␈↓ 	␈εα,␈↓ 	≤␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	L␈εα,␈↓ 	\␈ελy␈↓ 	}␈ε⊗g␈↓ 
⊂␈εα,␈↓ α␈εα(7)
␈β⊃(␈↓ βV␈ε¬0␈↓ ∧*␈ε¬1␈↓ ∧L␈ε¬1␈↓ ¬ ␈ε¬2␈↓ ¬B␈ε¬2␈↓ εs␈εt␈↓ π∩␈εt␈↓ λN␈ε¬1␈↓ λ}␈ε¬2␈↓ 	m␈εt
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα92␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.4
␈βα(␈↓ ↓H␈εαwhere
␈βαs␈↓ αb␈εα1
␈ββ∧␈↓ β`␈ε¬2␈↓ ∧Q␈εt␈↓ ∧[␈ε→␈␈ε¬1
␈ββ
␈↓ ↓|␈ελV␈↓ α)␈εα=␈↓ α}␈εα(1,␈↓ β,␈ελa␈↓ β>␈εα,␈↓ βN␈ελa␈↓ βo␈εα,␈↓ β␈␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧/␈εα,␈↓ ∧?␈ελa␈↓ ¬ε␈εα);␈↓ α␈εα(8)
␈ββ↔␈↓ α⊂␈ε¬1
␈ββ~␈↓ α[␈∧β~α[α 
␈ββ"␈↓ α[␈ελm
␈ββO␈↓ ↓|␈ελV␈↓ α)␈εα=␈α
(0,␈αε1,␈αε0,␈↓ βI␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βy␈εα,␈αε0),␈↓ ∧[␈ελV␈↓ ¬π␈εα=␈α
(0,␈αε0,␈αε1,␈↓ ε'␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εW␈εα,␈αε0),␈↓ π9␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πi␈εα,␈↓ λ≥␈ελV␈↓ λF␈εα=␈α
(0,␈αε0,␈αε0,␈↓ 	f␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
⊗␈εα,␈αε1).␈↓ α␈εα(9)
␈ββ]␈↓ α⊂␈ε¬2␈↓ ∧o␈ε¬3␈↓ λ1␈εt
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαThe␈αpoin␈α␈ts␈α(␈↓ βλ␈ελx␈↓ β'␈εα,␈↓ β7␈ελx␈↓ βV␈εα,␈↓ βf␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧⊗␈εα,␈↓ ∧&␈ελx␈↓ ∧A␈εα)␈αof␈↓ ¬β␈ελL␈↓ ¬'␈εαthat␈αsatisfy␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ π1␈ελx␈↓ πY␈εα<␈α
1␈αfor␈αall␈↓ 	∞␈ελj␈↓ 	+␈εαare␈αprecisely␈αthe
␈β∧7␈↓ β→␈ε¬1␈↓ βH␈ε¬2␈↓ ∧7␈εt␈↓ πA␈εj
␈β∧U␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓s␈εαpoin␈α␈ts␈αof␈αour␈αoriginal␈αset␈α(2).
␈β¬↓␈↓ α␈εαNote␈αthat␈αthe␈αincremen␈α␈t␈↓ ¬⊗␈ελc␈↓ ¬/␈εαappears␈αonly␈αin␈↓ π,␈ελV␈↓ πO␈εα,␈αand␈αthe␈αe{ect␈αof␈↓ 	q␈ελV␈↓ 
∨␈εαis␈αmerely
␈β¬∞␈↓ π@␈ε¬0␈↓ 
¬␈ε¬0
␈β¬,␈↓ ↓H␈εαto␈αshift␈αall␈αelemen␈α␈ts␈αof␈↓ ∧2␈ελL␈↓ ∧U␈εαwithout␈αchanging␈αtheir␈αrelativ␈α␈e␈αdistances;␈αhence␈↓ 
O␈ελc␈↓ 
h␈ε∂does
␈β¬W␈↓ ↓H␈ε∂not␈αa{ect␈αthe␈αspectral␈αtest␈αin␈αan␈α␈y␈α
way␈εα,␈αand␈αw␈α␈e␈αmigh␈α␈t␈αas␈αw␈α␈ell␈α
assume␈αthat␈↓ 
\␈ελV␈↓ λ␈εα=
␈β¬e␈↓ 
p␈ε¬0
␈βεβ␈↓ ↓H␈εα(0,␈αε0,␈↓ α_␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αH␈εα,␈αε0)␈αwhen␈αw␈α␈e␈α
are␈αcalculating␈↓ ε↓␈ελ↔␈↓ ε≠␈εα.␈αWhen␈↓ π↔␈ελV␈↓ πE␈εαis␈αthe␈αzero␈αv␈α␈ector␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈α
a␈αso-
␈βε⊂␈↓ ε⊂␈εt␈↓ π+␈ε¬0
␈βε.␈↓ ↓H␈εαcalled␈ε∂␈αlattice␈εα␈αof␈αpoin␈α␈ts
␈βπλ␈↓ α␈␈ελL␈↓ β.␈εα=␈↓ β\␈ε⊗f␈↓ βt␈ελy␈↓ ∧∀␈ελV␈↓ ∧>␈εα+␈↓ ∧j␈ελy␈↓ ¬	␈ελV␈↓ ¬4␈εα+␈↓ ¬`␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε∩␈εα+␈↓ ε>␈ελy␈↓ εY␈ελV␈↓ πλ␈ε⊗j␈↓ π"␈εαin␈α␈teger␈↓ λ→␈ελy␈↓ λ8␈εα,␈↓ λH␈ελy␈↓ λh␈εα,␈↓ λx␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	(␈εα,␈↓ 	8␈ελy␈↓ 	Y␈ε⊗g␈↓ 	k␈εα,␈↓ 
p␈εα(10)
␈βπ∃␈↓ β⊗␈ε¬0␈↓ ∧¬␈ε¬1␈↓ ∧(␈ε¬1␈↓ ∧{␈ε¬2␈↓ ¬≥␈ε¬2␈↓ εO␈εt␈↓ εm␈εt␈↓ λ*␈ε¬1␈↓ λY␈ε¬2␈↓ 	I␈εt
␈βπa␈↓ ↓H␈εαand␈α⊃our␈α⊃goal␈α⊃is␈α⊃to␈α∩study␈α⊃the␈α⊃distances␈α⊃bet␈α␈w␈α␈een␈α⊃adjacen␈α␈t␈α⊃(␈↓ 	␈ελt␈↓ 	→␈ε⊗␈␈εα␈α1)-dimensional
␈βλ
␈↓ ↓H␈εαh␈α␈yperplanes,␈αin␈αfamilies␈αof␈αparallel␈αh␈α␈yperplanes␈αthat␈αco␈α␈v␈α␈er␈αall␈αthe␈αpoin␈α␈ts␈αof␈↓ 
i␈ελL␈↓ ∞␈εα.
␈βλ~␈↓ ␈ε¬0
␈βλ9␈↓ α␈εαA␈α⊂family␈α∂of␈α⊂parallel␈α∂(␈↓ ∧f␈ελt␈↓ ∧}␈ε⊗␈␈εα␈α
1)-dimensional␈α⊂h␈α␈yperplanes␈α∂can␈α⊂be␈α∂de|ned␈α⊂by␈α∂a
␈βλd␈↓ ↓H␈εαnonzero␈αv␈α␈ector␈↓ β9␈ελU␈↓ β`␈εα=␈α
(␈↓ ∧~␈ελu␈↓ ∧=␈εα,␈↓ ∧M␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧⎇␈εα,␈↓ ¬
␈ελu␈↓ ¬,␈εα)␈αthat␈αis␈αperpendicular␈αto␈αall␈αof␈αthem;␈αand␈αthe␈αset
␈βλr␈↓ ∧/␈ε¬1␈↓ ¬"␈εt
␈β	∂␈↓ ↓H␈εαof␈αpoin␈α␈ts␈αon␈αa␈αparticular␈αh␈α␈yperplane␈αis␈αthen
␈β	i␈↓ ∧␈ε⊗f␈↓ ∧$␈εα(␈↓ ∧0␈ελx␈↓ ∧O␈εα,␈↓ ∧←␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∂␈εα,␈↓ ¬∨␈ελx␈↓ ¬:␈εα)␈ε⊗␈α⊂j␈↓ ¬p␈ελx␈↓ ε∂␈ελu␈↓ ε:␈εα+␈↓ εf␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π_␈εα+␈↓ πD␈ελx␈↓ π←␈ελu␈↓ λλ␈εα=␈↓ λ6␈ελq␈↓ λL␈ε⊗g␈↓ λ↑␈εα,␈↓ 
p␈εα(11)
␈β	w␈↓ ∧@␈ε¬1␈↓ ¬/␈εt␈↓ ε↓␈ε¬1␈↓ ε$␈ε¬1␈↓ πT␈εt␈↓ πt␈εt
␈β
C␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α.␈ελq␈↓ αI␈εαis␈α
a␈α
di{eren␈α␈t␈αconstan␈α␈t␈α
for␈αeach␈α
h␈α␈yperplane␈α
in␈αthe␈α
family.␈αIn␈α
other␈α
w␈α␈ords,
␈β
n␈↓ ↓H␈εαeach␈αh␈α␈yperplane␈αis␈αthe␈αset␈α
of␈αall␈↓ ¬J␈ελX␈↓ ¬t␈εαfor␈αwhich␈αthe␈ε∂␈α
dot␈αproduct␈↓ 	→␈ελX␈↓ 	?␈ε⊗↓␈↓ 	Q␈ελU␈↓ 	{␈εαhas␈αa␈αgiv␈α␈en
␈β→␈↓ ↓H␈εαvalue␈↓ α%␈ελq␈↓ α5␈εα.␈αIn␈α	our␈α	case␈α	the␈α	h␈α␈yperplanes␈α	are␈α	all␈α	separated␈α	by␈α
a␈α	|x␈α␈ed␈α	distance,␈α	and␈α	one
␈βE␈↓ ↓H␈εαof␈α	them␈αλcon␈α␈tains␈α	(0,␈αε0,␈↓ ∧!␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧Q␈εα,␈αε0);␈α
hence␈α	w␈α␈e␈α	can␈α	adjust␈α	the␈αλmagnitude␈α	of␈↓ 	`␈ελU␈↓ 
π␈εαso␈α	that␈αλthe
␈βp␈↓ ↓H␈εαset␈απof␈αλall␈ε∂␈αλin␈α␈teger␈εα␈απvalues␈↓ ∧+␈ελq␈↓ ∧C␈εαgiv␈α␈es␈απall␈αλthe␈αλh␈α␈yperplanes␈απin␈αλthe␈αλfamily.␈α
Then␈αλthe␈απdistance
␈β≠␈↓ ↓H␈εαbet␈α␈w␈α␈een␈α∞neigh␈α␈boring␈α∞h␈α␈yperplanes␈α∞is␈α∞the␈α∞minim␈α␈um␈α∞distance␈α
from␈α∞(0,␈αε0,␈↓ 
 ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
P␈εα,␈αε0)␈α∞to
␈βF␈↓ ↓H␈εαthe␈αh␈α␈yperplane␈αfor␈↓ βw␈ελq␈↓ ∧⊃␈εα=␈α
1,␈αnamely
␈β␈␈↓ εJ␈ε↓␈
␈β
ε␈↓ ∧H␈ε↓q
␈β
∀␈↓ εJ␈ε↓␈
␈β
~␈↓ ∧2␈ε↓~␈↓ 	8␈ε↓≠
␈β
!␈↓ ∧l␈∧
!∧lα↓U
␈β
*␈↓ εJ␈ε↓␈
␈β
1␈↓ ∧␈␈ε¬2␈↓ ε2␈ε¬2
␈β
4␈↓ βD␈εαmin␈↓ ∧l␈ελx␈↓ ¬∃␈εα+␈↓ ¬A␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬s␈εα+␈↓ ε∨␈ελx␈↓ ε`␈ελx␈↓ ε␈␈ελu␈↓ π*␈εα+␈↓ πV␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λλ␈εα+␈↓ λ4␈ελx␈↓ λO␈ελu␈↓ λx␈εα=␈α
1␈↓ 	N␈εα.␈↓ 
p␈εα(12)
␈β
?␈↓ εJ␈ε↓␈
␈β
A␈↓ εq␈ε¬1␈↓ π∀␈ε¬1␈↓ λE␈εt␈↓ λd␈εt
␈β
F␈↓ ∧␈␈ε¬1␈↓ ε2␈εt
␈β
U␈↓ β≤␈ε¬real␈↓ βO␈εx␈↓ βh␈ε¬,␈↓ βp␈ε¬...␈↓ ∧λ␈ε¬,␈↓ ∧⊂␈εx
␈β
↑␈↓ β]␈επ1␈↓ ∧∨␈ε
t
␈β∞5␈↓ ↓H␈εαCauch␈α␈y's␈αinequality␈α(cf.␈αex␈α␈ercise␈α1.2.3↑30)␈αtells␈αus␈αthat
␈β∂λ␈↓ ¬6␈ε¬2␈↓ ε≠␈ε¬2␈↓ πN␈ε¬2␈↓ λ
␈ε¬2␈↓ 	@␈ε¬2
␈β∂∂␈↓ β⊂␈εα(␈↓ β≤␈ελx␈↓ β;␈ελu␈↓ βe␈εα+␈↓ ∧⊃␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧C␈εα+␈↓ ∧o␈ελx␈↓ ¬␈ελu␈↓ ¬*␈εα)␈↓ ¬N␈ε⊗∀␈εα␈α
(␈↓ ελ␈ελx␈↓ ε1␈εα+␈↓ ε]␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π∂␈εα+␈↓ π;␈ελx␈↓ π\␈εα)(␈↓ πt␈ελu␈↓ λ ␈εα+␈↓ λL␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ}␈εα+␈↓ 	*␈ελu␈↓ 	O␈εα),␈↓ 
p␈εα(13)
␈β∂≤␈↓ β,␈ε¬1␈↓ βO␈ε¬1␈↓ ¬␈εt␈↓ ¬∨␈εt
␈β∂ ␈↓ ε≠␈ε¬1␈↓ πN␈εt␈↓ λ
␈ε¬1␈↓ 	@␈εt
␈β∂c␈↓ λ%␈ε¬2␈↓ 	E␈ε¬2
␈β∂h␈↓ ↓H␈εαhence␈αλthe␈απminim␈α␈um␈αλin␈αλ(12)␈αλoccurs␈αλwhen␈αλeach␈↓ εz␈ελx␈↓ π!␈εα=␈↓ πO␈ελu␈↓ πq␈εα/(␈↓ λ∂␈ελu␈↓ λ6␈εα+␈↓ λ\␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 		␈εα+␈↓ 	/␈ελu␈↓ 	S␈εα);␈α
the␈απdistance
␈β∂v␈↓ π
␈εj␈↓ πd␈εj
␈β∂z␈↓ λ%␈ε¬1␈↓ 	E␈εt
␈β⊂∀␈↓ ↓H␈εαbet␈α␈w␈α␈een␈αneigh␈α␈boring␈αh␈α␈yperplanes␈αis
␈β⊂S␈↓ ∧V␈ε↓q
␈β⊂g␈↓ ∧0␈ε↓≡
␈β⊂n␈↓ ∧z␈∧⊂n∧zα↓[
␈β⊂␈␈↓ ¬⊂␈ε¬2␈↓ εF␈ε¬2
␈β⊃↓␈↓ ∧≡␈εα1␈↓ ∧z␈ελu␈↓ ¬&␈εα+␈↓ ¬R␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε∧␈εα+␈↓ ε0␈ελu␈↓ εb␈εα=␈α
1/␈↓ π4␈εαlength␈↓ λ⊗␈εα(␈↓ λ"␈ελU␈↓ λ@␈εα).␈↓ 
p␈εα(14)
␈β⊃∪␈↓ ¬⊂␈ε¬1␈↓ εF␈εt
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.4␈ε∞␈↓ λ⊃T␈α␈HE␈α	SP␈α␈ECTRA␈α␈L␈α	TEST␈↓ λ␈εα93
␈βα(␈↓ ↓H␈εαIn␈α	other␈α	w␈α␈ords,␈α	the␈α	quan␈α␈tity␈↓ ¬β␈ελ↔␈↓ ¬&␈εαw␈α␈e␈α	are␈α	trying␈α	to␈α	calculate␈α	is␈α	precisely␈α	the␈α	length␈α	of
␈βα5␈↓ ¬∩␈εt
␈βαS␈↓ ↓H␈εαthe␈αλshortest␈αλv␈α␈ector␈↓ βp␈ελU␈↓ ∧⊗␈εαthat␈αλde|nes␈α	a␈αλfamily␈αλof␈α	h␈α␈yperplanes␈↓ λC␈ε⊗f␈↓ λ[␈ελX␈↓ λ|␈ε⊗↓␈↓ 	
␈ελU␈↓ 	1␈εα=␈↓ 	←␈ελq␈↓ 	y␈ε⊗j␈↓ 

␈εαin␈α␈teger␈↓ ∧␈ελq␈↓ ~␈ε⊗g
␈βα}␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈taining␈αall␈αthe␈αelemen␈α␈ts␈αof␈↓ ¬$␈ελL␈↓ ¬I␈εα.
␈ββ␈↓ ¬;␈ε¬0
␈ββ,␈↓ α␈εαSuch␈α
a␈α
v␈α␈ector␈↓ βi␈ελU␈↓ ∧⊂␈εα=␈α
(␈↓ ∧J␈ελu␈↓ ∧m␈εα,␈↓ ∧⎇␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬-␈εα,␈↓ ¬=␈ελu␈↓ ¬]␈εα)␈α	m␈α␈ust␈α
be␈α
nonzero,␈αand␈α
it␈α
m␈α␈ust␈α	satisfy␈↓ 
2␈ελV␈↓ 
R␈ε⊗↓␈↓ 
a␈ελU␈↓ λ␈εα=
␈ββ9␈↓ ∧←␈ε¬1␈↓ ¬R␈εt
␈ββW␈↓ ↓H␈εαin␈α␈teger␈α∞for␈α∞all␈↓ β/␈ελV␈↓ βW␈εαin␈↓ ∧β␈ελL␈↓ ∧)␈εα.␈α∩In␈α∂particular,␈α∞since␈α∞the␈α∂poin␈α␈ts␈α∞(1,␈αε0,␈↓ λ}␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	.␈εα,␈αε0),␈α∞(0,␈αε1,␈↓ 
D␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
t␈εα,␈αε0),
␈ββe␈↓ ∧~␈ε¬0
␈β∧α␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓x␈εα,␈α
(0,␈αε0,␈↓ α←␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β∂␈εα,␈αε1)␈α
are␈α
all␈α
in␈↓ ∧e␈ελL␈↓ ¬␈εα,␈α
all␈α
of␈α
the␈↓ ε?␈ελu␈↓ εn␈εαm␈α␈ust␈α
be␈α
in␈α␈tegers.␈α∂Furthermore␈α
since
␈β∧⊂␈↓ ∧|␈ε¬0␈↓ εT␈εj
␈β∧)␈↓ π@␈εt␈↓ πK␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∧*␈↓ ∧l␈ε¬1
␈β∧.␈↓ ↓H␈ελV␈↓ ↓v␈εαis␈αin␈↓ αD␈ελL␈↓ αi␈εα,␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αhav␈α␈e␈↓ ¬∧␈εα(␈↓ ¬⊂␈ελu␈↓ ¬;␈εα+␈↓ ¬g␈ελa␈↓ ¬y␈ελu␈↓ ε$␈εα+␈↓ εP␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πα␈εα+␈↓ π.␈ελa␈↓ πv␈ελu␈↓ λ∃␈εα)␈α
=␈αin␈α␈teger,␈αi.e.,
␈β∧;␈↓ ↓\␈ε¬1␈↓ α[␈ε¬0␈↓ ¬%␈ε¬1␈↓ ε∞␈ε¬2␈↓ λ
␈εt
␈β∧>␈↓ ∧f␈∧∧>∧fα~
␈β∧@␈↓ ∧f␈εm
␈β¬¬␈↓ ε␈εt␈↓ ε∃␈ε→␈␈ε¬1
␈β¬␈↓ β[␈ελu␈↓ ∧ε␈εα+␈↓ ∧2␈ελa␈↓ ∧D␈ελu␈↓ ∧o␈εα+␈↓ ¬≠␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬M␈εα+␈↓ ¬y␈ελa␈↓ ε@␈ελu␈↓ εi␈ε⊗⊃␈εα␈α
0␈α.(modulo␈↓ λc␈ελm␈↓ 	β␈εα).␈↓ 
p␈εα(15)
␈β¬→␈↓ βp␈ε¬1␈↓ ∧X␈ε¬2␈↓ εU␈εt
␈β¬i␈↓ ↓H␈εαCon␈α␈v␈α␈ersely,␈αan␈α␈y␈α
nonzero␈αin␈α␈teger␈αv␈α␈ector␈↓ ε4␈ελU␈↓ ε\␈εα=␈α
(␈↓ π⊗␈ελu␈↓ π9␈εα,␈↓ πI␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πy␈εα,␈↓ λ	␈ελu␈↓ λ(␈εα)␈α
satisfying␈α(15)␈αde|nes␈α
a
␈β¬w␈↓ π*␈ε¬1␈↓ λ≥␈εt
␈βε∀␈↓ ↓H␈εαfamily␈α	of␈α	h␈α␈yperplanes␈α	with␈α
the␈α	required␈α	properties,␈α
since␈α	all␈α	of␈↓ 	∂␈ελL␈↓ 	>␈εαwill␈α	be␈α	co␈α␈v␈α␈ered:
␈βε"␈↓ 	&␈ε¬0
␈βε@␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελy␈↓ ↓s␈ελV␈↓ α ␈εα+␈↓ αN␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βα␈εα+␈↓ β0␈ελy␈↓ βK␈ελV␈↓ βj␈εα)␈ε⊗␈α
↓␈↓ ∧∀␈ελU␈↓ ∧A␈εαwill␈α∂be␈α∂an␈α∂in␈α␈teger␈α∂for␈α∂all␈α∂in␈α␈tegers␈↓ λb␈ελy␈↓ 	α␈εα,␈↓ 	≤␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	L␈εα,␈↓ 	f␈ελy␈↓ 
↓␈εα.␈α∃We␈α∂hav␈α␈e
␈βεM␈↓ ↓e␈ε¬1␈↓ απ␈ε¬1␈↓ βA␈εt␈↓ β←␈εt␈↓ λs␈ε¬1␈↓ 	w␈εt
␈βεk␈↓ ↓H␈εαpro␈α␈v␈α␈ed␈αthat
␈βπ2␈↓ ¬y␈ε↓␈
␈βπB␈↓ ∧␈ε↓~␈↓ π␈ε↓≠
␈βπG␈↓ ¬y␈ε↓␈
␈βπV␈↓ ↓e␈ε¬2␈↓ ∧7␈ε¬2␈↓ ¬a␈ε¬2␈↓ λ'␈εt␈↓ λ1␈ε→␈␈ε¬1
␈βπ\␈↓ ↓T␈ελ↔␈↓ ↓}␈εα=␈↓ α{␈εαmin␈↓ ∧!␈ελu␈↓ ∧G␈εα+␈↓ ∧s␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬%␈εα+␈↓ ¬K␈ελu␈↓ ε∂␈ελu␈↓ ε4␈εα+␈↓ εZ␈ελa␈↓ εl␈ελu␈↓ π⊃␈εα+␈↓ π=␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πo␈εα+␈↓ λ∃␈ελa␈↓ λ]␈ελu␈↓ 	ε␈ε⊗⊃␈εα␈α
0␈α
(modulo␈↓ 
\␈ελm␈↓ 
{␈εα)
␈βπ]␈↓ ¬y␈ε↓␈
␈βπj␈↓ ε$␈ε¬1␈↓ π↓␈ε¬2␈↓ λq␈εt
␈βπn␈↓ ↓e␈εt␈↓ ∧7␈ε¬1␈↓ ¬a␈εt
␈βπ⎇␈↓ α&␈ε¬(␈↓ α/␈εu␈↓ αL␈ε¬,␈↓ αT␈ε¬...␈↓ αl␈ε¬,␈↓ αt␈εu␈↓ β∂␈ε¬)␈ε→␈α␈≤␈ε¬(0,␈↓ βU␈ε¬...␈↓ βm␈ε¬,0)
␈βλε␈↓ αA␈επ1␈↓ β¬␈ε
t
␈βλ∀␈↓ ∧π␈ε↓⊂␈↓ ∧␈ε↓⊃
␈βλ8␈↓ ¬v␈ε¬2␈↓ π;␈εt␈↓ πF␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ_␈ε¬2␈↓ λm␈ε¬2␈↓ 	B␈ε¬2␈↓ 
v␈ε¬2
␈βλ>␈↓ ↓}␈εα=␈↓ αx␈εαmin␈↓ ∧→␈εα(␈↓ ∧%␈ελm␈↓ ∧D␈ελx␈↓ ∧e␈ε⊗␈␈↓ ¬␈ελa␈↓ ¬≥␈ελx␈↓ ¬>␈ε⊗␈␈↓ ¬d␈ελa␈↓ ε∧␈ελx␈↓ ε%␈ε⊗␈␈↓ εQ␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πβ␈ε⊗␈␈↓ π)␈ελa␈↓ πq␈ελx␈↓ λ␈εα)␈↓ λ.␈εα+␈↓ λZ␈ελx␈↓ 	∧␈εα+␈↓ 	0␈ελx␈↓ 	Y␈εα+␈↓ 
¬␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
7␈εα+␈↓ 
c␈ελx␈↓ ⊗␈εα.
␈βλL␈↓ ∧U␈ε¬1␈↓ ¬.␈ε¬2␈↓ ε∃␈ε¬3␈↓ λ↓␈εt
␈βλP␈↓ λm␈ε¬2␈↓ 	B␈ε¬3␈↓ 
v␈εt
␈βλ`␈↓ α&␈ε¬(␈↓ α/␈εx␈↓ αI␈ε¬,␈↓ αQ␈ε¬...␈↓ αi␈ε¬,␈↓ αq␈εx␈↓ βλ␈ε¬)␈ε→≤␈ε¬(␈α␈0␈α↓,␈↓ βO␈ε¬...␈↓ βg␈ε¬,0)
␈βλh␈↓ α=␈επ1␈↓ α␈␈ε
t
␈β	∩␈↓ 
p␈εα(16)
␈β	d␈↓ ↓H␈ε∩C.␈α
Deriving␈α∞a␈α∞computational␈α∞method.␈εα␈α≤We␈α∞hav␈α␈e␈α∞no␈α␈w␈α∞reduced␈α∞the␈α∞spectral␈α
test
␈β
∂␈↓ ↓H␈εαto␈α∂the␈α⊂problem␈α∂of␈α⊂|nding␈α⊂the␈α∂minim␈α␈um␈α⊂value␈α∂(16);␈α∩but␈α∂ho␈α␈w␈α⊂on␈α∂earth␈α⊂can␈α∂w␈α␈e
␈β
:␈↓ ↓H␈εαdetermine␈α
that␈α∞minim␈α␈um␈α∞value␈α∞in␈α
a␈α∞reasonable␈α∞amoun␈α␈t␈α∞of␈α
time?␈α∩A␈α
brute-force
␈β
f␈↓ ↓H␈εαsearch␈αis␈αout␈αof␈αthe␈αquestion,␈αsince␈↓ ¬r␈ελm␈↓ ε≥␈εαis␈αv␈α␈ery␈αlarge␈αin␈αcases␈αof␈αpractical␈αin␈α␈terest.
␈β∪␈↓ α␈εαIt␈α	will␈α	be␈α	in␈α␈teresting␈α	and␈α	probably␈α	more␈α	useful␈α	if␈α	w␈α␈e␈α	dev␈α␈elop␈αλa␈α	computational
␈β>␈↓ ↓H␈εαmethod␈α
for␈α
solving␈α
an␈α
ev␈α␈en␈α
more␈α
general␈α
problem:␈ε∂␈α∞Find␈αthe␈α
minim␈α␈um␈α
value␈α
of
␈βj␈↓ ↓H␈ε∂the␈αquan␈α␈tity
␈βA␈↓ ¬v␈ε¬2␈↓ 	Q␈ε¬2
␈βG␈↓ ↓H␈ελf␈↓ ↓Y␈εα(␈↓ ↓e␈ελx␈↓ α∧␈εα,␈↓ α∀␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αD␈εα,␈↓ αT␈ελx␈↓ αo␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ β?␈ελu␈↓ βp␈ελx␈↓ ∧↔␈εα+␈↓ ∧C␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧u␈εα+␈↓ ¬!␈ελu␈↓ ¬O␈ελx␈↓ ¬j␈εα)␈↓ ε␈εα+␈↓ ε8␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εj␈εα+␈αλ(␈↓ π"␈ελu␈↓ πP␈ελx␈↓ πw␈εα+␈↓ λ#␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λU␈εα+␈↓ 	↓␈ελu␈↓ 	*␈ελx␈↓ 	E␈εα)␈↓ 
p␈εα(17)
␈βU␈↓ ↓u␈ε¬1␈↓ αd␈εt␈↓ βS␈ε¬1␈α↓1␈↓ ∧↓␈ε¬1␈↓ ¬6␈εt␈↓ ¬@␈ε¬1␈↓ ¬←␈εt␈↓ π7␈ε¬1␈↓ πE␈εt␈↓ π`␈ε¬1␈↓ 	∃␈εt␈↓ 	 ␈εt␈↓ 	;␈εt
␈β
%␈↓ ↓H␈ε∂o␈α␈v␈α␈er␈α⊃all␈α∩nonzero␈α∩in␈α␈teger␈α∩v␈α␈ectors␈εα␈α⊃(␈↓ ¬h␈ελx␈↓ επ␈εα,␈↓ ε↔␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εG␈εα,␈↓ εW␈ελx␈↓ εr␈εα),␈α∀giv␈α␈en␈α⊃an␈α␈y␈α∩nonsingular␈α∩matrix␈α⊃of
␈β
3␈↓ ¬y␈ε¬1␈↓ εh␈εt
␈β
P␈↓ ↓H␈εαcoe}cien␈α␈ts␈↓ αz␈ελU␈↓ β"␈εα=␈α
(␈↓ β\␈ελu␈↓ ∧	␈εα).␈αThe␈α
expression␈α	(17)␈α
is␈α
called␈α
a␈α
\positiv␈α␈e␈α
de|nite␈α	quadratic
␈β
↑␈↓ βq␈εi␈↓ β|␈εj
␈β
|␈↓ ↓H␈εαform"␈α
in␈↓ αV␈ελt␈↓ αm␈εαvariables.␈αSince␈↓ ∧j␈ελU␈↓ ¬∩␈εαis␈α
nonsingular,␈α
(17)␈α
cannot␈α
be␈α
zero␈αunless␈α
the␈↓ 
U␈ελx␈↓ 
|␈εαare
␈β∞	␈↓ 
e␈εj
␈β∞'␈↓ ↓H␈εαall␈αzero.
␈β∞T␈↓ α␈εαLet␈αus␈αwrite␈↓ βX␈ελU␈↓ β⎇␈εα,␈↓ ∧∪␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧C␈εα,␈↓ ∧Y␈ελU␈↓ ¬π␈εαfor␈αthe␈αro␈α␈ws␈αof␈↓ εz␈ελU␈↓ π_␈εα.␈αThen␈α(17)␈αmay␈αbe␈αwritten
␈β∞b␈↓ βo␈ε¬1␈↓ ∧p␈εt
␈β∂2␈↓ βπ␈ελf␈↓ β→␈εα(␈↓ β%␈ελx␈↓ βD␈εα,␈↓ βT␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∧␈εα,␈↓ ∧∀␈ελx␈↓ ∧/␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ ∧␈␈ελx␈↓ ¬≡␈ελU␈↓ ¬K␈εα+␈↓ ¬w␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε)␈εα+␈↓ εU␈ελx␈↓ εp␈ελU␈↓ π∩␈εα)␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ(␈↓ πD␈ελx␈↓ πc␈ελU␈↓ λ⊂␈εα+␈↓ λ<␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λn␈εα+␈↓ 	~␈ελx␈↓ 	5␈ελU␈↓ 	W␈εα),␈↓ 
p␈εα(18)
␈β∂@␈↓ β5␈ε¬1␈↓ ∧$␈εt␈↓ ¬∂␈ε¬1␈↓ ¬5␈ε¬1␈↓ εf␈εt␈↓ ππ␈εt␈↓ πT␈ε¬1␈↓ πz␈ε¬1␈↓ 	+␈εt␈↓ 	L␈εt
␈β⊂⊂␈↓ ↓H␈εαthe␈α
square␈αof␈αthe␈αlength␈αof␈α
the␈αv␈α␈ector␈↓ ε↔␈ελx␈↓ ε6␈ελU␈↓ εb␈εα+␈↓ π␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π<␈εα+␈↓ πg␈ελx␈↓ λα␈ελU␈↓ λ#␈εα.␈αThe␈αnonsingular␈α
matrix
␈β⊂≥␈↓ ε'␈ε¬1␈↓ εM␈ε¬1␈↓ πw␈εt␈↓ λ→␈εt
␈β⊂;␈↓ ↓H␈ελU␈↓ ↓t␈εαhas␈α⊂an␈α∂in␈α␈v␈α␈erse,␈α⊂which␈α∂means␈α∂that␈α∂w␈α␈e␈α⊂can␈α∂|nd␈α∂uniquely␈α∂determined␈α∂v␈α␈ectors
␈β⊂f␈↓ ↓H␈ελV␈↓ ↓j␈εα,␈↓ ↓z␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α*␈εα,␈↓ α:␈ελV␈↓ αe␈εαsuch␈αthat
␈β⊂t␈↓ ↓\␈ε¬1␈↓ αN␈εt
␈β⊃→␈↓ ∧M␈ελU␈↓ ∧w␈ε⊗↓␈↓ ¬	␈ελV␈↓ ¬4␈εα=␈↓ ¬b␈ελ∞␈↓ ελ␈εα,␈↓ ε`1␈ε⊗␈α
∀␈↓ π*␈ελi␈↓ π8␈εα,␈↓ πH␈ελj␈↓ πb␈ε⊗∀␈↓ λ⊂␈ελt␈↓ λ≥␈εα.␈↓ 
p␈εα(19)
␈β⊃&␈↓ ∧d␈εi␈↓ ¬≥␈εj␈↓ ¬o␈εi␈↓ ¬{␈εj
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα94␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.4
␈βα&␈↓ ↓H␈εαFor␈αexample,␈αin␈αthe␈αspecial␈αform␈α(16)␈αthat␈αarises␈αin␈αthe␈αspectral␈αtest,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βαr␈↓ λD␈ε¬2␈↓ 	4␈εt␈↓ 	>␈ε→␈␈ε¬1
␈βαt␈↓ πJ␈ε¬1
␈βαw␈↓ ↓H␈ελU␈↓ ↓w␈εα=␈α
(␈↓ α⎇␈ελm␈↓ β≥␈εα,␈↓ β-␈εα0,␈αε0,␈↓ βq␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧!␈εα,␈αε0),␈↓ εe␈ελV␈↓ π∩␈εα=␈↓ πb␈εα(1,␈↓ λ⊂␈ελa␈↓ λ"␈εα,␈↓ λ2␈ελa␈↓ λR␈εα,␈↓ λb␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	∩␈εα,␈↓ 	"␈ελa␈↓ 	j␈εα),
␈ββ∧␈↓ ↓←␈ε¬1␈↓ εy␈ε¬1
␈ββπ␈↓ πD␈∧βππDα~
␈ββ
␈↓ πD␈εm
␈ββ"␈↓ ↓H␈ελU␈↓ ↓w␈εα=␈α
(␈↓ αg␈ε⊗␈␈↓ β␈ελa␈↓ β≥␈εα,␈↓ β-␈εα1,␈αε0,␈↓ βq␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧!␈εα,␈αε0),␈↓ εe␈ελV␈↓ π∩␈εα=␈↓ πb␈εα(0,␈↓ λ⊂␈εα1,␈↓ λ@␈εα0,␈↓ λb␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	∩␈εα,␈↓ 	X␈εα0),
␈ββ/␈↓ ↓←␈ε¬2␈↓ εy␈ε¬2
␈ββH␈↓ β∞␈ε¬2
␈ββK␈↓ 
p␈εα(20)
␈ββM␈↓ ↓H␈ελU␈↓ ↓w␈εα=␈α
(␈↓ αX␈ε⊗␈␈↓ α|␈ελa␈↓ β≥␈εα,␈↓ β-␈εα0,␈αε1,␈↓ βq␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧!␈εα,␈αε0),␈↓ εe␈ελV␈↓ π∩␈εα=␈↓ πb␈εα(0,␈↓ λ⊂␈εα0,␈↓ λ@␈εα1,␈↓ λb␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	∩␈εα,␈↓ 	X␈εα0),
␈ββ[␈↓ ↓←␈ε¬3␈↓ εy␈ε¬3
␈ββx␈↓ βE␈εα.␈↓ β{␈εα.␈↓ ∧2␈εα.␈↓ ∧h␈εα.␈↓ ¬≡␈εα.␈↓ ¬T␈εα.␈↓ ε
␈εα.␈↓ ε@␈εα.␈↓ εv␈εα.␈↓ π,␈εα.␈↓ πb␈εα.␈↓ λ_␈εα.
␈β∧∨␈↓ αg␈εt␈↓ αq␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧$␈↓ ↓L␈ελU␈↓ ↓w␈εα=␈α
(␈↓ α1␈ε⊗␈␈↓ αU␈ελa␈↓ β≥␈εα,␈↓ β-␈εα0,␈αε0,␈↓ βq␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧!␈εα,␈αε1),␈↓ εi␈ελV␈↓ π∩␈εα=␈↓ πb␈εα(0,␈↓ λ⊂␈εα0,␈↓ λ@␈εα0,␈↓ λb␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	∩␈εα,␈↓ 	X␈εα1).
␈β∧1␈↓ ↓c␈εt␈↓ ε⎇␈εt
␈β∧q␈↓ ↓H␈εαThese␈↓ α3␈ελV␈↓ αd␈εαare␈α∂precisely␈α⊂the␈α∂v␈α␈ectors␈α⊂(8),␈α⊂(9)␈α⊂that␈α∂w␈α␈e␈α⊂used␈α∂to␈α∂de|ne␈α⊂our␈α∂original
␈β∧}␈↓ αG␈εj
␈β¬≤␈↓ ↓H␈εαlattice␈↓ α6␈ελL␈↓ α\␈εα.␈α∞As␈αthe␈α
reader␈α
may␈αw␈α␈ell␈α
suspect,␈α
this␈α
is␈αnot␈α
a␈α
coincidence←indeed,␈αif
␈β¬)␈↓ αM␈ε¬0
␈β¬G␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α
had␈α
begun␈α
with␈α∞an␈α
arbitrary␈α
lattice␈↓ εA␈ελL␈↓ εg␈εα,␈α
de|ned␈α
by␈α∞an␈α␈y␈α
set␈α
of␈α
linearly␈α
inde-
␈β¬U␈↓ εX␈ε¬0
␈β¬r␈↓ ↓H␈εαpenden␈α␈t␈αv␈α␈ectors␈↓ βJ␈ελV␈↓ βm␈εα,␈↓ β⎇␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧-␈εα,␈↓ ∧=␈ελV␈↓ ∧[␈εα,␈αthe␈αargumen␈α␈t␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αused␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αcan␈αbe␈αgeneralized
␈βε␈↓ β↑␈ε¬1␈↓ ∧Q␈εt
␈βε≡␈↓ ↓H␈εαto␈α
sho␈α␈w␈αthat␈αthe␈α
maxim␈α␈um␈αseparation␈αbet␈α␈w␈α␈een␈αh␈α␈yperplanes␈α
in␈αa␈αco␈α␈v␈α␈ering␈α
family
␈βεI␈↓ ↓H␈εαis␈α
equivalen␈α␈t␈α∞to␈α∞minimizing␈α∞(17),␈α∞where␈α∞the␈α
coe}cien␈α␈ts␈↓ λ:␈ελu␈↓ λu␈εαare␈α∞de|ned␈α∞by␈α
(19).
␈βεV␈↓ λO␈εi␈↓ λZ␈εj
␈βεt␈↓ ↓H␈εα(See␈αex␈α␈ercise␈α2.)
␈βπ∨␈↓ α␈εαOur␈α
|rst␈α
step␈α
in␈α
minimizing␈α
(18)␈α
is␈α
to␈αreduce␈α
it␈α
to␈α
a␈α
|nite␈α
problem,␈α
i.e.,␈α
to
␈βπJ␈↓ ↓H␈εαsho␈α␈w␈α
that␈α∞w␈α␈e␈α∞w␈α␈on't␈α
need␈α∞to␈α∞test␈α
in|nitely␈α∞man␈α␈y␈α∞v␈α␈ectors␈α
(␈↓ λ←␈ελx␈↓ λ}␈εα,␈↓ 	∞␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	>␈εα,␈↓ 	N␈ελx␈↓ 	i␈εα)␈α∞to␈α∞|nd␈α
the
␈βπX␈↓ λp␈ε¬1␈↓ 	←␈εt
␈βπv␈↓ ↓H␈εαminim␈α␈um.␈αThis␈αis␈αwhere␈αthe␈αv␈α␈ectors␈↓ ε
␈ελV␈↓ ε,␈εα,␈↓ ε<␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εl␈εα,␈↓ ε|␈ελV␈↓ π'␈εαcome␈αin␈αhandy;␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βλβ␈↓ ε≡␈ε¬1␈↓ π⊂␈εt
␈βλF␈↓ ∧V␈ελx␈↓ ∧␈␈εα=␈α
(␈↓ ¬9␈ελx␈↓ ¬X␈ελU␈↓ ε¬␈εα+␈↓ ε1␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εc␈εα+␈↓ π∂␈ελx␈↓ π*␈ελU␈↓ πL␈εα)␈ε⊗␈αλ↓␈↓ πr␈ελV␈↓ λ∀␈εα,
␈βλT␈↓ ∧f␈εk␈↓ ¬I␈ε¬1␈↓ ¬o␈ε¬1␈↓ π ␈εt␈↓ πA␈εt␈↓ λε␈εk
␈β	↔␈↓ ↓H␈εαand␈αCauch␈α␈y's␈αinequality␈αtells␈αus␈αthat
␈β	N␈↓ β;␈ε↓␈␈↓ ε0␈ε↓↓
␈β	`␈↓ ε>␈ε¬2
␈β	n␈↓ βI␈εα(␈↓ βU␈ελx␈↓ βt␈ελU␈↓ ∧!␈εα+␈↓ ∧M␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧␈␈εα+␈↓ ¬+␈ελx␈↓ ¬F␈ελU␈↓ ¬h␈εα)␈ε⊗␈αλ↓␈↓ ε∞␈ελV␈↓ εW␈ε⊗∀␈↓ π¬␈ελf␈↓ π⊗␈εα(␈↓ π"␈ελx␈↓ πA␈εα,␈↓ πQ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ↓␈εα,␈↓ λ⊃␈ελx␈↓ λ,␈εα)(␈↓ λD␈ελV␈↓ λo␈ε⊗↓␈↓ 	↓␈ελV␈↓ 	#␈εα).
␈β	{␈↓ βe␈ε¬1␈↓ ∧␈ε¬1␈↓ ¬<␈εt␈↓ ¬]␈εt␈↓ ε"␈εk␈↓ π3␈ε¬1␈↓ λ"␈εt␈↓ λX␈εk␈↓ 	∃␈εk
␈β
>␈↓ ↓H␈εαHence␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αderiv␈α␈ed␈αa␈αuseful␈αupper␈αbound␈αon␈αeach␈αcoordinate␈↓ 	I␈ελx␈↓ 	h␈εα:
␈β
L␈↓ 	Y␈εk
␈β
|␈↓ ↓H␈ε∩Lemma␈α⊃A.␈ε∂␈α$Let␈εα␈α⊃(␈↓ βj␈ελx␈↓ ∧	␈εα,␈↓ ∧→␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧I␈εα,␈↓ ∧Y␈ελx␈↓ ∧t␈εα)␈ε∂␈α∩be␈α∩a␈α⊃nonzero␈α∩v␈α␈ector␈α∩that␈α⊃minimizes␈εα␈α∩(18)␈ε∂␈α∩and␈α⊃let
␈β
␈↓ β{␈ε¬1␈↓ ∧j␈εt
␈β(␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελy␈↓ ↓s␈εα,␈↓ αβ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α3␈εα,␈↓ αC␈ελy␈↓ α←␈εα)␈ε∂␈αbe␈αan␈α␈y␈αnonzero␈αin␈α␈teger␈αv␈α␈ector.␈αThen
␈β5␈↓ ↓e␈ε¬1␈↓ αT␈εt
␈βr␈↓ βm␈ε¬2
␈βx␈↓ βZ␈ελx␈↓ ∧ε␈ε⊗∀␈εα␈α
(␈↓ ∧@␈ελV␈↓ ∧j␈ε⊗↓␈↓ ∧|␈ελV␈↓ ¬∨␈εα)␈↓ ¬+␈ελf␈↓ ¬<␈εα(␈↓ ¬H␈ελy␈↓ ¬g␈εα,␈↓ ¬w␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε'␈εα,␈↓ ε7␈ελy␈↓ εS␈εα),␈↓ π7␈ε∂for␈↓ πo␈εα1␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ9␈ελk␈↓ λU␈ε⊗∀␈↓ 	β␈ελt␈↓ 	⊂␈εα.␈↓ 
p␈εα(21)
␈βε␈↓ ∧T␈εk␈↓ ¬⊂␈εk␈↓ ¬Y␈ε¬1␈↓ εH␈εt
␈β
␈↓ βm␈εk
␈βI␈↓ ↓H␈ε∂In␈αparticular,␈αletting␈↓ ∧⊗␈ελy␈↓ ∧<␈εα=␈↓ ∧j␈ελ∞␈↓ ¬≤␈ε∂for␈αall␈↓ εε␈ελi␈↓ ε∀␈εα,
␈βV␈↓ ∧'␈εi␈↓ ∧w␈εi␈↓ ¬β␈εj
␈β
∪␈↓ β]␈ε¬2
␈β
~␈↓ βJ␈ελx␈↓ βv␈ε⊗∀␈εα␈α
(␈↓ ∧0␈ελV␈↓ ∧Z␈ε⊗↓␈↓ ∧l␈ελV␈↓ ¬∂␈εα)(␈↓ ¬'␈ελU␈↓ ¬S␈ε⊗↓␈↓ ¬e␈ελU␈↓ ε	␈εα),␈↓ εm␈ε∂for␈↓ π%␈εα1␈ε⊗␈α
∀␈↓ πo␈ελj␈↓ π␈␈εα,␈↓ λ∂␈ελk␈↓ λ+␈ε⊗∀␈↓ λY␈ελt␈↓ λf␈εα.␈↓ 
p␈εα(22)
␈β
∨␈↓ 	_␈∧
∨	_≠∂
␈β
'␈↓ ∧D␈εk␈↓ ¬␈εk␈↓ ¬>␈εj␈↓ ¬|␈εj
␈β
+␈↓ β]␈εk
␈β∞∃␈↓ α␈εαLemma␈αA␈αreduces␈αthe␈αproblem␈αto␈αa␈α|nite␈αsearch,␈αbut␈αthe␈αrigh␈α␈t-hand␈αside␈αof
␈β∞A␈↓ ↓H␈εα(21)␈αis␈αusually␈αm␈α␈uch␈αtoo␈αlarge␈αto␈αmak␈α␈e␈αan␈αexhaustiv␈α␈e␈αsearch␈αfeasible;␈αw␈α␈e␈αneed␈αat
␈β∞l␈↓ ↓H␈εαleast␈α
one␈α
more␈α
idea.␈αOn␈α
such␈α
occasions,␈αan␈α
old␈α
maxim␈α
pro␈α␈vides␈α
sound␈α
advice:␈α\If
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαy␈α␈ou␈αcan't␈α
solv␈α␈e␈α
a␈αproblem␈α
as␈αit␈α
is␈α
stated,␈α
change␈αit␈α
in␈α␈to␈α
a␈αsimpler␈α
problem␈αthat
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαhas␈α	the␈α
same␈α	answ␈α␈er."␈αFor␈α
example,␈α
Euclid's␈α	algorithm␈α
has␈α
this␈α	form;␈α
if␈α
w␈α␈e␈α	don't
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαkno␈α␈w␈α	the␈α	gcd␈α	of␈α	the␈α
input␈α	n␈α␈um␈α␈bers,␈α	w␈α␈e␈α
change␈α	them␈α	in␈α␈to␈α	smaller␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈α	having
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαthe␈αsame␈αgcd.␈α↔(In␈αfact,␈αa␈αsligh␈α␈tly␈αmore␈αgeneral␈αapproach␈αprobably␈αunderlies␈αthe
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαdisco␈α␈v␈α␈ery␈α
of␈αnearly␈α
all␈αalgorithms:␈α\If␈α
y␈α␈ou␈αcan't␈α
solv␈α␈e␈αa␈α
problem␈αdirectly,␈α
change
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαit␈α⊂in␈α␈to␈α∂one␈α⊂or␈α⊂more␈α⊂simpler␈α⊂problems,␈α⊃from␈α⊂whose␈α⊂solution␈α⊂y␈α␈ou␈α⊂can␈α⊂solv␈α␈e␈α∂the
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαoriginal␈αone.")
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.4␈ε∞␈↓ λ⊃T␈α␈HE␈α	SP␈α␈ECTRA␈α␈L␈α	TEST␈↓ λ␈εα95
␈βα(␈↓ α␈εαIn␈α
our␈α
case,␈α
a␈α
simpler␈α
problem␈α
is␈α
one␈α
that␈α
requires␈α
less␈α
searching␈α
because␈α
the
␈βαS␈↓ ↓H␈εαrigh␈α␈t-hand␈αside␈αof␈α(22)␈αis␈αsmaller.␈αThe␈αk␈α␈ey␈αidea␈αw␈α␈e␈αshall␈αuse␈αis␈αthat␈αit␈αis␈αpossible
␈βα}␈↓ ↓H␈εαto␈α
change␈α
one␈α
quadratic␈αform␈α
in␈α␈to␈α
another␈α
one␈α
that␈αis␈α
equivalen␈α␈t␈α
for␈α
all␈α
practical
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαpurposes.␈α
Let␈↓ β*␈ελj␈↓ βG␈εαbe␈αan␈α␈y␈α
|x␈α␈ed␈αsubscript,␈α
1␈ε⊗␈α∀␈↓ π∧␈ελj␈↓ π ␈ε⊗∀␈↓ πN␈ελt␈↓ π[␈εα;␈α
let␈α
(␈↓ λ3␈ελq␈↓ λN␈εα,␈↓ λ↑␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	∞␈εα,␈↓ 	≡␈ελq␈↓ 	d␈εα,␈↓ 	t␈ελq␈↓ 
9␈εα,␈↓ 
I␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
y␈εα,␈↓ 	␈ελq␈↓  ␈εα)
␈ββ7␈↓ λ@␈ε¬1␈↓ 	+␈εj␈↓ 	8␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
↓␈εj␈↓ 
∞␈ε¬+1␈↓ ⊗␈εt
␈ββU␈↓ ↓H␈εαbe␈αan␈α␈y␈α
sequence␈αof␈↓ β⎇␈ελt␈↓ ∧∩␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈α
in␈α␈tegers;␈α
and␈αconsider␈α
the␈αfollo␈α␈wing␈α
transformation␈αof
␈β∧␈↓ ↓H␈εαthe␈αv␈α␈ectors:
␈β∧9␈↓ αh␈ε→0␈↓ π[␈ε→0
␈β∧;␈↓ ¬≠␈ε→0
␈β∧@␈↓ αI␈ελV␈↓ αy␈εα=␈↓ β'␈ελV␈↓ βO␈ε⊗␈␈↓ β{␈ελq␈↓ ∧∪␈ελV␈↓ ∧5␈εα,␈↓ ¬λ␈ελx␈↓ ¬1␈εα=␈↓ ¬←␈ελx␈↓ εβ␈ε⊗␈␈↓ ε/␈ελq␈↓ εG␈ελx␈↓ εe␈εα,␈↓ π9␈ελU␈↓ πl␈εα=␈↓ λ~␈ελU␈↓ λ=␈εα,␈↓ 	∃␈εαfor␈↓ 	M␈ελi␈↓ 	e␈ε⊗≤␈↓ 
∪␈ελj␈↓ 
#␈εα;
␈β∧N␈↓ α]␈εi␈↓ β;␈εi␈↓ ∧λ␈εi␈↓ ∧'␈εj␈↓ ¬o␈εi␈↓ ε<␈εi␈↓ εX␈εj␈↓ πP␈εi␈↓ λ1␈εi
␈β∧R␈↓ ¬≠␈εi
␈β∧Z␈↓ λs␈ε↓P
␈β∧↑␈↓ 
p␈εα(23)
␈β∧o␈↓ αh␈ε→0␈↓ π[␈ε→0
␈β∧q␈↓ ¬→␈ε→0
␈β∧v␈↓ αG␈ελV␈↓ αy␈εα=␈↓ β'␈ελV␈↓ βI␈εα,␈↓ ¬π␈ελx␈↓ ¬1␈εα=␈↓ ¬←␈ελx␈↓ ¬|␈εα,␈↓ π7␈ελU␈↓ πl␈εα=␈↓ λ~␈ελU␈↓ λG␈εα+␈↓ 	T␈ελq␈↓ 	m␈ελU␈↓ 
∂␈εα.
␈β¬∧␈↓ α[␈εj␈↓ β;␈εj␈↓ ¬o␈εj␈↓ πN␈εj␈↓ λ1␈εj␈↓ 	a␈εi␈↓ 
∧␈εi
␈β¬λ␈↓ ¬→␈εj
␈β¬	␈↓ 	→␈εi␈↓ 	$␈ε→≤␈↓ 	A␈εj
␈β¬@␈↓ εC␈ε→0␈↓ πI␈ε→0
␈β¬B␈↓ 
m␈ε→0
␈β¬G␈↓ ↓H␈εαIt␈αis␈α
easy␈αto␈α
see␈α
that␈αthe␈α
new␈αv␈α␈ectors␈↓ ε≡␈ελU␈↓ εJ␈εα,␈↓ εa␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π⊃␈εα,␈↓ π(␈ελU␈↓ π]␈εαde|ne␈α
a␈αquadratic␈α
form␈↓ 
[␈ελf␈↓ ␈εαfor
␈β¬U␈↓ ε5␈ε¬1␈↓ π?␈εt
␈β¬m␈↓ α=␈ε→0␈↓ αc␈ε→0␈↓ βT␈ε→0
␈β¬r␈↓ ↓H␈εαwhich␈↓ α,␈ελf␈↓ αD␈εα(␈↓ αP␈ελx␈↓ αq␈εα,␈↓ β↓␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β1␈εα,␈↓ βA␈ελx␈↓ β←␈εα)␈α
=␈↓ ∧#␈ελf␈↓ ∧4␈εα(␈↓ ∧@␈ελx␈↓ ∧←␈εα,␈↓ ∧o␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∨␈εα,␈↓ ¬/␈ελx␈↓ ¬J␈εα);␈α
furthermore␈αλthe␈αλbasic␈αλorthogonality␈αλcondition
␈βε␈↓ ∧Q␈ε¬1␈↓ ¬@␈εt
␈βε∧␈↓ αc␈ε¬1␈↓ βT␈εt
␈βε⊗␈↓ λ_␈ε→0␈↓ λZ␈ε→0
␈βε≡␈↓ ↓H␈εα(19)␈αremains␈αvalid,␈αbecause␈αit␈αis␈α
easy␈αto␈αcheck␈αthat␈↓ πu␈ελU␈↓ λ'␈ε⊗↓␈↓ λ9␈ελV␈↓ λl␈εα=␈↓ 	~␈ελ∞␈↓ 	@␈εα.␈αAs␈α(␈↓ 
⊗␈ελx␈↓ 
5␈εα,␈↓ 
E␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
u␈εα,␈↓ ¬␈ελx␈↓  ␈εα)
␈βε+␈↓ λ␈εi␈↓ λM␈εj␈↓ 	'␈εi␈↓ 	3␈εj␈↓ 
'␈ε¬1␈↓ ⊗␈εt
␈βεD␈↓ π`␈ε→0␈↓ λQ␈ε→0
␈βεI␈↓ ↓H␈εαruns␈α
through␈α
all␈α
nonzero␈α
in␈α␈teger␈α
v␈α␈ectors,␈αso␈α
does␈α
(␈↓ πM␈ελx␈↓ πn␈εα,␈↓ π}␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ.␈εα,␈↓ λ>␈ελx␈↓ λ[␈εα);␈αhence␈α
the␈α
new␈α
form
␈βε[␈↓ π`␈ε¬1␈↓ λQ␈εt
␈βεo␈↓ ↓Y␈ε→0
␈βεt␈↓ ↓H␈ελf␈↓ ↓l␈εαhas␈αthe␈αsame␈αminim␈α␈um␈αas␈↓ ¬⊃␈ελf␈↓ ¬"␈εα.
␈βπ_␈↓ 	⊗␈ε→0␈↓ 
m␈ε→0
␈βπ∨␈↓ α␈εαOur␈αgoal␈αis␈αto␈αuse␈αtransformation␈α(23),␈αreplacing␈↓ λ⊃␈ελU␈↓ λ?␈εαby␈↓ λs␈ελU␈↓ 	)␈εαand␈↓ 	o␈ελV␈↓ 
~␈εαby␈↓ 
N␈ελV␈↓ ␈εαfor
␈βπ-␈↓ λ(␈εi␈↓ 	
␈εi␈↓ 
β␈εi␈↓ 
b␈εi
␈βπJ␈↓ ↓H␈εαall␈↓ ↓y␈ελi␈↓ απ␈εα,␈αin␈αorder␈αto␈αmak␈α␈e␈αthe␈αrigh␈α␈t-hand␈αside␈αof␈α(22)␈αsmall;␈αand␈αthe␈αrigh␈α␈t-hand␈αside
␈βπv␈↓ ↓H␈εαof␈α	(22)␈α	will␈α
be␈α	small␈α
when␈α	both␈↓ ¬,␈ελU␈↓ ¬T␈ε⊗↓␈↓ ¬c␈ελU␈↓ ε⊃␈εαand␈↓ εT␈ελV␈↓ ε{␈ε⊗↓␈↓ π
␈ελV␈↓ π6␈εαare␈α	small.␈αTherefore␈α
it␈α	is␈α	natural
␈βλβ␈↓ ¬C␈εj␈↓ ¬z␈εj␈↓ εh␈εk␈↓ π≡␈εk
␈βλ!␈↓ ↓H␈εαto␈αask␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αt␈α␈w␈α␈o␈αquestions␈αabout␈αthe␈αtransformation␈α(23):
␈βλU␈↓ ¬{␈ε→0␈↓ ε<␈ε→0
␈βλ\␈↓ α&␈εαa)␈↓ αP␈ε∂What␈αchoice␈αof␈↓ ∧J␈ελq␈↓ ∧o␈ε∂mak␈α␈es␈↓ ¬\␈ελV␈↓ ε␈ε⊗↓␈↓ ε≥␈ελV␈↓ εO␈ε∂as␈αsmall␈αas␈αpossible?
␈βλj␈↓ ∧W␈εi␈↓ ¬p␈εi␈↓ ε1␈εi
␈β	␈↓ λZ␈ε→0␈↓ 	_␈ε→0
␈β	∩␈↓ α$␈εαb)␈↓ αP␈ε∂What␈α
choice␈α	of␈↓ ∧B␈ελq␈↓ ∧]␈ε∂,␈↓ ∧q␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬!␈ε∂,␈↓ ¬5␈ελq␈↓ ¬z␈ε∂,␈↓ ε∞␈ελq␈↓ εT␈ε∂,␈↓ εg␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π↔␈ε∂,␈↓ π+␈ελq␈↓ πL␈ε∂mak␈α␈es␈↓ λ6␈ελU␈↓ λf␈ε⊗↓␈↓ λt␈ελU␈↓ 	(␈ε∂as␈α
small
␈β	 ␈↓ ∧O␈ε¬1␈↓ ¬B␈εj␈↓ ¬O␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε≠␈εj␈↓ ε(␈ε¬+1␈↓ π8␈εt␈↓ λM␈εj␈↓ 	␈εj
␈β	=␈↓ αP␈ε∂as␈αpossible?
␈β	y␈↓ α␈εαIt␈α
is␈α
easiest␈α
to␈α
solv␈α␈e␈α
these␈α
questions␈α
|rst␈αfor␈ε∂␈α
real␈εα␈α
values␈α
of␈α
the␈↓ 	o␈ελq␈↓ 
λ␈εα.␈α∞Question
␈β
ε␈↓ 	|␈εi
␈β
$␈↓ ↓H␈εα(a)␈αis␈αquite␈αsimple,␈αsince
␈β
i␈↓ λn␈ε¬2
␈β
o␈↓ α|␈εα(␈↓ βλ␈ελV␈↓ β/␈ε⊗␈␈↓ β[␈ελq␈↓ βt␈ελV␈↓ ∧∃␈εα)␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ(␈↓ ∧G␈ελV␈↓ ∧n␈ε⊗␈␈↓ ¬~␈ελq␈↓ ¬3␈ελV␈↓ ¬T␈εα)␈↓ ¬j␈εα=␈↓ ε_␈ελV␈↓ ε?␈ε⊗↓␈↓ εQ␈ελV␈↓ εy␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ π7␈ελq␈↓ πO␈ελV␈↓ πw␈ε⊗↓␈↓ λ	␈ελV␈↓ λ2␈εα+␈↓ λ↑␈ελq␈↓ λ⎇␈ελV␈↓ 	&␈ε⊗↓␈↓ 	8␈ελV
␈β
|␈↓ β≤␈εi␈↓ βh␈εi␈↓ ∧λ␈εj␈↓ ∧[␈εi␈↓ ¬'␈εi␈↓ ¬G␈εj␈↓ ε,␈εi␈↓ εe␈εi␈↓ πD␈εi␈↓ πc␈εi␈↓ λ≥␈εj␈↓ 	⊃␈εj␈↓ 	L␈εj
␈β↓␈↓ λn␈εi
␈β∂␈↓ π␈ε↓␈␈↓ 	\␈ε↓↓
␈β!␈↓ 	j␈ε¬2
␈β.␈↓ ¬j␈εα=␈α
(␈↓ ε$␈ελV␈↓ εM␈ε⊗↓␈↓ ε←␈ελV␈↓ π␈εα)␈↓ π~␈ελq␈↓ π;␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ πs␈ελV␈↓ λ~␈ε⊗↓␈↓ λ,␈ελV␈↓ λX␈εα/␈↓ λt␈ελV␈↓ 	≥␈ε⊗↓␈↓ 	/␈ελV␈↓ 	P␈εα)
␈β<␈↓ ε8␈εj␈↓ εs␈εj␈↓ π'␈εi␈↓ λπ␈εi␈↓ λ@␈εj␈↓ 	λ␈εj␈↓ 	C␈εj
␈βX␈↓ λ\␈ε¬2
␈β↑␈↓ ε0␈εα+␈↓ ε\␈ελV␈↓ πβ␈ε⊗↓␈↓ π∃␈ελV␈↓ π=␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ πu␈ελV␈↓ λ≤␈ε⊗↓␈↓ λ.␈ελV␈↓ λP␈εα)␈↓ λt␈εα/␈↓ 	⊂␈ελV␈↓ 	9␈ε⊗↓␈↓ 	K␈ελV␈↓ 	m␈εα,
␈βl␈↓ εp␈εi␈↓ π)␈εi␈↓ λ	␈εi␈↓ λB␈εj␈↓ 	$␈εj␈↓ 	←␈εj
␈β$␈↓ ↓H␈εαand␈αthe␈αminim␈α␈um␈αoccurs␈αwhen
␈βn␈↓ ¬≡␈ελq␈↓ ¬A␈εα=␈↓ ¬o␈ελV␈↓ ε⊗␈ε⊗↓␈↓ ε(␈ελV␈↓ εS␈εα/␈↓ εo␈ελV␈↓ π→␈ε⊗↓␈↓ π+␈ελV␈↓ πL␈εα.␈↓ 
p␈εα(24)
␈β{␈↓ ¬+␈εi␈↓ εβ␈εi␈↓ ε<␈εj␈↓ πβ␈εj␈↓ π?␈εj
␈β
8␈↓ ↓H␈εαGeometrically,␈α
w␈α␈e␈αare␈α
asking␈α
what␈α
m␈α␈ultiple␈α
of␈↓ π2␈ελV␈↓ π`␈εαshould␈αbe␈α
subtracted␈α
from␈↓ 
␈ελV
␈β
E␈↓ πF␈εj␈↓ !␈εi
␈β
\␈↓ ¬~␈ε→0
␈β
c␈↓ ↓H␈εαso␈α
that␈αthe␈αresulting␈αv␈α␈ector␈↓ ∧{␈ελV␈↓ ¬,␈εαhas␈αminim␈α␈um␈αlength,␈αand␈α
the␈αansw␈α␈er␈αis␈αto␈α
choose
␈β
q␈↓ ¬∂␈εi
␈β∞π␈↓ βε␈ε→0␈↓ πb␈ε→0
␈β∞∞␈↓ ↓H␈ελq␈↓ ↓l␈εαso␈αthat␈↓ αf␈ελV␈↓ β→␈εαis␈αperpendicular␈αto␈↓ ¬K␈ελV␈↓ ¬x␈εα(i.e.,␈αso␈αthat␈↓ πB␈ελV␈↓ πq␈ε⊗↓␈↓ λβ␈ελV␈↓ λ.␈εα=␈α
0);␈αthe␈αdiagram
␈β∞≤␈↓ ↓U␈εi␈↓ αz␈εi␈↓ ¬←␈εj␈↓ πV␈εi␈↓ λ↔␈εj
␈β∂x␈↓ 
p␈εα(25)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα96␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.4
␈βα(␈↓ ↓H␈εαmak␈α␈es␈αthis␈αplain.
␈βα7␈↓ 
⊂␈ε↓P
␈βαS␈↓ α␈εαTurning␈α∞to␈α∞question␈α∞(b),␈α∂w␈α␈e␈α∞wan␈α␈t␈α∞to␈α∞choose␈α∞the␈↓ λ⊃␈ελq␈↓ λ7␈εαso␈α∞that␈↓ 	5␈ελU␈↓ 	c␈εα+␈↓ 
q␈ελq␈↓ 
␈ελU
␈βαa␈↓ λ≡␈εi␈↓ 	L␈εj␈↓ 
}␈εi␈↓ !␈εi
␈βαf␈↓ 
6␈εi␈↓ 
A␈ε→≤␈↓ 
↑␈εj
␈βββ␈↓ ↓H␈εαhas␈αminim␈α␈um␈αlength;␈αgeometrically,␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈αadd␈αsome␈αv␈α␈ector,␈αin␈αthe␈α(␈↓ 
D␈ελt␈↓ 
X␈ε⊗␈␈εα␈αε1)-
␈ββ.␈↓ ↓H␈εαdimensional␈αh␈α␈yperplane␈αwhose␈αpoin␈α␈ts␈αare␈αthe␈αsums␈αof␈αm␈α␈ultiples␈αof␈↓ 	\␈ε⊗f␈↓ 	t␈ελU␈↓ 
 ␈ε⊗j␈↓ 
4␈ελi␈↓ 
L␈ε⊗≤␈↓ 
z␈ελj␈↓ ⊂␈ε⊗g␈↓ "␈εα,
␈ββ<␈↓ 
␈εi
␈ββR␈↓ λs␈ε→0
␈ββY␈↓ ↓H␈εαto␈↓ ↓t␈ελU␈↓ α_␈εα.␈αAgain␈αthe␈αbest␈αsolution␈αis␈αto␈αchoose␈αthings␈αso␈αthat␈↓ λO␈ελU␈↓ 	π␈εαis␈αperpendicular␈αto
␈ββg␈↓ α␈εj␈↓ λf␈εj
␈ββ⎇␈↓ ¬+␈ε→0
␈β∧¬␈↓ ↓H␈εαthe␈αh␈α␈yperplane,␈αi.e.,␈αso␈αthat␈↓ ¬π␈ελU␈↓ ¬:␈ε⊗↓␈↓ ¬L␈ελU␈↓ ¬|␈εα=␈α
0␈αfor␈αall␈↓ π2␈ελk␈↓ πM␈ε⊗≤␈↓ π{␈ελj␈↓ λ␈εα,␈αi.e.,
␈β∧∩␈↓ ¬≡␈εj␈↓ ¬c␈εk
␈β∧9␈↓ ∧ ␈ε↓X
␈β∧\␈↓ βλ␈ελU␈↓ β4␈ε⊗↓␈↓ βF␈ελU␈↓ βs␈εα+␈↓ ∧[␈ελq␈↓ ∧s␈εα(␈↓ ∧␈␈ελU␈↓ ¬*␈ε⊗↓␈↓ ¬<␈ελU␈↓ ¬a␈εα)␈α
=␈α
0,␈↓ π∂1␈ε⊗␈α
∀␈↓ πY␈ελk␈↓ πu␈ε⊗∀␈↓ λ#␈ελt␈↓ λ0␈εα,␈↓ 	λ␈ελk␈↓ 	$␈ε⊗≤␈↓ 	R␈ελj␈↓ 	b␈εα.␈↓ 
p␈εα(26)
␈β∧j␈↓ β∨␈εj␈↓ β]␈εk␈↓ ∧h␈εi␈↓ ¬⊗␈εi␈↓ ¬S␈εk
␈β¬∞␈↓ ∧∨␈εi␈↓ ∧+␈ε→≤␈↓ ∧H␈εj
␈β¬K␈↓ ↓H␈εα(See␈αex␈α␈ercise␈α12␈αfor␈αa␈αrigorous␈αproof␈αthat␈αa␈αsolution␈αto␈αquestion␈α(b)␈αm␈α␈ust␈αsatisfy
␈β¬v␈↓ ↓H␈εαthese␈↓ α$␈ελt␈↓ α9␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αequations.)
␈βε"␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈αthat␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αansw␈α␈ered␈αquestions␈α(a)␈αand␈α(b),␈αw␈α␈e␈αare␈αin␈αa␈αbit␈αof␈α
a␈αquan-
␈βεE␈↓ λ|␈ε→0␈↓ 	6␈ε→0
␈βεM␈↓ ↓H␈εαdary;␈α
should␈α
w␈α␈e␈α	choose␈α
the␈↓ ∧q␈ελq␈↓ ¬∪␈εαaccording␈α
to␈α	(24),␈α
so␈α
that␈α	the␈↓ λ]␈ελV␈↓ 	λ␈ε⊗↓␈↓ 	↔␈ελV␈↓ 	G␈εαare␈α	minimized,
␈βεZ␈↓ ∧}␈εi␈↓ λq␈εi␈↓ 	+␈εi
␈βεp␈↓ ¬;␈ε→0␈↓ εα␈ε→0
␈βεx␈↓ ↓H␈εαor␈α
according␈α∞to␈α
(26),␈α∞so␈α
that␈↓ ¬↔␈ελU␈↓ ¬K␈ε⊗↓␈↓ ¬↑␈ελU␈↓ ε↔␈εαis␈α∞minimized?␈α⊂Either␈α
of␈α∞these␈α
alternativ␈α␈es
␈βπ¬␈↓ ¬.␈εj␈↓ ¬u␈εj
␈βπ#␈↓ ↓H␈εαmak␈α␈es␈α∞an␈α∞impro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t␈α
in␈α∞the␈α∞righ␈α␈t-hand␈α∞side␈α∞of␈α∞(22),␈α∂so␈α∞it␈α∞is␈α
not␈α∞immediately
␈βπN␈↓ ↓H␈εαclear␈α	which␈α	choice␈α
should␈α	get␈α
priority.␈αFortunately,␈α
there␈α	is␈α	a␈α
v␈α␈ery␈α	simple␈α	answ␈α␈er
␈βπz␈↓ ↓H␈εαto␈αthis␈αdilemma:␈αConditions␈α(24)␈αand␈α(26)␈αare␈αexactly␈αthe␈αsame!␈α(See␈α
ex␈α␈ercise␈α7.)
␈βλ%␈↓ ↓H␈εαTherefore␈α∞questions␈α∂(a)␈α∞and␈α∞(b)␈α∂hav␈α␈e␈α∞the␈α∂same␈α∞answ␈α␈er;␈α⊂w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈α∂a␈α∞happy␈α∞state
␈βλP␈↓ ↓H␈εαof␈αa{airs␈α
in␈αwhich␈α
w␈α␈e␈α
can␈αreduce␈α
the␈αlength␈α
of␈αboth␈α
the␈↓ λH␈ελU␈↓ λe␈εα's␈α
and␈αthe␈↓ 
∂␈ελV␈↓ 
)␈εα's␈αsim␈α␈ul-
␈βλ{␈↓ ↓H␈εαtaneously.␈α≤(It␈α∞may␈α∞be␈α∞w␈α␈orth␈α␈while␈α∞to␈α∞poin␈α␈t␈α∞out␈α∞that␈α∞w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈α∞just␈α
redisco␈α␈v␈α␈ered
␈β	&␈↓ ↓H␈εαthe␈α\Schmidt␈αorthogonalization␈αprocess.")
␈β	R␈↓ α␈εαOur␈α⊃jo␈α␈y␈α⊃m␈α␈ust␈α⊃be␈α⊃tempered␈α⊂with␈α⊃the␈α⊃realization␈α⊃that␈α⊃w␈α␈e␈α⊃hav␈α␈e␈α⊃dealt␈α⊂with
␈β	⎇␈↓ ↓H␈εαquestions␈α
(a)␈α
and␈α
(b)␈α
only␈α
for␈ε∂␈α∞real␈εα␈α
values␈α
of␈α
the␈↓ πG␈ελq␈↓ π`␈εα.␈α∂Our␈α
application␈α
restricts␈α
us
␈β

␈↓ πT␈εi
␈β
 ␈↓ εB␈ε→0
␈β
(␈↓ ↓H␈εαto␈α
in␈α␈teger␈α
values,␈α∞so␈α
w␈α␈e␈α
cannot␈α∞mak␈α␈e␈↓ ε"␈ελV␈↓ εV␈εαexactly␈α
perpendicular␈α∞to␈↓ 	f␈ελV␈↓ 
π␈εα.␈α⊂The␈α
best
␈β
4␈↓ 
x␈ε↓␈
␈β
5␈↓ ε6␈εi␈↓ 	z␈εj
␈β
S␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αcan␈αdo␈αfor␈αquestion␈α(a)␈αis␈αto␈αlet␈↓ ¬i␈ελq␈↓ ε␈εαbe␈αthe␈ε∂␈αnearest␈αin␈α␈teger␈εα␈αto␈↓ 	∃␈ελV␈↓ 	;␈ε⊗↓␈↓ 	L␈ελV␈↓ 	w␈εα/␈↓ 
∪␈ελV␈↓ 
;␈ε⊗↓␈↓ 
L␈ελV␈↓ ε␈εαcf.
␈β
←␈↓ α∧␈ε↓↓
␈β
a␈↓ ¬v␈εi␈↓ 	)␈εi␈↓ 	`␈εj␈↓ 
'␈εj␈↓ 
`␈εj
␈β
}␈↓ ↓H␈εα(25)␈↓ α∩␈εα.␈αIt␈α
turns␈α
out␈α	that␈α
this␈α
is␈ε∂␈α
not␈εα␈α
always␈α	the␈α
best␈α
solution␈α
to␈α
question␈α	(b),␈αin␈α	fact
␈β"␈↓ ↓l␈ε→0
␈β*␈↓ ↓H␈ελU␈↓ ↓␈␈εαmay␈αat␈αtimes␈αbe␈αlonger␈αthan␈↓ ¬K␈ελU␈↓ ¬o␈εα;␈αho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αthe␈αbound␈α(21)␈αis␈αnev␈α␈er␈αincreased,
␈β7␈↓ ↓←␈εj␈↓ ¬b␈εj
␈βU␈↓ ↓H␈εαsince␈α	w␈α␈e␈α
can␈α	remem␈α␈ber␈α
the␈α
smallest␈α	value␈α
of␈↓ ε|␈ελf␈↓ π∞␈εα(␈↓ π~␈ελy␈↓ π9␈εα,␈↓ πI␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πy␈εα,␈↓ λ	␈ελy␈↓ λ$␈εα)␈α
found␈α
so␈α	far,␈α
so␈α
a␈α	choice
␈βb␈↓ π+␈ε¬1␈↓ λ~␈εt
␈β␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελq␈↓ α⊗␈εαbased␈αsolely␈αon␈αquestion␈α(a)␈αis␈αquite␈αsatisfactory.
␈β
␈↓ ↓␈␈εi
␈β+␈↓ α␈εαIf␈α
w␈α␈e␈α
apply␈α∞transformation␈α
(23)␈α
repeatedly␈α
in␈α
such␈α∞a␈α
way␈α
that␈α
none␈α
of␈α
the
␈βV␈↓ ↓H␈εαv␈α␈ectors␈↓ αA␈ελV␈↓ αl␈εαgets␈α
longer␈αand␈αat␈α
least␈αone␈αgets␈α
shorter,␈αw␈α␈e␈αcan␈αnev␈α␈er␈α
get␈αin␈α␈to␈αa␈α
loop;
␈βd␈↓ αU␈εi
␈β
α␈↓ ↓H␈εαi.e.,␈αw␈α␈e␈αwill␈α
nev␈α␈er␈αbe␈αconsidering␈αthe␈αsame␈α
quadratic␈αform␈αagain␈αafter␈αa␈α
sequence
␈β
-␈↓ ↓H␈εαof␈α∞non␈α␈trivial␈α∞transformations␈α∞of␈α∞this␈α∞kind.␈α∩But␈α∞ev␈α␈en␈α␈tually␈α∞w␈α␈e␈α∞will␈α∞get␈α∞\stuck,"
␈β
X␈↓ ↓H␈εαin␈α∞the␈α∂sense␈α∞that␈α∂none␈α∞of␈α∂the␈α∞transformations␈α∂(23)␈α∞for␈α∂1␈ε⊗␈α∞∀␈↓ 	π␈ελj␈↓ 	&␈ε⊗∀␈↓ 	X␈ελt␈↓ 	s␈εαwill␈α∂be␈α∞able
␈β∞β␈↓ ↓H␈εαto␈α⊂shorten␈α⊂an␈α␈y␈α⊂of␈α⊂the␈α⊂v␈α␈ectors␈↓ ¬5␈ελV␈↓ ¬W␈εα,␈↓ ¬r␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε"␈εα,␈↓ ε=␈ελV␈↓ ε\␈εα.␈α_At␈α⊃that␈α⊂poin␈α␈t␈α⊂w␈α␈e␈α⊂can␈α⊂rev␈α␈ert␈α⊂to␈α⊂an
␈β∞⊃␈↓ ¬I␈ε¬1␈↓ εQ␈εt
␈β∞.␈↓ ↓H␈εαexhaustiv␈α␈e␈αsearch,␈αusing␈αthe␈αbounds␈αof␈αLemma␈αA␈↓ πJ␈εα,␈αwhich␈αwill␈αno␈α␈w␈αbe␈α
quite␈αsmall
␈β∞Z␈↓ ↓H␈εαin␈α∂most␈α∂cases.␈α∃Occasionally␈α⊂these␈α∂bounds␈α∂(21)␈α∂will␈α∂be␈α∂poor,␈α⊂and␈α∂another␈α∂type
␈β∂¬␈↓ ↓H␈εαof␈α∞transformation␈α
will␈α∞usually␈α∞get␈α∞the␈α∞algorithm␈α∞unstuck␈α∞again␈α∞and␈α∞reduce␈α
the
␈β∂0␈↓ ↓H␈εαbounds␈α∞(see␈α∞ex␈α␈ercise␈α∞18).␈α∪Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α∞transformation␈α∂(23)␈α∞by␈α∞itself␈α∞has␈α∞pro␈α␈v␈α␈ed␈α∞to
␈β∂[␈↓ ↓H␈εαbe␈α∞quite␈α∂adequate␈α∞for␈α∂the␈α∞spectral␈α∂test;␈α∂in␈α∂fact,␈α∂it␈α∞has␈α∂pro␈α␈v␈α␈ed␈α∞to␈α∂be␈α∞amazingly
␈β⊂ε␈↓ ↓H␈εαpo␈α␈w␈α␈erful␈απwhen␈αλthe␈απcomputations␈απare␈αλarranged␈απas␈αλin␈απthe␈αλalgorithm␈απdiscussed␈απbelo␈α␈w.
␈β⊂F␈↓ ↓6␈ε∩*␈↓ ↓H␈ε∩D.␈α∂Ho␈α␈w␈α⊂to␈α⊂perform␈α⊂the␈α⊂spectral␈α∂test.␈εα␈α Here␈α⊂no␈α␈w␈α⊂is␈α⊂an␈α⊂e}cien␈α␈t␈α∂computational
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαprocedure␈α⊂that␈α∂follo␈α␈ws␈α⊂from␈α⊂our␈α⊂considerations.␈α_R.␈α⊂W.␈α⊂Gosper␈α⊂and␈α⊂U.␈α∂Dieter
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈α⊃disco␈α␈v␈α␈ered␈α∩that␈α∩it␈α∩is␈α∩possible␈α∩to␈α⊃use␈α∩the␈α∩results␈α∩of␈α∩lo␈α␈w␈α␈er␈α∩dimensions␈α⊃to
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.4␈ε∞␈↓ λ⊃T␈α␈HE␈α	SP␈α␈ECTRA␈α␈L␈α	TEST␈↓ λ␈εα97
␈βα(␈↓ ↓H␈εαmak␈α␈e␈αthe␈αspectral␈αtest␈αsigni|can␈α␈tly␈αfaster␈αin␈αhigher␈αdimensions.␈αThis␈αre|nemen␈α␈t
␈βαS␈↓ ↓H␈εαhas␈α∞been␈α∞incorporated␈α
in␈α␈to␈α∞the␈α∞follo␈α␈wing␈α∞algorithm,␈α∂together␈α∞with␈α∞a␈α
signi|can␈α␈t
␈βα}␈↓ ↓H␈εαsimpli|cation␈αof␈αthe␈αt␈α␈w␈α␈o-dimensional␈αcase.
␈ββ<␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αS␈εα␈α(␈ε∂The␈αspectral␈αtest␈εα)␈ε∩.␈εα␈α→This␈αalgorithm␈αdetermines␈αthe␈αvalue␈αof
␈ββm␈↓ ∧r␈ε↓␈
␈ββt␈↓ αo␈ε↓q
␈β∧α␈↓ ∧r␈ε↓␈
␈β∧λ␈↓ αY␈ε↓~␈↓ 
␈ε↓≠
␈β∧∂␈↓ β∪␈∧∧∂β∪α↓U
␈β∧_␈↓ ∧r␈ε↓␈
␈β∧≤␈↓ π/␈εt␈↓ π:␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧∨␈↓ β&␈ε¬2␈↓ ∧Y␈ε¬2
␈β∧"␈↓ ↓H␈ελ↔␈↓ ↓k␈εα=␈↓ α→␈εαmin␈↓ β∪␈ελx␈↓ β<␈εα+␈↓ βh␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧~␈εα+␈↓ ∧F␈ελx␈↓ ¬λ␈ελx␈↓ ¬.␈εα+␈↓ ¬Z␈ελa␈↓ ¬l␈ελx␈↓ ε∪␈εα+␈↓ ε?␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εq␈εα+␈↓ π≥␈ελa␈↓ πe␈ελx␈↓ λ
␈ε⊗⊃␈εα␈α
0␈α
(modulo␈↓ 	`␈ελm␈↓ 
␈εα)␈↓ 
p␈εα(27)
␈β∧-␈↓ ∧r␈ε↓␈
␈β∧/␈↓ ↓W␈εt␈↓ ¬_␈ε¬1␈↓ ¬⎇␈ε¬2␈↓ πu␈εt
␈β∧4␈↓ β&␈ε¬1␈↓ ∧Y␈εt
␈β¬¬␈↓ ↓H␈εαfor␈α2␈ε⊗␈α∀␈↓ αM␈ελt␈↓ αe␈ε⊗∀␈↓ β∀␈ελT␈↓ β.␈εα,␈α
giv␈α␈en␈↓ ∧$␈ελa␈↓ ∧6␈εα,␈↓ ∧M␈ελm␈↓ ∧m␈εα,␈α
and␈↓ ¬J␈ελT␈↓ ¬d␈εα,␈α
where␈α0␈α<␈↓ π0␈ελa␈↓ πM␈εα<␈↓ π|␈ελm␈↓ λ)␈εαand␈↓ λo␈ελa␈↓ 	∞␈εαis␈α
relativ␈α␈ely␈αprime
␈β¬1␈↓ ↓H␈εαto␈↓ ↓t␈ελm␈↓ α∀␈εα.␈α~(The␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ ∧∩␈ελ↔␈↓ ∧8␈εαmeasures␈α
the␈↓ ε⊃␈ελt␈↓ ε≡␈εα-dimensional␈α
accuracy␈α
of␈αrandom-n␈α␈um␈α␈ber
␈β¬>␈↓ ∧!␈εt
␈β¬\␈↓ ↓H␈εαgenerators,␈αas␈αdiscussed␈α
in␈αthe␈αtext␈αabo␈α␈v␈α␈e.)␈α⊗All␈αarithmetic␈αwithin␈αthis␈α
algorithm
␈βεα␈↓ λy␈ε¬2
␈βεπ␈↓ ↓H␈εαis␈α
done␈α
on␈α
in␈α␈tegers␈α
whose␈α
magnitudes␈α
rarely␈α
if␈α
ev␈α␈er␈α
ex␈α␈ceed␈↓ λY␈ελm␈↓ 	π␈εα,␈α
ex␈α␈cept␈α
in␈α
step␈α
S8;
␈βε2␈↓ ↓H␈εαin␈α
fact,␈α
nearly␈α
all␈α
of␈α
the␈α
in␈α␈teger␈α
variables␈α
will␈α
be␈α
less␈α∞than␈↓ λr␈ελm␈↓ 	≡␈εαin␈α
absolute␈α
value
␈βε]␈↓ ↓H␈εαduring␈αthe␈αcomputation.
␈βπ	␈↓ α␈εαWhen␈↓ αu␈ελ↔␈↓ β≤␈εαis␈α
being␈α
calculated␈α
for␈↓ εε␈ελt␈↓ ε∨␈ε⊗∃␈εα␈α3,␈α
the␈α
algorithm␈α∞w␈α␈orks␈α
with␈α
t␈α␈w␈α␈o␈↓ 
]␈ελt␈↓ 
s␈ε⊗α␈↓ ∨␈ελt
␈βπ⊗␈↓ β∧␈εt
␈βπ4␈↓ ↓H␈εαmatrices␈↓ α[␈ελU␈↓ βλ␈εαand␈↓ βR␈ελV␈↓ βk␈εα,␈α⊃whose␈α∂ro␈α␈w␈α⊂v␈α␈ectors␈α∂are␈α∂denoted␈α⊂by␈↓ λ<␈ελU␈↓ λn␈εα=␈α⊂(␈↓ 	.␈ελu␈↓ 	\␈εα,␈↓ 	l␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
≤␈εα,␈↓ 
,␈ελu␈↓ 
W␈εα)␈α∂and
␈βπA␈↓ λS␈εi␈↓ 	C␈εi␈↓ 	N␈ε¬1␈↓ 
A␈εi␈↓ 
M␈εt
␈βπ←␈↓ ↓H␈ελV␈↓ ↓q␈εα=␈α
(␈↓ α+␈ελv␈↓ αU␈εα,␈↓ αe␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β∃␈εα,␈↓ β%␈ελv␈↓ βK␈εα)␈αfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧e␈ελi␈↓ ∧⎇␈ε⊗∀␈↓ ¬+␈ελt␈↓ ¬8␈εα.␈αThese␈αv␈α␈ectors␈αsatisfy␈αthe␈αconditions
␈βπl␈↓ ↓\␈εi␈↓ α;␈εi␈↓ αF␈ε¬1␈↓ β5␈εi␈↓ β@␈εt
␈βλ)␈↓ ¬
␈εt␈↓ ¬∀␈ε→␈␈ε¬1
␈βλ/␈↓ αC␈ελu␈↓ αz␈εα+␈↓ β&␈ελa␈↓ β8␈ελu␈↓ βn␈εα+␈↓ ∧~␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧L␈εα+␈↓ ∧x␈ελa␈↓ ¬@␈ελu␈↓ ¬t␈ε⊗⊃␈εα␈α
0␈α
(modulo␈↓ πJ␈ελm␈↓ πj␈εα),␈↓ λN1␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	_␈ελi␈↓ 	0␈ε⊗∀␈↓ 	↑␈ελt␈↓ 	k␈εα;␈↓ 
p␈εα(28)
␈βλ<␈↓ αX␈εi␈↓ αc␈ε¬1␈↓ βL␈εi␈↓ βX␈ε¬2␈↓ ¬T␈εi␈↓ ¬`␈εt
␈βλh␈↓ ∧/␈ελU␈↓ ∧Y␈ε⊗↓␈↓ ∧k␈ελV␈↓ ¬⊗␈εα=␈↓ ¬D␈ελ∞␈↓ ¬j␈εα,␈↓ εB1␈ε⊗␈α
∀␈↓ π␈ελi␈↓ π~␈εα,␈↓ π*␈ελj␈↓ πD␈ε⊗∀␈↓ πr␈ελt␈↓ π␈␈εα.␈↓ 
p␈εα(29)
␈βλv␈↓ ∧F␈εi␈↓ ∧␈␈εj␈↓ ¬Q␈εi␈↓ ¬]␈εj
␈β	8␈↓ ↓H␈εα(Th␈α␈us␈α	the␈↓ αf␈ελV␈↓ β⊂␈εαof␈α	our␈α	previous␈α	discussion␈α	hav␈α␈e␈α	been␈α	m␈α␈ultiplied␈α	by␈↓ 	"␈ελm␈↓ 	A␈εα,␈α
to␈α	ensure␈αλthat
␈β	F␈↓ αz␈εj
␈β	d␈↓ ↓H␈εαtheir␈α∂componen␈α␈ts␈α∂are␈α∂in␈α␈tegers.)␈α⊗There␈α∂are␈α∂three␈α∂other␈α∂auxiliary␈α∂v␈α␈ectors,␈↓ 
[␈ελX␈↓ λ␈εα=
␈β
∂␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελx␈↓ ↓s␈εα,␈↓ αβ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α3␈εα,␈↓ αC␈ελx␈↓ α↑␈εα),␈↓ β␈ελY␈↓ β%␈εα=␈α
(␈↓ β←␈ελy␈↓ β}␈εα,␈↓ ∧∞␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧>␈εα,␈↓ ∧N␈ελy␈↓ ∧j␈εα),␈αand␈↓ ¬R␈ελZ␈↓ ¬u␈εα=␈α
(␈↓ ε/␈ελz␈↓ εI␈εα,␈↓ εY␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π	␈εα,␈↓ π→␈ελz␈↓ π0␈εα).␈αDuring␈αthe␈αen␈α␈tire␈αalgorithm,␈↓ ≥␈ελr
␈β
≤␈↓ ↓d␈ε¬1␈↓ αS␈εt␈↓ βp␈ε¬1␈↓ ∧←␈εt␈↓ ε;␈ε¬1␈↓ π%␈εt
␈β
5␈↓ β∀␈εt␈↓ β≡␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
O␈ε¬2
␈β
:␈↓ ↓H␈εαwill␈α
denote␈↓ βα␈ελa␈↓ βP␈εαmod␈↓ ∧~␈ελm␈↓ ∧F␈εαand␈↓ ¬∞␈ελs␈↓ ¬*␈εαwill␈α
denote␈α
the␈α
smallest␈α
upper␈α∞bound␈α
for␈↓ 
>␈ελ↔␈↓ 
j␈εαthat
␈β
L␈↓ 
O␈εt
␈β
e␈↓ ↓H␈εαhas␈αbeen␈αdisco␈α␈v␈α␈ered␈αso␈αfar.
␈β∃␈↓ ¬→␈ε→0␈↓ π"␈ε→0␈↓ 
.␈ε¬2
␈β~␈↓ ↓P␈ε∩S1.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α≤Set␈↓ ∧∞␈ελh␈↓ ∧,␈ε⊗ ␈↓ ∧]␈ελa␈↓ ∧o␈εα,␈↓ ¬π␈ελh␈↓ ¬-␈ε⊗ ␈↓ ¬↑␈ελm␈↓ ¬⎇␈εα,␈↓ ε∃␈ελp␈↓ ε4␈ε⊗ ␈εα␈α
1,␈↓ π∂␈ελp␈↓ π5␈ε⊗ ␈εα␈α
0,␈↓ λ⊂␈ελr␈↓ λ-␈ε⊗ ␈↓ λ]␈ελa␈↓ λo␈εα,␈↓ 	π␈ελs␈↓ 	#␈ε⊗ ␈εα␈α
1␈α	+␈↓ 
≤␈ελa␈↓ 
<␈εα.␈α≤(The
␈βE␈↓ α␈εα|rst␈αsteps␈αof␈α
this␈αalgorithm␈αhandle␈αthe␈α
case␈↓ π8␈ελt␈↓ πO␈εα=␈α
2␈αby␈αa␈αspecial␈α
method,␈αv␈α␈ery
␈βp␈↓ α␈εαm␈α␈uch␈αlik␈α␈e␈αEuclid's␈αalgorithm;␈αw␈α␈e␈αwill␈αhav␈α␈e
␈β:␈↓ β@␈ε→0␈↓ ∧∨␈ε→0␈↓ λ!␈ε→0␈↓ λn␈ε→0
␈β@␈↓ α␈ελh␈↓ α&␈ε⊗␈␈↓ αR␈ελa␈↓ αd␈ελp␈↓ β␈ε⊗⊃␈↓ β.␈ελh␈↓ βO␈ε⊗␈␈↓ β{␈ελa␈↓ ∧
␈ελp␈↓ ∧1␈ε⊗⊃␈εα␈α
0␈α
(modulo␈↓ επ␈ελm␈↓ ε&␈εα)␈↓ εz␈εαand␈↓ π|␈ελh␈↓ λ∞␈ελp␈↓ λ0␈ε⊗␈␈↓ λ\␈ελh␈↓ λu␈ελp␈↓ 	⊃␈εα=␈ε⊗␈α
ε␈↓ 	c␈ελm␈↓ 
p␈εα(30)
␈β
⊂␈↓ α␈εαduring␈αthis␈αphase␈αof␈αthe␈αcalculation.)
␈β
?␈↓ ¬N␈ε→0␈↓ ε⎇␈ε→0␈↓ λL␈ε→0␈↓ 	x␈ε¬2␈↓ 
M␈ε¬2
␈β
D␈↓ ↓P␈ε∩S2.␈↓ α␈εα[Euclidean␈αstep.]␈α_Set␈↓ ∧f␈ελq␈↓ ¬␈ε⊗ ␈α
b␈↓ ¬<␈ελh␈↓ ¬U␈εα/␈↓ ¬g␈ελh␈↓ ¬y␈ε⊗c␈εα,␈↓ ε≥␈ελu␈↓ ε=␈ε⊗ ␈↓ εk␈ελh␈↓ π␈ε⊗␈␈↓ π7␈ελq␈↓ πG␈ελh␈↓ πY␈εα,␈↓ πo␈ελv␈↓ λ␈ε⊗ ␈↓ λ:␈ελp␈↓ λ[␈ε⊗␈␈↓ 	π␈ελq␈↓ 	↔␈ελp␈↓ 	)␈εα.␈αIf␈↓ 	c␈ελu␈↓ 
∂␈εα+␈↓ 
:␈ελv␈↓ 
e␈εα<␈↓ ∪␈ελs␈↓ "␈εα,
␈β
k␈↓ β!␈ε¬2␈↓ βv␈ε¬2␈↓ ∧,␈ε→0␈↓ ε≠␈ε→0
␈β
p␈↓ α␈εαset␈↓ αD␈ελs␈↓ α]␈ε⊗ ␈↓ β␈ελu␈↓ β7␈εα+␈↓ βc␈ελv␈↓ ∧∧␈εα,␈↓ ∧~␈ελh␈↓ ∧=␈ε⊗ ␈↓ ∧k␈ελh␈↓ ∧⎇␈εα,␈↓ ¬∪␈ελh␈↓ ¬/␈ε⊗ ␈↓ ¬]␈ελu␈↓ ¬s␈εα,␈↓ ε	␈ελp␈↓ ε,␈ε⊗ ␈↓ εZ␈ελp␈↓ εm␈εα,␈↓ πβ␈ελp␈↓ π∨␈ε⊗ ␈↓ πM␈ελv␈↓ π`␈εα,␈αand␈αrepeat␈αstep␈αS2.
␈β∞∨␈↓ λ∧␈ε¬2␈↓ λO␈ε¬2␈↓ 
I␈ε¬2␈↓ ∀␈ε¬2
␈β∞$␈↓ ↓P␈ε∩S3.␈↓ α␈εα[Compute␈↓ β0␈ελ↔␈↓ βN␈εα.]␈α⊂Set␈↓ ∧-␈ελu␈↓ ∧L␈ε⊗ ␈↓ ∧z␈ελu␈↓ ¬∪␈ε⊗␈␈↓ ¬:␈ελh␈↓ ¬L␈εα,␈↓ ¬←␈ελv␈↓ ¬|␈ε⊗ ␈↓ ε*␈ελv␈↓ ε@␈ε⊗␈␈↓ εg␈ελp␈↓ εz␈εα;␈α	and␈αλif␈↓ πn␈ελu␈↓ λ∃␈εα+␈↓ λ<␈ελv␈↓ λg␈εα<␈↓ 	∃␈ελs␈↓ 	$␈εα,␈α
set␈↓ 	l␈ελs␈↓ 
¬␈ε⊗ ␈↓ 
3␈ελu␈↓ 
Z␈εα+␈↓ ↓␈ελv␈↓ "␈εα,
␈β∞2␈↓ β?␈ε¬2
␈β∞J␈↓ α≡␈ε→0␈↓ β&␈ε→0
␈β∞N␈↓ ε→␈∧∞Nε→α∂
␈β∞O␈↓ α␈ελh␈↓ α3␈ε⊗ ␈↓ αe␈ελu␈↓ α{␈εα,␈↓ β∀␈ελp␈↓ β;␈ε⊗ ␈↓ βm␈ελv␈↓ ∧␈εα.␈α∪Then␈α∞output␈↓ ¬u␈ε⊗p␈↓ ε→␈ελs␈↓ ε6␈εα=␈↓ εh␈ελ↔␈↓ πε␈εα.␈α≥(The␈α∞validity␈α∂of␈α∞this␈α∞calculation
␈β∞]␈↓ εw␈ε¬2
␈β∞{␈↓ α␈εαfor␈αthe␈αt␈α␈w␈α␈o-dimensional␈αcase␈αis␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αin␈αex␈α␈ercise␈α5.␈αNo␈α␈w␈αw␈α␈e␈αwill␈αset␈αup␈αthe
␈β∂&␈↓ α␈ελU␈↓ α5␈εαand␈↓ αy␈ελV␈↓ β≡␈εαmatrices␈αsatisfying␈α(28)␈αand␈α(29),␈αin␈αpreparation␈αfor␈αcalculations␈α
in
␈β∂Q␈↓ α␈εαhigher␈αdimensions.)␈α→Set
␈β⊂≤␈↓ ∧j␈ε↓∩␈↓ ¬z␈ε↓∪␈↓ π↑␈ε↓∩␈↓ 	∧␈ε↓∪
␈β⊂≥␈↓ λ∃␈ε→0␈↓ λo␈ε→0
␈β⊂!␈↓ ¬β␈ε⊗␈␈↓ ¬'␈ελh␈↓ ¬d␈ελp
␈β⊂"␈↓ λβ␈ελp␈↓ λ]␈ελh
␈β⊂6␈↓ ∧∀␈ελU␈↓ ∧<␈ε⊗ ␈↓ ε⊂␈εα,␈↓ εh␈ελV␈↓ π␈ε⊗ ␈α
ε␈↓ 	~␈εα,
␈β⊂G␈↓ ¬6␈ε→0␈↓ ¬s␈ε→0
␈β⊂L␈↓ ¬␈ε⊗␈␈↓ ¬$␈ελh␈↓ ¬a␈ελp
␈β⊂M␈↓ πt␈ε⊗␈␈↓ λ_␈ελp␈↓ λO␈ε⊗␈␈↓ λs␈ελh
␈β⊃↔␈↓ λ∞␈ε→0
␈β⊃≤␈↓ α␈εαwhere␈αthe␈ε⊗␈α␈␈εα␈αsign␈αis␈αchosen␈αfor␈↓ ¬|␈ελV␈↓ ε"␈εαif␈αand␈αonly␈αif␈↓ π|␈ελp␈↓ λ ␈εα>␈α
0.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα98␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.4
␈βα&␈↓ ↓P␈ε∩S4.␈↓ α␈εα[Advance␈↓ β,␈ελt␈↓ β9␈εα.]␈α≥If␈↓ ∧⊂␈ελt␈↓ ∧+␈εα=␈↓ ∧]␈ελT␈↓ ∧v␈εα,␈α∂the␈α∞algorithm␈α∞terminates.␈α≥(Otherwise␈α∞w␈α␈e␈α∞wan␈α␈t␈α∞to
␈βαQ␈↓ α␈εαincrease␈↓ β↔␈ελt␈↓ β3␈εαby␈α∂1.␈α∃At␈α∂this␈α∞poin␈α␈t␈↓ ¬z␈ελU␈↓ ε'␈εαand␈↓ εp␈ελV␈↓ π→␈εαare␈↓ πX␈ελt␈↓ πo␈ε⊗α␈↓ λ≥␈ελt␈↓ λ9␈εαmatrices␈α∂satisfying␈α∞(28)
␈βα⎇␈↓ α␈εαand␈α⊃(29),␈α∩and␈α⊃w␈α␈e␈α⊃m␈α␈ust␈α⊂enlarge␈α⊃them␈α⊃by␈α⊃adding␈α⊃an␈α⊃appropriate␈α⊃new␈α⊂ro␈α␈w
␈ββ(␈↓ α␈εαand␈α∞column.)␈α≡Set␈↓ ∧:␈ελt␈↓ ∧U␈ε⊗ ␈↓ ¬ε␈ελt␈↓ ¬≥␈εα+␈α
1␈α∞and␈↓ ε3␈ελr␈↓ εQ␈ε⊗ ␈εα␈α
(␈↓ π∞␈ελa␈↓ π ␈ελr␈↓ π0␈εα)␈↓ πB␈εαmod␈↓ λ␈ελm␈↓ λ,␈εα.␈α∪Set␈↓ 		␈ελU␈↓ 	9␈εαto␈α∞the␈α∞new␈α∞ro␈α␈w
␈ββ5␈↓ 	 ␈εt
␈ββS␈↓ α␈εα(␈ε⊗␈␈↓ α<␈ελr␈↓ αL␈εα,␈αε0,␈αε0,␈↓ β ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βP␈εα,␈αε0,␈αε1)␈α
of␈↓ ∧S␈ελt␈↓ ∧k␈εαelemen␈α␈ts,␈αand␈α
set␈↓ πα␈ελu␈↓ π6␈ε⊗ ␈εα␈α
0␈αfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	α␈ελi␈↓ 	~␈εα<␈↓ 	H␈ελt␈↓ 	U␈εα.␈αSet␈↓ 
'␈ελV␈↓ 
P␈εαto␈α
the
␈ββ`␈↓ π⊗␈εi␈↓ π"␈εt␈↓ 
;␈εt
␈ββ}␈↓ α␈εαnew␈α∞ro␈α␈w␈α
(0,␈αε0,␈αε0,␈↓ ∧⊂␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧@␈εα,␈αε0,␈↓ ∧r␈ελm␈↓ ¬∩␈εα).␈α⊃Finally,␈α∞for␈α∞1␈ε⊗␈α
∀␈↓ πK␈ελi␈↓ πf␈εα<␈↓ λ↔␈ελt␈↓ λ$␈εα,␈α∞set␈↓ λu␈ελq␈↓ 	∩␈ε⊗ ␈↓ 	C␈εαround␈↓ 
∨␈εα(␈↓ 
+␈ελv␈↓ 
U␈ελr␈↓ 
e␈εα/␈↓ 
w␈ελm␈↓ ⊗␈εα),
␈β∧␈↓ 
;␈εi␈↓ 
G␈ε¬1
␈β∧)␈↓ α␈ελv␈↓ α<␈ε⊗ ␈↓ αj␈ελv␈↓ β∪␈ελr␈↓ β+␈ε⊗␈␈↓ βW␈ελq␈↓ βg␈ελm␈↓ ∧π␈εα,␈αand␈↓ ∧b␈ελU␈↓ ¬∞␈ε⊗ ␈↓ ¬<␈ελU␈↓ ¬e␈εα+␈↓ ε⊃␈ελq␈↓ ε!␈ελU␈↓ εC␈εα.␈α→(Here␈α\round(␈↓ λ@␈ελx␈↓ λS␈εα)"␈αdenotes␈αthe␈αnearest
␈β∧7␈↓ α≤␈εi␈↓ α'␈εt␈↓ αz␈εi␈↓ β¬␈ε¬1␈↓ ∧y␈εt␈↓ ¬S␈εt␈↓ ε8␈εi
␈β∧U␈↓ α␈εαin␈α␈teger␈α∞to␈↓ β2␈ελx␈↓ βE␈εα,␈α∞e.g.,␈ε⊗␈α∞b␈↓ ∧9␈ελx␈↓ ∧U␈εα+␈α	1/2␈ε⊗c␈εα.␈α⊃We␈α∞are␈α
essen␈α␈tially␈α∞setting␈↓ 	π␈ελv␈↓ 	9␈ε⊗ ␈↓ 	j␈ελv␈↓ 
∪␈ελr␈↓ 
1␈εαand␈α
im-
␈β∧b␈↓ 	⊗␈εi␈↓ 	"␈εt␈↓ 	z␈εi␈↓ 
¬␈ε¬1
␈β¬␈↓ α␈εαmediately␈αapplying␈αtransformation␈α(23)␈αwith␈↓ πQ␈ελj␈↓ πl␈εα=␈↓ λ~␈ελt␈↓ λ'␈εα,␈αsince␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈ε⊗␈αj␈↓ 
i␈ελv␈↓ ∪␈ελr␈↓ "␈ε⊗j
␈β¬
␈↓ 
y␈εi␈↓ ∧␈ε¬1
␈β¬+␈↓ α␈εαare␈α	so␈α	large␈α	they␈α	ough␈α␈t␈α	to␈α
be␈α	reduced␈α	at␈α	once.)␈α∩Finally␈α	set␈↓ 	∪␈ελs␈↓ 	,␈ε⊗ ␈↓ 	Z␈εαmin␈↓ 
⊗␈εα(␈↓ 
"␈ελs␈↓ 
1␈εα,␈↓ 
A␈ελU␈↓ 
g␈ε⊗↓␈↓ 
u␈ελU␈↓ ⊗␈εα),
␈β¬8␈↓ 
X␈εt␈↓ ␈εt
␈β¬V␈↓ α␈ελk␈↓ α,␈ε⊗ ␈↓ α←␈ελt␈↓ αl␈εα,␈α∂and␈↓ βN␈ελj␈↓ βl␈ε⊗ ␈εα␈α∂1.␈α≡(In␈α∞the␈α∂follo␈α␈wing␈α∂steps,␈↓ πW␈ελj␈↓ πv␈εαdenotes␈α∂the␈α∞curren␈α␈t␈α∂ro␈α␈w␈α∞in-
␈βε↓␈↓ α␈εαdex␈α∂for␈α∂transformation␈α∂(23),␈α⊂and␈↓ ε'␈ελk␈↓ εH␈εαdenotes␈α∂the␈α∂last␈α∂such␈α∂index␈α∂where␈α∂the
␈βε-␈↓ α␈εαtransformation␈αshortened␈αat␈αleast␈αone␈αof␈αthe␈↓ πP␈ελV␈↓ πp␈εα.)
␈βε:␈↓ πd␈εi
␈βε↑␈↓ ↓P␈ε∩S5.␈↓ α␈εα[Transform.]␈α For␈α∂1␈ε⊗␈α⊂∀␈↓ ¬
␈ελi␈↓ ¬+␈ε⊗∀␈↓ ¬←␈ελt␈↓ ¬l␈εα,␈α⊂do␈α⊂the␈α∂follo␈α␈wing␈α⊂operations:␈α∪If␈↓ 
↓␈ελi␈↓ 
∨␈ε⊗≤␈↓ 
S␈ελj␈↓ 
r␈εαand
␈βπ
␈↓ α␈εα2␈ε⊗j␈↓ α(␈ελV␈↓ αJ␈ε⊗↓␈↓ αV␈ελV␈↓ αw␈ε⊗j␈εα␈α
>␈↓ β9␈ελV␈↓ β\␈ε⊗↓␈↓ βi␈ελV␈↓ ∧
␈εα,␈αλset␈↓ ∧P␈ελq␈↓ ∧j␈ε⊗ ␈↓ ¬_␈εαround␈↓ ¬t␈εα(␈↓ ε␈ελV␈↓ ε"␈ε⊗↓␈↓ ε.␈ελV␈↓ εY␈εα/␈↓ εu␈ελV␈↓ π_␈ε⊗↓␈↓ π$␈ελV␈↓ πF␈εα),␈↓ πd␈ελV␈↓ λ∞␈ε⊗ ␈↓ λ<␈ελV␈↓ λ]␈ε⊗␈␈↓ 	β␈ελq␈↓ 	∪␈ελV␈↓ 	5␈εα,␈↓ 	G␈ελU␈↓ 	u␈ε⊗ ␈↓ 
#␈ελU␈↓ 
J␈εα+␈↓ 
p␈ελq␈↓ ␈ελU␈↓ "␈εα,
␈βπ↔␈↓ α<␈εi␈↓ αj␈εj␈↓ βM␈εj␈↓ β⎇␈εj␈↓ ε∀␈εi␈↓ εB␈εj␈↓ π	␈εj␈↓ π8␈εj␈↓ πx␈εi␈↓ λP␈εi␈↓ 	'␈εj␈↓ 	↑␈εj␈↓ 
:␈εj␈↓ ↔␈εi
␈βπ5␈↓ α␈εαand␈↓ αN␈ελk␈↓ αj␈ε⊗ ␈↓ β_␈ελj␈↓ β(␈εα.␈α∂(The␈αλfact␈αλthat␈αλw␈α␈e␈αλav␈α␈oid␈αλthis␈αλtransformation␈αλwhen␈αλ2␈ε⊗j␈↓ 	Y␈ελV␈↓ 	{␈ε⊗↓␈↓ 
π␈ελV␈↓ 
)␈ε⊗j␈εα␈απexactly
␈βπB␈↓ 	m␈εi␈↓ 
≠␈εj
␈βπ`␈↓ α␈εαequals␈↓ αv␈ελV␈↓ β≥␈ε⊗↓␈↓ β-␈ελV␈↓ βY␈εαprev␈α␈en␈α␈ts␈α
the␈α
algorithm␈α
from␈αlooping␈α
endlessly;␈αsee␈α
ex␈α␈ercise␈α
19.)
␈βπm␈↓ β
␈εj␈↓ βA␈εj
␈βλ∩␈↓ ↓P␈ε∩S6.␈↓ α␈εα[Examine␈α∞new␈α∞bound.]␈α≤If␈↓ ¬2␈ελk␈↓ ¬Q␈εα=␈↓ εα␈ελj␈↓ ε!␈εα(i.e.,␈α∞if␈α∞the␈α∞transformation␈α∞in␈α∞S5␈α∞has␈α
just
␈βλ=␈↓ α␈εαdone␈αsomething␈αuseful),␈αset␈↓ ¬D␈ελs␈↓ ¬]␈ε⊗ ␈↓ ε␈εαmin␈↓ εG␈εα(␈↓ εS␈ελs␈↓ εb␈εα,␈↓ εr␈ελU␈↓ π≡␈ε⊗↓␈↓ π0␈ελU␈↓ πT␈εα).
␈βλJ␈↓ π	␈εj␈↓ πG␈εj
␈βλo␈↓ ↓P␈ε∩S7.␈↓ α␈εα[Advance␈↓ β+␈ελj␈↓ β<␈εα.]␈α≠If␈↓ ∧⊃␈ελj␈↓ ∧-␈εα=␈↓ ∧↑␈ελt␈↓ ∧k␈εα,␈α
set␈↓ ¬<␈ελj␈↓ ¬X␈ε⊗ ␈εα␈α1;␈α∞otherwise␈α∞set␈↓ λ
␈ελj␈↓ λ*␈ε⊗ ␈↓ λZ␈ελj␈↓ λs␈εα+␈α	1.␈α⊂No␈α␈w␈α
if␈↓ 
D␈ελj␈↓ 
`␈ε⊗≤␈↓ ⊃␈ελk␈↓ "␈εα,
␈β	~␈↓ α␈εαreturn␈αto␈αstep␈αS5.␈α↔(If␈↓ ∧f␈ελj␈↓ ¬␈εα=␈↓ ¬.␈ελk␈↓ ¬@␈εα,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αgone␈αthrough␈↓ λ8␈ελt␈↓ λK␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈αconsecutiv␈α␈e␈αcy␈α␈cles
␈β	E␈↓ α␈εαof␈αno␈αtransformation,␈αso␈αthe␈αtransformation␈αprocess␈αis␈αstuck.)
␈β	w␈↓ ↓P␈ε∩S8.␈↓ α␈εα[Prepare␈απfor␈απsearch.]␈α
(No␈α␈w␈αεthe␈απabsolute␈απminim␈α␈um␈απwill␈απbe␈απdetermined,␈αλusing␈αεan
␈β
"␈↓ α␈εαexhaustiv␈α␈e␈α
search␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
all␈α
(␈↓ ¬1␈ελx␈↓ ¬P␈εα,␈↓ ¬`␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε⊂␈εα,␈↓ ε ␈ελx␈↓ ε;␈εα)␈α
satisfying␈α
the␈α
condition␈α
(21)␈α
of␈α	Lemma
␈β
/␈↓ ¬A␈ε¬1␈↓ ε0␈εt
␈β
M␈↓ α␈εαA.)␈α→Set␈↓ β∪␈ελX␈↓ β;␈ε⊗ ␈↓ βi␈ελY␈↓ ∧∞␈ε⊗ ␈εα␈α
(0,␈↓ ∧j␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬~␈εα,␈αε0),␈αset␈↓ ε⊗␈ελk␈↓ ε2␈ε⊗ ␈↓ ε`␈ελt␈↓ εm␈εα,␈αand␈αset
␈β
x␈↓ ¬
␈ε↓q
␈β␈↓ ∧z␈ε↓⊗␈↓ π∞␈ε↓↔
␈β∪␈↓ ¬.␈∧∪¬.α↓`
␈β$␈↓ εr␈ε¬2
␈β&␈↓ ∧)␈ελz␈↓ ∧L␈ε⊗ ␈↓ ¬.␈ε⊗b␈εα(␈↓ ¬H␈ελV␈↓ ¬r␈ε⊗↓␈↓ ε∧␈ελV␈↓ ε%␈εα)␈↓ ε1␈ελs␈↓ ε@␈εα/␈↓ εR␈ελm␈↓ π␈ε⊗c␈↓ π≡␈εα,␈↓ πv␈εαfor␈↓ λ.␈εα1␈ε⊗␈α
∀␈↓ λx␈ελj␈↓ 	∩␈ε⊗∀␈↓ 	@␈ελt␈↓ 	M␈εα.␈↓ 
p␈εα(31)
␈β3␈↓ ∧5␈εj␈↓ ¬\␈εj␈↓ ε_␈εj
␈β␈␈↓ α␈εα(We␈α⊂will␈α⊂examine␈α⊂all␈↓ ∧k␈ελX␈↓ ¬~␈εα=␈α⊂(␈↓ ¬Z␈ελx␈↓ ¬y␈εα,␈↓ ε	␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε9␈εα,␈↓ εI␈ελx␈↓ εd␈εα)␈α⊂with␈ε⊗␈α⊂j␈↓ π`␈ελx␈↓ π}␈ε⊗j␈α⊂∀␈↓ λM␈ελz␈↓ λv␈εαfor␈α⊂1␈ε⊗␈α⊂∀␈↓ 
	␈ελj␈↓ 
)␈ε⊗∀␈↓ 
↑␈ελt␈↓ 
k␈εα.␈α↔In
␈β␈↓ ¬k␈ε¬1␈↓ εZ␈εt␈↓ πq␈εj␈↓ λY␈εj
␈β*␈↓ α␈εαh␈α␈undreds␈α∞of␈α∞applications␈α∂of␈α∞this␈α∞algorithm,␈α∂no␈↓ πy␈ελz␈↓ λ ␈εαhas␈α∂y␈α␈et␈α∞turned␈α∞out␈α∞to␈α∞be
␈β7␈↓ λ¬␈εj
␈βU␈↓ α␈εαgreater␈α⊂than␈α⊂1,␈α⊃nor␈α∂has␈α⊂the␈α⊂exhaustiv␈α␈e␈α⊂search␈α⊂in␈α⊂the␈α⊂follo␈α␈wing␈α⊂steps␈α∂ev␈α␈er
␈β
␈↓ α␈εαreduced␈↓ β∀␈ελs␈↓ β#␈εα;␈α∂ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α∞such␈α∞phenomena␈α
are␈α∞probably␈α∞possible␈α∞in␈α∞w␈α␈eird␈α
cases,
␈β
+␈↓ α␈εαespecially␈αin␈αhigher␈αdimensions.␈αDuring␈αthe␈αexhaustiv␈α␈e␈αsearch,␈αthe␈αv␈α␈ector␈↓ ⊃␈ελY
␈β
W␈↓ α␈εαwill␈α
always␈αbe␈α
equal␈αto␈↓ ∧x␈ελx␈↓ ¬↔␈ελU␈↓ ¬B␈εα+␈↓ ¬l␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε≤␈εα+␈↓ εF␈ελx␈↓ εa␈ελU␈↓ πβ␈εα,␈α
so␈αthat␈↓ λ∞␈ελf␈↓ λ∨␈εα(␈↓ λ+␈ελx␈↓ λJ␈εα,␈↓ λZ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	
␈εα,␈↓ 	~␈ελx␈↓ 	5␈εα)␈α
=␈↓ 	y␈ελY␈↓ 
~␈ε⊗↓␈↓ 
*␈ελY␈↓ 
E␈εα.␈αSince
␈β
d␈↓ ¬	␈ε¬1␈↓ ¬.␈ε¬1␈↓ εV␈εt␈↓ εx␈εt␈↓ λ<␈ε¬1␈↓ 	+␈εt
␈β∞α␈↓ α␈ελf␈↓ α≥␈εα(␈ε⊗␈␈↓ αM␈ελx␈↓ αl␈εα,␈↓ α|␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β,␈εα,␈ε⊗␈αε␈␈↓ β`␈ελx␈↓ β{␈εα)␈α∞=␈↓ ∧G␈ελf␈↓ ∧Y␈εα(␈↓ ∧e␈ελx␈↓ ¬∧␈εα,␈↓ ¬∀␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬D␈εα,␈↓ ¬T␈ελx␈↓ ¬o␈εα),␈α∂w␈α␈e␈α∞shall␈α∂examine␈α∞only␈α∂v␈α␈ectors␈α∞whose␈α∞|rst
␈β∞∂␈↓ α↑␈ε¬1␈↓ βq␈εt␈↓ ∧u␈ε¬1␈↓ ¬d␈εt
␈β∞-␈↓ α␈εαnonzero␈α
componen␈α␈t␈α
is␈α
positiv␈α␈e.␈αThe␈α
method␈α
is␈α
essen␈α␈tially␈α
that␈α
of␈α
coun␈α␈ting␈α	in
␈β∞X␈↓ α␈εαsteps␈α
of␈α
one,␈αregarding␈α
(␈↓ ¬↓␈ελx␈↓ ¬ ␈εα,␈↓ ¬0␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬`␈εα,␈↓ ¬p␈ελx␈↓ ε␈εα)␈α
as␈α
the␈αdigits␈α
in␈α
a␈α
balanced␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
system
␈β∞f␈↓ ¬∩␈ε¬1␈↓ ε↓␈εt
␈β∂β␈↓ α␈εαwith␈αmix␈α␈ed␈αradices␈α(2␈↓ ∧←␈ελz␈↓ ¬↓␈εα+␈αλ1,␈↓ ¬O␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬␈␈εα,␈αε2␈↓ ε!␈ελz␈↓ ε@␈εα+␈αλ1);␈αcf.␈αSection␈α4.1.)
␈β∂⊃␈↓ ∧k␈ε¬1␈↓ ε-␈εt
␈β∂5␈↓ ↓P␈ε∩S9.␈↓ α␈εα[Advance␈↓ β-␈ελx␈↓ βL␈εα.]␈α∨If␈↓ ∧'␈ελx␈↓ ∧U␈εα=␈↓ ¬	␈ελz␈↓ ¬#␈εα,␈α⊂go␈α⊂to␈α∂S11.␈α⊗Otherwise␈α∂increase␈↓ 	0␈ελx␈↓ 	←␈εαby␈α∂1␈α∂and␈α∂set
␈β∂C␈↓ β>␈εk␈↓ ∧7␈εk␈↓ ¬∃␈εk␈↓ 	A␈εk
␈β∂`␈↓ α␈ελY␈↓ α1␈ε⊗ ␈↓ α←␈ελY␈↓ βα␈εα+␈↓ β.␈ελU␈↓ βS␈εα.
␈β∂n␈↓ βE␈εk
␈β⊂∩␈↓ ↓>␈ε∩S10.␈↓ α␈εα[Advance␈↓ β*␈ελk␈↓ β<␈εα.]␈α→Set␈↓ ∧'␈ελk␈↓ ∧C␈ε⊗ ␈↓ ∧q␈ελk␈↓ ¬
␈εα+␈αλ1.␈αThen␈αif␈↓ ε↑␈ελk␈↓ εz␈ε⊗∀␈↓ π(␈ελt␈↓ π5␈εα,␈αset␈↓ λβ␈ελx␈↓ λ,␈ε⊗ ␈α
␈␈↓ λ}␈ελz␈↓ 	→␈εα,␈↓ 	/␈ελY␈↓ 	T␈ε⊗ ␈↓ 
α␈ελY␈↓ 
$␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ 
b␈ελz␈↓ 
⎇␈ελU␈↓ "␈εα,
␈β⊂ ␈↓ λ∀␈εk␈↓ 	
␈εk␈↓ 
n␈εk␈↓ ∀␈εk
␈β⊂=␈↓ α␈εαand␈αrepeat␈αstep␈αS10.␈αBut␈αif␈↓ ¬B␈ελk␈↓ ¬↑␈εα>␈↓ ε␈ελt␈↓ ε→␈εα,␈αset␈↓ εg␈ελs␈↓ π␈ε⊗ ␈↓ π.␈εαmin␈↓ πj␈εα(␈↓ πv␈ελs␈↓ λ¬␈εα,␈↓ λ∃␈ελY␈↓ λ8␈ε⊗↓␈↓ λJ␈ελY␈↓ λe␈εα).
␈β⊂o␈↓ ↓>␈ε∩S11.␈↓ α␈εα[Decrease␈↓ β/␈ελk␈↓ βA␈εα.]␈α∨Set␈↓ ∧6␈ελk␈↓ ∧W␈ε⊗ ␈↓ ¬
␈ελk␈↓ ¬&␈ε⊗␈␈εα␈α1.␈α∃If␈↓ ε.␈ελk␈↓ εO␈ε⊗∃␈εα␈α⊂1,␈α⊂return␈α∂to␈α∂S9.␈α⊗Otherwise␈α∂output
␈β⊃→␈↓ βα␈∧⊃→βαα∂
␈β⊃~␈↓ α␈ελ↔␈↓ α0␈εα=␈↓ α↑␈ε⊗p␈↓ βα␈ελs␈↓ β≥␈εα(the␈αexhaustiv␈α␈e␈αsearch␈αis␈αcompleted)␈αand␈αreturn␈αto␈αS4.
␈β⊃∨␈↓ 
≠␈∧⊃∨
≠≠∂
␈β⊃(␈↓ α≠␈εt
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.4␈ε∞␈↓ λ⊃T␈α␈HE␈α	SP␈α␈ECTRA␈α␈L␈α	TEST␈↓ λ␈εα99
␈βα(␈↓ α␈εαIn␈α⊂practice␈α∂Algorithm␈α⊂S␈α⊂is␈α∂applied␈α⊂for␈↓ π␈ελT␈↓ π)␈εα=␈α⊂5␈α⊂or␈α∂6,␈α⊃say;␈α⊃it␈α⊂usually␈α∂w␈α␈orks
␈βαS␈↓ ↓H␈εαreasonably␈αλw␈α␈ell␈αλwhen␈↓ ∧↔␈ελT␈↓ ∧:␈εα=␈α
7␈αλor␈αλ8,␈α	but␈αλit␈αλcan␈α	be␈αλterribly␈αλslo␈α␈w␈αλwhen␈↓ 	;␈ελT␈↓ 	↑␈ε⊗∃␈εα␈α
9␈αλsince␈αλthe
␈βαy␈↓ λv␈εT
␈βα}␈↓ ↓H␈εαexhaustiv␈α␈e␈αsearch␈αtends␈αto␈αmak␈α␈e␈αthe␈αrunning␈αtime␈αgro␈α␈w␈αas␈↓ λd␈εα3␈↓ 	
␈εα.␈α↔(If␈αthe␈αminim␈α␈um
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαvalue␈↓ α'␈ελ↔␈↓ αL␈εαoccurs␈αat␈αman␈α␈y␈αdi{eren␈α␈t␈αpoin␈α␈ts,␈αthe␈αexhaustiv␈α␈e␈αsearch␈αwill␈αhit␈αthem␈αall;
␈ββ7␈↓ α6␈εt
␈ββU␈↓ ↓H␈εαhence␈αw␈α␈e␈αtypically␈α
|nd␈αthat␈αall␈↓ ¬A␈ελz␈↓ ¬f␈εα=␈α
1␈α
for␈αlarge␈↓ πD␈ελt␈↓ πQ␈εα.␈α
As␈αremark␈α␈ed␈αin␈α
the␈αtext,␈αthe
␈ββb␈↓ ¬M␈εk
␈β∧␈↓ ↓H␈εαvalues␈αof␈↓ α`␈ελ↔␈↓ β¬␈εαare␈αgenerally␈αirrelevan␈α␈t␈αfor␈αpractical␈αpurposes␈αwhen␈↓ 	<␈ελt␈↓ 	U␈εαis␈αlarge.)
␈β∧
␈↓ αo␈εt
␈β∧+␈↓ α␈εαAn␈α
example␈α∞will␈α
help␈α∞to␈α
mak␈α␈e␈α
Algorithm␈α∞S␈α
clear.␈α⊂Consider␈α∞the␈α
linear␈α
con-
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαgruen␈α␈tial␈αsequence␈αde|ned␈αby
␈β¬↔␈↓ β⎇␈ε¬10
␈β¬≥␈↓ β↓␈ελm␈↓ β+␈εα=␈α
1␈↓ βk␈εα0␈↓ ∧~␈εα,␈↓ ∧r␈ελa␈↓ ¬
␈εα=␈α
3141592621,␈↓ πG␈ελc␈↓ π`␈εα=␈α
1,␈↓ λx␈ελX␈↓ 	)␈εα=␈α
0.␈↓ 
p␈εα(32)
␈β¬*␈↓ 	⊃␈ε¬0
␈β¬c␈↓ ↓H␈εαSix␈α
cy␈α␈cles␈α
of␈α
the␈αEuclidean␈α
algorithm␈α
in␈α
steps␈αS2␈α
and␈α
S3␈α
su}ce␈αto␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈α
that␈α
the
␈βε	␈↓ ¬␈ε¬2␈↓ ¬a␈ε¬2
␈βε∞␈↓ ↓H␈εαminim␈α␈um␈αnonzero␈αvalue␈αof␈↓ ∧y␈ελx␈↓ ¬"␈εα+␈↓ ¬N␈ελx␈↓ ¬{␈εαwith
␈βε ␈↓ ¬␈ε¬1␈↓ ¬a␈ε¬2
␈βεO␈↓ λ;␈ε¬10
␈βεU␈↓ ∧⊃␈ελx␈↓ ∧8␈εα+␈αλ3141592621␈↓ ε_␈ελx␈↓ εA␈ε⊗⊃␈εα␈α
0␈α
(modulo␈α1␈↓ λ)␈εα0␈↓ λW␈εα)
␈βεb␈↓ ∧!␈ε¬1␈↓ ε(␈ε¬2
␈βπ≠␈↓ ↓H␈εαoccurs␈α∞for␈↓ αs␈ελx␈↓ β!␈εα=␈α∂67654,␈↓ ∧G␈ελx␈↓ ∧u␈εα=␈α∂226;␈α⊂hence␈α∂the␈α∂t␈α␈w␈α␈o-dimensional␈α∂accuracy␈α∂of␈α∞this
␈βπ)␈↓ β∧␈ε¬1␈↓ ∧X␈ε¬2
␈βπF␈↓ ↓H␈εαgenerator␈αis
␈βπS␈↓ ∧b␈ε↓p
␈βπn␈↓ ¬ε␈∧πn¬εα↓a
␈βπu␈↓ ¬`␈ε¬2␈↓ εY␈ε¬2
␈βπw␈↓ ∧
␈ελ↔␈↓ ∧4␈εα=␈↓ ¬ε␈εα6765␈↓ ¬N␈εα4␈↓ ¬w␈εα+␈αλ22␈↓ εG␈εα6␈↓ εq␈ε⊗→␈εα␈α
67654.37748.
␈βλ¬␈↓ ∧≤␈ε¬2
␈βλ0␈↓ 	␈␈ε¬2␈↓ 
O␈ε¬2␈↓ ≡␈ε¬2
␈βλ5␈↓ ↓H␈εαPassing␈α	to␈α
three␈α
dimensions,␈α
w␈α␈e␈α
seek␈α
the␈α
minim␈α␈um␈α
nonzero␈α
value␈α
of␈↓ 	l␈ελx␈↓ 
∪␈εα+␈↓ 
<␈ελx␈↓ 
b␈εα+␈↓ ␈ελx
␈βλG␈↓ 	␈␈ε¬1␈↓ 
O␈ε¬2␈↓ ≡␈ε¬3
␈βλ`␈↓ ↓H␈εαsuch␈αthat
␈β	 ␈↓ π∂␈ε¬2␈↓ 	@␈ε¬1␈α↓0
␈β	&␈↓ β↓␈ελx␈↓ β(␈εα+␈αλ3141592621␈↓ ¬λ␈ελx␈↓ ¬/␈εα+␈αλ314159262␈↓ ε⎇␈εα1␈↓ π≥␈ελx␈↓ πF␈ε⊗⊃␈εα␈α
0␈α
(modulo␈α1␈↓ 	.␈εα0␈↓ 	]␈εα).␈↓ 
p␈εα(33)
␈β	4␈↓ β∩␈ε¬1␈↓ ¬→␈ε¬2␈↓ π.␈ε¬3
␈β	m␈↓ ↓H␈εαStep␈αS4␈αsets␈αup␈αthe␈αmatrices
␈β
⊃␈↓ αO␈ε↓0␈↓ ¬+␈ε↓1␈↓ εI␈ε↓0␈↓ 
Y␈ε↓1
␈β
4␈↓ β≥␈ε⊗␈␈εα67654␈↓ ∧-␈ε⊗␈␈εα226␈↓ ¬→␈εα0␈↓ εa␈ε⊗␈␈εα191␈↓ πM␈ε⊗␈␈εα44190611␈↓ 	%␈εα2564918569
␈β
R␈↓ αO␈ε↓@␈↓ ¬+␈ε↓A␈↓ εI␈ε↓@␈↓ 
Y␈ε↓A
␈β
\␈↓ ↓y␈ελU␈↓ α!␈εα=␈↓ ¬C␈εα,␈↓ ¬w␈ελV␈↓ ε≠␈εα=␈↓ 
q␈εα.
␈β
`␈↓ αg␈ε⊗␈␈εα44190611␈↓ ∧Q␈εα191␈↓ ¬→␈εα0␈↓ εa␈ε⊗␈␈εα226␈↓ λ'␈εα67654␈↓ 	%␈εα1307181134
␈β␈↓ β≥␈εα5793866␈↓ ∧c␈εα33␈↓ ¬→␈εα1␈↓ π)␈εα0␈↓ λo␈εα0␈↓ 	∪␈εα10000000000
␈βL␈↓ ↓H␈εαThe␈α
|rst␈αiteration␈α
of␈αstep␈αS5,␈α
with␈↓ ¬h␈ελq␈↓ εα␈εα=␈α
1␈αfor␈↓ πβ␈ελi␈↓ π≠␈εα=␈α
2␈αand␈↓ λ*␈ελq␈↓ λD␈εα=␈α
4␈αfor␈↓ 	F␈ελi␈↓ 	↑␈εα=␈α
3,␈α
changes
␈βw␈↓ ↓H␈εαthem␈αto
␈β∃␈↓ αX␈ε↓0␈↓ ¬⊂␈ε↓1␈↓ ε.␈ε↓0␈↓ 
P␈ε↓1
␈β8␈↓ αp␈ε⊗␈␈εα21082801␈↓ ∧H␈εα97␈↓ ∧}␈εα4␈↓ εF␈ε⊗␈␈εα191␈↓ π2␈ε⊗␈␈εα44190611␈↓ 	≤␈εα2564918569
␈βV␈↓ αX␈ε↓@␈↓ ¬⊂␈ε↓A␈↓ ε.␈ε↓@␈↓ 
P␈ε↓A
␈β`␈↓ αα␈ελU␈↓ α*␈εα=␈↓ ¬(␈εα,␈↓ ¬\␈ελV␈↓ ε␈εα=␈↓ 
h␈εα.
␈βc␈↓ αp␈ε⊗␈␈εα44190611␈↓ ∧6␈εα191␈↓ ∧}␈εα0␈↓ εX␈ε⊗␈␈εα35␈↓ πV␈εα44258265␈↓ λx␈ε⊗␈␈εα1257737435
␈β
∞␈↓ β&␈εα5793866␈↓ ∧H␈εα33␈↓ ∧}␈εα1␈↓ εj␈εα764␈↓ πD␈εα176762444␈↓ 	
␈ε⊗␈␈εα259674276
␈β
Q␈↓ ↓H␈εα(Note␈α∂that␈α⊂the␈α∂|rst␈α⊂ro␈α␈w␈↓ ∧X␈ελU␈↓ ¬
␈εαhas␈α⊂actually␈α∂gotten␈α⊂longer␈α∂in␈α⊂this␈α∂transformation,
␈β
↑␈↓ ∧o␈ε¬1
␈β
|␈↓ ↓H␈εαalthough␈αev␈α␈en␈α␈tually␈αthe␈αro␈α␈ws␈αof␈↓ ¬G␈ελU␈↓ ¬p␈εαshould␈αget␈αshorter.)
␈β∞'␈↓ α␈εαThe␈α⊃next␈α⊃fourteen␈α⊃iterations␈α⊃of␈α⊃step␈α⊃S5␈α⊃hav␈α␈e␈α⊃(␈↓ λπ␈ελj␈↓ λ_␈εα,␈↓ λ(␈ελq␈↓ λC␈εα,␈↓ λS␈ελq␈↓ λn␈εα,␈↓ λ}␈ελq␈↓ 	~␈εα)␈α∩=␈α∩(2,␈ε⊗␈αε␈␈εα2,␈ε⊗␈αεβ␈εα,␈αε0),
␈β∞5␈↓ λ5␈ε¬1␈↓ λ`␈ε¬2␈↓ 	␈ε¬3
␈β∞S␈↓ ↓H␈εα(3,␈αε0,␈αε3,␈ε⊗␈αεβ␈εα),␈α∪(1,␈ε⊗␈αεβ␈εα,␈ε⊗␈αε␈␈εα10,␈ε⊗␈αε␈␈εα1),␈α∪(2,␈ε⊗␈αε␈␈εα1,␈ε⊗␈αεβ␈εα,␈ε⊗␈αε␈␈εα6),␈α∪(3,␈ε⊗␈αε␈␈εα1,␈αε0,␈ε⊗␈αεβ␈εα),␈α∩(1,␈ε⊗␈αεβ␈εα,␈αε0,␈αε2),␈α∪(2,␈αε0,␈ε⊗␈αεβ␈εα,␈ε⊗␈αε␈␈εα1),
␈β∞}␈↓ ↓H␈εα(3,␈αε3,␈αε4,␈ε⊗␈αεβ␈εα),␈α(1,␈ε⊗␈αεβ␈εα,␈αε0,␈αε0),␈α(2,␈ε⊗␈αε␈␈εα5,␈ε⊗␈αεβ␈εα,␈αε0),␈α(3,␈αε1,␈αε0,␈ε⊗␈αεβ␈εα),␈α(1,␈ε⊗␈αεβ␈εα,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈ε⊗␈αε␈␈εα1),␈α(2,␈αε0,␈ε⊗␈αεβ␈εα,␈αε0),␈α(3,␈αε0,␈αε0,␈ε⊗␈αεβ␈εα).
␈β∂)␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈απthe␈απtransformation␈απprocess␈απis␈απstuck,␈αλbut␈απthe␈απro␈α␈ws␈απof␈αεthe␈απmatrices␈απhav␈α␈e␈απbecome
␈β∂T␈↓ ↓H␈εαsigni|can␈α␈tly␈αshorter:
␈β∂y␈↓ α=␈ε↓0␈↓ ¬+␈ε↓1␈↓ εI␈ε↓0␈↓ 
k␈ε↓1
␈β⊂≤␈↓ αU␈ε⊗␈␈εα1479␈↓ βw␈εα616␈↓ ∧?␈ε⊗␈␈εα2777␈↓ εs␈ε⊗␈␈εα888874␈↓ λK␈εα601246␈↓ 	I␈ε⊗␈␈εα2994234
␈β⊂:␈↓ α=␈ε↓@␈↓ ¬+␈ε↓A␈↓ εI␈ε↓@␈↓ 
k␈ε↓A
␈β⊂D␈↓ ↓g␈ελU␈↓ α∂␈εα=␈↓ ¬C␈εα,␈↓ ¬w␈ελV␈↓ ε≠␈εα=␈↓ β␈εα.
␈β⊂G␈↓ αU␈ε⊗␈␈εα3022␈↓ βw␈εα104␈↓ ∧u␈εα918␈↓ εa␈ε⊗␈␈εα2809871␈↓ λK␈εα438109␈↓ 	m␈εα1593689
␈β⊂s␈↓ αg␈ε⊗␈␈εα227␈↓ βS␈ε⊗␈␈εα983␈↓ ∧Q␈ε⊗␈␈εα130␈↓ εs␈ε⊗␈␈εα854296␈↓ λ∃␈ε⊗␈␈εα9749816␈↓ 	I␈ε⊗␈␈εα1707736
␈β⊃~␈↓ 
p␈εα(34)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα100␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.4
␈βα&␈↓ ↓H␈εαThe␈α
search␈α
limits␈α
(␈↓ βj␈ελz␈↓ ∧∧␈εα,␈↓ ∧∀␈ελz␈↓ ∧/␈εα,␈↓ ∧?␈ελz␈↓ ∧Y␈εα)␈α
in␈α
step␈αS8␈α
turn␈α
out␈α
to␈α
be␈α
(0,␈αε0,␈αε1),␈αso␈↓ 	#␈ελU␈↓ 	R␈εαis␈α
the␈α
shortest
␈βα4␈↓ βv␈ε¬1␈↓ ∧ ␈ε¬2␈↓ ∧K␈ε¬3␈↓ 	:␈ε¬3
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαsolution␈αto␈α(33);␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈ββ
␈↓ ∧A␈ε↓p
␈ββ%␈↓ ∧e␈∧β%∧eαα6
␈ββ,␈↓ ¬≠␈ε¬2␈↓ ε∀␈ε¬2␈↓ π␈ε¬2
␈ββ.␈↓ βl␈ελ↔␈↓ ∧∪␈εα=␈↓ ∧e␈εα22␈↓ ¬	␈εα7␈↓ ¬2␈εα+␈αλ98␈↓ εα␈εα3␈↓ ε*␈εα+␈αλ13␈↓ εz␈εα0␈↓ π$␈ε⊗→␈εα␈α
1017.21089.
␈ββ<␈↓ β{␈ε¬3
␈β∧β␈↓ ↓H␈εαNote␈α	that␈αλonly␈α	a␈α	few␈α	iterations␈α	w␈α␈ere␈α	needed␈α	to␈αλ|nd␈α	this␈α	value,␈α
although␈αλcondition
␈β∧/␈↓ ↓H␈εα(33)␈αlooks␈αquite␈αdi}cult␈αto␈αdeal␈αwith␈αat␈α|rst␈αglance.␈αAll␈αpoin␈α␈ts␈α(␈↓ 	/␈ελU␈↓ 	X␈εα,␈↓ 	h␈ελU␈↓ 
<␈εα,␈↓ 
L␈ελU␈↓  ␈εα)
␈β∧<␈↓ 	F␈εn␈↓ 	␈␈εn␈↓ 
⊃␈ε¬+1␈↓ 
c␈εn␈↓ 
u␈ε¬+2
␈β∧Z␈↓ ↓H␈εαproduced␈α⊂by␈α⊂this␈α⊂random-n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂generator␈α⊂lie␈α⊂on␈α⊂a␈α⊂family␈α⊂of␈α⊂parallel␈α⊂planes
␈β¬¬␈↓ ↓H␈εαabout␈α0.001␈αunits␈αapart.
␈β¬E␈↓ ↓H␈ε∩E.␈α
Ratings␈α
for␈α
various␈α
generators.␈εα␈α∀So␈α
far␈α
w␈α␈e␈α
hav␈α␈en't␈α
really␈α
giv␈α␈en␈α
a␈α
criterion␈α
that
␈β¬p␈↓ ↓H␈εαtells␈α
us␈α
whether␈α
or␈α
not␈α
a␈α
particular␈α
random-n␈α␈um␈α␈ber␈α
generator␈α
\passes"␈α
or␈α
\fails"
␈βε≤␈↓ ↓H␈εαthe␈α	spectral␈α	test.␈αIn␈α	fact,␈α
this␈α	depends␈α	on␈α	the␈α	application,␈α
since␈α	some␈α	applications
␈βεB␈↓ 	∞␈ε¬3␈α↓0/␈↓ 	:␈εt
␈βεG␈↓ ↓H␈εαdemand␈αhigher␈αresolution␈α
than␈αothers.␈α
It␈α
appears␈αthat␈↓ λ*␈ελ↔␈↓ λN␈ε⊗∃␈↓ λ|␈εα2␈↓ 	P␈εαfor␈α
2␈ε⊗␈α
∀␈↓ 
T␈ελt␈↓ 
l␈ε⊗∀␈εα␈α
6
␈βεT␈↓ λ9␈εt
␈βεr␈↓ ↓H␈εαwill␈α⊂be␈α⊂quite␈α⊂adequate␈α⊂in␈α⊂most␈α⊂applications␈α⊂(although␈α∂the␈α⊂author␈α⊂m␈α␈ust␈α⊂admit
␈βπ≥␈↓ ↓H␈εαchoosing␈απthis␈απcriterion␈απpartly␈απbecause␈αλ30␈απis␈απcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈tly␈απdivisible␈αλby␈απ2,␈αλ3,␈αλ5,␈αλand␈απ6).
␈βπH␈↓ α␈εαFor␈α
some␈α∞purposes␈α
w␈α␈e␈α∞w␈α␈ould␈α
lik␈α␈e␈α
a␈α∞criterion␈α
that␈α∞is␈α
relativ␈α␈ely␈α
independen␈α␈t
␈βπt␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓s␈ελm␈↓ α∩␈εα,␈α∞so␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
say␈α∞that␈α
a␈α
particular␈α
m␈α␈ultiplier␈α
is␈α∞good␈α
or␈α
bad␈α
with␈α
respect␈α
to
␈βλ∨␈↓ ↓H␈εαthe␈α
set␈αof␈αall␈α
other␈αm␈α␈ultipliers␈α
for␈αthe␈αgiv␈α␈en␈↓ εs␈ελm␈↓ π∪␈εα,␈αwithout␈αexamining␈α
an␈α␈y␈αothers.␈αA
␈βλJ␈↓ ↓H␈εαreasonable␈α	|gure␈α
of␈α
merit␈α	for␈α
rating␈α
the␈α	goodness␈α
of␈α	a␈α
particular␈α
m␈α␈ultiplier␈α	seems
␈βλu␈↓ ↓H␈εαto␈α
be␈αthe␈αv␈α␈olume␈α
of␈αthe␈αellipsoid␈α
in␈↓ ¬r␈ελt␈↓ ¬␈␈εα-space␈αde|ned␈α
by␈αthe␈αrelation␈α
(␈↓ 	b␈ελx␈↓ 
↓␈ελm␈↓ 
'␈ε⊗␈␈↓ 
Q␈ελx␈↓ 
p␈ελa␈↓ λ␈ε⊗␈
␈β	β␈↓ 	s␈ε¬1␈↓ 
b␈ε¬2
␈β	≠␈↓ αV␈εt␈↓ α`␈ε→␈␈ε¬1␈↓ β↔␈ε¬2␈↓ βp␈ε¬2␈↓ ¬)␈ε¬2␈↓ ε	␈ε¬2
␈β	 ␈↓ ↓H␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ↓{␈ε⊗␈␈↓ α)␈ελx␈↓ αD␈ελa␈↓ β␈εα)␈↓ β/␈εα+␈↓ β]␈ελx␈↓ ∧λ␈εα+␈↓ ∧5␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧i␈εα+␈↓ ¬↔␈ελx␈↓ ¬F␈ε⊗∀␈↓ ¬x␈ελ↔␈↓ ε↔␈εα,␈α∂since␈α∂this␈α∞v␈α␈olume␈α∞tends␈α∂to␈α∞indicate␈α∞ho␈α␈w
␈β	.␈↓ α9␈εt
␈β	2␈↓ βp␈ε¬2␈↓ ¬)␈εt␈↓ ε	␈εt
␈β	L␈↓ ↓H␈εαlik␈α␈ely␈αit␈αis␈αthat␈αnonzero␈ε∂␈αin␈α␈teger␈εα␈αpoin␈α␈ts␈α(␈↓ ε.␈ελx␈↓ εM␈εα,␈↓ ε]␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π
␈εα,␈↓ π≥␈ελx␈↓ π8␈εα)←corresponding␈αto␈αsolutions␈αof
␈β	Y␈↓ ε?␈ε¬1␈↓ π.␈εt
␈β	w␈↓ ↓H␈εα(15)←are␈α
in␈α
the␈α
ellipsoid.␈αWe␈α
therefore␈α
propose␈α
to␈α
calculate␈αthis␈α
v␈α␈olume,␈α
namely
␈β
H␈↓ εH␈εt␈↓ εS␈ε¬/2␈↓ π↓␈εt
␈β
M␈↓ ε4␈ελ→␈↓ εp␈ελ↔
␈β
←␈↓ π↓␈εt
␈β
g␈↓ ¬M␈ελ⊗␈↓ ¬t␈εα=␈↓ π≥␈εα,␈↓ 
p␈εα(35)
␈β
t␈↓ ¬`␈εt
␈β
w␈↓ ε&␈∧
wε&αs
␈β
␈␈↓ ε&␈εα(␈↓ ε2␈ελt␈↓ ε?␈εα/2)!␈↓ εy␈ελm
␈βN␈↓ ↓H␈εαas␈αan␈α
indication␈α
of␈α
the␈α
e{ectiv␈α␈eness␈α
of␈α
the␈αm␈α␈ultiplier␈↓ λ↔␈ελa␈↓ λ6␈εαfor␈α
the␈α
giv␈α␈en␈↓ 

␈ελm␈↓ 
-␈εα.␈α∂In␈αthis
␈βz␈↓ ↓H␈εαform␈α␈ula,
␈β≡␈↓ βB␈ε↓∩␈↓ βr␈ε↓∪␈↓ ∧J␈ε↓∩␈↓ ∧z␈ε↓∪␈↓ ¬⊂␈ε↓∩␈↓ εε␈ε↓∪␈↓ εF␈ε↓∩␈↓ εv␈ε↓∪
␈β"␈↓ β←␈ελt␈↓ ∧g␈ελt␈↓ ¬-␈ελt␈↓ ε`␈εα1
␈β5␈↓ π0␈∧5π0α∃
␈β6␈↓ π␈ε⊗p
␈β8␈↓ ∧λ␈εα!␈α
=␈↓ ¬H␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ ε≤␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π0␈ελ→␈↓ πE␈εα,␈↓ λ≥␈εαfor␈↓ λU␈ελt␈↓ λn␈εαodd.␈↓ 
p␈εα(36)
␈βI␈↓ β\␈∧Iβ\α∩␈↓ ∧d␈∧I∧dα∩␈↓ ¬*␈∧I¬*α∩␈↓ ε`␈∧Iε`α∩
␈βQ␈↓ β\␈εα2␈↓ ∧d␈εα2␈↓ ¬*␈εα2␈↓ ε`␈εα2
␈β
⊂␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us,␈αin␈αsix␈αor␈αfew␈α␈er␈αdimensions␈αthe␈αmerit␈αis␈αcomputed␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β
↑␈↓ ∧ ␈ε¬2␈↓ εM␈ε¬3␈↓ λi␈ε¬2␈↓ 	λ␈ε¬4
␈β
←␈↓ ε∃␈ε¬4␈↓ λB␈ε¬1
␈β
c␈↓ β"␈ελ⊗␈↓ βM␈εα=␈↓ β{␈ελ→␈↓ ∧∂␈ελ↔␈↓ ∧/␈εα/␈↓ ∧A␈ελm␈↓ ∧`␈εα,␈↓ ¬8␈ελ⊗␈↓ ¬c␈εα=␈↓ ε(␈ελ→␈↓ ε<␈ελ↔␈↓ ε[␈εα/␈↓ εm␈ελm␈↓ π
␈εα,␈↓ πe␈ελ⊗␈↓ λ⊂␈εα=␈↓ λU␈ελ→␈↓ λw␈ελ↔␈↓ 	⊗␈εα/␈↓ 	(␈ελm␈↓ 	H␈εα,
␈β
p␈↓ β5␈ε¬2␈↓ ¬K␈ε¬3␈↓ πx␈ε¬4
␈β
s␈↓ ε∃␈∧
sε∃α∂␈↓ λB␈∧
sλBα∂
␈β
u␈↓ ∧ ␈ε¬2␈↓ εM␈ε¬3␈↓ 	λ␈ε¬4
␈β
v␈↓ ε∃␈ε¬3␈↓ λB␈ε¬2
␈β
␈␈↓ 
p␈εα(37)
␈β∞↔␈↓ ¬1␈ε¬2␈↓ ¬P␈ε¬5␈↓ πl␈ε¬3␈↓ λ␈ε¬6
␈β∞→␈↓ ¬β␈ε¬8␈↓ πE␈ε¬1
␈β∞≤␈↓ ∧∨␈ελ⊗␈↓ ∧J␈εα=␈↓ ¬≥␈ελ→␈↓ ¬?␈ελ↔␈↓ ¬←␈εα/␈↓ ¬q␈ελm␈↓ ε⊂␈εα,␈↓ εh␈ελ⊗␈↓ π∪␈εα=␈↓ πX␈ελ→␈↓ πz␈ελ↔␈↓ λ~␈εα/␈↓ λ,␈ελm␈↓ λK␈εα.
␈β∞*␈↓ ∧1␈ε¬5␈↓ ε{␈ε¬6
␈β∞-␈↓ ∧|␈∧∞-∧|α≥␈↓ πE␈∧∞-πEα∂
␈β∞.␈↓ ¬P␈ε¬5␈↓ λ␈ε¬6
␈β∞/␈↓ ∧|␈ε¬15␈↓ πE␈ε¬6
␈β∞n␈↓ ↓H␈εαWe␈α
migh␈α␈t␈α
say␈α∞that␈α
the␈α
m␈α␈ultiplier␈↓ ¬h␈ελa␈↓ επ␈εαpasses␈α
the␈α∞spectral␈α
test␈α
if␈↓ 	&␈ελ⊗␈↓ 	P␈εαis␈α∞0.1␈α
or␈α
more
␈β∞{␈↓ 	9␈εt
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαfor␈α2␈ε⊗␈α
∀␈↓ αK␈ελt␈↓ αb␈ε⊗∀␈εα␈α
6,␈α
and␈αit␈α\passes␈αwith␈α
⎇ying␈αcolors"␈αif␈↓ πr␈ελ⊗␈↓ λ~␈ε⊗∃␈εα␈α1␈αfor␈αall␈αthese␈↓ 
-␈ελt␈↓ 
:␈εα.␈α
A␈αlo␈α␈w
␈β∂&␈↓ λ¬␈εt
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαvalue␈α
of␈↓ αS␈ελ⊗␈↓ α}␈εαmeans␈αthat␈α
w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈α
probably␈α
pick␈α␈ed␈α
a␈α
v␈α␈ery␈α
unfortunate␈αm␈α␈ultiplier,
␈β∂Q␈↓ αf␈εt
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαsince␈α
v␈α␈ery␈αfew␈α
lattices␈αwill␈αhav␈α␈e␈α
in␈α␈teger␈αpoin␈α␈ts␈α
so␈αclose␈αto␈α
the␈αorigin.␈αCon␈α␈v␈α␈ersely,
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαa␈α∞high␈α∞value␈α∞of␈↓ βH␈ελ⊗␈↓ βs␈εαmeans␈α∞that␈α∞w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈α∞found␈α∞an␈α∞un␈α␈usually␈α∞good␈α
m␈α␈ultiplier␈α∞for
␈β⊂(␈↓ βZ␈εt
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαthe␈α
giv␈α␈en␈↓ αa␈ελm␈↓ β↓␈εα;␈α
but␈αit␈α
does␈α
not␈α
mean␈α
that␈αthe␈α
random␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
are␈α
necessarily␈α
v␈α␈ery
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαgood,␈α
since␈↓ βα␈ελm␈↓ β/␈εαmigh␈α␈t␈α∞be␈α
too␈α
small.␈α⊂Only␈α
the␈α∞values␈↓ π}␈ελ↔␈↓ λ%␈εαtruly␈α
indicate␈α
the␈α
degree
␈β⊂}␈↓ λ
␈εt
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαof␈αrandomness.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.4␈ε∞␈↓ λ⊃T␈α␈HE␈α	SP␈α␈ECTRA␈α␈L␈α	TEST␈↓ 
v␈εα101
␈βα(␈↓ α␈εαTable␈αλ1␈απon␈αλthe␈αλnext␈απpage␈αλsho␈α␈ws␈αλwhat␈απsort␈αλof␈αλvalues␈απoccur␈αλin␈αλtypical␈απsequences.
␈βαS␈↓ ↓H␈εαEach␈α
line␈α
of␈α
the␈α∞table␈α
considers␈α
a␈α
particular␈α
generator,␈α∞and␈α
lists␈↓ 	M␈ελ↔␈↓ 	g␈εα,␈↓ 	}␈ελ⊗␈↓ 
≤␈εα,␈α
and␈α
the
␈βαa␈↓ 	\␈εt␈↓ 
⊃␈εt
␈βα}␈↓ ↓H␈εα\n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
bits␈α
of␈α∞accuracy"␈↓ ¬$␈εαlg␈↓ ¬F␈ελ↔␈↓ ¬←␈εα.␈α⊂Lines␈α
1␈α
through␈α∞4␈α
sho␈α␈w␈α
the␈α
generators␈α
that
␈ββ␈↓ ¬U␈εt
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ere␈αthe␈αsubject␈αof␈αFigs.␈α2␈αand␈α5␈αin␈αSection␈α3.3.1.␈αThe␈αgenerators␈αin␈αlines␈α1␈αand
␈ββU␈↓ ↓H␈εα2␈α∂su{er␈α⊂from␈α∂too␈α⊂small␈α⊂a␈α∂m␈α␈ultiplier;␈α∩a␈α∂diagram␈α⊂lik␈α␈e␈α⊂Fig.␈α∂8␈α⊂will␈α∂hav␈α␈e␈↓ 
)␈ελa␈↓ 
J␈εαnearly
␈β∧␈↓ ↓H␈εαv␈α␈ertical␈α\stripes"␈αwhen␈↓ ∧<␈ελa␈↓ ∧Z␈εαis␈αsmall.␈αThe␈αterrible␈αgenerator␈αin␈αline␈α3␈αhas␈αa␈αgood␈↓ ␈ελ⊗
␈β∧
␈↓ ≡␈ε¬2
␈β∧%␈↓ ~␈∧∧%~α∩
␈β∧&␈↓ 
v␈ε⊗p
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαbut␈αv␈α␈ery␈αpoor␈↓ β,␈ελ⊗␈↓ βX␈εαand␈↓ ∧≡␈ελ⊗␈↓ ∧?␈εα;␈αlik␈α␈e␈αnearly␈αall␈αgenerators␈αof␈αpotency␈α2,␈αit␈αhas␈↓ 
!␈ελ↔␈↓ 
H␈εα=␈↓ ~␈εα6
␈β∧9␈↓ β>␈ε¬3␈↓ ∧1␈ε¬4␈↓ 
0␈ε¬3
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∞␈ελ↔␈↓ α6␈εα=␈α2␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α
3).␈α
Line␈α4␈αsho␈α␈ws␈α
a␈α\random"␈α
m␈α␈ultiplier;␈αthis␈αgenerator
␈β∧d␈↓ α≥␈ε¬4
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαhas␈α∞satisfactorily␈α∂passed␈α∞n␈α␈umerous␈α∂empirical␈α∞tests␈α∂for␈α∞randomness,␈α∂but␈α∂it␈α∞does
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαnot␈αhav␈α␈e␈α
especially␈α
high␈α
values␈αof␈↓ ¬k␈ελ⊗␈↓ ε␈εα,␈↓ ε≤␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εL␈εα,␈↓ ε\␈ελ⊗␈↓ ε}␈εα.␈α∞In␈α
fact,␈αthe␈α
value␈α
of␈↓ 	`␈ελ⊗␈↓ 
∞␈εα⎇unks␈αour
␈β¬:␈↓ ¬}␈ε¬2␈↓ εo␈ε¬6␈↓ 	s␈ε¬5
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαcriterion.
␈βεβ␈↓ α␈εαLine␈α∞5␈α∞sho␈α␈ws␈α
the␈α∞generator␈α∞of␈α∞Fig.␈α
8.␈α∩It␈α∞passes␈α
the␈α∞spectral␈α∞test␈α∞with␈α
v␈α␈ery
␈βε.␈↓ ↓H␈εαhigh-⎇ying␈α	colors,␈αwhen␈↓ ∧D␈ελ⊗␈↓ ∧o␈εαthrough␈↓ ¬u␈ελ⊗␈↓ ε ␈εαare␈α	considered,␈αbut␈α
of␈α	course␈↓ 	e␈ελm␈↓ 
∂␈εαis␈α
so␈α	small
␈βε<␈↓ ∧V␈ε¬2␈↓ επ␈ε¬6
␈βεZ␈↓ ↓H␈εαthat␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αcan␈αhardly␈αbe␈αcalled␈αrandom;␈αthe␈↓ πz␈ελ↔␈↓ λ∨␈εαvalues␈αare␈αterribly␈αlo␈α␈w.
␈βεg␈↓ λ	␈εt
␈βπ¬␈↓ α␈εαLine␈α
6␈αis␈αthe␈α
generator␈αdiscussed␈α
abo␈α␈v␈α␈e;␈α
line␈α7␈αis␈α
a␈αsimilar␈α
example,␈αhaving
␈βπ0␈↓ ↓H␈εαan␈α	abnormally␈αλlo␈α␈w␈α	value␈α	of␈↓ ∧s␈ελ⊗␈↓ ¬∀␈εα.␈αLine␈α	8␈α	sho␈α␈ws␈α	a␈α	nonrandom␈α	m␈α␈ultiplier␈α	for␈α	the␈αλsame
␈βπ=␈↓ ¬ε␈ε¬3
␈βπU␈↓ λ
␈∧πUλ
α∩
␈βπV␈↓ πi␈ε⊗p
␈βπ[␈↓ ↓H␈εαmodulus␈↓ αT␈ελm␈↓ αt␈εα;␈α	in␈α	terms␈αλof␈α	the␈αλ\golden␈α	ratio"␈↓ εT␈ελ≡␈↓ εr␈εα=␈α
(1␈α∧+␈↓ λ
␈εα5␈↓ λ∨␈εα)/2,␈α	this␈α	m␈α␈ultiplier␈αλis␈↓ 
f␈ελm␈↓ ε␈εα/␈↓ _␈ελ≡
␈βλε␈↓ ↓H␈εαrounded␈αto␈αthe␈αnearest␈αin␈α␈teger␈αcongruen␈α␈t␈αto␈α1␈αmodulo␈α20.␈αSuch␈αm␈α␈ultipliers␈αhav␈α␈e
␈βλ2␈↓ ↓H␈εαbeen␈αsuggested␈αby␈αU.␈αDieter␈αand␈αJ.␈αAhrens␈αbecause␈αthe␈α|rst␈αhalf␈αof␈αtheir␈αpartial
␈βλ]␈↓ ↓H␈εαquotien␈α␈ts␈α∞will␈α∂be␈α∂1,␈α∂hence␈α∞the␈α∂Dedekind␈α∂sums␈α∞are␈α∂lik␈α␈ely␈α∂to␈α∞be␈α∂especially␈α∞small
␈β	λ␈↓ ↓H␈εα(cf.␈α
Sections␈α∞3.3.3␈α∞and␈α∞4.5.3).␈α⊃The␈α∞generator␈α∞in␈α
line␈α∞9␈α∞sho␈α␈ws␈α∞another␈α
m␈α␈ultiplier
␈β	3␈↓ ↓H␈εαchosen␈α	with␈α	malice␈α	aforethough␈α␈t,␈α
follo␈α␈wing␈α	a␈α	suggestion␈α	by␈α	A.␈α	G.␈α	Waterman␈α	that
␈β	↑␈↓ ↓H␈εαguaran␈α␈tees␈αa␈αreasonably␈αhigh␈αvalue␈αof␈↓ ε'␈ελ⊗␈↓ εT␈εα(see␈αex␈α␈ercise␈α11).
␈β	l␈↓ ε9␈ε¬2
␈β
¬␈↓ 
≠␈ε¬35
␈β

␈↓ α␈εαLines␈α
10␈αthrough␈α
21␈αof␈α
Table␈α
1␈αsho␈α␈w␈α
further␈α
examples␈αwith␈↓ 	1␈ελm␈↓ 	[␈εα=␈↓ 
	␈εα2␈↓ 
8␈εα,␈α
begin-
␈β
5␈↓ ↓H␈εαning␈αεwith␈αεsome␈αεrandom␈αεm␈α␈ultipliers.␈α
The␈αεgenerators␈απin␈αεlines␈αε12␈αεand␈αε13␈αεare␈αεreminders
␈β
`␈↓ ↓H␈εαof␈α∂the␈α∞good␈α∂old␈α∂days←they␈α∂w␈α␈ere␈α∂once␈α∂used␈α∂extensiv␈α␈ely␈α∂since␈α∂O.␈α∂Taussky␈α∞|rst
␈β␈↓ ↓H␈εαsuggested␈απthem␈αλin␈απthe␈αλearly␈απ1950s.␈αLines␈απ14␈αλthrough␈απ18␈αλsho␈α␈w␈απvarious␈αλm␈α␈ultipliers␈απof
␈β6␈↓ ↓H␈εαmaxim␈α␈um␈α	potency␈α
having␈α
only␈α
four␈α
1's␈α
in␈α
their␈α	binary␈α
represen␈α␈tation.␈αThe␈α	poin␈α␈t
␈βb␈↓ ↓H␈εαof␈α
having␈α
few␈α1's␈α
is␈α
to␈αreplace␈α
m␈α␈ultiplication␈αby␈α
a␈α
few␈αadditions,␈α
but␈αonly␈α
line␈α
16
␈βλ␈↓ 	K␈ε¬3␈↓ 
<␈ε¬35
␈β
␈↓ ↓H␈εαcomes␈αλnear␈αλto␈αλbeing␈α	passable.␈α
Since␈α	these␈αλm␈α␈ultipliers␈αλsatisfy␈αλ(␈↓ λq␈ελa␈↓ 	ε␈ε⊗␈␈εα␈αβ5␈↓ 	?␈εα)␈↓ 	`␈εαmod␈↓ 
*␈εα2␈↓ 
b␈εα=␈α
0,
␈β8␈↓ ↓H␈εαall␈α|v␈α␈e␈αof␈αthem␈αachiev␈α␈e␈↓ ∧?␈ελ↔␈↓ ∧h␈εαat␈αthe␈αsame␈αpoin␈α␈t␈α(␈↓ π∪␈ελx␈↓ π2␈εα,␈↓ πB␈ελx␈↓ πa␈εα,␈↓ πq␈ελx␈↓ λ∂␈εα,␈↓ λ∨␈ελx␈↓ λ>␈εα)␈α
=␈α
(␈ε⊗␈␈εα125,␈αε75,␈ε⊗␈αε␈␈εα15,␈αε1).
␈βE␈↓ ∧N␈ε¬4␈↓ π#␈ε¬1␈↓ πR␈ε¬2␈↓ λ↓␈ε¬3␈↓ λ0␈ε¬4
␈βc␈↓ ↓H␈εαAnother␈αcuriosity␈α
is␈α
the␈α
high␈α
value␈α
of␈↓ ε*␈ελ⊗␈↓ εX␈εαfollo␈α␈wing␈αa␈α
v␈α␈ery␈α
lo␈α␈w␈↓ 	$␈ελ⊗␈↓ 	R␈εαin␈α
line␈α
18␈α(see
␈βq␈↓ ε<␈ε¬3␈↓ 	7␈ε¬2
␈β
∞␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ercise␈α
8).␈α∂Lines␈α
19␈α
and␈α
20␈α
are␈α
respectiv␈α␈ely␈αthe␈α
Dieter↑Ahrens␈α
and␈α
Waterman
␈β
5␈↓ ∧I␈ε¬3␈α↓5
␈β
:␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultipliers␈αλfor␈αλmodulus␈↓ ∧7␈εα2␈↓ ∧f␈εα;␈α
and␈αλline␈αλ21␈α	was␈αλfound␈αλby␈αλM.␈α	Lavaux␈αλand␈αλF.␈αλJanssens,
␈β
e␈↓ ↓H␈εαin␈αa␈αcomputer␈αsearch␈αfor␈αspectrally␈αgood␈αm␈α␈ultipliers␈αhaving␈αa␈αv␈α␈ery␈αhigh␈↓ 
8␈ελ⊗␈↓ 
Y␈εα.
␈β
r␈↓ 
J␈ε¬2
␈β∞⊂␈↓ α␈εαLines␈α∞22␈α∞through␈α∞28␈α
apply␈α∞to␈α∞System/370␈α∞and␈α∞other␈α∞machines␈α∞with␈α
32-bit
␈β∞;␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ords;␈α⊃in␈α⊂this␈α⊂case␈α⊂the␈α⊂comparativ␈α␈ely␈α⊂small␈α⊂w␈α␈ord␈α⊂size␈α⊂calls␈α⊂for␈α∂comparativ␈α␈ely
␈β∞f␈↓ ↓H␈εαgreater␈α
care.␈α∂Line␈α
22␈α∞is,␈α
regrettably,␈α
the␈α∞generator␈α
that␈α
has␈α
actually␈α
been␈α
used
␈β∂∩␈↓ ↓H␈εαon␈α
such␈α
machines␈α∞in␈α
most␈α
of␈α∞the␈α
w␈α␈orld's␈α
scien␈α␈ti|c␈α
computing␈α∞cen␈α␈ters␈α
for␈α
about
␈β∂=␈↓ ↓H␈εαa␈α⊂decade;␈α∩its␈α⊂v␈α␈ery␈α⊂name␈↓ ∧`␈ε∃R␈α␈AND␈α␈U␈↓ ¬W␈εαis␈α⊂enough␈α⊂to␈α⊃bring␈α⊂dismay␈α⊂in␈α␈to␈α⊂the␈α⊂ey␈α␈es␈α⊂and
␈β∂h␈↓ ↓H␈εαstomachs␈αof␈αman␈α␈y␈αcomputer␈αscien␈α␈tists!␈αThe␈αactual␈αgenerator␈αis␈αde|ned␈αby
␈β⊂%␈↓ λM␈ε¬31
␈β⊂+␈↓ ∧␈ελX␈↓ ∧4␈εαodd,␈↓ ¬@␈ελX␈↓ ε ␈εα=␈α
(65539␈↓ π4␈ελX␈↓ π←␈εα)␈↓ πq␈εαmod␈↓ λ;␈εα2␈↓ λj␈εα,␈↓ 
p␈εα(38)
␈β⊂8␈↓ ∧→␈ε¬0␈↓ ¬Y␈εn␈↓ ¬k␈ε¬+1␈↓ πM␈εn
␈β⊂i␈↓ ¬I␈ε¬29
␈β⊂n␈↓ ↓H␈εαand␈α∂ex␈α␈ercise␈α∂20␈α∂indicates␈α⊂that␈↓ ¬7␈εα2␈↓ ¬u␈εαis␈α∂the␈α∂appropriate␈α⊂modulus␈α∂for␈α∂the␈α∂spectral
␈β⊃∀␈↓ πl␈ε¬31
␈β⊃→␈↓ ↓H␈εαtest.␈α∀Since␈α∂9␈↓ β∪␈ελX␈↓ βH␈εα+␈α
6␈↓ ∧λ␈ελX␈↓ ∧h␈εα+␈↓ ¬∃␈ελX␈↓ ¬z␈ε⊗⊃␈εα␈α∂0␈α∂(modulo␈↓ πZ␈εα2␈↓ λλ␈εα),␈α⊂the␈α∂generator␈α∂fails␈α∞most
␈β⊃&␈↓ β,␈εn␈↓ ∧!␈εn␈↓ ∧3␈ε¬+␈α␈2␈↓ ¬.␈εn␈↓ ¬@␈ε¬+2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα102␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.4
␈β{␈↓ ↓H␈εαthree-dimensional␈α
criteria␈α
for␈α
randomness,␈α
and␈α
it␈α
should␈α
nev␈α␈er␈α
hav␈α␈e␈α
been␈α
used.
␈β
&␈↓ ↓H␈εαAlmost␈α
an␈α␈y␈α∞m␈α␈ultiplier␈ε⊗␈α
⊃␈εα␈α5␈α
(modulo␈α8)␈α
w␈α␈ould␈α∞be␈α
better.␈α≤(A␈α∞curious␈α
fact␈α
about
␈β
K␈↓ 
l␈∧
K
lα6
␈β
L␈↓ 
H␈ε⊗p
␈β
Q␈↓ ↓H␈ε∃R␈α␈AND␈α␈U␈↓ α/␈εα,␈α
noticed␈α
by␈α
R.␈α
W.␈α
Gosper,␈α
is␈α
that␈↓ εH␈ελ↔␈↓ εo␈εα=␈↓ π≥␈ελ↔␈↓ πE␈εα=␈↓ πs␈ελ↔␈↓ λ~␈εα=␈↓ λH␈ελ↔␈↓ λp␈εα=␈↓ 	≡␈ελ↔␈↓ 	E␈εα=␈↓ 	s␈ελ↔␈↓ 
~␈εα=␈↓ 
l␈εα116␈↓ "␈εα,
␈β
↑␈↓ εW␈ε¬4␈↓ π,␈ε¬5␈↓ λα␈ε¬6␈↓ λW␈ε¬7␈↓ 	-␈ε¬8␈↓ 
α␈ε¬9
␈β
|␈↓ ↓H␈εαhence␈↓ α/␈ελ⊗␈↓ α←␈εαis␈α∂a␈α⊂spectacular␈α∂11.98.)␈α∨Lines␈α∂23␈α∂and␈α⊂24␈α∂are␈α∂the␈α∂Dieter↑Ahrens␈α∂and
␈β∞
␈↓ αB␈ε¬9
␈β∞"␈↓ ¬x␈ε¬32
␈β∞'␈↓ ↓H␈εαWaterman␈αλm␈α␈ultipliers␈αλfor␈αλmodulus␈↓ ¬f␈εα2␈↓ ε∀␈εα,␈α	and␈α	lines␈αλ26␈αλand␈αλ29␈α	w␈α␈ere␈αλfound␈αλby␈αλLavaux
␈β∞S␈↓ ↓H␈εαand␈αJanssens.␈α∂Line␈α25␈α
was␈α
nominated␈α
by␈α
George␈αMarsaglia␈α
as␈α
\a␈α
candidate␈αfor
␈β∞}␈↓ ↓H␈εαthe␈αbest␈α
of␈α
all␈α
m␈α␈ultipliers,"␈α
after␈αa␈α
computer␈α
search␈αin␈α
dimensions␈α
2␈α
through␈α5,
␈β∂)␈↓ ↓H␈εαpartly␈α∞because␈α∂it␈α∂is␈α∂easy␈α∂to␈α∂remem␈α␈ber.␈α∀Line␈α∂27␈α∂uses␈α∂a␈α∂random␈α∂primitiv␈α␈e␈α∞root,
␈β∂O␈↓ β}␈ε¬31
␈β∂T␈↓ ↓H␈εαmodulo␈αthe␈αprime␈↓ βl␈εα2␈↓ ∧"␈ε⊗␈␈εα␈αλ1,␈αas␈αm␈α␈ultiplier.␈αLine␈α28␈αis␈αfor␈αthe␈αsequence
␈β⊂≤␈↓ 	∧␈ε¬3␈α↓1
␈β⊂"␈↓ αw␈ελX␈↓ β,␈εα=␈α
(271828183␈↓ ¬λ␈ελX␈↓ ¬f␈ε⊗␈␈εα␈αλ314159269␈↓ π4␈ελX␈↓ λ
␈εα)␈↓ λ≤␈εαmod␈↓ λf␈εα(␈↓ λr␈εα2␈↓ 	)␈ε⊗␈␈εα␈αλ1),␈↓ 
p␈εα(39)
␈β⊂0␈↓ β⊂␈εn␈↓ ¬!␈εn␈↓ ¬3␈ε→␈␈ε¬1␈↓ πM␈εn␈↓ π←␈ε→␈␈ε¬2
␈β⊂l␈↓ π∞␈ε¬31␈↓ π⎇␈ε¬2
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαwhich␈αcan␈α
be␈αsho␈α␈wn␈α
to␈αhav␈α␈e␈α
period␈αlength␈α
(␈↓ ε|␈εα2␈↓ π3␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ πq␈εα)␈↓ λ∀␈ε⊗␈␈εα␈αλ1;␈α
it␈αhas␈α
been␈αanalyzed
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαwith␈αthe␈αgeneralized␈αspectral␈αtest␈αof␈αex␈α␈ercise␈α24.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.4␈ε∞␈↓ λ⊃T␈α␈HE␈α	SP␈α␈ECTRA␈α␈L␈α	TEST␈↓ 
v␈εα103
␈βf␈↓ α␈εαTheoretical␈αupper␈αbounds␈α
on␈↓ ¬Y␈ελ⊗␈↓ ¬v␈εα,␈αwhich␈αcan␈αnev␈α␈er␈αbe␈α
transcended␈αfor␈αan␈α␈y␈↓ β␈ελm␈↓ "␈εα,
␈βs␈↓ ¬l␈εt
␈β
⊃␈↓ ↓H␈εαare␈α
sho␈α␈wn␈αjust␈α
belo␈α␈w␈α
Table␈α
1;␈α∞it␈αis␈α
kno␈α␈wn␈α
that␈α
ev␈α␈ery␈α
lattice␈α
with␈↓ 	b␈ελm␈↓ 
∂␈εαpoin␈α␈ts␈αper
␈β
<␈↓ ↓H␈εαunit␈αv␈α␈olume␈αhas
␈β
a␈↓ εk␈ε¬1/␈↓ πλ␈εt
␈β
g␈↓ ¬X␈ελ↔␈↓ ¬|␈ε⊗∀␈↓ ε*␈ελ␈
␈↓ εK␈ελm␈↓ π∩␈εα,␈↓ 
p␈εα(40)
␈β
u␈↓ ¬g␈εt␈↓ ε;␈εt
␈β∞ ␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελ␈
␈↓ αW␈εαtak␈α␈es␈αthe␈αrespectiv␈α␈e␈αvalues
␈β∞-␈↓ αA␈εt
␈β∞U␈↓ βB␈ε¬1␈α↓/4␈↓ ∧4␈ε¬1/6␈↓ ¬%␈ε¬1/␈α↓4␈↓ ε⊗␈ε¬3/␈α↓10␈↓ πd␈ε¬1/1␈α↓2␈↓ λc␈ε¬3␈α↓/7␈↓ 	T␈ε¬1␈α↓/2
␈β∞[␈↓ αt␈εα(4/3␈↓ β6␈εα)␈↓ βn␈εα,␈↓ ∧"␈εα2␈↓ ∧←␈εα,␈↓ ¬∪␈εα2␈↓ ¬P␈εα,␈↓ ε∧␈εα2␈↓ εP␈εα,␈α*(64/3␈↓ πX␈εα)␈↓ λ≥␈εα,␈↓ λQ␈εα2␈↓ 	∞␈εα,␈↓ 	B␈εα2␈↓ 
p␈εα(41)
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαfor␈↓ α∧␈ελt␈↓ α"␈εα=␈α⊃2,␈↓ β∧␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β4␈εα,␈α⊃8.␈α!(See␈α⊂ex␈α␈ercise␈α⊂9␈α⊂and␈α⊂J.␈α⊃W.␈α⊂S.␈α⊂Cassels,␈ε∂␈α⊃In␈α␈troduction␈α⊂to␈α⊂the
␈β∂B␈↓ ↓H␈ε∂Geometry␈αof␈α
Num␈α␈bers␈εα␈α(Berlin:␈α
Springer,␈α
1959),␈αp.␈α
332.)␈α~These␈αbounds␈α
hold␈αfor
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαlattices␈α
generated␈α
by␈α
v␈α␈ectors␈α
with␈α
arbitrary␈α
real␈α∞coordinates.␈α∂For␈α
example,␈α
the
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαoptim␈α␈um␈αlattice␈αfor␈↓ ∧ε␈ελt␈↓ ∧≥␈εα=␈α
2␈αis␈αhexagonal,␈αand␈αit␈αis␈αgenerated␈αby␈αv␈α␈ectors␈αof␈αlength
␈β⊂>␈↓ α⊂␈∧⊂>α⊂α2
␈β⊂?␈↓ ↓l␈ε⊗p
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εα2/␈↓ α⊂␈εα3␈↓ α"␈ελm␈↓ αO␈εαthat␈α
form␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α
sides␈α∞of␈α
an␈α∞equilateral␈α
triangle.␈α⊃In␈α
three␈α∞dimensions␈α
the
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαoptim␈α␈um␈α
lattice␈α
is␈α
generated␈α
by␈α
v␈α␈ectors␈↓ εL␈ελV␈↓ εn␈εα,␈↓ π¬␈ελV␈↓ π(␈εα,␈↓ π?␈ελV␈↓ πn␈εαthat␈α
can␈α
be␈α
rotated␈α
in␈α␈to␈α
the
␈β⊂|␈↓ ε`␈ε¬1␈↓ π→␈ε¬2␈↓ πS␈ε¬3
␈β⊃∀␈↓ λ↔␈∧⊃∀λ↔α2
␈β⊃∃␈↓ πs␈ε⊗p␈↓ π{␈επ3
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαform␈α(␈↓ α*␈ελv␈↓ α<␈εα,␈↓ αL␈ελv␈↓ α←␈εα,␈ε⊗␈αε␈␈↓ β∪␈ελv␈↓ β&␈εα),␈α(␈↓ βT␈ελv␈↓ βg␈εα,␈ε⊗␈αε␈␈↓ ∧≠␈ελv␈↓ ∧.␈εα,␈↓ ∧>␈ελv␈↓ ∧P␈εα),␈α(␈ε⊗␈␈↓ ¬"␈ελv␈↓ ¬5␈εα,␈↓ ¬E␈ελv␈↓ ¬X␈εα,␈↓ ¬h␈ελv␈↓ ¬{␈εα),␈αwhere␈↓ π¬␈ελv␈↓ π!␈εα=␈α
1/␈↓ λ↔␈εα4␈↓ λ)␈ελm␈↓ λI␈εα.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα104␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.4
␈βα(␈↓ ↓6␈ε∩*␈↓ ↓H␈ε∩F.␈αRelation␈α
to␈α
the␈αserial␈α
test.␈εα␈α≠In␈αa␈α
series␈α
of␈αimportan␈α␈t␈α
papers␈α
published␈αduring
␈βαS␈↓ ↓H␈εαthe␈α1970s,␈αHarald␈αNeiderreiter␈αhas␈αsho␈α␈wn␈αho␈α␈w␈αto␈αanalyze␈αthe␈αdistribution␈αof␈αthe
␈βα}␈↓ ↓H␈ελt␈↓ ↓U␈εα-dimensional␈αv␈α␈ectors␈α(1)␈αby␈αmeans␈αof␈αexponen␈α␈tial␈αsums.␈αOne␈αof␈αthe␈αmain␈αconse-
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαquences␈αof␈αhis␈α
theory␈αis␈α
that␈αthe␈α
serial␈αtest␈αin␈α
sev␈α␈eral␈αdimensions␈α
will␈αbe␈αpassed
␈ββU␈↓ ↓H␈εαby␈α∂an␈α␈y␈α∂generator␈α∂that␈α∂passes␈α∂the␈α⊂spectral␈α∂test,␈α⊂ev␈α␈en␈α∂when␈α∂w␈α␈e␈α∂consider␈α∂only␈α∂a
␈β∧␈↓ ↓H␈εαsu}cien␈α␈tly␈αλlarge␈αλpart␈α	of␈αλthe␈αλperiod␈α	instead␈αλof␈αλthe␈αλwhole␈α	period.␈αWe␈αλshall␈αλno␈α␈w␈αλturn
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαbrie⎇y␈α
to␈α∞a␈α∞study␈α∞of␈α
his␈α∞in␈α␈teresting␈α∞methods,␈α∞in␈α∞the␈α
case␈α∞of␈α∞linear␈α
congruen␈α␈tial
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαsequences␈α(␈↓ αv␈ελX␈↓ β≥␈εα,␈↓ β-␈ελa␈↓ β?␈εα,␈↓ βO␈ελc␈↓ β]␈εα,␈↓ βm␈ελm␈↓ ∧
␈εα)␈αof␈αperiod␈αlength␈↓ ε+␈ελm␈↓ εJ␈εα.
␈β∧d␈↓ β∂␈ε¬0
␈β¬α␈↓ α␈εαThe␈α	|rst␈αλidea␈αλw␈α␈e␈α	need␈αλis␈α	the␈αλnotion␈α	of␈ε∂␈αλdiscrepancy␈εα␈α	in␈↓ λ8␈ελt␈↓ λN␈εαdimensions,␈α	a␈αλquan␈α␈tity
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαthat␈αw␈α␈e␈α
shall␈αde|ne␈α
as␈α
the␈αdi{erence␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈αthe␈α
expected␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αand␈α
the␈αac-
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαtual␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈↓ β9␈ελt␈↓ βF␈εα-dimensional␈α
v␈α␈ectors␈α(␈↓ ε≤␈ελx␈↓ ε>␈εα,␈↓ εN␈ελx␈↓ π≤␈εα,␈↓ π,␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π\␈εα,␈↓ πl␈ελx␈↓ λa␈εα)␈α
falling␈αin␈α␈to␈α
a␈α
h␈α␈yper-
␈β¬e␈↓ ε,␈εn␈↓ ε←␈εn␈↓ εq␈ε¬+␈α␈1␈↓ π|␈εn␈↓ λ∞␈ε¬+␈↓ λ+␈εt␈↓ λ6␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαrectangular␈αregion,␈αmaximized␈αo␈α␈v␈α␈er␈αall␈αsuch␈αregions.␈αTo␈αbe␈αprecise,␈αlet␈ε⊗␈αh␈↓ 
0␈ελx␈↓ 
R␈ε⊗i␈εα␈αbe␈αa
␈βε⊃␈↓ 
@␈εn
␈βε.␈↓ ↓H␈εαsequence␈αof␈αin␈α␈tegers␈αin␈αthe␈αrange␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ε∨␈ελx␈↓ εK␈εα<␈↓ εy␈ελm␈↓ π→␈εα.␈αWe␈αde|ne
␈βε<␈↓ ε/␈εn
␈βεT␈↓ β∞␈ε↓␈␈↓ ∃␈ε↓␈
␈βεj␈↓ β∞␈ε↓␈␈↓ ∃␈ε↓␈
␈βεy␈↓ β≡␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α(␈↓ ∧V␈ελx␈↓ ∧x␈εα,␈↓ ¬λ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬8␈εα,␈↓ ¬H␈ελx␈↓ ε=␈εα)␈αin␈ελ␈αR␈εα␈αfor␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ&␈ελn␈↓ λF␈εα<␈↓ λt␈ελN
␈βε}␈↓ 	Q␈εαv␈α␈olume␈αof␈ελ␈αR
␈βπ␈↓ β∞␈ε↓␈␈↓ ∃␈ε↓␈
␈βπε␈↓ ∧f␈εn␈↓ ¬Y␈εn␈↓ ¬k␈ε¬+␈↓ επ␈εt␈↓ ε∩␈ε→␈␈ε¬1
␈βπ∞␈↓ ↓n␈ε¬(␈↓ ↓w␈εt␈↓ αα␈ε¬)
␈βπ∀␈↓ ↓S␈ελD␈↓ α⊗␈εα=␈↓ αD␈εαmax␈↓ 	!␈ε⊗␈
␈βπ∃␈↓ β∞␈ε↓␈␈↓ ∃␈ε↓␈
␈βπ%␈↓ β≡␈∧π%β≡α¬x␈↓ 	Q␈∧π%	Qα↓A
␈βπ'␈↓ ↓n␈εN
␈βπ*␈↓ 
<␈εt
␈βπ+␈↓ β∞␈ε↓␈␈↓ ∃␈ε↓␈
␈βπ-␈↓ ε	␈ελN␈↓ 
≤␈ελm
␈βπ6␈↓ α[␈εR
␈βπb␈↓ 
p␈εα(42)
␈βλ
␈↓ ↓H␈εαwhere␈ελ␈αR␈εα␈αranges␈αo␈α␈v␈α␈er␈αall␈αsets␈αof␈αpoin␈α␈ts␈αof␈αthe␈αform
␈βλU␈↓ β!␈ελR␈εα␈α
=␈↓ βr␈ε⊗f␈↓ ∧
␈εα(␈↓ ∧⊗␈ελy␈↓ ∧5␈εα,␈↓ ∧E␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧u␈εα,␈↓ ¬¬␈ελy␈↓ ¬!␈εα)␈ε⊗␈α
j␈↓ ¬K␈ελ␈↓ ¬v␈ε⊗∀␈↓ ε$␈ελy␈↓ εM␈εα<␈↓ ε{␈ελ␈␈↓ π≤␈εα,␈↓ π,␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π\␈εα,␈↓ πl␈ελ␈↓ λ∪␈ε⊗∀␈↓ λA␈ελy␈↓ λg␈εα<␈↓ 	∃␈ελ␈␈↓ 	7␈ε⊗g␈↓ 	I␈εα;␈↓ 
p␈εα(43)
␈βλb␈↓ ∧'␈ε¬1␈↓ ¬⊗␈εt␈↓ ¬↑␈ε¬1␈↓ ε5␈ε¬1␈↓ π
␈ε¬1␈↓ π␈␈εt␈↓ λR␈εt␈↓ 	'␈εt
␈β	≤␈↓ ↓H␈εαhere␈↓ α⊗␈ελ␈↓ αC␈εαand␈↓ β
␈ελ␈␈↓ β5␈εαare␈α
in␈α␈tegers␈α
in␈αthe␈α
range␈α
0␈ε⊗␈α∀␈↓ π⊂␈ελ␈↓ π;␈εα<␈↓ πj␈ελ␈␈↓ λ∀␈ε⊗∀␈↓ λD␈ελm␈↓ λc␈εα,␈α
for␈α
1␈ε⊗␈α∀␈↓ 	␈␈ελj␈↓ 
~␈ε⊗∀␈↓ 
I␈ελt␈↓ 
V␈εα.␈α∞The
␈β	)␈↓ α)␈εj␈↓ β≤␈εj␈↓ π#␈εj␈↓ π|␈εj
␈β	E␈↓ 
L␈ε¬(␈↓ 
U␈εt␈↓ 
`␈ε¬)
␈β	K␈↓ ↓H␈εαv␈α␈olume␈α∂of␈ελ␈α∂R␈εα␈α∂is␈α⊂clearly␈α∂(␈↓ ∧H␈ελ␈␈↓ ∧r␈ε⊗␈␈↓ ¬!␈ελ␈↓ ¬B␈εα)␈↓ ¬T␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε∧␈εα(␈↓ ε⊂␈ελ␈␈↓ ε6␈ε⊗␈␈↓ εe␈ελ␈↓ πα␈εα).␈α⊗To␈α∂get␈α∂the␈α∂discrepancy␈↓ 
1␈ελD␈↓ 
i␈εα,␈α⊂w␈α␈e
␈β	Y␈↓ ∧Z␈ε¬1␈↓ ¬3␈ε¬1␈↓ ε"␈εt␈↓ εw␈εt
␈β	↑␈↓ 
L␈εN
␈β	v␈↓ ↓H␈εαimagine␈αlooking␈α
at␈αall␈α
these␈αsets␈ελ␈α
R␈εα␈αand␈α
|nding␈αthe␈αone␈α
with␈αthe␈α
greatest␈αex␈α␈cess
␈β
"␈↓ ↓H␈εαor␈αde|ciency␈αof␈αpoin␈α␈ts␈α(␈↓ ∧;␈ελx␈↓ ∧]␈εα,␈↓ ∧m␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬≥␈εα,␈↓ ¬-␈ελx␈↓ ε"␈εα).
␈β
/␈↓ ∧K␈εn␈↓ ¬>␈εn␈↓ ¬P␈ε¬+␈↓ ¬l␈εt␈↓ ¬w␈ε→␈␈ε¬1
␈β
M␈↓ α␈εαAn␈αλupper␈α	bound␈αλfor␈α	the␈αλdiscrepancy␈α	can␈αλbe␈α	found␈αλby␈α	using␈αλexponen␈α␈tial␈αλsums.
␈β
s␈↓ αl␈ε¬2␈↓ α{␈ε→␈↓ β␈εi␈↓ β⊗␈ε¬/␈↓ β%␈εm
␈β
x␈↓ ↓H␈εαLet␈↓ α␈ελ|␈↓ α.␈εα=␈↓ α↑␈ελe␈↓ βL␈εαbe␈α
a␈α
primitiv␈α␈e␈↓ ¬9␈ελm␈↓ ¬X␈εαth␈α∞root␈α
of␈α
unity.␈α⊂If␈α
(␈↓ λ∨␈ελx␈↓ λ>␈εα,␈↓ λN␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ}␈εα,␈↓ 	∞␈ελx␈↓ 	)␈εα)␈α
and␈α∞(␈↓ 
⊗␈ελy␈↓ 
5␈εα,␈↓ 
E␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
u␈εα,␈↓ ¬␈ελy␈↓  ␈εα)
␈β¬␈↓ λ0␈ε¬1␈↓ 	∨␈εt␈↓ 
'␈ε¬1␈↓ ⊗␈εt
␈β#␈↓ ↓H␈εαare␈αt␈α␈w␈α␈o␈αv␈α␈ectors␈αwith␈αall␈αcomponen␈α␈ts␈αin␈αthe␈αrange␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ ␈ελx␈↓ λ=␈εα,␈↓ λM␈ελy␈↓ λv␈εα<␈↓ 	$␈ελm␈↓ 	C␈εα,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β1␈↓ λ0␈εj␈↓ λ↑␈εj
␈β↑␈↓ αB␈ε↓X
␈βg␈↓ ε]␈ε↓~
␈βh␈↓ π∪␈εt
␈βm␈↓ εs␈ελm␈↓ π≡␈εα,␈↓ πL␈εαif␈α(␈↓ πz␈ελx␈↓ λ→␈εα,␈↓ λ)␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λY␈εα,␈↓ λi␈ελx␈↓ 	∧␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ 	T␈ελy␈↓ 	s␈εα,␈↓ 
β␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
3␈εα,␈↓ 
C␈ελy␈↓ 
↑␈εα)␈↓ 
j␈εα;
␈βz␈↓ λ
␈ε¬1␈↓ λy␈εt␈↓ 	e␈ε¬1␈↓ 
T␈εt
␈β{␈↓ βZ␈ε¬(␈↓ βd␈εx␈↓ β⎇␈ε→␈␈↓ ∧~␈εy␈↓ ∧4␈ε¬)␈↓ ∧=␈εu␈↓ ∧Z␈ε¬+␈↓ ∧w␈ε→↓↓↓␈↓ ¬∂␈ε¬+␈α␈(␈↓ ¬5␈εx␈↓ ¬M␈ε→␈␈↓ ¬i␈εy␈↓ ε↓␈ε¬)␈↓ ε␈εu
␈βα␈↓ βC␈ελ|␈↓ ε/␈εα=
␈β∧␈↓ βr␈επ1␈↓ ∧(␈επ1␈↓ ∧O␈επ1␈↓ ¬C␈ε
t␈↓ ¬x␈ε
t␈↓ ε≤␈ε
t
␈β_␈↓ εs␈εα0,␈↓ πL␈εαif␈α(␈↓ πz␈ελx␈↓ λ→␈εα,␈↓ λ)␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λY␈εα,␈↓ λi␈ελx␈↓ 	∧␈εα)␈ε⊗␈α
≤␈εα␈α
(␈↓ 	T␈ελy␈↓ 	s␈εα,␈↓ 
β␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
3␈εα,␈↓ 
C␈ελy␈↓ 
↑␈εα)␈↓ 
j␈εα.
␈β&␈↓ λ
␈ε¬1␈↓ λy␈εt␈↓ 	e␈ε¬1␈↓ 
T␈εt
␈β3␈↓ ↓|␈ε¬0␈ε→∀␈↓ α'␈εu␈↓ αD␈ε¬,␈↓ αL␈ε¬...␈↓ αd␈ε¬,␈↓ αl␈εu␈↓ βε␈ε¬<␈↓ β#␈εm
␈β<␈↓ α8␈επ1␈↓ α⎇␈ε
t
␈β
␈↓ ↓H␈εαTherefore␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αv␈α␈ectors␈α(␈↓ ¬]␈ελx␈↓ ε␈εα,␈↓ ε⊂␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε@␈εα,␈↓ εP␈ελx␈↓ πE␈εα)␈αin␈ελ␈αR␈εα␈αfor␈α
0␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	/␈ελn␈↓ 	O␈εα<␈↓ 	⎇␈ελN␈↓ 
∨␈εα,␈αwhen␈ελ␈αR
␈β
∞␈↓ ¬n␈εn␈↓ εa␈εn␈↓ εr␈ε¬+␈↓ π∂␈εt␈↓ π~␈ε→␈␈ε¬1
␈β
,␈↓ ↓H␈εαis␈αde|ned␈αby␈α(43),␈αcan␈αbe␈αexpressed␈αas
␈β
a␈↓ α*␈ε↓X␈↓ βU␈ε↓X␈↓ π#␈ε↓X␈↓ λ6␈ε↓X
␈β
n␈↓ ↓a␈εα1
␈β
}␈↓ ∧l␈εx␈↓ ¬
␈εu␈↓ ¬'␈ε¬+␈↓ ¬C␈ε→↓↓↓␈↓ ¬[␈ε¬+␈↓ ¬x␈εx␈↓ εW␈εu␈↓ 	/␈ε→␈␈ε¬␈α␈(␈↓ 	U␈εy␈↓ 	o␈εu␈↓ 
␈ε¬+␈↓ 
(␈ε→↓↓↓␈↓ 
@␈ε¬+␈↓ 
]␈εy␈↓ 
u␈εu␈↓ ∂␈ε¬)
␈β∞∧␈↓ ∧U␈ελ|␈↓ πs␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	_␈ελ|␈↓ →␈εα.
␈β∞π␈↓ ∧{␈ε
n␈↓ ¬≠␈επ1␈↓ επ␈ε
n␈↓ ε⊗␈επ+␈↓ ε,␈ε
t␈↓ ε6␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ εi␈ε
t␈↓ 	c␈επ1␈↓ 
␈επ1␈↓ 
k␈ε
t␈↓ ε␈ε
t
␈β∞∃␈↓ ↓U␈∧∞∃↓Uα+
␈β∞~␈↓ ↓u␈εt
␈β∞≥␈↓ ↓U␈ελm
␈β∞6␈↓ α	␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ α4␈εn␈↓ αF␈ε¬<␈↓ αc␈εN␈↓ β∞␈ε¬0␈ε→∀␈↓ β9␈εu␈↓ βV␈ε¬,␈↓ β↑␈ε¬...␈↓ βv␈ε¬,␈↓ β}␈εu␈↓ ∧→␈ε¬<␈↓ ∧5␈εm␈↓ εx␈ε␈↓ π∪␈ε→∀␈↓ π0␈εy␈↓ πJ␈ε¬<␈↓ πf␈ε␈␈↓ λ∂␈ε␈↓ λ(␈ε→∀␈↓ λE␈εy␈↓ λ\␈ε¬<␈↓ λy␈ε␈
␈β∞>␈↓ βK␈επ1␈↓ ∧∂␈ε
t␈↓ πλ␈επ1␈↓ π>␈επ1␈↓ πv␈επ1␈↓ λ∨␈ε
t␈↓ λS␈ε
t␈↓ 	λ␈ε
t
␈β∂␈↓ π≠␈εt
␈β∂¬␈↓ ↓H␈εαWhen␈↓ α/␈ελu␈↓ α\␈εα=␈↓ β
␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β>␈εα=␈↓ βl␈ελu␈↓ ∧⊗␈εαin␈αthis␈αsum,␈αw␈α␈e␈αget␈↓ εH␈ελN␈↓ εj␈εα/␈↓ ε|␈ελm␈↓ π1␈εαtimes␈αthe␈αv␈α␈olume␈αof␈ελ␈αR␈εα;␈αhence␈αw␈α␈e
␈β∂∪␈↓ αC␈ε¬1␈↓ ∧␈εt
␈β∂*␈↓ β#␈ε¬(␈↓ β,␈εt␈↓ β7␈ε¬)
␈β∂0␈↓ ↓H␈εαcan␈αexpress␈↓ βλ␈ελD␈↓ βL␈εαas
␈β∂C␈↓ β#␈εN
␈β∂Z␈↓ α6␈ε↓␈
␈β∂l␈↓ β<␈ε↓X␈↓ ∧s␈ε↓X
␈β∂p␈↓ α6␈ε↓␈
␈β∂y␈↓ αc␈εα1
␈β⊂ε␈↓ α6␈ε↓␈
␈β⊂
␈↓ ε!␈εx␈↓ ε?␈εu␈↓ ε[␈ε¬+␈↓ εx␈ε→↓↓↓␈↓ π⊂␈ε¬+␈↓ π-␈εx␈↓ λ␈εu
␈β⊂⊂␈↓ ↓l␈εαmax␈↓ ε
␈ελ|
␈β⊂∩␈↓ ε/␈ε
n␈↓ εP␈επ1␈↓ π;␈ε
n␈↓ πK␈επ+␈↓ πa␈ε
t␈↓ πj␈ε≠␈␈επ1␈↓ λ≡␈ε
t
␈β⊂≠␈↓ α6␈ε↓␈
␈β⊂ ␈↓ αF␈∧⊂ αFαL
␈β⊂&␈↓ βπ␈εt
␈β⊂(␈↓ αF␈ελN␈↓ αg␈ελm
␈β⊂1␈↓ αβ␈εR
␈β⊂?␈↓ ∧,␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ∧W␈εu␈↓ ∧t␈ε¬,␈↓ ∧|␈ε¬...␈↓ ¬∀␈ε¬,␈↓ ¬≤␈εu␈↓ ¬7␈ε¬<␈↓ ¬T␈εm
␈β⊂A␈↓ β≠␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ βG␈εn␈↓ βY␈ε¬<␈↓ βu␈εN
␈β⊂H␈↓ ∧i␈επ1␈↓ ¬.␈ε
t
␈β⊂L␈↓ 
r␈ε↓␈
␈β⊂\␈↓ ∧→␈ε¬(␈↓ ∧#␈εu␈↓ ∧@␈ε¬,␈↓ ∧H␈ε¬...␈↓ ∧`␈ε¬,␈↓ ∧h␈εu␈↓ ¬α␈ε¬)␈ε→≤␈ε¬(␈α␈0␈α↓,␈↓ ¬I␈ε¬...␈↓ ¬a␈ε¬,0)
␈β⊂↑␈↓ ε|␈ε↓X␈↓ λ⊂␈ε↓X
␈β⊂a␈↓ 
r␈ε↓␈
␈β⊂d␈↓ ∧4␈επ1␈↓ ∧y␈ε
t
␈β⊂w␈↓ 
r␈ε↓␈
␈β⊂{␈↓ 	λ␈ε→␈␈ε¬(␈↓ 	.␈εy␈↓ 	H␈εu␈↓ 	e␈ε¬+␈↓ 
α␈ε→↓↓↓␈↓ 
~␈ε¬+␈↓ 
6␈εy␈↓ 
N␈εu␈↓ 
i␈ε¬)
␈β⊃↓␈↓ ε"␈ε⊗α␈↓ πL␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λq␈ελ|␈↓ 
}␈εα.
␈β⊃∧␈↓ 	=␈επ1␈↓ 	Z␈επ1␈↓ 
E␈ε
t␈↓ 
`␈ε
t
␈β⊃
␈↓ 
r␈ε↓␈
␈β⊃2␈↓ εR␈ε␈↓ εm␈ε→∀␈↓ π	␈εy␈↓ π#␈ε¬<␈↓ π@␈ε␈␈↓ πh␈ε␈↓ λ↓␈ε→∀␈↓ λ≡␈εy␈↓ λ6␈ε¬<␈↓ λS␈ε␈
␈β⊃;␈↓ εa␈επ1␈↓ π_␈επ1␈↓ πO␈επ1␈↓ πx␈ε
t␈↓ λ-␈ε
t␈↓ λb␈ε
t
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.4␈ε∞␈↓ λ⊃T␈α␈HE␈α	SP␈α␈ECTRA␈α␈L␈α	TEST␈↓ 
v␈εα105
␈βα&␈↓ ↓H␈εαSince␈αεcomplex␈απn␈α␈um␈α␈bers␈απsatisfy␈ε⊗␈αεj␈↓ ¬*␈ελw␈↓ ¬F␈εα+␈↓ ¬k␈ελz␈↓ ¬z␈ε⊗j␈α
∀␈α
j␈↓ εF␈ελw␈↓ εa␈ε⊗j␈εα␈α↓+␈ε⊗j␈↓ π~␈ελz␈↓ π)␈ε⊗j␈εα␈απand␈ε⊗␈απj␈↓ λ¬␈ελw␈↓ λ ␈ελz␈↓ λ/␈ε⊗j␈εα␈α
=␈ε⊗␈α
j␈↓ λ{␈ελw␈↓ 	∃␈ε⊗j␈αεj␈↓ 	/␈ελz␈↓ 	>␈ε⊗j␈εα,␈αλit␈απfollo␈α␈ws␈αεthat
␈βα`␈↓ ¬+␈ε↓␈␈↓ 	W␈ε↓␈
␈βαr␈↓ ∧≡␈ε↓X␈↓ ¬a␈ε↓X␈↓ εu␈ε↓X
␈βαu␈↓ ¬+␈ε↓␈␈↓ 	W␈ε↓␈
␈βα}␈↓ β#␈εα1
␈ββ␈↓ ¬+␈ε↓␈␈↓ 	W␈ε↓␈
␈ββ∞␈↓ ↓c␈ε¬(␈↓ ↓l␈εt␈↓ ↓w␈ε¬)
␈ββ∂␈↓ πm␈ε→␈␈ε¬(␈↓ λ∪␈εy␈↓ λ-␈εu␈↓ λJ␈ε¬+␈↓ λf␈ε→↓↓↓␈↓ λ}␈ε¬+␈↓ 	≠␈εy␈↓ 	3␈εu␈↓ 	N␈ε¬)
␈ββ∃␈↓ ↓H␈ελD␈↓ α∩␈ε⊗∀␈↓ αH␈εαmax␈↓ ε1␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πV␈ελ|␈↓ 	i␈ελg␈↓ 	z␈εα(␈↓ 
ε␈ελu␈↓ 
)␈εα,␈↓ 
9␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
i␈εα,␈↓ 
y␈ελu␈↓ _␈εα)
␈ββ↔␈↓ λ"␈επ1␈↓ λ>␈επ1␈↓ 	*␈ε
t␈↓ 	D␈ε
t
␈ββ ␈↓ ¬+␈ε↓␈␈↓ 	W␈ε↓␈
␈ββ"␈↓ 
≠␈ε¬1␈↓ ∞␈εt
␈ββ%␈↓ β⊗␈∧β%β⊗α+
␈ββ'␈↓ ↓c␈εN
␈ββ+␈↓ β6␈εt
␈ββ-␈↓ β⊗␈ελm
␈ββ6␈↓ α`␈εR
␈ββD␈↓ βW␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ∧α␈εu␈↓ ∧∨␈ε¬,␈↓ ∧'␈ε¬...␈↓ ∧?␈ε¬,␈↓ ∧G␈εu␈↓ ∧b␈ε¬<␈↓ ∧}␈εm
␈ββF␈↓ ¬7␈ε␈↓ ¬Q␈ε→∀␈↓ ¬n␈εy␈↓ ελ␈ε¬<␈↓ ε%␈ε␈␈↓ εM␈ε␈↓ εf␈ε→∀␈↓ πβ␈εy␈↓ π≠␈ε¬<␈↓ π7␈ε␈
␈ββM␈↓ ∧∀␈επ1␈↓ ∧X␈ε
t
␈ββO␈↓ ¬F␈επ1␈↓ ¬⎇␈επ1␈↓ ε4␈επ1␈↓ ε]␈ε
t␈↓ π⊃␈ε
t␈↓ πG␈ε
t
␈ββa␈↓ βD␈ε¬(␈↓ βM␈εu␈↓ βj␈ε¬,␈↓ βr␈ε¬...␈↓ ∧
␈ε¬,␈↓ ∧∩␈εu␈↓ ∧-␈ε¬)␈ε→≤␈ε¬␈α␈(0,␈↓ ∧s␈ε¬...␈↓ ¬␈ε¬,0␈α↓)
␈ββi␈↓ β←␈επ1␈↓ ∧$␈ε
t
␈ββw␈↓ ¬+␈ε↓␈␈↓ 	W␈ε↓␈
␈β∧	␈↓ βT␈ε↓X␈↓ ¬a␈ε↓X␈↓ εu␈ε↓X
␈β∧
␈↓ ¬+␈ε↓␈␈↓ 	W␈ε↓␈
␈β∧⊗␈↓ αY␈εα1
␈β∧"␈↓ ¬+␈ε↓␈␈↓ 	W␈ε↓␈
␈β∧&␈↓ πm␈ε→␈␈ε¬(␈↓ λ∪␈εy␈↓ λ-␈εu␈↓ λJ␈ε¬+␈↓ λf␈ε→↓↓↓␈↓ λ}␈ε¬+␈↓ 	≠␈εy␈↓ 	3␈εu␈↓ 	N␈ε¬)
␈β∧,␈↓ α∩␈ε⊗∀␈↓ ∧a␈εαmax␈↓ ε1␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πV␈ελ|␈↓ 	i␈ελg␈↓ 	z␈εα(␈↓ 
ε␈ελu␈↓ 
)␈εα,␈↓ 
9␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
i␈εα,␈↓ 
y␈ελu␈↓ _␈εα)
␈β∧/␈↓ λ"␈επ1␈↓ λ>␈επ1␈↓ 	*␈ε
t␈↓ 	D␈ε
t
␈β∧8␈↓ ¬+␈ε↓␈␈↓ 	W␈ε↓␈
␈β∧:␈↓ 
≠␈ε¬1␈↓ ∞␈εt
␈β∧=␈↓ αL␈∧∧=αLα+
␈β∧B␈↓ αl␈εt
␈β∧E␈↓ αL␈ελm
␈β∧N␈↓ ∧x␈εR
␈β∧\␈↓ β
␈ε¬0␈ε→∀␈↓ β8␈εu␈↓ βU␈ε¬,␈↓ β]␈ε¬...␈↓ βu␈ε¬,␈↓ β⎇␈εu␈↓ ∧_␈ε¬<␈↓ ∧4␈εm
␈β∧↑␈↓ ¬7␈ε␈↓ ¬Q␈ε→∀␈↓ ¬n␈εy␈↓ ελ␈ε¬<␈↓ ε%␈ε␈␈↓ εM␈ε␈↓ εf␈ε→∀␈↓ πβ␈εy␈↓ π≠␈ε¬<␈↓ π7␈ε␈
␈β∧e␈↓ βJ␈επ1␈↓ ∧∞␈ε
t
␈β∧f␈↓ ¬F␈επ1␈↓ ¬⎇␈επ1␈↓ ε4␈επ1␈↓ ε]␈ε
t␈↓ π⊃␈ε
t␈↓ πG␈ε
t
␈β∧x␈↓ αz␈ε¬(␈↓ ββ␈εu␈↓ β ␈ε¬,␈↓ β(␈ε¬...␈↓ β@␈ε¬,␈↓ βH␈εu␈↓ βc␈ε¬)␈ε→≤␈ε¬␈α␈(0,␈↓ ∧)␈ε¬...␈↓ ∧A␈ε¬,0␈α↓)
␈β¬↓␈↓ β∃␈επ1␈↓ βZ␈ε
t
␈β¬∂␈↓ β%␈ε↓X
␈β¬2␈↓ α∩␈εα=␈↓ ∧<␈ελf␈↓ ∧N␈εα(␈↓ ∧Z␈ελu␈↓ ∧⎇␈εα,␈↓ ¬
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬=␈εα,␈↓ ¬M␈ελu␈↓ ¬l␈εα)␈↓ ¬}␈ελg␈↓ ε∂␈εα(␈↓ ε≠␈ελu␈↓ ε>␈εα,␈↓ εN␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε}␈εα,␈↓ π∞␈ελu␈↓ π-␈εα),␈↓ 
h(44)
␈β¬?␈↓ ∧n␈ε¬1␈↓ ¬a␈εt␈↓ ε/␈ε¬1␈↓ π"␈εt
␈β¬b␈↓ α←␈ε¬0␈ε→∀␈↓ β
␈εu␈↓ β'␈ε¬,␈↓ β/␈ε¬...␈↓ βG␈ε¬,␈↓ βO␈εu␈↓ βi␈ε¬<␈↓ ∧ε␈εm
␈β¬j␈↓ β≠␈επ1␈↓ β`␈ε
t
␈β¬}␈↓ αL␈ε¬(␈↓ αU␈εu␈↓ αr␈ε¬,␈↓ αz␈ε¬...␈↓ β∩␈ε¬,␈↓ β~␈εu␈↓ β5␈ε¬)␈ε→␈α␈≤␈ε¬(0,␈↓ β{␈ε¬...␈↓ ∧∪␈ε¬,0␈α↓)
␈βεε␈↓ αg␈επ1␈↓ β+␈ε
t
␈βε\␈↓ ↓H␈εαwhere
␈βπ␈↓ ∧5␈ε↓␈␈↓ λλ␈ε↓␈
␈βπ≡␈↓ ¬⊃␈ε↓X
␈βπ"␈↓ ∧5␈ε↓␈␈↓ λλ␈ε↓␈
␈βπ+␈↓ ∧M␈εα1
␈βπ7␈↓ ∧5␈ε↓␈␈↓ λλ␈ε↓␈
␈βπ;␈↓ εα␈εx␈↓ ε ␈εu␈↓ ε=␈ε¬+␈↓ εZ␈ε→↓↓↓␈↓ εr␈ε¬+␈↓ π∞␈εx␈↓ πn␈εu
␈βπA␈↓ αB␈ελg␈↓ αS␈εα(␈↓ α←␈ελu␈↓ βα␈εα,␈↓ β∩␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βB␈εα,␈↓ βR␈ελu␈↓ βq␈εα)␈↓ ∧π␈εα=␈↓ ¬k␈ελ|␈↓ λ∀␈εα;
␈βπD␈↓ ε⊃␈ε
n␈↓ ε2␈επ1␈↓ π≥␈ε
n␈↓ π,␈επ+␈↓ πC␈ε
t␈↓ πL␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ π␈␈ε
t
␈βπM␈↓ ∧5␈ε↓␈␈↓ λλ␈ε↓␈
␈βπO␈↓ αt␈ε¬1␈↓ βg␈εt
␈βπR␈↓ ∧E␈∧πR∧Eα"
␈βπZ␈↓ ∧E␈ελN
␈βπs␈↓ ∧q␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ¬≤␈εn␈↓ ¬.␈ε¬<␈↓ ¬K␈εN
␈βπ␈␈↓ ¬1␈ε↓␈␈↓ 	↑␈ε↓␈
␈βλ⊃␈↓ ¬h␈ε↓X␈↓ ε{␈ε↓X
␈βλ∃␈↓ ¬1␈ε↓␈␈↓ 	↑␈ε↓␈
␈βλ≡␈↓ ¬∂␈εα1
␈βλ+␈↓ ¬1␈ε↓␈␈↓ 	↑␈ε↓␈
␈βλ/␈↓ πt␈ε→␈␈ε¬(␈↓ λ~␈εy␈↓ λ4␈εu␈↓ λP␈ε¬+␈↓ λm␈ε→↓↓↓␈↓ 	¬␈ε¬+␈↓ 	"␈εy␈↓ 	:␈εu␈↓ 	T␈ε¬)
␈βλ5␈↓ αB␈ελf␈↓ αS␈εα(␈↓ α←␈ελu␈↓ βα␈εα,␈↓ β∩␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βB␈εα,␈↓ βR␈ελu␈↓ βq␈εα)␈↓ ∧π␈εα=␈↓ ∧5␈εαmax␈↓ ε8␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π]␈ελ|
␈βλ7␈↓ λ)␈επ1␈↓ λE␈επ1␈↓ 	0␈ε
t␈↓ 	K␈ε
t
␈βλ@␈↓ ¬1␈ε↓␈␈↓ 	↑␈ε↓␈
␈βλB␈↓ αt␈ε¬1␈↓ βg␈εt
␈βλE␈↓ ¬β␈∧λE¬βα+
␈βλK␈↓ ¬#␈εt
␈βλM␈↓ ¬β␈ελm
␈βλV␈↓ ∧M␈εR
␈βλf␈↓ ¬=␈ε␈↓ ¬X␈ε→∀␈↓ ¬u␈εy␈↓ ε∂␈ε¬<␈↓ ε,␈ε␈␈↓ εT␈ε␈↓ εm␈ε→∀␈↓ π
␈εy␈↓ π!␈ε¬<␈↓ π>␈ε␈
␈βλm␈↓ ∧␈␈ε↓␈␈↓ π2␈ε↓␈␈↓ πt␈ε↓␈␈↓ 
≤␈ε↓␈
␈βλo␈↓ ¬M␈επ1␈↓ εβ␈επ1␈↓ ε;␈επ1␈↓ εd␈ε
t␈↓ π_␈ε
t␈↓ πM␈ε
t
␈βλ␈␈↓ ¬c␈ε↓X␈↓ λU␈ε↓X
␈β	β␈↓ ∧␈␈ε↓␈␈↓ π2␈ε↓␈␈↓ πt␈ε↓␈␈↓ 
≤␈ε↓␈
␈β	␈↓ ¬⊗␈εα1␈↓ λ
␈εα1
␈β	_␈↓ ∧␈␈ε↓␈␈↓ π2␈ε↓␈␈↓ πt␈ε↓␈␈↓ 
≤␈ε↓␈
␈β	≤␈↓ ε↑␈ε→␈␈↓ ε{␈εu␈↓ π_␈εy␈↓ 	M␈ε→␈␈↓ 	j␈εu␈↓ 
¬␈εy
␈β	"␈↓ ∧π␈εα=␈↓ ∧5␈εαmax␈↓ εG␈ελ|␈↓ πD␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	6␈ελ|␈↓ 
(␈εα.
␈β	%␈↓ π
␈επ1␈↓ π&␈επ1␈↓ 	{␈ε
t␈↓ 
∪␈ε
t
␈β	.␈↓ ∧␈␈ε↓␈␈↓ π2␈ε↓␈␈↓ πt␈ε↓␈␈↓ 
≤␈ε↓␈
␈β	3␈↓ ¬∂␈∧	3¬∂α ␈↓ λ∧␈∧	3λ∧α 
␈β	;␈↓ ¬∂␈ελm␈↓ λ∧␈ελm
␈β	D␈↓ ∧M␈εR
␈β	T␈↓ ¬9␈ε␈↓ ¬T␈ε→∀␈↓ ¬q␈εy␈↓ ε
␈ε¬<␈↓ ε'␈ε␈␈↓ λ-␈ε␈↓ λF␈ε→∀␈↓ λc␈εy␈↓ λ{␈ε¬<␈↓ 	_␈ε␈
␈β	\␈↓ ¬I␈επ1␈↓ ¬␈␈επ1␈↓ ε6␈επ1␈↓ λ=␈ε
t␈↓ λr␈ε
t␈↓ 	'␈ε
t
␈β
≤␈↓ ↓H␈εαBoth␈↓ α"␈ελf␈↓ αA␈εαand␈↓ β	␈ελg␈↓ β(␈εαcan␈α∞be␈α∞further␈α∞simpli|ed␈α∞in␈α∞order␈α∞to␈α∞get␈α∞a␈α∞good␈α∞upper␈α∞bound␈α∞on
␈β
A␈↓ ↓c␈ε¬(␈↓ ↓l␈εt␈↓ ↓w␈ε¬)
␈β
G␈↓ ↓H␈ελD␈↓ α␈εα.␈αWe␈αhav␈α␈e
␈β
Z␈↓ ↓c␈εN
␈βα␈↓ ∧U␈ε↓␈␈↓ εr␈ε↓␈
␈β
␈↓ α∂␈ε↓␈␈↓ ∧⊃␈ε↓␈
␈β_␈↓ ∧U␈ε↓␈␈↓ εr␈ε↓␈
␈β∨␈↓ αd␈ε↓X
␈β"␈↓ α∂␈ε↓␈␈↓ ∧⊃␈ε↓␈
␈β&␈↓ ¬#␈ε→␈␈↓ ¬@␈ε␈␈↓ ¬R␈εu␈↓ ε/␈ε→␈␈↓ εL␈ε␈↓ ε\␈εu
␈β+␈↓ α%␈εα1␈↓ ∧k␈εα1␈↓ ¬␈ελ|␈↓ ¬l␈ε⊗␈␈↓ ε_␈ελ|␈↓ λα␈εα2␈↓ 	v␈εα1
␈β-␈↓ ∧U␈ε↓␈␈↓ εr␈ε↓␈
␈β8␈↓ α∂␈ε↓␈␈↓ ∧⊃␈ε↓␈
␈β<␈↓ βQ␈ε→␈␈↓ βn␈εu␈↓ ∧␈εy
␈βB␈↓ β:␈ελ|␈↓ ∧'␈εα=␈↓ πλ␈ε⊗∀␈↓ λj␈εα=
␈βC␈↓ ∧U␈ε↓␈␈↓ εr␈ε↓␈
␈βN␈↓ α∂␈ε↓␈␈↓ ∧⊃␈ε↓␈
␈βR␈↓ α∨␈∧Rα∨α ␈↓ ∧e␈∧R∧eα ␈↓ ¬␈∧R¬α↓b␈↓ π:␈∧Rπ:α↓#␈↓ 	≤␈∧R	≤α↓F
␈βX␈↓ ∧U␈ε↓␈␈↓ ¬N␈ε→␈␈↓ ¬k␈εu␈↓ εr␈ε↓␈␈↓ π{␈εu
␈βZ␈↓ α∨␈ελm␈↓ ∧e␈ελm␈↓ ¬7␈ελ|␈↓ ε¬␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ π:␈ελm␈↓ πZ␈ε⊗j␈↓ πd␈ελ|␈↓ λ∀␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈ε⊗j␈↓ 	≤␈ελm␈↓ 	B␈εαsin␈↓ 	n␈εα(␈↓ 	z␈ελ→␈↓ 
∞␈ελu␈↓ 
$␈εα/␈↓ 
6␈ελm␈↓ 
V␈εα)
␈βs␈↓ αH␈ε␈↓ αX␈ε→∀␈↓ αu␈εy␈↓ βε␈ε¬<␈↓ β"␈ε␈
␈β;␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α&␈ελu␈↓ αE␈ε⊗≤␈εα␈α
0,␈αand␈αthe␈αsum␈αis␈ε⊗␈α∀␈εα␈α
1␈αwhen␈↓ ε9␈ελu␈↓ εY␈εα=␈α
0,␈αhence
␈β
∀␈↓ ∧c␈ελf␈↓ ∧u␈εα(␈↓ ¬↓␈ελu␈↓ ¬$␈εα,␈↓ ¬4␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬d␈εα,␈↓ ¬t␈ελu␈↓ ε∪␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ εW␈ελr␈↓ εg␈εα(␈↓ εs␈ελu␈↓ π⊗␈εα,␈↓ π&␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πV␈εα,␈↓ πf␈ελu␈↓ λ¬␈εα)␈↓ 
p␈εα(45)
␈β
"␈↓ ¬∃␈ε¬1␈↓ ελ␈εt␈↓ ππ␈ε¬1␈↓ πz␈εt
␈β
m␈↓ ↓H␈εαwhere
␈β∞␈↓ ε'␈ε↓Y
␈β∞␈↓ π\␈εα1
␈β∞#␈↓ ∧_␈ελr␈↓ ∧(␈εα(␈↓ ∧4␈ελu␈↓ ∧W␈εα,␈↓ ∧g␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬↔␈εα,␈↓ ¬'␈ελu␈↓ ¬F␈εα)␈α
=␈↓ λR␈εα.␈↓ 
p␈εα(46)
␈β∞0␈↓ ∧H␈ε¬1␈↓ ¬;␈εt
␈β∞3␈↓ ε{␈∧∞3ε{α↓S
␈β∞;␈↓ ε{␈ελm␈↓ π!␈εαsin␈↓ πM␈εα(␈↓ πY␈ελ→␈↓ πm␈ελu␈↓ λ⊂␈εα/␈↓ λ"␈ελm␈↓ λB␈εα)
␈β∞I␈↓ λα␈εk
␈β∞S␈↓ ε
␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ ε8␈εk␈↓ εG␈ε→∀␈↓ εd␈εt
␈β∞o␈↓ ε→␈εu␈↓ ε7␈ε→≤␈ε¬0
␈β∞w␈↓ ε+␈ε
k
␈β∂=␈↓ ↓H␈εαFurthermore,␈α
when␈ε⊗␈α
h␈↓ ∧␈ελx␈↓ ∧.␈ε⊗i␈εα␈α
is␈α
generated␈α	modulo␈↓ π¬␈ελm␈↓ π.␈εαby␈α
a␈α
linear␈α
conguen␈α␈tial␈α	sequence,
␈β∂J␈↓ ∧≤␈εn
␈β∂h␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β⊂4␈↓ α	␈ελx␈↓ α+␈ελu␈↓ αV␈εα+␈↓ βα␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β4␈εα+␈↓ β`␈ελx␈↓ ∧U␈ελu␈↓ ∧}␈εα=␈↓ ¬,␈ελx␈↓ ¬O␈ελu␈↓ ¬z␈εα+␈αλ(␈↓ ε2␈ελa␈↓ εD␈ελx␈↓ εn␈εα+␈↓ π~␈ελc␈↓ π(␈εα)␈↓ π4␈ελu␈↓ π←␈εα+␈↓ λ␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓
␈β⊂@␈↓ π␈ε↓␈␈↓ 
>␈ε↓↓
␈β⊂B␈↓ α→␈εn␈↓ α@␈ε¬1␈↓ βq␈εn␈↓ ∧β␈ε¬+␈↓ ∧ ␈εt␈↓ ∧*␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧j␈εt␈↓ ¬=␈εn␈↓ ¬c␈ε¬1␈↓ εT␈εn␈↓ πI␈ε¬2
␈β⊂Z␈↓ π ␈εt␈↓ π+␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λX␈εt␈↓ λc␈ε→␈␈ε¬2
␈β⊂`␈↓ εT␈εα+␈↓ π∞␈ελa␈↓ πV␈ελx␈↓ λ␈εα+␈↓ λ,␈ελc␈↓ λ;␈εα(␈↓ λG␈ελa␈↓ 	⊗␈εα+␈↓ 	B␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	t␈εα+␈αλ1)␈↓ 
L␈ελu
␈β⊂m␈↓ πg␈εn␈↓ 
a␈εt
␈β⊃∀␈↓ πh␈εt␈↓ πs␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β⊃~␈↓ ∧}␈εα=␈α
(␈↓ ¬8␈ελu␈↓ ¬c␈εα+␈↓ ε∂␈ελa␈↓ ε!␈ελu␈↓ εL␈εα+␈↓ εx␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π*␈εα+␈↓ πV␈ελa␈↓ λ≡␈ελu␈↓ λ=␈εα)␈↓ λI␈ελx␈↓ λs␈εα+␈↓ 	∨␈ελh␈↓ 	1␈εα(␈↓ 	=␈ελu␈↓ 	`␈εα,␈↓ 	p␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
 ␈εα,␈↓ 
0␈ελu␈↓ 
O␈εα)
␈β⊃(␈↓ ¬M␈ε¬1␈↓ ε6␈ε¬2␈↓ λ2␈εt␈↓ λY␈εn␈↓ 	R␈ε¬1␈↓ 
E␈εt
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα106␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.4
␈βα&␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελh␈↓ αB␈εα(␈↓ αN␈ελu␈↓ αp␈εα,␈↓ β␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β0␈εα,␈↓ β@␈ελu␈↓ β`␈εα)␈αis␈αindependen␈α␈t␈αof␈↓ ε⊃␈ελn␈↓ ε&␈εα,␈αhence
␈βα4␈↓ αb␈ε¬1␈↓ βU␈εt
␈βαW␈↓ ¬x␈ε↓␈␈↓ λc␈ε↓␈
␈βαi␈↓ εT␈ε↓X
␈βαm␈↓ ¬x␈ε↓␈␈↓ λc␈ε↓␈
␈βαv␈↓ ε⊂␈εα1
␈βββ␈↓ ¬x␈ε↓␈␈↓ λc␈ε↓␈
␈ββπ␈↓ πE␈εq␈↓ πS␈ε¬(␈↓ π\␈εu␈↓ πy␈ε¬,␈↓ λ↓␈ε¬...␈↓ λ→␈ε¬,␈↓ λ!␈εu␈↓ λ<␈ε¬)␈↓ λE␈εx
␈ββ
␈↓ ∧¬␈ελg␈↓ ∧⊗␈εα(␈↓ ∧"␈ελu␈↓ ∧E␈εα,␈↓ ∧U␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬¬␈εα,␈↓ ¬∃␈ελu␈↓ ¬4␈εα)␈α
=␈↓ π.␈ελ|␈↓ 
p␈εα(47)
␈ββ∂␈↓ πn␈επ1␈↓ λ2␈ε
t␈↓ λT␈ε
n
␈ββ_␈↓ ¬x␈ε↓␈␈↓ λc␈ε↓␈
␈ββ~␈↓ ∧7␈ε¬1␈↓ ¬*␈εt
␈ββ≥␈↓ ελ␈∧β≥ελα"
␈ββ%␈↓ ελ␈ελN
␈ββ>␈↓ ε4␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ε←␈εn␈↓ εq␈ε¬<␈↓ π∞␈εN
␈ββq␈↓ ↓H␈εαwhere
␈β∧⊗␈↓ λ≤␈εt␈↓ λ&␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧≤␈↓ βz␈ελq␈↓ ∧
␈εα(␈↓ ∧⊗␈ελu␈↓ ∧9␈εα,␈↓ ∧I␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧y␈εα,␈↓ ¬	␈ελu␈↓ ¬(␈εα)␈α
=␈↓ ¬l␈ελu␈↓ ε↔␈εα+␈↓ εC␈ελa␈↓ εU␈ελu␈↓ π␈εα+␈↓ π,␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π↑␈εα+␈↓ λ
␈ελa␈↓ λQ␈ελu␈↓ λp␈εα.␈↓ 
p␈εα(48)
␈β∧*␈↓ ∧*␈ε¬1␈↓ ¬≥␈εt␈↓ ε␈ε¬1␈↓ εi␈ε¬2␈↓ λf␈εt
␈β∧↑␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈ε∂␈α	here␈α
is␈α	where␈α	the␈α
connection␈α	to␈α
the␈α	spectral␈α	test␈α
comes␈α	in␈εα:␈αWe␈α	will␈α	sho␈α␈w
␈β¬	␈↓ ↓H␈εαthat␈α∞the␈α∞sum␈↓ β'␈ελg␈↓ β8␈εα(␈↓ βD␈ελu␈↓ βg␈εα,␈↓ βw␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧'␈εα,␈↓ ∧7␈ελu␈↓ ∧V␈εα)␈α∞is␈α∞rather␈α∂small␈α∞unless␈↓ πQ␈ελq␈↓ πa␈εα(␈↓ πm␈ελu␈↓ λ⊂␈εα,␈↓ λ ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λP␈εα,␈↓ λ`␈ελu␈↓ λ␈␈εα)␈ε⊗␈α∞⊃␈εα␈α∞0␈α∞(modulo␈↓ 
w␈ελm␈↓ ⊗␈εα),
␈β¬↔␈↓ βX␈ε¬1␈↓ ∧K␈εt␈↓ λα␈ε¬1␈↓ λu␈εt
␈β¬5␈↓ ↓H␈εαi.e.,␈αunless␈α
(␈↓ ββ␈ελu␈↓ β&␈εα,␈↓ β6␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βf␈εα,␈↓ βv␈ελu␈↓ ∧∃␈εα)␈αis␈α
a␈αsolution␈α
to␈α(15).␈α∞Furthermore␈αex␈α␈ercise␈α27␈α
sho␈α␈ws␈αthat
␈β¬B␈↓ β↔␈ε¬1␈↓ ∧
␈εt
␈β¬`␈↓ ↓H␈ελr␈↓ ↓W␈εα(␈↓ ↓c␈ελu␈↓ αε␈εα,␈↓ α⊗␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αF␈εα,␈↓ αV␈ελu␈↓ αu␈εα)␈αis␈αrather␈αsmall␈αwhen␈α(␈↓ ¬c␈ελu␈↓ εε␈εα,␈↓ ε⊗␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εF␈εα,␈↓ εV␈ελu␈↓ εu␈εα)␈αis␈αa␈α\large"␈αsolution␈αto␈α(15).␈αHence
␈β¬m␈↓ ↓x␈ε¬1␈↓ αk␈εt␈↓ ¬x␈ε¬1␈↓ εk␈εt
␈βε¬␈↓ β↑␈ε¬(␈↓ βh␈εt␈↓ βr␈ε¬)
␈βε␈↓ ↓H␈εαthe␈αλdiscrepancy␈↓ βC␈ελD␈↓ ∧¬␈εαwill␈αλbe␈α	rather␈α	small␈αλwhen␈α	(15)␈α	has␈α	only␈αλ\large"␈α	solutions,␈α	i.e.,
␈βε≡␈↓ β↑␈εN
␈βε6␈↓ ↓H␈εαwhen␈α
the␈αspectral␈α
test␈α
is␈αpassed.␈αAll␈αthat␈α
remains␈αis␈α
to␈αquan␈α␈tify␈α
these␈α
qualitativ␈α␈e
␈βεa␈↓ ↓H␈εαstatemen␈α␈ts␈αby␈αmaking␈αcareful␈αcalculations.
␈βπ
␈↓ α␈εαIn␈α
the␈α∞|rst␈α
place,␈α∞let's␈α∞consider␈α
the␈α∞size␈α
of␈↓ π7␈ελg␈↓ πI␈εα(␈↓ πU␈ελu␈↓ πx␈εα,␈↓ λλ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ8␈εα,␈↓ λH␈ελu␈↓ λg␈εα).␈α⊂When␈↓ 	v␈ελN␈↓ 
%␈εα=␈↓ 
U␈ελm␈↓ 
u␈εα,␈α
so
␈βπ~␈↓ πi␈ε¬1␈↓ λ\␈εt
␈βπ8␈↓ ↓H␈εαthat␈α
the␈α
sum␈α	(47)␈α
is␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
an␈α
en␈α␈tire␈α
period,␈αw␈α␈e␈α	hav␈α␈e␈↓ π\␈ελg␈↓ πn␈εα(␈↓ πz␈ελu␈↓ λ≤␈εα,␈↓ λ,␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ\␈εα,␈↓ λl␈ελu␈↓ 	␈εα)␈α
=␈α
0␈α	ex␈α␈cept␈α
when
␈βπE␈↓ λ∞␈ε¬1␈↓ 	↓␈εt
␈βπc␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελu␈↓ ↓w␈εα,␈↓ απ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α7␈εα,␈↓ αG␈ελu␈↓ αf␈εα)␈α
satis|es␈α(15),␈α
so␈αthe␈α
discrepancy␈αis␈α
bounded␈αabo␈α␈v␈α␈e␈α
in␈αthis␈α
case␈αby␈α
the
␈βπp␈↓ ↓h␈ε¬1␈↓ α[␈εt
␈βλ∞␈↓ ↓H␈εαsum␈α	of␈↓ α8␈ελr␈↓ αH␈εα(␈↓ αT␈ελu␈↓ αw␈εα,␈↓ βπ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β7␈εα,␈↓ βG␈ελu␈↓ βf␈εα)␈α	tak␈α␈en␈α	o␈α␈v␈α␈er␈α
all␈α	the␈α	nonzero␈α	solutions␈α
of␈α	(15).␈αBut␈α	let's␈α	consider
␈βλ≤␈↓ αh␈ε¬1␈↓ β[␈εt
␈βλ9␈↓ ↓H␈εαalso␈αwhat␈αhappens␈αin␈αa␈αsum␈α
lik␈α␈e␈α(47)␈αwhen␈↓ εt␈ελN␈↓ π"␈εαis␈αless␈αthan␈↓ λ\␈ελm␈↓ 	λ␈εαand␈↓ 	N␈ελq␈↓ 	↑␈εα(␈↓ 	j␈ελu␈↓ 

␈εα,␈↓ 
≥␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
M␈εα,␈↓ 
]␈ελu␈↓ 
|␈εα)␈αis
␈βλG␈↓ 	␈␈ε¬1␈↓ 
r␈εt
␈βλe␈↓ ↓H␈εαnot␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ β]␈ελm␈↓ β|␈εα.␈αWe␈αhav␈α␈e
␈β	!␈↓ β≥␈ε↓X␈↓ ¬4␈ε↓X␈↓ εZ␈ε↓X␈↓ λ*␈ε↓X
␈β	.␈↓ αY␈εα1␈↓ ∧p␈εα1␈↓ ε→␈εα1
␈β	>␈↓ ∧∞␈εx␈↓ πI␈ε→␈␈↓ πf␈εn␈↓ πx␈εk␈↓ 	→␈εx␈↓ 	2␈ε¬+␈↓ 	O␈εj␈↓ 	]␈εk
␈β	D␈↓ βw␈ελ|␈↓ ∧6␈εα=␈↓ π2␈ελ|␈↓ 	α␈ελ|
␈β	G␈↓ ∧≥␈ε
n␈↓ 	'␈ε
j
␈β	U␈↓ αQ␈∧	UαQα"␈↓ ∧h␈∧	U∧hα"␈↓ ε∩␈∧	Uε∩α 
␈β	]␈↓ αQ␈ελN␈↓ ∧h␈ελN␈↓ ε∩␈ελm
␈β	v␈↓ α⎇␈ε¬0␈ε→∀␈↓ β(␈εn␈↓ β:␈ε¬<␈↓ βW␈εN␈↓ ¬∀␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ¬?␈εn␈↓ ¬Q␈ε¬<␈↓ ¬n␈εN␈↓ ε<␈ε¬0␈ε→∀␈↓ εg␈εk␈↓ εv␈ε¬<␈↓ π∩␈εm␈↓ λ
␈ε¬0␈ε→∀␈↓ λ8␈εj␈↓ λE␈ε¬<␈↓ λb␈εm
␈β
≥␈↓ ¬2␈ε↓X␈↓ εh␈ε↓X
␈β
&␈↓ ε∧␈ε↓∩␈↓ λ↔␈ε↓∪
␈β
)␈↓ ∧p␈εα1␈↓ ε%␈εα1
␈β
:␈↓ πY␈ε→␈␈↓ πv␈εn␈↓ λλ␈εk
␈β
@␈↓ ∧6␈εα=␈↓ πB␈ελ|␈↓ λ-␈ελS␈↓ 
p␈εα(49)
␈β
N␈↓ λ?␈εk␈↓ λM␈ε¬0
␈β
P␈↓ ∧h␈∧
P∧hα"␈↓ ε≡␈∧
Pε≡α 
␈β
Y␈↓ ∧h␈ελN␈↓ ε≡␈ελm
␈β
r␈↓ ¬∀␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ¬?␈εk␈↓ ¬M␈ε¬<␈↓ ¬j␈εm␈↓ εH␈ε¬0␈ε→∀␈↓ εs␈εn␈↓ π¬␈ε¬<␈↓ π"␈εN
␈βF␈↓ ↓H␈εαwhere
␈βN␈↓ ε¬␈ε↓X
␈βk␈↓ εs␈εx␈↓ π+␈ε¬+␈↓ πH␈εj␈↓ πU␈εk
␈βq␈↓ ¬ε␈ελS␈↓ ¬9␈εα=␈↓ ε\␈ελ|␈↓ πd␈εα.␈↓ 
p␈εα(50)
␈βt␈↓ πα␈ε
j␈↓ π
␈επ+␈↓ π$␈ε
l
␈β␈␈↓ ¬_␈εk␈↓ ¬'␈εl
␈β#␈↓ ¬g␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ε∩␈εj␈↓ ε ␈ε¬<␈↓ ε<␈εm
␈βi␈↓ β∃␈ε→␈␈↓ β2␈εl␈↓ β:␈εk
␈βn␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈↓ α≠␈ελS␈↓ αO␈εα=␈↓ α}␈ελ|␈↓ βH␈ελS␈↓ βw␈εα,␈α
so␈ε⊗␈α
j␈↓ ∧E␈ελS␈↓ ∧m␈ε⊗j␈εα␈α=␈ε⊗␈αj␈↓ ¬;␈ελS␈↓ ¬j␈ε⊗j␈εα␈α
for␈αall␈↓ εl␈ελl␈↓ εv␈εα,␈α
and␈αw␈α␈e␈α
can␈αcalculate␈α
this␈αcommon
␈β|␈↓ α-␈εk␈↓ α<␈εl␈↓ βZ␈εk␈↓ βi␈ε¬0␈↓ ∧W␈εk␈↓ ∧e␈εl␈↓ ¬M␈εk␈↓ ¬\␈ε¬0
␈β
→␈↓ ↓H␈εαvalue␈αby␈αfurther␈αexponen␈α␈tial-summery:
␈β
V␈↓ βM␈ε↓X
␈β
c␈↓ β⊂␈εα1
␈β
s␈↓ α>␈ε¬2␈↓ ∧←␈ε¬2
␈β
y␈↓ ↓{␈ε⊗j␈↓ α¬␈ελS␈↓ α4␈ε⊗j␈↓ αW␈εα=␈↓ ∧"␈ε⊗j␈↓ ∧,␈ελS␈↓ ∧U␈ε⊗j
␈β∞π␈↓ α↔␈εk␈↓ α&␈ε¬0␈↓ ∧>␈εk␈↓ ∧M␈εl
␈β∞
␈↓ β	␈∧∞
β	α 
␈β∞∩␈↓ β	␈ελm
␈β∞+␈↓ β2␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ β↑␈εl␈↓ βf␈ε¬<␈↓ ∧β␈εm
␈β∞N␈↓ βM␈ε↓X␈↓ ∧F␈ε↓X␈↓ εH␈ε↓X
␈β∞Z␈↓ β⊂␈εα1
␈β∞k␈↓ ¬5␈εx␈↓ ¬l␈ε¬+␈↓ ε	␈εj␈↓ ε⊗␈εk␈↓ π5␈ε→␈␈↓ πR␈εx␈↓ λ	␈ε→␈␈↓ λ&␈εi␈↓ λ1␈εk
␈β∞q␈↓ αW␈εα=␈↓ ¬≡␈ελ|␈↓ π≡␈ελ|
␈β∞s␈↓ ¬C␈ε
j␈↓ ¬N␈επ+␈↓ ¬e␈ε
l␈↓ π`␈ε
i␈↓ πk␈επ+␈↓ λ↓␈ε
l
␈β∂↓␈↓ β	␈∧∂↓β	α 
␈β∂	␈↓ β	␈ελm
␈β∂"␈↓ β2␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ β↑␈εl␈↓ βf␈ε¬<␈↓ ∧β␈εm␈↓ ∧(␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ∧T␈εj␈↓ ∧a␈ε¬<␈↓ ∧}␈εm␈↓ ε+␈ε¬0␈ε→∀␈↓ εV␈εi␈↓ εb␈ε¬<␈↓ ε}␈εm
␈β∂E␈↓ βZ␈ε↓X␈↓ ¬J␈ε↓X
␈β∂Q␈↓ β⊂␈εα1
␈β∂b␈↓ ∧R␈ε¬(␈↓ ∧\␈εj␈↓ ∧i␈ε→␈␈↓ ¬ε␈εi␈↓ ¬⊃␈ε¬)␈↓ ¬≠␈εk␈↓ ε6␈εx␈↓ εn␈ε→␈␈↓ π␈εx
␈β∂h␈↓ αW␈εα=␈↓ ∧;␈ελ|␈↓ ε∨␈ελ|
␈β∂k␈↓ εE␈ε
j␈↓ εP␈επ+␈↓ εg␈ε
l␈↓ π→␈ε
i␈↓ π#␈επ+␈↓ π:␈ε
l
␈β∂x␈↓ β	␈∧∂xβ	α 
␈β⊂␈↓ β	␈ελm
␈β⊂→␈↓ β2␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ β↑␈εi␈↓ βi␈ε¬,␈↓ βq␈εj␈↓ β}␈ε¬<␈↓ ∧≠␈εm␈↓ ¬/␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬Z␈εl␈↓ ¬c␈ε¬<␈↓ ¬␈␈εm
␈β⊂<␈↓ βO␈ε↓X␈↓ ∧\␈ε↓X␈↓ εV␈ε↓X
␈β⊂I␈↓ β⊂␈εα1
␈β⊂V␈↓ πZ␈ε
j␈↓ πe␈ε≠␈␈↓ π|␈ε
i␈↓ 	&␈ε
j␈↓ 	2␈ε≠␈␈↓ 	H␈ε
i
␈β⊂Y␈↓ ¬]␈ε¬(␈↓ ¬g␈εj␈↓ ¬t␈ε→␈␈↓ ε⊃␈εi␈↓ ε≤␈ε¬)␈↓ ε&␈εk␈↓ πB␈ε¬(␈↓ πK␈εa␈↓ λε␈ε→␈␈ε¬1)␈↓ λ;␈εx␈↓ λq␈ε¬+(␈↓ 	_␈εa␈↓ 	S␈ε→␈␈ε¬1)␈↓ 
λ␈εc␈↓ 
∪␈ε¬/␈α↓(␈↓ 
+␈εa␈↓ 
:␈ε→␈␈ε¬1)
␈β⊂←␈↓ αW␈εα=␈↓ ¬F␈ελ|␈↓ π+␈ελ|␈↓ 
o␈εα.
␈β⊂b␈↓ λI␈ε
i␈↓ λS␈επ+␈↓ λj␈ε
l
␈β⊂p␈↓ β	␈∧⊂pβ	α 
␈β⊂x␈↓ β	␈ελm
␈β⊃⊃␈↓ β2␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ β↑␈εi␈↓ βi␈ε¬<␈↓ ∧ε␈εm␈↓ ∧,␈εi␈↓ ∧7␈ε→∀␈↓ ∧T␈εj␈↓ ∧a␈ε¬<␈↓ ∧}␈εm␈↓ ¬_␈ε¬+␈↓ ¬5␈εi␈↓ ε;␈ε¬0␈ε→∀␈↓ εf␈εl␈↓ εn␈ε¬<␈↓ π␈εm
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.4␈ε∞␈↓ λ⊃T␈α␈HE␈α	SP␈α␈ECTRA␈α␈L␈α	TEST␈↓ 
v␈εα107
␈βα!␈↓ ¬(␈εs
␈βα&␈↓ ↓H␈εαLet␈↓ α
␈ελs␈↓ α%␈εαbe␈αminim␈α␈um␈αsuch␈αthat␈↓ ¬⊗␈ελa␈↓ ¬>␈ε⊗⊃␈εα␈α
1␈α
(modulo␈↓ π∀␈ελm␈↓ π4␈εα),␈αand␈αlet
␈βα←␈↓ ∧←␈ε→0␈↓ ¬<␈εs
␈βαe␈↓ ∧P␈ελs␈↓ ∧p␈εα=␈α
(␈↓ ¬*␈ελa␈↓ ¬P␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ ε~␈ελc␈↓ ε)␈εα/(␈↓ εG␈ελa␈↓ ε`␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ π0␈εαmod␈↓ πz␈ελm␈↓ λ~␈εα.
␈ββ≡␈↓ ε|␈ε→0
␈ββ$␈↓ ↓H␈εαThen␈↓ α"␈ελs␈↓ α9␈εαis␈αλa␈αλdivisor␈αλof␈↓ ∧␈ελm␈↓ ∧+␈εα,␈α	and␈↓ ¬␈ελx␈↓ ¬c␈ε⊗⊃␈↓ ε⊃␈ελx␈↓ ε6␈εα+␈↓ ε]␈ελj␈↓ εm␈ελs␈↓ π∞␈εα(modulo␈↓ λ~␈ελm␈↓ λ9␈εα).␈αThe␈αλsum␈αλon␈↓ 
⊗␈ελl␈↓ 
(␈εαvanishes
␈ββ1␈↓ ¬⊃␈εn␈↓ ¬"␈ε¬+␈↓ ¬?␈εj␈↓ ¬L␈εs␈↓ ε!␈εn
␈ββO␈↓ ↓H␈εαunless␈↓ α2␈ελj␈↓ αJ␈ε⊗␈␈↓ αv␈ελi␈↓ β⊂␈εαis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ ¬	␈ελs␈↓ ¬_␈εα,␈αso␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈ββj␈↓ ε2␈ε↓X
␈β∧∧␈↓ λ␈ε≠0
␈β∧π␈↓ ¬≠␈ε¬2␈↓ π.␈εj␈↓ π;␈εs␈↓ πH␈εk␈↓ πV␈ε¬+␈↓ πs␈εj␈↓ λ␈εs
␈β∧
␈↓ ∧X␈ε⊗j␈↓ ∧b␈ελS␈↓ ¬⊃␈ε⊗j␈↓ ¬3␈εα=␈↓ ¬a␈ελm␈↓ π↔␈ελ|␈↓ λ∩␈εα.
␈β∧≠␈↓ ∧t␈εk␈↓ ¬α␈ε¬0
␈β∧?␈↓ επ␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ε2␈εj␈↓ ε?␈ε¬<␈↓ ε\␈εm␈↓ εv␈ε¬/␈↓ π¬␈εs
␈β¬␈↓ αo␈ε→0␈↓ βC␈ε→0␈↓ ∧`␈ε→0
␈β¬¬␈↓ ↓H␈εαWe␈α
hav␈α␈e␈↓ α`␈ελs␈↓ βα␈εα=␈↓ β3␈ελq␈↓ βJ␈ελs␈↓ βg␈εαwhere␈↓ ∧P␈ελq␈↓ ∧u␈εαis␈α
relativ␈α␈ely␈α∞prime␈α
to␈↓ πP␈ελm␈↓ π⎇␈εα(cf.␈α∞ex␈α␈ercise␈α
3.2.1↑21),␈α∞so␈α
it
␈β¬0␈↓ ↓H␈εαturns␈αout␈αthat
␈β¬a␈↓ ∧4␈ε↓~␈↓ εy␈ε→0
␈β¬f␈↓ ∧J␈εα0,␈↓ ε↓␈εαif␈↓ ε#␈ελk␈↓ ε=␈εα+␈↓ εi␈ελq␈↓ π
␈ε⊗@⊃␈↓ π8␈εα0␈α
(modulo␈↓ λ`␈ελm␈↓ 	␈εα/␈↓ 	∩␈ελs␈↓ 	!␈εα)␈↓ 	-␈εα;
␈β¬{␈↓ β9␈ε⊗j␈↓ βC␈ελS␈↓ βr␈ε⊗j␈εα␈α
=␈↓ 
p␈εα(51)
␈βε	␈↓ βU␈εk␈↓ βd␈ε¬0
␈βε␈↓ εy␈ε→0
␈βε∂␈↓ ¬ ␈∧ε∂¬ α∂
␈βε⊂␈↓ ∧|␈ε⊗p
␈βε⊃␈↓ ∧J␈ελm␈↓ ∧j␈εα/␈↓ ¬ ␈ελs␈↓ ¬/␈εα,␈↓ ε↓␈εαif␈↓ ε#␈ελk␈↓ ε=␈εα+␈↓ εi␈ελq␈↓ π
␈ε⊗⊃␈εα␈α
0␈α
(modulo␈↓ λ`␈ελm␈↓ 	␈εα/␈↓ 	∩␈ελs␈↓ 	!␈εα)␈↓ 	-␈εα.
␈βεP␈↓ ↓H␈εαPutting␈αλthis␈αλinformation␈απback␈αλin␈α␈to␈αλ(49),␈α	and␈αλrecalling␈αλthe␈αλderivation␈αλof␈αλ(45),␈αλsho␈α␈ws
␈βε{␈↓ ↓H␈εαthat
␈βε⎇␈↓ ∧2␈ε↓␈␈↓ ε≥␈ε↓␈
␈βπ∂␈↓ ¬∞␈ε↓X␈↓ πD␈ε↓X
␈βπ∪␈↓ ∧2␈ε↓␈␈↓ ε≥␈ε↓␈
␈βπ≤␈↓ ∧J␈εα1␈↓ π␈ελm
␈βπ)␈↓ ∧2␈ε↓␈␈↓ ε≥␈ε↓␈
␈βπ,␈↓ ε␈εx
␈βπ3␈↓ ¬i␈ελ|␈↓ ε3␈ε⊗∀␈↓ π}␈ελr␈↓ λ∞␈εα(␈↓ λ~␈ελk␈↓ λ,␈εα),␈↓ 
p␈εα(52)
␈βπ5␈↓ ε∞␈ε
n
␈βπ>␈↓ ∧2␈ε↓␈␈↓ ε≥␈ε↓␈
␈βπC␈↓ ∧B␈∧πC∧Bα"␈↓ εe␈∧πCεeαU
␈βπK␈↓ ∧B␈ελN
␈βπT␈↓ π+␈∧πTπ+α∂
␈βπU␈↓ ππ␈ε⊗p
␈βπV␈↓ εe␈ελN␈↓ π+␈ελs
␈βπd␈↓ ∧n␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬→␈εn␈↓ ¬+␈ε¬<␈↓ ¬H␈εN␈↓ πW␈εk
␈βλ~␈↓ πa␈ε→0
␈βλ∨␈↓ ↓H␈εαwhere␈αthe␈αsum␈αis␈αo␈α␈v␈α␈er␈α0␈α
<␈↓ ∧v␈ελk␈↓ ¬∩␈εα<␈↓ ¬@␈ελm␈↓ ¬k␈εαsuch␈αthat␈↓ π␈ελk␈↓ π%␈εα+␈↓ πQ␈ελq␈↓ πs␈ε⊗⊃␈εα␈α
0␈α
(modulo␈↓ 	I␈ελm␈↓ 	h␈εα/␈↓ 	z␈ελs␈↓ 
	␈εα).␈αEx␈α␈ercise
␈βλJ␈↓ ↓H␈εα25␈αno␈α␈w␈αcan␈αbe␈αused␈αto␈αestimate␈αthe␈αremaining␈αsum,␈αand␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈βλr␈↓ βi␈ε↓␈␈↓ ¬T␈ε↓␈
␈β	α␈↓ πv␈ε↓ ␈↓ λj␈ε↓!
␈β	∧␈↓ ∧E␈ε↓X
␈β	λ␈↓ βi␈ε↓␈␈↓ ¬T␈ε↓␈
␈β	∂␈↓ ε\␈∧	∂ε\α∂
␈β	⊂␈↓ ∧↓␈εα1␈↓ ε≥␈εα2␈↓ ε8␈ε⊗p␈↓ ε\␈ελs␈↓ λ,␈ελm
␈β	≥␈↓ βi␈ε↓␈␈↓ ¬T␈ε↓␈
␈β	!␈↓ ¬6␈εx
␈β	'␈↓ ¬∨␈ελ|␈↓ ¬j␈ε⊗∀␈↓ εu␈εαln␈↓ π→␈ελs␈↓ π0␈εα+␈↓ π\␈ελO␈↓ 	↓␈εα.␈↓ 
p␈εα(53)
␈β	*␈↓ ¬E␈ε
n
␈β	3␈↓ βi␈ε↓␈␈↓ ¬T␈ε↓␈
␈β	7␈↓ βy␈∧	7βyα"␈↓ ε≤␈∧	7ε≤α∃␈↓ ε8␈∧	7ε8α3␈↓ λ⊃␈∧	7λ⊃αU
␈β	@␈↓ βy␈ελN␈↓ ε≤␈ελ→␈↓ εA␈ελN
␈β	I␈↓ λW␈∧	IλWα∂
␈β	J␈↓ λ3␈ε⊗p
␈β	K␈↓ λ⊃␈ελN␈↓ λW␈ελs
␈β	Y␈↓ ∧%␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ∧P␈εn␈↓ ∧b␈ε¬<␈↓ ∧␈␈εN
␈β	n␈↓ πL␈ε↓P
␈β
¬␈↓ π≠␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 	β␈εq␈↓ 	⊃␈εx
␈β

␈↓ ↓H␈εαThe␈α∞same␈α∂bound␈α∂can␈α∞be␈α∂used␈α∂to␈α∞estimate␈ε⊗␈α∂j␈↓ εy␈ελN␈↓ λl␈ελ|␈↓ 	.␈ε⊗j␈εα␈α∂for␈α∂an␈α␈y␈↓ 
I␈ελq␈↓ 
h␈ε⊗@⊃␈↓ ~␈εα0
␈β

␈↓ 	∨␈ε
n
␈β
≥␈↓ πr␈ε¬0␈ε→∀␈↓ λ≥␈εn␈↓ λ/␈ε¬<␈↓ λL␈εN
␈β
5␈↓ ↓H␈εα(modulo␈↓ αT␈ελm␈↓ αs␈εα),␈αsince␈αthe␈αe{ect␈αis␈αto␈αreplace␈↓ εP␈ελm␈↓ ε{␈εαin␈αthis␈αderivation␈αby␈αa␈αdivisor␈αof␈↓ β␈ελm␈↓ "␈εα.
␈β
`␈↓ ↓H␈εαIn␈αfact,␈αthe␈αupper␈αbound␈αgets␈αev␈α␈en␈αsmaller␈αwhen␈↓ πL␈ελq␈↓ πh␈εαhas␈αa␈αfactor␈αin␈αcommon␈αwith
␈β
␈↓ ∧␈∧
∧α∂
␈β␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓g␈εα,␈αsince␈↓ αU␈ελs␈↓ αp␈εαand␈↓ β6␈ελm␈↓ βV␈εα/␈↓ βh␈ε⊗p␈↓ ∧␈ελs␈↓ ∧'␈εαgenerally␈αbecome␈αsmaller.␈α→(See␈αex␈α␈ercise␈α26.)
␈β7␈↓ α␈εαWe␈αhav␈α␈e␈αno␈α␈w␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αthat␈αthe␈↓ ¬m␈ελg␈↓ ¬}␈εα(␈↓ ε
␈ελu␈↓ ε-␈εα,␈↓ ε=␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εm␈εα,␈↓ ε⎇␈ελu␈↓ π≤␈εα)␈αpart␈αof␈αour␈αupper␈αbound␈α(44)␈αon
␈βD␈↓ ε≡␈ε¬1␈↓ π⊃␈εt
␈βb␈↓ ↓H␈εαthe␈αdiscrepancy␈αis␈αsmall,␈αif␈↓ ∧v␈ελN␈↓ ¬#␈εαis␈αlarge␈αenough␈αand␈αif␈α(␈↓ λ
␈ελu␈↓ λ0␈εα,␈↓ λ@␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λp␈εα,␈↓ 	␈ελu␈↓ 	 ␈εα)␈αdoes␈αnot␈αsatisfy
␈βo␈↓ λ"␈ε¬1␈↓ 	∃␈εt
␈β
␈↓ ↓H␈εαthe␈α	spectral␈α	test␈α
congruence␈α	(15).␈αEx␈α␈ercise␈α
27␈α	pro␈α␈v␈α␈es␈α
that␈α	the␈↓ λ}␈ελf␈↓ 	⊂␈εα(␈↓ 	≤␈ελu␈↓ 	?␈εα,␈↓ 	O␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	␈␈εα,␈↓ 
∂␈ελu␈↓ 
.␈εα)␈α	part␈α	of
␈β~␈↓ 	0␈ε¬1␈↓ 
#␈εt
␈β8␈↓ ↓H␈εαour␈α
upper␈αbound␈αis␈α
small,␈αwhen␈αsummed␈α
o␈α␈v␈α␈er␈αall␈αthe␈α
nonzero␈αv␈α␈ectors␈α
(␈↓ 
∞␈ελu␈↓ 
1␈εα,␈↓ 
A␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
q␈εα,␈↓ ↓␈ελu␈↓  ␈εα)
␈βF␈↓ 
#␈ε¬1␈↓ ⊗␈εt
␈βc␈↓ ↓H␈εαsatisfying␈απ(15),␈α	pro␈α␈vided␈απthat␈αλall␈απsuch␈αλv␈α␈ectors␈αλare␈απfar␈αλaway␈απfrom␈αλ(0,␈↓ 	D␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	t␈εα,␈αε0).␈α
Putting
␈β
∂␈↓ ↓H␈εαthese␈αresults␈αtogether␈αleads␈αto␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αtheorem␈αof␈αNiederreiter:
␈β
E␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈α∂N.␈ε∂␈α≡Let␈ε⊗␈α∂h␈↓ βx␈ελX␈↓ ∧#␈ε⊗i␈ε∂␈α∂be␈α∂a␈α∂linear␈α∂congruen␈α␈tial␈α∂sequence␈εα␈α∂(␈↓ λl␈ελX␈↓ 	∪␈εα,␈↓ 	#␈ελa␈↓ 	5␈εα,␈↓ 	E␈ελc␈↓ 	S␈εα,␈↓ 	c␈ελm␈↓ 
β␈εα)␈ε∂␈α∂of␈α∞period
␈β
R␈↓ ∧⊃␈εn␈↓ 	¬␈ε¬0
␈β
k␈↓ 	β␈εs
␈β
p␈↓ ↓H␈ε∂length␈↓ α7␈ελm␈↓ αW␈ε∂,␈α∞and␈α
let␈↓ βl␈ελs␈↓ ∧λ␈ε∂be␈α∞the␈α
least␈α∞positiv␈α␈e␈α
in␈α␈teger␈α∞such␈α
that␈↓ λq␈ελa␈↓ 	≤␈ε⊗⊃␈εα␈α1␈α
(modulo␈↓ 
w␈ελm␈↓ ⊗␈εα)␈ε∂.
␈β∞≠␈↓ ↓H␈ε∂Let␈↓ α	␈ελ↔␈↓ α-␈ε∂be␈αthe␈↓ β→␈ελt␈↓ β&␈ε∂-dimensional␈αaccuracy␈αof␈ε⊗␈αh␈↓ εA␈ελX␈↓ εl␈ε⊗i␈ε∂,␈αas␈αdetermined␈αby␈αthe␈αspectral␈αtest.
␈β∞)␈↓ α_␈εt␈↓ εZ␈εn
␈β∞@␈↓ ε∀␈ε¬(␈↓ ε≡␈εt␈↓ ε(␈ε¬)
␈β∞F␈↓ ↓H␈ε∂Then␈αλthe␈↓ α]␈ελt␈↓ αj␈ε∂-dimensional␈αλdiscrepancy␈↓ ¬y␈ελD␈↓ ε:␈ε∂determined␈α	by␈αλthe␈α	|rst␈↓ 	$␈ελN␈↓ 	N␈ε∂values␈α	of␈ε⊗␈α	h␈↓ 
l␈ελX␈↓ ⊗␈ε⊗i␈ε∂,
␈β∞T␈↓ ¬␈εn
␈β∞Y␈↓ ε∀␈εN
␈β∞r␈↓ ↓H␈ε∂as␈αde|ned␈αin␈εα␈α(42)␈ε∂,␈αsatis|es
␈β∂⊃␈↓ λQ␈ε↓0␈↓ 	g␈ε↓1
␈β∂3␈↓ 	X␈εt
␈β∂6␈↓ β:␈ε↓ ␈↓ ¬Q␈ε↓!␈↓ ε7␈ε↓ ␈↓ πk␈ε↓!
␈β∂8␈↓ λm␈εα(␈↓ λy␈εαlog␈↓ 	-␈ελm␈↓ 	L␈εα)
␈β∂<␈↓ ¬C␈εt
␈β∂?␈↓ βy␈∧∂?βyα∂␈↓ π]␈εt
␈β∂@␈↓ βU␈ε⊗p
␈β∂A␈↓ βy␈ελs␈↓ ∧∞␈εαlog␈↓ ∧B␈ελs␈↓ ∧W␈εα(␈↓ ∧c␈εαlog␈↓ ¬↔␈ελm␈↓ ¬7␈εα)
␈β∂D␈↓ εR␈ελm␈↓ εq␈εα(␈↓ ε⎇␈εαlog␈↓ π1␈ελm␈↓ πQ␈εα)
␈β∂Q␈↓ λQ␈ε↓@␈↓ 	g␈ε↓A
␈β∂U␈↓ αJ␈ε¬(␈↓ αT␈εt␈↓ α←␈ε¬)
␈β∂[␈↓ α/␈ελD␈↓ αr␈εα=␈↓ β ␈ελO␈↓ ¬p␈εα+␈↓ ε≤␈ελO␈↓ λ
␈εα+␈↓ λ6␈ελO␈↓ 	␈␈εα;␈↓ 
p␈εα(54)
␈β∂l␈↓ βU␈∧∂lβUα↓y␈↓ εR␈∧∂lεRα↓⊗␈↓ λm␈∧∂lλmαw
␈β∂n␈↓ αJ␈εN
␈β∂t␈↓ ∧A␈ελN␈↓ 	≠␈ελ↔
␈β∂u␈↓ π8␈∧∂uπ8α∂
␈β∂v␈↓ εr␈ελN␈↓ π∀␈ε⊗p␈↓ π8␈ελs
␈β⊂↓␈↓ 	*␈εt
␈β⊂!␈↓ β:␈ε↓0␈↓ ∧P␈ε↓1
␈β⊂C␈↓ ∧B␈εt
␈β⊂H␈↓ βV␈εα(␈↓ βb␈εαlog␈↓ ∧⊗␈ελm␈↓ ∧6␈εα)
␈β⊂a␈↓ β:␈ε↓@␈↓ ∧P␈ε↓A
␈β⊂e␈↓ αJ␈ε¬(␈↓ αT␈εt␈↓ α←␈ε¬)
␈β⊂k␈↓ α/␈ελD␈↓ αr␈εα=␈↓ β ␈ελO␈↓ ∧h␈εα.␈↓ 
p␈εα(55)
␈β⊂|␈↓ βV␈∧⊂|βVαw
␈β⊂⎇␈↓ αJ␈εm
␈β⊃∧␈↓ ∧¬␈ελ↔
␈β⊃⊃␈↓ ∧∀␈εt
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα108␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.4
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α→The␈α|rst␈αt␈α␈w␈α␈o␈↓ ∧_␈ελO␈↓ ∧>␈εαterms␈αin␈α(54)␈αcome␈α
from␈αv␈α␈ectors␈α(␈↓ λN␈ελu␈↓ λq␈εα,␈↓ 	↓␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	1␈εα,␈↓ 	A␈ελu␈↓ 	`␈εα)␈αin␈α(44)␈αthat
␈βα4␈↓ λb␈ε¬1␈↓ 	U␈εt
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαdo␈α∞not␈α∞satisfy␈α∞(15),␈α∂since␈α∞ex␈α␈ercise␈α∞25␈α∞pro␈α␈v␈α␈es␈α∞that␈↓ π]␈ελf␈↓ πn␈εα(␈↓ πz␈ελu␈↓ λ≥␈εα,␈↓ λ-␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ]␈εα,␈↓ λm␈ελu␈↓ 	␈εα)␈α∞summed␈α∞o␈α␈v␈α␈er␈ε∂␈α∞all
␈βα]␈↓ β;␈ε↓␈␈↓ ¬¬␈ε↓↓␈↓ 
B␈ε↓␈
␈βα←␈↓ λ∞␈ε¬1␈↓ 	↓␈εt
␈βαx␈↓ ∧{␈εt
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελu␈↓ ↓w␈εα,␈↓ απ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α7␈εα,␈↓ αG␈ελu␈↓ αf␈εα)␈αis␈↓ β!␈ελO␈↓ βI␈εα((2/␈↓ ∧¬␈ελ→␈↓ ∧→␈εα)␈↓ ∧+␈εαln␈↓ ∧O␈ελm␈↓ ∧o␈εα)␈↓ ¬∨␈εαand␈αex␈α␈ercise␈α26␈αbounds␈αeach␈↓ λe␈ελg␈↓ λv␈εα(␈↓ 	α␈ελu␈↓ 	%␈εα,␈↓ 	5␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	e␈εα,␈↓ 	u␈ελu␈↓ 
∀␈εα).␈↓ 
P␈εαThese
␈ββλ␈↓ 	$␈ε↓↓
␈ββ
␈↓ ↓h␈ε¬1␈↓ α[␈εt␈↓ 	↔␈ε¬1␈↓ 

␈εt
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαterms␈α
are␈αmissing␈α
from␈α(55)␈αsince␈↓ ¬U␈ελg␈↓ ¬f␈εα(␈↓ ¬r␈ελu␈↓ ε∃␈εα,␈↓ ε%␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εU␈εα,␈↓ εe␈ελu␈↓ π∧␈εα)␈α
=␈α
0␈αin␈α
that␈αcase.␈↓ 	H␈εαThe␈α
remaining
␈ββ5␈↓ επ␈ε¬1␈↓ εz␈εt
␈ββS␈↓ ↓H␈ελO␈↓ ↓o␈εαterm␈α
in␈α(54)␈α
and␈α
(55)␈α
comes␈α
from␈α
nonzero␈α
v␈α␈ectors␈α
(␈↓ λ~␈ελu␈↓ λ=␈εα,␈↓ λM␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ⎇␈εα,␈↓ 	
␈ελu␈↓ 	,␈εα)␈α
that␈α
do␈αsatisfy
␈ββ`␈↓ λ.␈ε¬1␈↓ 	!␈εt
␈ββ}␈↓ ↓H␈εα(15),␈αusing␈αthe␈αbound␈αderiv␈α␈ed␈αin␈αex␈α␈ercise␈α27.␈α_(By␈αexamining␈αthis␈αproof␈αcarefully
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαit␈α
is␈α
possible␈α
to␈α
replace␈αeach␈↓ ¬β␈ελO␈↓ ¬'␈εαin␈α
these␈αform␈α␈ulas␈α
by␈α
an␈α
explicit␈α
function␈αof␈↓ 
P␈ελt␈↓ 
]␈εα.)
␈β∧.␈↓ ~␈∧∧.~≠∂
␈β∧m␈↓ α␈εαEq.␈α
(55)␈α
relates␈α
to␈α	the␈α
serial␈α
test␈α
in␈↓ ε-␈ελt␈↓ εD␈εαdimensions␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α	the␈α
en␈α␈tire␈α
period,␈α
while
␈β¬→␈↓ ↓H␈εαEq.␈α⊂(54)␈α⊂giv␈α␈es␈α⊂us␈α⊂information␈α⊃about␈α⊂the␈α⊂distribution␈α⊂of␈α⊂the␈α⊂|rst␈↓ 	c␈ελN␈↓ 
∀␈εαgenerated
␈β¬D␈↓ ↓H␈εαvalues␈α
when␈↓ β⊗␈ελN␈↓ βD␈εαis␈α
less␈α
than␈↓ ¬↓␈ελm␈↓ ¬!␈εα.␈α∂Note␈α
that␈α
(54)␈α
will␈α
guaran␈α␈tee␈αsmall␈α
discrepancy
␈β¬m␈↓ λ ␈∧¬mλ α∂
␈β¬n␈↓ π|␈ε⊗p
␈β¬o␈↓ ↓H␈εαonly␈α⊂when␈↓ α}␈ελs␈↓ β≤␈εαis␈α⊂su}cien␈α␈tly␈α⊂large,␈α⊃otherwise␈α⊂the␈↓ πJ␈ελm␈↓ πj␈εα/␈↓ λ ␈ελs␈↓ λ?␈εαterm␈α⊂will␈α⊂dominate.␈α↔If
␈βε∃␈↓ α7␈εe␈↓ β⊂␈εe␈↓ ε$␈εf␈↓ ε{␈εf␈↓ 	→␈εe␈↓ 	0␈ε→␈␈↓ 	L␈εf␈↓ 
$␈εe␈↓ 
;␈ε→␈␈↓ 
W␈εf
␈βε~␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓t␈εα=␈↓ α%␈ελp␈↓ αN␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α}␈ελp␈↓ β5␈εαand␈↓ β|␈εαgcd␈↓ ∧2␈εα(␈↓ ∧>␈ελa␈↓ ∧Y␈ε⊗␈␈εα␈α
1,␈↓ ¬)␈ελm␈↓ ¬H␈εα)␈α
=␈↓ ε∩␈ελp␈↓ ε9␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εi␈ελp␈↓ π⊃␈εα,␈α∞then␈↓ π|␈ελs␈↓ λ→␈εαequals␈↓ 	π␈ελp␈↓ 	a␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
⊃␈ελp␈↓ 
z␈εα(cf.
␈βε≥␈↓ ε.␈επ1␈↓ 	$␈επ1␈↓ 	V␈επ1
␈βε≡␈↓ αB␈επ1␈↓ β≠␈ε
r␈↓ π¬␈ε
r␈↓ 
/␈ε
r␈↓ 
a␈ε
r
␈βε,␈↓ α7␈ε¬1␈↓ β⊂␈εr␈↓ ε{␈εr␈↓ 
$␈εr
␈βε-␈↓ ε$␈ε¬1␈↓ 	→␈ε¬1
␈βεE␈↓ ↓H␈εαLemma␈α∞3.2.1.2P);␈α⊂th␈α␈us,␈α∞the␈α∂largest␈α∞values␈α∂of␈↓ π≥␈ελs␈↓ π:␈εαcorrespond␈α∂to␈α∞high␈α∞potency.␈α∪In
␈βεj␈↓ 
h␈ε¬(␈↓ 
r␈εt␈↓ 
|␈ε¬)
␈βεl␈↓ ∧Z␈εe
␈βεm␈↓ 	T␈ε¬1
␈βεq␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞common␈α∞case␈↓ βi␈ελm␈↓ ∧↔␈εα=␈↓ ∧H␈εα2␈↓ ∧u␈εαand␈↓ ¬=␈ελa␈↓ ¬]␈ε⊗⊃␈εα␈α∞5␈α∞(modulo␈α8),␈α∂w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈↓ 	↓␈ελs␈↓ 	≡␈εα=␈↓ 	f␈ελm␈↓ 
ε␈εα,␈α∂so␈↓ 
M␈ελD␈↓ ∀␈εαis
␈βε|␈↓ ↓b␈ε↓␈␈↓ ∧λ␈ε↓↓␈↓ ∧↑␈ε↓␈␈↓ ε∞␈ε↓↓
␈βπ↓␈↓ 	T␈∧π↓	Tα∂
␈βπβ␈↓ 	T␈ε¬4
␈βπ∧␈↓ 
h␈εN
␈βπ↔␈↓ β∨␈εt␈↓ β*␈ε¬+␈α␈1␈↓ ¬X␈εt
␈βπ~␈↓ α∀␈∧π~α∀α 
␈βπ≠␈↓ ↓p␈ε⊗p
␈βπ≤␈↓ ↓H␈ελO␈↓ α∀␈ελm␈↓ α3␈εα(␈↓ α?␈εαlog␈↓ αs␈ελm␈↓ β∪␈εα)␈↓ βU␈εα/␈↓ βg␈ελN␈↓ ∧≠␈εα+␈↓ ∧D␈ελO␈↓ ∧l␈εα(␈↓ ∧x␈εαlog␈↓ ¬,␈ελm␈↓ ¬L␈εα)␈↓ ¬b␈εα/␈↓ ¬t␈ελ↔␈↓ ε≤␈εα;␈α
Eq.␈α	(54)␈α
says␈α	that␈α
the␈α	discrepancy␈α
will␈α	be
␈βπ)␈↓ εβ␈εt
␈βπG␈↓ ↓H␈εαlo␈α␈w␈αin␈↓ α2␈ελt␈↓ αJ␈εαdimensions␈αif␈αthe␈αspectral␈αtest␈αis␈αpassed␈αand␈↓ λπ␈ελN␈↓ λ4␈εαis␈αsomewhat␈αlarger␈αthan
␈βπm␈↓ αw␈εt␈↓ β↓␈ε¬+1
␈βπq␈↓ ↓l␈∧πq↓lα 
␈βπr␈↓ ↓H␈ε⊗p␈↓ ↓l␈ελm␈↓ α␈εα(␈↓ α↔␈εαlog␈↓ αK␈ελm␈↓ αk␈εα)␈↓ β-␈εα.␈α≠(The␈α
methods␈α∞w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈α
used␈α
appear␈α∞to␈α
giv␈α␈e␈α
useful␈α
information
␈βλ≤␈↓ ε∪␈∧λ≤ε∪α 
␈βλ≥␈↓ ↓H␈εαonly␈αwhen␈↓ αv␈ελN␈↓ β#␈εαis␈αlarge␈αcompared␈αto␈↓ ¬o␈ε⊗p␈↓ ε∪␈ελm␈↓ ε3␈εα.)
␈βλa␈↓ ↓H␈ε∩G.␈α
Historical␈αremarks.␈εα␈α↔In␈α1959,␈αwhile␈αderiving␈α
upper␈αbounds␈αfor␈αthe␈αerror␈αin␈α
the
␈β	
␈↓ ↓H␈εαevaluation␈αλof␈↓ β≠␈ελt␈↓ β(␈εα-dimensional␈αλin␈α␈tegrals␈α	by␈αλthe␈α	Mon␈α␈te␈α	Carlo␈αλmethod,␈α	N.␈α	M.␈αλKorobo␈α␈v
␈β	8␈↓ ↓H␈εαdevised␈αλa␈αλway␈α	to␈αλrate␈α	the␈αλm␈α␈ultiplier␈α	of␈αλa␈αλlinear␈α	congruen␈α␈tial␈αλsequence.␈αHis␈αλform␈α␈ula
␈β	c␈↓ ↓H␈εα(which␈α∞is␈α∞rather␈α∞complicated)␈α∞is␈α∞related␈α∞to␈α∞the␈α∞spectral␈α∞test␈α∞since␈α∞it␈α∞is␈α∞strongly
␈β
∞␈↓ ↓H␈εαin⎇uenced␈αby␈α
\small"␈α
solutions␈α
to␈α(15);␈α∞but␈αit␈α
is␈α
not␈α
quite␈αthe␈α
same.␈α∞Korobo␈α␈v's
␈β
9␈↓ ↓H␈εαtest␈α∂has␈α∂been␈α∂the␈α∂subject␈α∂of␈α∂an␈α∂extensiv␈α␈e␈α∂literature,␈α⊂surv␈α␈ey␈α␈ed␈α∂by␈α∂Kuipers␈α∂and
␈β
e␈↓ ↓H␈εαNiederreiter␈αλin␈ε∂␈α	Uniform␈αλDistribution␈α	of␈αλSequences␈εα␈α	(New␈α	York:␈α
Wiley,␈α	1974),␈ε⊗␈α	x␈εα2.5.
␈β⊂␈↓ α␈εαThe␈α∂spectral␈α∂test␈α∂was␈α⊂originally␈α∂form␈α␈ulated␈α∂by␈α∂R.␈α∂R.␈α∂Co␈α␈v␈α␈ey␈α␈ou␈α∂and␈α∂R.␈α∂D.
␈β;␈↓ ↓H␈εαMacPherson␈α⊃[␈ε∂JA␈α␈CM␈ε∩␈α⊃14␈εα␈α⊃(1967),␈α∩100↑119],␈α∪who␈α⊃in␈α␈troduced␈α⊃it␈α⊃in␈α⊃an␈α⊃in␈α␈teresting
␈βg␈↓ ↓H␈εαindirect␈α∂way.␈α⊗Instead␈α∂of␈α⊂w␈α␈orking␈α∂with␈α⊂the␈α∂grid␈α∂structure␈α⊂of␈α∂successiv␈α␈e␈α∂poin␈α␈ts,
␈β∩␈↓ ↓H␈εαthey␈α
considered␈α
random-n␈α␈um␈α␈ber␈αgenerators␈α
as␈α
sources␈αof␈↓ λD␈ελt␈↓ λQ␈εα-dimensional␈α
\wav␈α␈es."
␈β≤␈↓ β&␈ε↓p
␈β7␈↓ βJ␈∧7βJα↓U
␈β8␈↓ λ→␈εt␈↓ λ$␈ε→␈␈ε¬1
␈β;␈↓ β]␈ε¬2␈↓ ¬⊂␈ε¬2
␈β=␈↓ ↓H␈εαThe␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈↓ βJ␈ελx␈↓ βs␈εα+␈↓ ∧∨␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧Q␈εα+␈↓ ∧⎇␈ελx␈↓ ¬,␈εαsuch␈α∂that␈↓ εQ␈ελx␈↓ εy␈εα+␈↓ π&␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πZ␈εα+␈↓ λπ␈ελa␈↓ λO␈ελx␈↓ λx␈ε⊗⊃␈εα␈α
0␈α∞(modulo␈↓ 
U␈ελm␈↓ 
t␈εα)␈α∞in
␈βJ␈↓ εa␈ε¬1␈↓ λ←␈εt
␈βO␈↓ β]␈ε¬1␈↓ ¬⊂␈εt
␈βh␈↓ ↓H␈εαtheir␈α	original␈α	treatmen␈α␈t␈α	w␈α␈ere␈α	the␈α	wav␈α␈e␈α	\frequencies,"␈α
or␈α	poin␈α␈ts␈α	in␈α	the␈α	\spectrum"
␈β
∪␈↓ ↓H␈εαde|ned␈α∞by␈α∞the␈α∞random-n␈α␈um␈α␈ber␈α∂generator,␈α∞with␈α∂lo␈α␈w-frequency␈α∞wav␈α␈es␈α∞being␈α∞the
␈β
?␈↓ ↓H␈εαmost␈α⊃damaging␈α∩to␈α∩randomness;␈α∀hence␈α∩the␈α∩name␈ε∂␈α∩spectral␈α⊃test.␈εα␈α≡Co␈α␈v␈α␈ey␈α␈ou␈α⊃and
␈β
j␈↓ ↓H␈εαMacPherson␈α∂in␈α␈troduced␈α⊂a␈α⊂procedure␈α⊂analogous␈α∂to␈α⊂Algorithm␈α⊂S␈α⊂for␈α∂performing
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εαtheir␈αtest,␈α
based␈αon␈αthe␈α
principle␈αof␈α
Lemma␈αA␈↓ π∨␈εα.␈α
Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
the␈αoriginal␈αprocedure
␈β∞;␈↓ ∧[␈εT␈↓ ¬w␈εT
␈β∞@␈↓ ↓H␈εα(which␈αused␈α
matrices␈↓ ∧ ␈ελU␈↓ ∧=␈ελU␈↓ ∧|␈εαand␈↓ ¬C␈ελV␈↓ ¬]␈ελV␈↓ ε_␈εαinstead␈α
of␈↓ π?␈ελU␈↓ πj␈εαand␈↓ λ0␈ελV␈↓ λJ␈εα)␈α
dealt␈α
with␈αextremely
␈β∞k␈↓ ↓H␈εαlarge␈α∂n␈α␈um␈α␈bers;␈α⊂the␈α⊂idea␈α∂of␈α∂w␈α␈orking␈α∂directly␈α∂with␈↓ πg␈ελU␈↓ λ∀␈εαand␈↓ λ]␈ελV␈↓ 	ε␈εαwas␈α∂independen␈α␈tly
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαsuggested␈αby␈αF.␈αJanssens␈αand␈αby␈αU.␈αDieter.
␈β∂B␈↓ α␈εαSev␈α␈eral␈α
other␈α
authors␈αpoin␈α␈ted␈α
out␈α
that␈α
the␈αspectral␈α
test␈α
could␈α
be␈α
understood
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαin␈α	far␈α	more␈α	concrete␈α	terms;␈α
by␈α	in␈α␈troducing␈α	the␈α	study␈α	of␈α	the␈α	grid␈α	and␈α	lattice␈α	struc-
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαtures␈αλcorresponding␈α	to␈αλlinear␈α	congruen␈α␈tial␈αλsequences,␈α	the␈α	fundamen␈α␈tal␈αλlimitations
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαon␈α	randomness␈α
became␈α
graphically␈α	clear.␈αSee␈α	G.␈α
Marsaglia,␈ε∂␈α
Proc.␈α
Nat.␈α
Acad.␈α	Sci.
␈β⊂o␈↓ ↓H␈ε∩61␈εα␈α(1968),␈α25↑28;␈α
W.␈αW.␈αWood,␈ε∂␈α
J.␈αChem.␈αPh␈α␈ys.␈ε∩␈α
48␈εα␈α(1968),␈α427;␈α
R.␈αR.␈αCo␈α␈v␈α␈ey␈α␈ou,
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε∂Studies␈α∂in␈α∂Applied␈α∂Math.␈ε∩␈α⊂3␈εα␈α∂(1969),␈α⊂70↑112;␈α⊃W.␈α∂A.␈α∂Bey␈α␈er,␈α⊃R.␈α∂B.␈α∂Roof,␈α⊂and␈α∂D.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.4␈ε∞␈↓ λ⊃T␈α␈HE␈α	SP␈α␈ECTRA␈α␈L␈α	TEST␈↓ 
v␈εα109
␈βα&␈↓ ↓H␈εαWilliamson,␈ε∂␈α∂Math.␈α∞Comp.␈ε∩␈α∞25␈εα␈α∞(1971),␈α∂345↑360;␈α⊂G.␈α∞Marsaglia␈α∞and␈α∂W.␈α∞A.␈α∞Bey␈α␈er,
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε∂Applications␈α∞of␈α∞Num␈α␈ber␈α∂Theory␈α∞to␈α∂Numerical␈α∞Analysis␈εα,␈α∂ed.␈α∞by␈α∂S.␈α∞K.␈α∞Zarem␈α␈ba
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εα(New␈αYork:␈αAcademic␈αPress,␈α1972),␈α249↑285,␈α361↑370.
␈ββ*␈↓ α␈εαHarald␈α	Niederreiter's␈α	papers␈αλconcerning␈α	the␈α	use␈αλof␈α	exponen␈α␈tial␈α	sums␈α	to␈αλstudy
␈ββU␈↓ ↓H␈εαthe␈αdistribution␈αof␈αlinear␈αcongruen␈α␈tial␈αsequences␈αhav␈α␈e␈αappeared␈αin␈ε∂␈αMath.␈αComp.
␈β∧␈↓ ↓H␈ε∩26␈εα␈α	(1972),␈α
793↑795;␈ε∩␈α28␈εα␈α	(1974),␈α
1117↑1132;␈ε∩␈α
30␈εα␈α
(1976),␈α
571↑597;␈ε∂␈α
Advances␈α
in␈α	Math.
␈β∧+␈↓ ↓H␈ε∩26␈εα␈α	(1977),␈α
99-181␈α
[this␈α	is␈α	the␈α
most␈α	importan␈α␈t␈α
paper␈α	of␈α
the␈α	series];␈αand␈ε∂␈α	Bull.␈α	Amer.
␈β∧V␈↓ ↓H␈ε∂Math.␈αSoc.␈ε∩␈α84␈εα␈α(1978),␈α273↑274.
␈β¬l␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈βεE␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	M10␈↓ αX␈εβ]␈α⊗To␈αwh␈α␈at␈αd␈α␈oes␈αth␈α␈e␈αspec␈α␈tral␈αtest␈αred␈α␈uce␈αin␈ε⊂␈αo␈α␈ne␈εβ␈αd␈α␈i␈α↓m␈α␈ensio␈α␈n?␈α→(In␈αoth␈α␈er␈αw␈α␈ord␈α␈s,
␈βεm␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈at␈αh␈α␈app␈α␈en␈α␈s␈αwhen␈↓ βs␈ε	t␈↓ ∧λ␈εβ=␈α
1?)
␈βπ&␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈20␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βK␈ε	V␈↓ βj␈εβ,␈↓ ∧α␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧.␈εβ,␈↓ ∧E␈ε	V␈↓ ∧n␈εβbe␈α
li␈α↓n␈α␈ea␈α␈rl␈α↓y␈αi␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈den␈α}t␈α
v␈α␈ecto␈α␈rs␈α
i␈α↓n␈↓ λr␈ε	t␈↓ λ}␈εβ-spa␈α␈ce,␈α∞let␈↓ 
 ␈ε	L␈↓ 
P␈εβb␈α␈e␈α
the
␈βπ1␈↓ β↑␈εε1␈↓ ∧W␈εt␈↓ 
6␈εε0
␈βπN␈↓ ↓H␈εβlat␈α␈ti␈α↓c␈α␈e␈αo␈α␈f␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈αde|␈α␈ne␈α␈d␈αby␈α(1␈α␈0),␈αan␈α␈d␈αlet␈↓ ε~␈ε	U␈↓ ε;␈εβ,␈↓ εP␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε⎇␈εβ,␈↓ π⊃␈ε	U␈↓ π<␈εβb␈α␈e␈αde|␈α␈ned␈αb␈α␈y␈α(19␈α␈).␈α
Pro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈at␈αthe
␈βπY␈↓ ε/␈εε1␈↓ π'␈εt
␈βπv␈↓ ↓H␈εβm␈α␈axim␈α␈u␈α␈m␈αλdista␈α␈nce␈αλb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈απ(␈↓ ∧g␈ε	t␈↓ ∧w␈ε↔␈␈εβ␈α∧1␈α␈)-dimen␈α␈siona␈α␈l␈α	h␈α}yp␈α␈erp␈α␈l␈α↓a␈α␈nes,␈α	o␈α}v␈α␈er␈αλa␈α␈l␈α↓l␈αλfamilies␈αλof␈αλpa␈α␈rallel
␈βλ≥␈↓ ↓H␈εβh␈α}yp␈α␈erp␈α␈l␈α↓a␈α␈nes␈α
th␈α␈at␈α
co␈α␈v␈α}er␈↓ ∧≥␈ε	L␈↓ ∧>␈εβ,␈αis␈α1␈α␈/␈↓ ¬~␈εβm␈α␈i␈α↓n␈↓ ¬Q␈ε↔f␈↓ ¬g␈ε	f␈↓ ¬w␈εβ(␈↓ εα␈ε	x␈↓ ε≡␈εβ,␈↓ ε-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εY␈εβ,␈↓ εh␈ε	x␈↓ π↓␈εβ)␈ε↔␈α
j␈εβ␈α	(␈↓ π3␈ε	x␈↓ πO␈εβ,␈↓ π↑␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ
␈εβ,␈↓ λ→␈ε	x␈↓ λ2␈εβ)␈ε↔␈α
≤␈εβ␈α	(0,␈↓ 	≤␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	H␈εβ,␈αε0)␈↓ 	x␈ε↔g␈↓ 
	␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ 
|␈ε	f␈↓ ⊗␈εβis
␈βλ(␈↓ ∧2␈εε0␈↓ ε∩␈εε1␈↓ εx␈εt␈↓ πC␈εε1␈↓ λ)␈εt
␈βλE␈↓ ↓H␈εβd␈α␈e|␈α␈ned␈α
i␈α↓n␈α
(17).
␈βλ}␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Det␈α␈ermine␈↓ ∧→␈ε	↔␈↓ ∧=␈εβan␈α␈d␈↓ ∧⎇␈ε	↔␈↓ ¬!␈εβf␈α↓o␈α␈r␈α
all␈α
l␈α↓in␈α␈ear␈α
co␈α␈ngr␈α␈uen␈α}ti␈α↓a␈α␈l␈αg␈α␈en␈α␈erato␈α␈rs␈α
of␈α
po␈α␈tenc␈α␈y␈α
2␈α
a␈α␈nd
␈β		␈↓ ∧&␈εε3␈↓ ¬␈εε4
␈β	&␈↓ ↓H␈εβp␈α␈eriod␈α
l␈α↓e␈α␈ngth␈↓ β∪␈ε	m␈↓ β0␈εβ.
␈β	[␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β	←␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β9␈ε	u␈↓ βe␈εβ,␈↓ β␈␈ε	u␈↓ ∧,␈εβ,␈↓ ∧F␈ε	u␈↓ ∧r␈εβ,␈↓ ¬␈ε	u␈↓ ¬I␈εβb␈α␈e␈α⊂elem␈α␈en␈α␈ts␈α∂of␈α⊂a␈α⊂2␈ε↔␈α
α␈εβ␈α2␈α∂in␈α␈teg␈α␈er␈α⊂ma␈α␈trix␈α⊂su␈α␈ch␈α∂tha␈α␈t
␈β	i␈↓ βL␈εε1␈α␈1␈↓ ∧∩␈εε12␈↓ ∧Y␈εε21␈↓ ¬ ␈εε2␈α␈2
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓␈␈εβ+␈↓ α*␈ε	a␈↓ α;␈ε	u␈↓ αx␈ε↔⊃␈↓ β+␈ε	u␈↓ βb␈εβ+␈↓ ∧∞␈ε	a␈↓ ∧≡␈ε	u␈↓ ∧\␈ε↔⊃␈εβ␈α⊃0␈α⊃(mod␈α␈ulo␈↓ ε2␈ε	m␈↓ εO␈εβ)␈α⊂an␈α␈d␈↓ π0␈ε	u␈↓ π\␈ε	u␈↓ λ∪␈ε↔␈␈↓ λ?␈ε	u␈↓ λk␈ε	u␈↓ 	)␈εβ=␈↓ 	[␈ε	m␈↓ 	x␈εβ.␈α#(a)␈α⊂Pro␈α␈v␈α␈e
␈β
⊃␈↓ ↓[␈εε1␈α␈1␈↓ αN␈εε12␈↓ β>␈εε21␈↓ ∧1␈εε22␈↓ πC␈εε1␈α␈1␈↓ πo␈εε22␈↓ λR␈εε2␈α␈1␈↓ λ}␈εε12
␈β
.␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α∂all␈α∂i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈α⊂s␈α␈olution␈α␈s␈α∂(␈↓ ∧R␈ε	y␈↓ ∧o␈εβ,␈↓ ∧}␈ε	y␈↓ ¬~␈εβ)␈α∂to␈α∂the␈α∂c␈α␈ong␈α␈rue␈α␈nce␈↓ πO␈ε	y␈↓ πu␈εβ+␈↓ λ!␈ε	a␈↓ λ1␈ε	y␈↓ λ↑␈ε↔⊃␈εβ␈α⊂0␈α⊂(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 
1␈ε	m␈↓ 
O␈εβ)␈α∂h␈α␈av␈α␈e
␈β
9␈↓ ∧b␈εε1␈↓ ¬
␈εε2␈↓ π↑␈εε1␈↓ λA␈εε2
␈β
V␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αform␈α(␈↓ α↑␈ε	y␈↓ α{␈εβ,␈↓ β	␈ε	y␈↓ β&␈εβ)␈α=␈α(␈↓ βt␈ε	x␈↓ ∧⊂␈ε	u␈↓ ∧?␈εβ+␈↓ ∧c␈ε	x␈↓ ∧␈␈ε	u␈↓ ¬,␈εβ,␈↓ ¬;␈ε	x␈↓ ¬W␈ε	u␈↓ εε␈εβ+␈↓ ε*␈ε	x␈↓ εF␈ε	u␈↓ εr␈εβ)␈α
fo␈α␈r␈α
in␈α␈te␈α␈ger␈↓ λ.␈ε	x␈↓ λJ␈εβ,␈↓ λ`␈ε	x␈↓ λ|␈εβ.␈α≤(b)␈α
If,␈α
in␈αad␈α␈dition␈α␈,
␈β
`␈↓ αn␈εε1␈↓ β→␈εε2␈↓ ∧∧␈εε1␈↓ ∧#␈εε11␈↓ ∧s␈εε2␈↓ ¬∪␈εε2␈α␈1␈↓ ¬J␈εε1␈↓ ¬j␈εε1␈α␈2␈↓ ε9␈εε2␈↓ εY␈εε2␈α␈2␈↓ λ>␈εε1␈↓ λp␈εε2
␈β
y␈↓ ∧∃␈εε2␈↓ ∧r␈εε2␈↓ ¬S␈εε2␈↓ ε1␈εε2
␈β
⎇␈↓ ↓H␈εβ2␈ε↔␈α␈j␈↓ ↓b␈ε	u␈↓ α∞␈ε	u␈↓ αB␈εβ+␈↓ αj␈ε	u␈↓ β↔␈ε	u␈↓ βC␈ε↔j␈α
∀␈↓ ∧␈ε	u␈↓ ∧5␈εβ+␈↓ ∧↑␈ε	u␈↓ ¬∃␈ε↔∀␈↓ ¬?␈ε	u␈↓ ¬t␈εβ+␈↓ ε≥␈ε	u␈↓ εJ␈εβ,␈αpro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈α(␈↓ λ
␈ε	y␈↓ λ)␈εβ,␈↓ λ8␈ε	y␈↓ λT␈εβ)␈α
=␈α	(␈↓ 	≡␈ε	u␈↓ 	K␈εβ,␈↓ 	Z␈ε	u␈↓ 
ε␈εβ)␈αminimize␈α␈s
␈βλ␈↓ ↓u␈εε1␈α␈1␈↓ α!␈εε21␈↓ α}␈εε1␈α␈2␈↓ β*␈εε2␈α␈2␈↓ λ≤␈εε1␈↓ λG␈εε2␈↓ 	2␈εε1␈α␈1␈↓ 	m␈εε1␈α␈2
␈β␈↓ ∧∃␈εε1␈α␈1␈↓ ∧r␈εε12␈↓ ¬S␈εε21␈↓ ε1␈εε2␈α␈2
␈β!␈↓ ↓Z␈εε2␈↓ α)␈εε2
␈β%␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ ↓n␈εβ+␈↓ α↔␈ε	y␈↓ αA␈εβo␈α␈v␈α}er␈αall␈αnon␈α␈zero␈α
solution␈α␈s␈αto␈αth␈α␈e␈αcon␈α␈gru␈α␈en␈α␈ce.
␈β4␈↓ ↓Z␈εε1␈↓ α)␈εε2
␈β↑␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈απtha␈α␈t␈απstep␈α␈s␈απS␈α␈1␈απth␈α␈roug␈α␈h␈απS␈α␈3␈απo␈α␈f␈απAlgorith␈α␈m␈απS␈αεcorrec␈α␈tl␈α↓y␈αεp␈α␈erform␈αεthe␈απsp␈α␈ectra␈α␈l
␈βα␈↓ λs␈ε~0␈↓ 	F␈εε2␈↓ 
 ␈ε~0␈↓ 
t␈εε2
␈βε␈↓ ↓H␈εβte␈α␈st␈αi␈α↓n␈αt␈α␈w␈α␈o␈αd␈α␈i␈α↓m␈α␈ensio␈α␈ns.␈α≠[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:␈εβ␈α
See␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α4,␈αand␈αpro␈α}v␈α␈e␈αth␈α␈at␈α(␈↓ λc␈ε	h␈↓ 	↓␈εβ+␈↓ 	+␈ε	h␈↓ 	;␈εβ)␈↓ 	[␈εβ+␈αλ(␈↓ 
∂␈ε	p␈↓ 
.␈εβ+␈↓ 
X␈ε	p␈↓ 
i␈εβ)␈↓ ␈ε↔∃
␈β)␈↓ ↓X␈εε2␈↓ α&␈εε2
␈β-␈↓ ↓H␈ε	h␈↓ ↓l␈εβ+␈↓ α∃␈ε	p␈↓ α=␈εβat␈αthe␈α
beg␈α␈i␈α↓n␈α␈nin␈α␈g␈αof␈αstep␈α
S2␈α␈.␈α↓]
␈βf␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β5␈ε	a␈↓ βQ␈εβ,␈↓ βg␈ε	a␈↓ ∧β␈εβ,␈↓ ∧→␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧E␈εβ,␈↓ ∧[␈ε	a␈↓ ¬&␈εβbe␈αt␈α␈he␈αp␈α␈artial␈αquo␈α␈tien␈α␈ts␈αof␈↓ λ3␈ε	a␈↓ λC␈εβ/␈↓ λT␈ε	m␈↓ λ⎇␈εβas␈αde|␈α␈ne␈α␈d␈αin␈αS␈α␈ection
␈βq␈↓ βE␈εε0␈↓ βv␈εε1␈↓ ∧j␈εt␈↓ ∧t␈ε~␈␈εε1
␈β
␈↓ πO␈εα(␈↓ 	→␈εα)
␈β
∞␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈.␈α↓3␈α␈.3,␈αand␈α
let␈↓ β⊃␈ε	A␈↓ β1␈εβ=␈↓ β[␈εβmax␈↓ ∧t␈ε	a␈↓ ¬⊂␈εβ.␈αP␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ εI␈ε	⊗␈↓ εp␈εβ>␈α
2␈↓ π+␈ε	→␈↓ π>␈εβ/␈↓ π[␈ε	A␈↓ πx␈εβ+␈αλ1␈απ+␈αλ1␈α␈/␈↓ 	β␈ε	A␈↓ 	%␈εβ.
␈β
→␈↓ ∧~␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧@␈εj␈↓ ∧L␈εε<␈↓ ∧e␈εt␈↓ ¬∧␈εj␈↓ εZ␈εε2
␈β
G␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈22␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αtha␈α␈t␈α
\qu␈α␈estion␈α(a)"␈αand␈α\q␈α␈uest␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
(b␈α␈)"␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
te␈α␈xt␈α
h␈α␈av␈α}e␈α
the␈αsame
␈β
l␈↓ π:␈εα(␈↓ λx␈εα)
␈β
o␈↓ ↓H␈εβso␈α␈lution␈α
f␈α↓o␈α␈r␈αreal␈αv␈α␈alues␈αo␈α␈f␈↓ ∧G␈ε	q␈↓ ∧←␈εβ,␈↓ ∧t␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬ ␈εβ,␈↓ ¬4␈ε	q␈↓ ¬r␈εβ,␈↓ επ␈ε	q␈↓ εD␈εβ,␈↓ εY␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π¬␈εβ,␈↓ π~␈ε	q␈↓ πF␈εβcf.␈α(2␈α␈4),␈α(26)␈↓ 	∧␈εβ.
␈β
y␈↓ ∧S␈εε1␈↓ ¬@␈εj␈↓ ¬L␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ε∪␈εj␈↓ ε∨␈εε+1␈↓ π&␈εt
␈β∞(␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	M16␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Line␈α18␈αo␈α␈f␈αTab␈α␈le␈α1␈αhas␈αa␈αv␈α␈e␈α␈ry␈αl␈α↓o␈α}w␈αv␈α␈alue␈αo␈α␈f␈↓ πq␈ε	⊗␈↓ λ∂␈εβ,␈αy␈α}et␈↓ λ\␈ε	⊗␈↓ 	ε␈εβis␈αqu␈α␈i␈α↓te␈αsa␈α␈ti␈α↓sfa␈α␈ctory␈α␈.
␈β∞3␈↓ λα␈εε2␈↓ λn␈εε3
␈β∞L␈↓ π`␈ε~␈␈εε6␈↓ 	D␈εε10
␈β∞P␈↓ ↓H␈εβWh␈α␈at␈αis␈αthe␈αh␈α␈i␈α↓g␈α␈he␈α␈st␈αpossib␈α␈l␈α↓e␈α
valu␈α␈e␈αof␈↓ ¬m␈ε	⊗␈↓ ε⊗␈εβwhen␈↓ εm␈ε	⊗␈↓ π∀␈εβ=␈α
1␈↓ πP␈εβ0␈↓ λ⊃␈εβan␈α␈d␈↓ λR␈ε	m␈↓ λx␈εβ=␈α
1␈↓ 	4␈εβ0␈↓ 	]␈εβ?
␈β∞Z␈↓ ¬}␈εε3␈↓ ε}␈εε2
␈β∂	␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈32␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(C.␈α	Hermite,␈α	18␈α␈46.)␈α∪Let␈↓ ¬o␈ε	f␈↓ ¬␈␈εβ(␈↓ ε
␈ε	x␈↓ ε&␈εβ,␈↓ ε5␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ εa␈εβ,␈↓ εp␈ε	x␈↓ π	␈εβ)␈α	b␈α␈e␈α	a␈αλpo␈α␈si␈α↓tiv␈α}e␈α	de␈α␈|n␈α␈i␈α↓te␈αλqu␈α␈ad␈α␈ratic␈α	fo␈α␈rm,
␈β∂∀␈↓ ε→␈εε1␈↓ ε␈␈εt
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβd␈α␈e|␈α␈ned␈αεby␈αεthe␈αεmatrix␈↓ ∧↓␈ε	U␈↓ ∧#␈εβa␈α␈s␈απi␈α↓n␈αε(17␈α␈)␈α↓,␈αλa␈α␈nd␈αεlet␈↓ ε≠␈ε	∩␈↓ ε0␈εβbe␈απth␈α␈e␈απmin␈α␈i␈α↓m␈α␈u␈α␈m␈απv␈α␈alue␈αεof␈↓ 	⊗␈ε	f␈↓ 	-␈εβat␈απn␈α␈on␈α␈zero␈αεi␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈β∂T␈↓ ∧B␈εε(␈↓ ∧J␈εt␈↓ ∧T␈ε~␈␈εε1)/2␈↓ εβ␈εε2␈α␈/␈↓ ε≤␈εt
␈β∂U␈↓ ∧'␈εε4
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβp␈α␈oin␈α␈ts.␈α
P␈α↓ro␈α␈v␈α}e␈α
th␈α␈at␈↓ βV␈ε	∩␈↓ βm␈ε↔∀␈εβ␈α
(␈↓ ∧7␈εβ)␈↓ ¬≤␈ε↔j␈↓ ¬*␈εβdet␈↓ ¬↑␈ε	U␈↓ ¬y␈ε↔j␈↓ ε%␈εβ.␈α↔[␈ε⊂Hin␈α␈ts:␈εβ␈αIf␈↓ πO␈ε	W␈↓ πz␈εβis␈α
an␈α}y␈α
in␈α␈t␈α␈eger␈α
m␈α␈atrix␈α
o␈α␈f␈α
dete␈α␈r-
␈β∂f␈↓ ∧'␈∧∂f∧'α
␈β∂h␈↓ ∧'␈εε3
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t␈απ1␈α␈,␈αλth␈α␈e␈αεmatrix␈↓ βs␈ε	W␈↓ ∧∀␈ε	U␈↓ ∧5␈εβde|␈α␈ne␈α␈s␈απa␈αεfo␈α␈rm␈αεequ␈α␈i␈α↓v␈α␈alen␈α}t␈απto␈↓ π?␈ε	f␈↓ πN␈εβ;␈α	a␈α␈nd␈αεif␈↓ λ6␈ε	S␈↓ λQ␈εβis␈απa␈α␈n␈α␈y␈αεo␈α␈rtho␈α␈gon␈α␈al␈αεmatrix
␈β⊂#␈↓ α&␈ε~␈␈εε1␈↓ β∀␈εT
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβ(i.e.,␈↓ α⊃␈ε	S␈↓ αU␈εβ=␈↓ α␈␈ε	S␈↓ β&␈εβ),␈αthe␈αm␈α␈atrix␈↓ ∧l␈ε	U␈↓ ¬π␈ε	S␈↓ ¬&␈εβde␈α␈|n␈α␈es␈αa␈αfo␈α␈rm␈αide␈α␈n␈α␈tically␈αe␈α␈qu␈α␈al␈αto␈↓ 	∨␈ε	f␈↓ 	/␈εβ.␈αS␈α␈ho␈α␈w␈αt␈α␈hat␈α
there
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβis␈α	an␈αλeq␈α␈uiva␈α␈l␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈α	form␈↓ β}␈ε	g␈↓ ∧↔␈εβwho␈α␈se␈α	minim␈α␈u␈α␈m␈↓ ε
␈ε	∩␈↓ ε!␈εβocc␈α␈urs␈α	at␈α	(1␈α␈,␈αε0,␈↓ πv␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ"␈εβ,␈αε0␈α␈).␈αThe␈α␈n␈α	pr␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α	th␈α␈e␈α	g␈α␈enera␈α␈l
␈β⊂r␈↓ 	O␈εε2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβre␈α␈sult␈α	by␈α	ind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α	on␈↓ ∧⊂␈ε	t␈↓ ∧≠␈εβ,␈α
wri␈α↓tin␈α␈g␈↓ ¬∨␈ε	g␈↓ ¬/␈εβ(␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬V␈εβ,␈↓ ¬e␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε⊃␈εβ,␈↓ ε ␈ε	x␈↓ ε9␈εβ)␈α
=␈↓ εx␈ε	∩␈↓ πε␈εβ(␈↓ π∩␈ε	x␈↓ π3␈εβ+␈↓ πY␈ε	␈␈↓ πv␈ε	x␈↓ λ↔␈εβ+␈↓ λ>␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ λj␈εβ+␈↓ 	⊂␈ε	␈␈↓ 	*␈ε	x␈↓ 	D␈εβ)␈↓ 	`␈εβ+␈↓ 
π␈ε	h␈↓ 
↔␈εβ(␈↓ 
"␈ε	x␈↓ 
>␈εβ,␈↓ 
M␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
y␈εβ,␈↓ λ␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β⊃↓␈↓ ¬J␈εε1␈↓ ε0␈εt␈↓ π!␈εε1␈↓ πj␈εε2␈↓ λε␈εε2␈↓ 	!␈εt␈↓ 	:␈εt␈↓ 
2␈εε2␈↓ _␈εt
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε	h␈↓ αC␈εβi␈α↓s␈αa␈α
positiv␈α␈e␈α
de|␈α␈nite␈αq␈α␈uad␈α␈ratic␈αform␈α
i␈α↓n␈↓ ε|␈ε	t␈↓ π⊂␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αv␈α␈ariab␈α␈l␈α↓es␈α␈.␈α↓]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα110␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.3.4
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	M28␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈α
(␈↓ β>␈ε	y␈↓ βZ␈εβ,␈↓ βi␈ε	y␈↓ ∧¬␈εβ)␈α
be␈α	relativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α	p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α
in␈α␈teg␈α␈ers␈α
su␈α␈ch␈α	tha␈α␈t␈↓ λ?␈ε	y␈↓ λa␈εβ+␈↓ 	λ␈ε	a␈↓ 	→␈ε	y␈↓ 	>␈ε↔⊃␈εβ␈α
0␈α	(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ ∧␈ε	m␈↓ !␈εβ)
␈βα3␈↓ β&␈ε↓p
␈βα5␈↓ βM␈εε1␈↓ βy␈εε2␈↓ λO␈εε1␈↓ 	(␈εε2
␈βαN␈↓ βJ␈∧αNβJα2
␈βαS␈↓ α~␈εε2␈↓ αe␈εε2
␈βαW␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ απ␈ε	y␈↓ α,␈εβ+␈↓ αS␈ε	y␈↓ α{␈εβ<␈↓ βJ␈εβ4␈α␈/3␈↓ ∧↓␈ε	m␈↓ ∧∨␈εβ.␈α
Sh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈ere␈α
ex␈α␈ist␈α
in␈α␈teg␈α␈ers␈α
(␈↓ πw␈ε	u␈↓ λ↔␈εβ,␈↓ λ%␈ε	u␈↓ λE␈εβ)␈α
su␈α␈ch␈α
th␈α␈at␈↓ 	k␈ε	u␈↓ 
⊃␈εβ+␈↓ 
8␈ε	a␈↓ 
H␈ε	u␈↓ 
q␈ε↔⊃␈εβ␈α
0
␈βαa␈↓ λ
␈εε1␈↓ λ8␈εε2␈↓ 	␈␈εε1␈↓ 
[␈εε2
␈βαf␈↓ α~␈εε1␈↓ αe␈εε2
␈βαz␈↓ πR␈εε2␈↓ λ∂␈εε2␈↓ λ=␈εε2␈↓ λx␈εε2␈↓ 	}␈εε2␈↓ 
F␈εε2␈↓ 
|␈εε2
␈βα}␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	m␈↓ αf␈εβ)␈α↓,␈↓ ββ␈ε	u␈↓ β#␈ε	y␈↓ βB␈ε↔␈␈↓ βg␈ε	u␈↓ ∧ε␈ε	y␈↓ ∧,␈εβ=␈↓ ∧V␈ε	m␈↓ ∧t␈εβ,␈αλ2␈ε↔j␈↓ ¬∨␈ε	u␈↓ ¬?␈ε	y␈↓ ¬↑␈εβ+␈↓ εβ␈ε	u␈↓ ε"␈ε	y␈↓ ε?␈ε↔j␈α	∀␈↓ ε|␈εβmin␈↓ π3␈εβ(␈↓ π>␈ε	u␈↓ π\␈εβ+␈↓ π{␈ε	u␈↓ λ≤␈εβ,␈↓ λ+␈ε	y␈↓ λG␈εβ+␈↓ λf␈ε	y␈↓ 	¬␈εβ),␈α	a␈α␈nd␈απ(␈↓ 	j␈ε	u␈↓ 
∞␈εβ+␈↓ 
2␈ε	u␈↓ 
S␈εβ)(␈↓ 
i␈ε	y␈↓ ␈εβ+
␈ββ	␈↓ β⊗␈εε1␈↓ β3␈εε2␈↓ βz␈εε2␈↓ ∧⊗␈εε1␈↓ ¬2␈εε1␈↓ ¬O␈εε1␈↓ ε⊗␈εε2␈↓ ε2␈εε2
␈ββ
␈↓ πR␈εε1␈↓ λ∂␈εε2␈↓ λ=␈εε1␈↓ λx␈εε2␈↓ 	}␈εε1␈↓ 
F␈εε2␈↓ 
|␈εε1
␈ββ"␈↓ ↓Z␈εε2␈↓ αC␈εε2␈↓ ¬?␈εε2␈↓ εV␈εε2␈↓ π≠␈εε2␈↓ πI␈εε2␈↓ λ
␈εε2
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ ↓g␈εβ)␈ε↔␈α	∃␈↓ α&␈ε	m␈↓ αO␈εβ.␈α~(Hen␈α␈ce␈αby␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α4,␈↓ ¬/␈ε	↔␈↓ ¬U␈εβ=␈↓ ¬␈␈εβmin␈↓ ε7␈εβ(␈↓ εB␈ε	u␈↓ εd␈εβ+␈↓ ππ␈ε	u␈↓ π(␈εβ,␈↓ π7␈ε	y␈↓ πX␈εβ+␈↓ π{␈ε	y␈↓ λ~␈εβ).)
␈ββ5␈↓ ↓Z␈εε2␈↓ ¬?␈εε2␈↓ εV␈εε1␈↓ π≠␈εε2␈↓ πI␈εε1␈↓ λ
␈εε2
␈ββR␈↓ ↓;␈ε↓x
␈ββV␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈30␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(Alan␈αG.␈αWate␈α␈rman␈α␈,␈α1␈α␈974␈α␈.)␈α→I␈α↓n␈α}v␈α␈e␈α␈n␈α␈t␈αa␈αre␈α␈ason␈α␈ab␈α␈l␈α↓y␈α
e}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈αp␈α␈roced␈α␈ure␈α
tha␈α␈t
␈ββ}␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈utes␈απm␈α␈ultipliers␈↓ β{␈ε	a␈↓ ∧∀␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α	(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈α
4)␈αλfor␈απwhich␈απthere␈απex␈α␈i␈α↓sts␈απa␈αλrelat␈α␈i␈α↓v␈α}ely␈αλp␈α␈rime␈αλso␈α␈l␈α↓u␈α␈tion
␈β∧π␈↓ λ ␈ε↓p
␈β∧"␈↓ λD␈∧∧"λDα2
␈β∧&␈↓ π→␈εε2␈↓ π`␈εε2
␈β∧*␈↓ ↓H␈εβto␈απthe␈αλc␈α␈ong␈α␈rue␈α␈nce␈↓ βM␈ε	y␈↓ βl␈εβ+␈↓ ∧⊃␈ε	a␈↓ ∧!␈ε	y␈↓ ∧G␈ε↔⊃␈εβ␈α	0␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ ε
␈ε	m␈↓ ε*␈εβ)␈αλwi␈α↓th␈↓ πε␈ε	y␈↓ π)␈εβ+␈↓ πM␈ε	y␈↓ πu␈εβ=␈↓ λD␈εβ4/␈α␈3␈↓ λ|␈ε	m␈↓ 	≤␈ε↔␈␈↓ 	A␈ε	∂␈↓ 	N␈εβ,␈α	wh␈α␈ere␈↓ 
=␈ε	∂␈↓ 
S␈εβ>␈α
0␈απis
␈β∧5␈↓ β\␈εε1␈↓ ∧1␈εε2
␈β∧:␈↓ π→␈εε1␈↓ π`␈εε2
␈β∧N␈↓ ¬'␈εe
␈β∧R␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈α
sm␈α␈all␈α
as␈α	po␈α␈ssible,␈α
giv␈α}en␈↓ ∧E␈ε	m␈↓ ∧l␈εβ=␈↓ ¬⊗␈εβ2␈↓ ¬2␈εβ.␈α∃(By␈α	ex␈α}ercise␈α	10,␈α
th␈α␈is␈α
ch␈α␈oice␈α	of␈↓ 	↓␈ε	a␈↓ 	≠␈εβwil␈α↓l␈α	gua␈α␈ran␈α}tee␈α	tha␈α␈t
␈β∧[␈↓ ∧
␈ε↓p
␈β∧v␈↓ ∧.␈∧∧v∧.α2
␈β∧z␈↓ ↓W␈εε2␈↓ α5␈εε2␈↓ αp␈εε2␈↓ β?␈εε2␈↓ λ/␈εε2
␈β∧␈␈↓ ↓H␈ε	↔␈↓ ↓m␈ε↔∃␈↓ α_␈ε	m␈↓ αB␈εβ/␈α␈(␈↓ α]␈ε	y␈↓ β∧␈εβ+␈↓ β,␈ε	y␈↓ βK␈εβ)␈α
>␈↓ ∧.␈εβ3/4␈↓ ∧f␈ε	m␈↓ ¬β␈εβ,␈αand␈α
the␈α␈re␈αis␈αa␈αch␈α␈anc␈α␈e␈αtha␈α␈t␈↓ λ∨␈ε	↔␈↓ λG␈εβwill␈αbe␈αn␈α␈ear␈αits␈αop␈α␈tim␈α␈um
␈β¬␈↓ α#␈ε↓p
␈β¬∞␈↓ ↓W␈εε2␈↓ αp␈εε1␈↓ β?␈εε2␈↓ λ/␈εε2
␈β¬&␈↓ αG␈∧¬&αGα2
␈β¬/␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈↓ αG␈εβ4/3␈↓ α␈␈ε	m␈↓ β≤␈εβ.␈α∀In␈α
prac␈α␈ti␈α↓c␈α␈e␈α∞w␈α␈e␈α∞will␈α∂c␈α␈omp␈α␈ute␈α
sev␈α␈era␈α␈l␈α∞such␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓iers␈α
hav␈α␈ing␈α
small␈↓ ⊗␈ε	∂␈↓ #␈εβ,
␈β¬V␈↓ ↓H␈εβc␈α␈hoo␈α␈sing␈αth␈α␈e␈αon␈α␈e␈αwith␈αb␈α␈est␈αspe␈α␈ctral␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈↓ ε9␈ε	↔␈↓ εS␈εβ,␈↓ εh␈ε	↔␈↓ πα␈εβ,␈↓ π↔␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ πI␈εβ.)
␈β¬a␈↓ εG␈εε2␈↓ εv␈εε3
␈βεπ␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈23␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈α␈,␈α∞witho␈α␈ut␈α
g␈α␈eom␈α␈etrical␈α
h␈α␈an␈α␈dwav␈α␈ing,␈α
th␈α␈at␈α
a␈α␈n␈α␈y␈αsolutio␈α␈n␈α
to␈αth␈α␈e␈α
tex␈α␈t's
␈βε.␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈qu␈α␈estion␈α(b␈α␈)"␈αm␈α␈u␈α␈st␈αalso␈αsatisfy␈α
the␈αset␈αo␈α␈f␈αequ␈α␈ation␈α␈s␈α(␈α↓2␈α␈6).
␈βε←␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈22␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Lemma␈α
A␈α∂u␈α␈ses␈α∞the␈α∞fa␈α␈ct␈α∞tha␈α␈t␈↓ εE␈ε	U␈↓ εn␈εβis␈α∞no␈α␈nsing␈α␈ular␈α∞to␈α∞p␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈α∞that␈α∞a␈α∞p␈α␈ositiv␈α␈e
␈βππ␈↓ ↓H␈εβd␈α␈e|␈α␈nite␈αqua␈α␈dra␈α␈tic␈α
fo␈α␈rm␈α
a␈α␈ttains␈αa␈αde␈α␈|n␈α␈i␈α↓te␈α␈,␈α
non␈α␈zero␈αm␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um␈αv␈α␈alue␈αat␈αno␈α␈nze␈α␈ro␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈βπ.␈↓ ↓H␈εβp␈α␈oin␈α␈ts.␈α∃Sh␈α␈o␈α␈w␈α∂th␈α␈at␈α∞this␈α∞h␈α␈yp␈α␈oth␈α␈esis␈α∂is␈α∞nec␈α␈essary␈α␈,␈α⊂b␈α␈y␈α∂e␈α␈xh␈α␈i␈α↓b␈α␈iti␈α↓n␈α␈g␈α∞a␈α∞qua␈α␈dra␈α␈ti␈α↓c␈α∞form␈α∞(19␈α␈)
␈βπV␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ose␈α∞m␈α␈atrix␈α∞o␈α␈f␈α∂c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓en␈α}ts␈α∞is␈α∞si␈α↓n␈α␈gu␈α␈lar,␈α∂an␈α␈d␈α∞for␈α∞wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α∞th␈α␈e␈α∞va␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈α∞of␈↓ 	M␈ε	f␈↓ 	]␈εβ(␈↓ 	h␈ε	x␈↓ 
∧␈εβ,␈↓ 
∪␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
?␈εβ,␈↓ 
N␈ε	x␈↓ 
g␈εβ)␈α∞ge␈α␈t
␈βπ`␈↓ 	w␈εε1␈↓ 
]␈εt
␈βπ⎇␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rbitrar␈α␈i␈α↓ly␈αn␈α␈ear␈αz␈α␈ero␈α(b␈α␈ut␈αne␈α␈v␈α␈er␈αrea␈α␈ch␈αit)␈αat␈αn␈α␈on␈α␈zero␈αin␈α}teger␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈α(␈↓ 	!␈ε	x␈↓ 	=␈εβ,␈↓ 	L␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	x␈εβ,␈↓ 
π␈ε	x␈↓ 
 ␈εβ).
␈βλλ␈↓ 	0␈εε1␈↓ 
⊗␈εt
␈βλ.␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	24␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Perform␈αAlgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αS␈α
by␈αh␈α␈an␈α␈d,␈αfor␈↓ εW␈ε	m␈↓ ε⎇␈εβ=␈α
10␈α␈0,␈↓ πn␈ε	a␈↓ λλ␈εβ=␈α	41,␈↓ λh␈ε	T␈↓ 		␈εβ=␈α	3.
␈βλZ␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλ↑␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β9␈ε	U␈↓ βd␈εβbe␈α⊂an␈α∂in␈α␈teg␈α␈er␈α⊂v␈α␈ecto␈α␈r␈α⊂satisfyin␈α␈g␈α⊂(15).␈α≠Ho␈α}w␈α⊃m␈α␈an␈α␈y␈α∂of␈α⊂the␈α⊂(␈↓ 
C␈ε	t␈↓ 
Y␈ε↔␈␈εβ␈α1␈α␈)-
␈β	ε␈↓ ↓H␈εβd␈α␈imen␈α␈si␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αh␈α␈y␈α␈pe␈α␈rplan␈α␈es␈αde|␈α␈ned␈α
by␈↓ ¬[␈ε	U␈↓ ε↓␈εβi␈α↓n␈α}tersect␈αth␈α␈e␈αu␈α␈nit␈αh␈α␈y␈α␈per␈α␈cub␈α␈e␈↓ 	(␈ε↔f␈↓ 	?␈εβ(␈↓ 	J␈ε	x␈↓ 	f␈εβ,␈↓ 	u␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
!␈εβ,␈↓ 
0␈ε	x␈↓ 
I␈εβ)␈ε↔␈α
j␈εβ␈α
0␈ε↔␈α	∀
␈β	⊂␈↓ 	Y␈εε1␈↓ 
?␈εt
␈β	-␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓q␈εβ<␈α∂1␈↓ α=␈εβfo␈α␈r␈↓ αp␈εβ1␈ε↔␈α∞∀␈↓ β?␈ε	j␈↓ β\␈ε↔∀␈↓ ∧␈ε	t␈↓ ∧≥␈ε↔g␈↓ ∧.␈εβ?␈α∨(Th␈α␈is␈α∂is␈α∞a␈α␈pp␈α␈ro␈α␈xima␈α␈tely␈α∞th␈α␈e␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α∞of␈α∞h␈α␈y␈α␈perp␈α␈lane␈α␈s␈α∞i␈α↓n␈α
the
␈β	8␈↓ ↓W␈εj
␈β	U␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈mil␈α↓y␈α
tha␈α␈t␈αwi␈α↓ll␈αsu}␈α␈ce␈αto␈αco␈α}v␈α␈er␈↓ ¬~␈ε	L␈↓ ¬<␈εβ.)
␈β	`␈↓ ¬/␈εε0
␈β
¬␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(U.␈α∞Dieter.)␈α≡Sh␈α␈o␈α␈w␈α∞ho␈α}w␈α∞to␈α∞m␈α␈od␈α␈i␈α↓fy␈α
Algorith␈α␈m␈α∞S␈α
in␈α∞o␈α␈rder␈α
to␈α∞ca␈α␈lculate␈α
the
␈β
-␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈↓ βV␈ε	N␈↓ ∧∧␈εβof␈αp␈α␈ara␈α␈l␈α↓lel␈αh␈α␈yp␈α␈erp␈α␈l␈α↓a␈α␈ne␈α␈s␈αin␈α␈terse␈α␈cting␈αthe␈αun␈α␈it␈αh␈α}yp␈α␈ercu␈α␈be␈αas␈αin␈αex␈α␈-
␈β
8␈↓ βo␈εt
␈β
U␈↓ ↓H␈εβe␈α␈rcise␈α
1␈α␈5,␈α
o␈α␈v␈α}er␈αall␈↓ βT␈ε	U␈↓ β|␈εβsa␈α␈tisfying␈α(1␈α␈5).␈α≤[␈ε⊂␈α↓Hin␈α}t:␈εβ␈α∞W␈α↓h␈α␈at␈αare␈αap␈α␈pro␈α␈priate␈αa␈α␈nalo␈α␈gs␈αto␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e
␈β
|␈↓ ↓H␈εβd␈α␈e|␈α␈nite␈αqu␈α␈ad␈α␈ratic␈αform␈α␈s␈αa␈α␈nd␈α
to␈αLemm␈α␈a␈αA?]
␈β-␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Mo␈α␈dify␈α
Algorith␈α␈m␈α∞S␈α
s␈α␈o␈α∞th␈α␈at,␈α∞in␈α
ad␈α␈dition␈α
to␈α
co␈α␈mpu␈α␈ting␈α
th␈α␈e␈α
qua␈α␈n␈α␈tities␈↓ 
g␈ε	↔␈↓ 
␈␈εβ,␈α∞it
␈β7␈↓ 
u␈εt
␈βP␈↓ λp␈εε2␈↓ 
∪␈εε2␈↓ 
c␈εε2
␈βT␈↓ ↓H␈εβo␈α␈utp␈α␈uts␈α
all␈α
i␈α↓n␈α}teg␈α␈er␈α
v␈α␈ecto␈α␈rs␈α
(␈↓ ∧W␈ε	u␈↓ ∧w␈εβ,␈↓ ¬ε␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬2␈εβ,␈↓ ¬A␈ε	u␈↓ ¬↑␈εβ)␈α
satisfyin␈α␈g␈α
(15)␈α
suc␈α␈h␈α
tha␈α␈t␈↓ λ\␈ε	u␈↓ 	β␈εβ+␈↓ 	+␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ 	X␈εβ+␈↓ 	␈␈ε	u␈↓ 
)␈εβ=␈↓ 
T␈ε	↔␈↓ 
p␈εβ,␈αfo␈α␈r
␈β←␈↓ ∧k␈εε1␈↓ ¬T␈εt
␈βc␈↓ λp␈εε1␈↓ 
∪␈εt␈↓ 
c␈εt
␈β|␈↓ ↓H␈εβ2␈ε↔␈α	∀␈↓ α␈ε	t␈↓ α!␈ε↔∀␈↓ αL␈ε	T␈↓ αc␈εβ.
␈β(␈↓ ∧G␈εe
␈β,␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(a)␈αLet␈↓ βe␈ε	m␈↓ ∧␈εβ=␈↓ ∧6␈εβ2␈↓ ∧R␈εβ,␈αwhe␈α␈re␈↓ ¬F␈ε	e␈↓ ¬↑␈εβis␈αev␈α}en.␈αBy␈α
con␈α␈si␈α↓d␈α␈ering␈α
\co␈α␈m␈α␈b␈α␈i␈α↓n␈α␈ato␈α␈ri␈α↓a␈α␈l␈αmatrices,"
␈βT␈↓ ↓H␈εβi.e.,␈αm␈α␈atrices␈αwh␈α␈ose␈αe␈α␈l␈α↓em␈α␈en␈α␈ts␈αh␈α␈av␈α}e␈αthe␈α
f␈α↓o␈α␈rm␈↓ εM␈ε	y␈↓ εg␈εβ+␈↓ π∂␈ε	x␈↓ π!␈ε	∞␈↓ πO␈εβ(c␈α␈f␈α↓.␈αex␈α}ercise␈α1␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓3␈α␈↑39␈α␈),␈α|␈α␈nd␈α
3␈ε↔␈απα␈εβ␈αλ3
␈β↑␈↓ π-␈εi␈↓ π7␈εj
␈β{␈↓ ↓H␈εβm␈α␈atrices␈α
o␈α␈f␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈↓ βt␈ε	U␈↓ ∧≤␈εβand␈↓ ∧←␈ε	V␈↓ ¬∧␈εβsa␈α␈ti␈α↓sfy␈α␈ing␈α
(2␈α␈9)␈α
su␈α␈ch␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α
tran␈α␈sform␈α␈ation␈αof␈α
step␈αS5
␈β
#␈↓ ↓H␈εβd␈α␈oes␈α∞no␈α␈thing␈α∞for␈α∞an␈α}y␈↓ ∧
␈ε	j␈↓ ∧≤␈εβ,␈α⊂bu␈α␈t␈α∂th␈α␈e␈α∂c␈α␈orresp␈α␈on␈α␈ding␈α∞v␈α␈alues␈α∞of␈↓ λ∨␈ε	z␈↓ λE␈εβi␈α↓n␈α∞(31␈α␈)␈α∂are␈α∞so␈α∞h␈α␈u␈α␈ge␈α∞tha␈α␈t
␈β
.␈↓ λ*␈εk
␈β
K␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xh␈α␈aust␈α␈i␈α↓v␈α}e␈α∂sea␈α␈rch␈α∂is␈α∂ou␈α␈t␈α∂of␈α∂th␈α␈e␈α∂qu␈α␈estion␈α␈.␈α!(The␈α∂m␈α␈atrix␈↓ λ∞␈ε	U␈↓ λ8␈εβn␈α␈eed␈α∞not␈α∞satisfy␈α∂(28␈α␈),␈α⊃w␈α␈e
␈β
r␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈α∞in␈α␈tere␈α␈sted␈α∞h␈α␈ere␈α∞in␈ε⊂␈α∞a␈α␈rbitrary␈εβ␈α
po␈α␈si␈α↓tiv␈α}e␈α∞de|␈α␈nite␈α∞q␈α␈ua␈α␈dratic␈α∞fo␈α␈rms␈α∞of␈α∞de␈α␈termina␈α␈n␈α␈t␈↓ 
{␈ε	m␈↓ _␈εβ.)
␈β∞~␈↓ ↓H␈εβ(b␈α␈)␈αAlthou␈α␈gh␈αtra␈α␈nsform␈α␈ation␈α(23)␈αi␈α↓s␈αof␈αn␈α␈o␈αu␈α␈se␈αfor␈αthe␈αmatrices␈αcon␈α␈struc␈α␈ted␈αi␈α↓n␈α(a),␈α|␈α␈nd
␈β∞A␈↓ ↓H␈εβa␈α␈no␈α␈ther␈αtra␈α␈nsfo␈α␈rmation␈α
tha␈α␈t␈αdoe␈α␈s␈αprod␈α␈uc␈α␈e␈αa␈αsu␈α␈bsta␈α␈n␈α␈tial␈αredu␈α␈ction␈α␈.
␈β∞n␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∞r␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈25␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Su␈α␈pp␈α␈ose␈α∂step␈α∂S␈α␈5␈α∂w␈α␈ere␈α∂cha␈α␈ng␈α␈ed␈α∂sli␈α↓g␈α␈h␈α␈tly␈α␈,␈α⊃so␈α∂tha␈α␈t␈α⊂a␈α∂tra␈α␈nsform␈α␈ation␈α∂with
␈β∂⊗␈↓ ∂␈εε1
␈β∂→␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓`␈εβ=␈α
1␈αw␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αb␈α␈e␈αper␈α␈f␈α↓o␈α␈rmed␈αwh␈α␈en␈α2␈↓ ¬<␈ε	V␈↓ ¬a␈ε↔↓␈↓ ¬r␈ε	V␈↓ ε~␈εβ=␈↓ εE␈ε	V␈↓ εk␈ε↔↓␈↓ ε|␈ε	V␈↓ π≠␈εβ.␈α~(Th␈α␈u␈α␈s,␈↓ λ'␈ε	q␈↓ λ?␈εβ=␈ε↔␈α
b␈εβ(␈↓ 	α␈ε	V␈↓ 	'␈ε↔↓␈↓ 	8␈ε	V␈↓ 	`␈εβ/␈↓ 	z␈ε	V␈↓ 
!␈ε↔↓␈↓ 
1␈ε	V␈↓ 
P␈εβ)␈αλ+␈↓ ∨␈ε↔c
␈β∂$␈↓ ¬O␈εi␈↓ ε¬␈εj␈↓ εX␈εj␈↓ π∂␈εj␈↓ 	∃␈εi␈↓ 	J␈εj␈↓ 

␈εj␈↓ 
D␈εj
␈β∂(␈↓ ∂␈∧∂(∂α
␈β∂*␈↓ ∂␈εε2
␈β∂A␈↓ ↓H␈εβin␈α
all␈αca␈α␈ses.)␈αW␈α↓o␈α␈uld␈αit␈αb␈α␈e␈αpo␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le␈αfor␈αAlgorith␈α␈m␈αS␈αto␈α
get␈αin␈α␈to␈αa␈α␈n␈αin|␈α␈nite␈αloo␈α␈p?
␈β∂r␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Discu␈α␈ss␈αλho␈α}w␈αλto␈αλca␈α␈rry␈αλo␈α␈ut␈αλan␈απap␈α␈pro␈α␈priate␈απspec␈α␈tral␈αλtest␈αλfor␈αλline␈α␈ar␈αλco␈α␈ngr␈α␈uen␈α}ti␈α↓a␈α␈l
␈β⊂∃␈↓ ε␈εe
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εβse␈α␈que␈α␈nce␈α␈s␈αhav␈α␈ing␈↓ βK␈ε	c␈↓ βa␈εβ=␈α	0,␈↓ ∧0␈ε	X␈↓ ∧←␈εβod␈α␈d,␈↓ ¬)␈ε	m␈↓ ¬P␈εβ=␈↓ ¬z␈εβ2␈↓ ε⊗␈εβ,␈↓ ε*␈ε	a␈↓ ε@␈εβmo␈α␈d␈↓ π¬␈εβ8␈αλ=␈α
5.
␈β⊂$␈↓ ∧H␈εε0
␈β⊂J␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(R.␈α
W␈α↓.␈α
Gosp␈α␈er.)␈α↔A␈αce␈α␈rtain␈α
ap␈α␈plica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
use␈α␈s␈αra␈α␈nd␈α␈om␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α
in␈α
ba␈α␈tche␈α␈s␈αo␈α␈f
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈ur,␈αb␈α␈ut␈α\th␈α␈ro␈α␈ws␈αa␈α␈way"␈αth␈α␈e␈αse␈α␈con␈α␈d␈αo␈α␈f␈αea␈α␈ch␈αset.␈α
Ho␈α␈w␈αcan␈αw␈α␈e␈αstud␈α␈y␈αthe␈αgrid␈αstru␈α␈cture
␈β⊂w␈↓ ↓n␈ε↓λ␈↓ ∧;␈ε↓␈	
␈β⊃∃␈↓ α
␈εε1␈↓ 
q␈εe
␈β⊃→␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ α∨␈εβ(␈↓ α*␈ε	X␈↓ α↑␈εβ,␈↓ αm␈ε	X␈↓ βG␈εβ,␈↓ βV␈ε	X␈↓ ∧0␈εβ)␈↓ ∧M␈εβ,␈αgiv␈α}en␈αa␈αline␈α␈ar␈αcon␈α␈gru␈α␈en␈α␈tia␈α␈l␈αg␈α␈ener␈α␈ator␈αo␈α␈f␈αp␈α␈eriod␈↓ 
∂␈ε	m␈↓ 
6␈εβ=␈↓ 
`␈εβ2␈↓ 
|␈εβ?
␈β⊃#␈↓ αA␈εε4␈↓ αN␈εn␈↓ β∧␈εε4␈↓ β⊃␈εn␈↓ β!␈εε+2␈↓ βm␈εε4␈↓ βy␈εn␈↓ ∧
␈εε+3
␈β⊃'␈↓ α∧␈∧⊃'α∧α_
␈β⊃)␈↓ α∧␈εm
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.3.4␈ε∞␈↓ λ⊃T␈α␈HE␈α	SP␈α␈ECTRA␈α␈L␈α	TEST␈↓ 
v␈εα111
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβ[␈ε	M46␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈αλi␈α↓s␈αλth␈α␈e␈αλbe␈α␈st␈α	u␈α␈pp␈α␈er␈αλb␈α␈oun␈α␈d␈αλo␈α␈n␈↓ εR␈ε	⊗␈↓ εp␈εβ,␈α	giv␈α␈e␈α␈n␈αλtha␈α␈t␈↓ λ≤␈ε	⊗␈↓ λB␈εβi␈α↓s␈αλv␈α}ery␈αλn␈α␈ear␈αλits␈αλmax␈α␈im␈α␈um
␈βα3␈↓ α$␈ε↓p
␈βα5␈↓ εd␈εε3␈↓ λ.␈εε2
␈βαN␈↓ αH␈∧αNαHα2
␈βαW␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈↓ αH␈εβ4/␈α␈3␈↓ β␈ε	→␈↓ β∩␈εβ?␈α⊗Wha␈α␈t␈α∂is␈α∂th␈α␈e␈α∂b␈α␈est␈α∂u␈α␈pp␈α␈er␈α∂b␈α␈ou␈α␈nd␈α∞o␈α␈n␈↓ π>␈ε	⊗␈↓ π\␈εβ,␈α∂giv␈α␈en␈α∞th␈α␈at␈↓ 	≤␈ε	⊗␈↓ 	H␈εβi␈α↓s␈α∞v␈α␈ery␈α∞n␈α␈ear␈α∞i␈α↓t␈α␈s
␈βαa␈↓ πO␈εε2␈↓ 	-␈εε3
␈βα␈␈↓ ∧¬␈∧α␈∧¬α⊃
␈ββ␈↓ βc␈ε↔p
␈ββ↓␈↓ β@␈εε4
␈ββ¬␈↓ ↓H␈εβm␈α␈axim␈α␈u␈α␈m␈αv␈α␈alue␈↓ βQ␈ε	→␈↓ ∧¬␈εβ2␈↓ ∧∃␈εβ?
␈ββ∪␈↓ β@␈∧β∪β@α
␈ββ∃␈↓ β@␈εε3
␈ββ7␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ[␈ε	M48␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β2␈ε	U␈↓ βQ␈εβ,␈↓ βd␈ε	V␈↓ ∧␈εβbe␈αλv␈α␈ecto␈α␈rs␈α	of␈αλreal␈α	n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α	with␈↓ πT␈ε	U␈↓ πy␈ε↔↓␈↓ λε␈ε	V␈↓ λ.␈εβ=␈↓ λY␈ε	∞␈↓ 	∧␈εβfor␈α	1␈ε↔␈αλ∀␈↓ 	z␈ε	i␈↓ 
π␈εβ,␈↓ 
⊗␈ε	j␈↓ 
.␈ε↔∀␈↓ 
X␈ε	t␈↓ 
d␈εβ,␈α
a␈α␈nd
␈ββB␈↓ βG␈εi␈↓ βw␈εj␈↓ πj␈εi␈↓ λ→␈εj␈↓ λe␈εi␈↓ λo␈εj
␈ββ←␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈α
tha␈α␈t␈↓ α[␈ε	U␈↓ βα␈ε↔↓␈↓ β∩␈ε	U␈↓ β;␈εβ=␈α
1␈α␈,␈α2␈ε↔␈α␈j␈↓ ∧$␈ε	U␈↓ ∧K␈ε↔↓␈↓ ∧\␈ε	U␈↓ ∧⎇␈ε↔j␈α	∀␈εβ␈α
1,␈α2␈ε↔␈α␈j␈↓ ¬y␈ε	V␈↓ ε≥␈ε↔↓␈↓ ε-␈ε	V␈↓ εK␈ε↔j␈α
∀␈↓ πλ␈ε	V␈↓ π.␈ε↔↓␈↓ π>␈ε	V␈↓ πg␈εβf␈α↓o␈α␈r␈↓ λ≠␈ε	i␈↓ λ1␈ε↔≤␈↓ λ\␈ε	j␈↓ λj␈εβ.␈αHo␈α}w␈αl␈α↓a␈α␈rge␈α
can␈↓ 
W␈ε	V␈↓ 
⎇␈ε↔↓␈↓ 
␈ε	V
␈ββi␈↓ αp␈εi␈↓ β'␈εi␈↓ ∧:␈εi␈↓ ∧q␈εj␈↓ ε␈εi␈↓ ε?␈εj␈↓ π≠␈εj␈↓ πQ␈εj␈↓ 
j␈εε1␈↓  ␈εε1
␈β∧ε␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e?␈α∀(Th␈α␈i␈α↓s␈α	q␈α␈ues␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α	rela␈α␈tes␈α	to␈α	th␈α␈e␈α	bo␈α␈un␈α␈ds␈α	in␈αλstep␈α	S␈α␈8,␈α
if␈α	b␈α␈oth␈α	(2␈α␈3)␈α	an␈α␈d␈α	th␈α␈e␈α	tran␈α␈sform␈α␈ation
␈β∧.␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α1␈α␈8(b␈α␈)␈αfa␈α␈i␈α↓l␈αto␈αm␈α␈ak␈α␈e␈αa␈α␈n␈α␈y␈α
redu␈α␈ction␈α␈s.␈αTh␈α␈e␈αau␈α␈tho␈α␈r␈αsusp␈α␈ects␈αth␈α␈at␈↓ 	\␈ε	V␈↓ 
α␈ε↔↓␈↓ 
∪␈ε	V␈↓ 
;␈εβ<␈α
2.)
␈β∧9␈↓ 	n␈εε1␈↓ 
&␈εε1
␈β∧\␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧`␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβ[␈ε	M28␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Gen␈α␈era␈α␈l␈α↓ize␈α⊂th␈α␈e␈α⊂spe␈α␈ctral␈α⊂test␈α⊂to␈α⊂se␈α␈que␈α␈nce␈α␈s␈α⊃o␈α␈f␈α⊂the␈α⊂form␈↓ 	,␈ε	X␈↓ 	e␈εβ=␈α∩(␈↓ 
#␈ε	a␈↓ 
3␈ε	X␈↓ ␈εβ+
␈β∧k␈↓ 	C␈εn␈↓ 
J␈εn␈↓ 
[␈ε~␈␈εε1
␈β¬∧␈↓ ¬e␈εε2
␈β¬λ␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓U␈ε	X␈↓ α"␈εβ)␈↓ α3␈εβm␈α␈od␈↓ αw␈ε	p␈↓ βλ␈εβ,␈αha␈α␈ving␈α
pe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d␈αlen␈α␈gth␈↓ ¬T␈ε	p␈↓ ¬x␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈.␈α→(Cf.␈αEq.␈α3.2.2↑␈α␈8.)␈α→Ho␈α}w␈αsho␈α␈uld␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm
␈β¬∪␈↓ ↓l␈εn␈↓ ↓|␈ε~␈␈εε2
␈β¬0␈↓ ↓H␈εβS␈α
be␈αm␈α␈odi|␈α␈ed?
␈β¬D␈↓ 	>␈ε↓P
␈β¬b␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈24␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βJ␈ε	d␈↓ βh␈εβbe␈αa␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈isor␈αo␈α␈f␈↓ ¬G␈ε	m␈↓ ¬q␈εβa␈α␈nd␈αlet␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ π*␈ε	q␈↓ πC␈εβ<␈↓ πo␈ε	d␈↓ λ↓␈εβ.␈α∞Pro␈α␈v␈α␈e␈αtha␈α␈t␈↓ 	j␈ε	r␈↓ 	x␈εβ(␈↓ 
β␈ε	k␈↓ 
∀␈εβ),␈αsum␈α␈med
␈βεπ␈↓ 
↑␈εα(
␈βε
␈↓ ↓H␈εβo␈α}v␈α␈er␈αa␈α␈l␈α↓l␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ βλ␈ε	k␈↓ β#␈εβ<␈↓ βO␈ε	m␈↓ βx␈εβsuch␈αtha␈α␈t␈↓ ¬∞␈ε	k␈↓ ¬$␈εβmod␈↓ ¬i␈ε	d␈↓ εε␈εβ=␈↓ ε2␈ε	q␈↓ εA␈εβ,␈α
is␈αa␈α␈t␈αmost␈α(2/␈↓ λ!␈ε	d␈↓ λ4␈ε	→␈↓ λF␈εβ)␈↓ λW␈εβln␈↓ λs␈εβ(␈↓ λ}␈ε	m␈↓ 	≠␈εβ/␈↓ 	,␈ε	d␈↓ 	>␈εβ)␈αλ+␈↓ 	{␈ε	O␈↓ 
∪␈εβ(1␈α␈).␈↓ 
j␈εβHere
␈βε.␈↓ ¬q␈εα)
␈βε1␈↓ ↓H␈ε	r␈↓ ↓V␈εβ(␈↓ ↓a␈ε	k␈↓ ↓r␈εβ)␈αis␈αde␈α␈|n␈α␈ed␈αin␈αEq.␈α(46␈α␈)␈αwh␈α␈en␈↓ ¬↔␈ε	t␈↓ ¬-␈εβ=␈α	1.
␈βεd␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Exp␈α␈lain␈αwh␈α}y␈αth␈α␈e␈αderiv␈α␈ation␈α
of␈α(53)␈αlead␈α␈s␈αto␈αa␈αsimilar␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α
on
␈βπ∪␈↓ ¬4␈ε↓␈␈↓ π4␈ε↓␈
␈βπ%␈↓ ε#␈ε↓X
␈βπ(␈↓ ¬4␈ε↓␈␈↓ π4␈ε↓␈
␈βπ>␈↓ ¬4␈ε↓␈␈↓ π4␈ε↓␈
␈βπD␈↓ ¬←␈ε~␈␈εε1␈↓ π␈εq␈↓ π_␈εx
␈βπJ␈↓ ¬@␈ε	N␈↓ εw␈ε	|
␈βπK␈↓ π%␈ε
n
␈βπT␈↓ ¬4␈ε↓␈␈↓ π4␈ε↓␈
␈βπ{␈↓ ε
␈εε0␈ε~∀␈↓ ε0␈εn␈↓ ε@␈εε<␈↓ εY␈εN
␈βλD␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α0␈α	<␈↓ α@␈ε	q␈↓ αX␈εβ<␈↓ βα␈ε	m␈↓ β ␈εβ.␈αWhere␈αd␈α␈oe␈α␈s␈αt␈α␈he␈αd␈α␈erivat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αof␈α(53␈α␈)␈αbrea␈α␈k␈αd␈α␈o␈α␈wn␈αwh␈α␈en␈↓ 	5␈ε	m␈↓ 	[␈εβ=␈α
1␈α␈?
␈βλv␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈39␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(E.␈α
Hl␈α↓a␈α␈wka␈α␈,␈α∞H.␈α
N␈α␈i␈α↓ed␈α␈erreiter␈α␈.␈α↓)␈α≤Let␈↓ π∩␈ε	r␈↓ π ␈εβ(␈↓ π+␈ε	u␈↓ πK␈εβ,␈↓ πZ␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λε␈εβ,␈↓ λ∃␈ε	u␈↓ λ?␈εβ)␈α
be␈αthe␈αfun␈α␈ction␈αd␈α␈e|n␈α␈ed
␈β	␈↓ βq␈ε↓P
␈β	↓␈↓ π>␈εε1␈↓ λ(␈εm
␈β	≡␈↓ ↓H␈εβin␈α
(␈α↓4␈α␈6).␈α∀P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈α∞th␈α␈at␈↓ ∧≤␈ε	r␈↓ ∧+␈εβ(␈↓ ∧6␈ε	u␈↓ ∧V␈εβ,␈↓ ∧e␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬⊃␈εβ,␈↓ ¬ ␈ε	u␈↓ ¬=␈εβ),␈α∂su␈α␈mmed␈α
o␈α␈v␈α}er␈α∞all␈α∂0␈ε↔␈α
∀␈↓ λ1␈ε	u␈↓ λQ␈εβ,␈↓ λ←␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	␈εβ,␈↓ 	≠␈ε	u␈↓ 	F␈εβ<␈↓ 	u␈ε	m␈↓ 
!␈εβsu␈α␈ch␈α
tha␈α␈t
␈β	(␈↓ ∧I␈εε1␈↓ ¬3␈εt␈↓ λD␈εε1␈↓ 	.␈εt
␈β	A␈↓ π7␈εt
␈β	B␈↓ εB␈εα(␈↓ πi␈εα)
␈β	E␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	u␈↓ ↓r␈εβ,␈↓ α↓␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α.␈εβ,␈↓ α<␈ε	u␈↓ αY␈εβ)␈ε↔␈α
≤␈εβ␈α	(0,␈↓ βC␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ βo␈εβ,␈αε0)␈αa␈α␈nd␈α
(␈α↓1␈α␈5)␈αho␈α␈lds,␈αi␈α↓s␈↓ ε*␈ε	O␈↓ εN␈εβ(2␈↓ εo␈εβlg␈↓ π∞␈ε	m␈↓ π,␈εβ)␈↓ π@␈εβ/␈↓ πQ␈ε	↔␈↓ πu␈εβ.
␈β	P␈↓ ↓f␈εε1␈↓ αP␈εt␈↓ π←␈εt
␈β	t␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β	x␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβ[␈ε	M28␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(H.␈αNiederr␈α␈ei␈α↓t␈α␈er.)␈α~Find␈α
an␈αa␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈g␈αof␈αTh␈α␈eorem␈αN␈αfo␈α␈r␈αthe␈αc␈α␈ase␈↓ 	⎇␈ε	m␈↓ 
$␈εβ=␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e,
␈β
∨␈↓ ↓H␈ε	c␈↓ ↓a␈εβ=␈α0,␈↓ α5␈ε	a␈↓ αR␈εβ=␈α
primitiv␈α␈e␈αroot␈αmod␈α␈ulo␈↓ ¬Q␈ε	m␈↓ ¬o␈εβ,␈↓ ε¬␈ε	X␈↓ ε5␈ε↔@⊃␈↓ εc␈εβ0␈α(mod␈α␈ulo␈↓ λ↓␈ε	m␈↓ λ≡␈εβ).␈α≥[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:␈εβ␈α∂You␈α␈r␈α
ex␈α␈po␈α␈nen␈α}ti␈α↓a␈α␈l
␈β
*␈↓ ε≤␈εε0
␈β
C␈↓ ∧A␈εε2␈↓ ∧M␈ε→␈↓ ∧\␈εi␈↓ ∧g␈εε/␈α␈(␈↓ ∧|␈εm␈↓ ¬∪␈ε~␈␈εε1)
␈β
G␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ms␈α
s␈α␈hou␈α␈ld␈α
in␈α}v␈α␈olv␈α␈e␈↓ βr␈ε	⊂␈↓ ∧	␈εβ=␈↓ ∧4␈ε	e␈↓ ¬K␈εβas␈α	we␈α␈l␈α↓l␈α
a␈α␈s␈↓ ε\␈ε	|␈↓ εq␈εβ.]␈α⊗P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈α	that␈α	in␈α
th␈α␈is␈α
case␈α	the␈α	\a␈α␈v␈α␈era␈α␈ge"
␈β
M␈↓ ε8␈ε↓␈␈↓ λV␈ε↓↓
␈β
i␈↓ ¬+␈εε(␈↓ ¬3␈εt␈↓ ¬=␈εε)
␈β
j␈↓ π5␈εt
␈β
n␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rimiti␈α↓v␈α}e␈αroo␈α␈t␈αhas␈αd␈α␈iscrep␈α␈anc␈α␈y␈↓ ¬∩␈ε	D␈↓ ¬s␈εβ=␈↓ ε∨␈ε	O␈↓ εF␈ε	t␈↓ εQ␈εβ(␈↓ ε]␈εβlo␈α␈g␈↓ π
␈ε	m␈↓ π*␈εβ)␈↓ π?␈εβ/␈↓ πO␈ε	≡␈↓ πb␈εβ(␈↓ πm␈ε	m␈↓ λ∩␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ λd␈εβ,␈α
he␈α␈nce␈αg␈α␈ood␈αprimitiv␈α␈e
␈β
␈␈↓ ¬+␈εm␈↓ ¬B␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β⊗␈↓ ↓H␈εβro␈α␈ots␈αex␈α␈ist␈αf␈α↓o␈α␈r␈αall␈↓ βL␈ε	m␈↓ βj␈εβ.
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓επλ	∞⊂⊃∩∪⊗↔_→~≠≡ !&'(),0189:;<=>@ABCPRXYZpqrsxx/FONT#2=cmr10[XGP,SYS]=∞!"%'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#3=cmr9[XGP,SYS]=∩!"%'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUWY[\]↑abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}}/FONT#4=cmr8[XGP,SYS]=(),.0124689:ACDEFGIMNOPRSTUWabcdefghilmnorstuvwyz}}/FONT#5=cmr7[XGP,SYS]=()+,-./0123456789<=adeilmnortvxx/FONT#6=cmr6[XGP,SYS]=()+/012345678<</FONT#7=cmr5[XGP,SYS]=+01233/FONT#8=cmi10[XGP,SYS]=
∞∂⊂⊗↔→≠≡∨ACDFGKLNOQRSTUVXYZabcdefghijklmnpqrstuvwxyz||/FONT#9=cmi9[XGP,SYS]=
∞∂⊂∩⊗↔→~≠≤≡∨0123456789ABCDFHKLMNOPSTUVWXYZabcdefghijkmnpqrstuvwxyz||/FONT#11=cmi7[XGP,SYS]=∂→≡∨NRSTacefhijklmnpqrstuvxyzz/FONT#12=cmi6[XGP,SYS]=→NTVYceijkmnpqrstxzz/FONT#13=cmi5[XGP,SYS]=ijklnrstt/FONT#14=cmsc10[XGP,SYS]=ABCDEFGHILMNOPRSTUYY/FONT#15=cms10[XGP,SYS]="'(),-./0123459:;?ABCDEFGHIJKLMNPRSTUW\abcdefghiklmnopqrstuvwxyz{||/FONT#16=cms9[XGP,SYS]=:AHMabehilnorstwyy/FONT#17=cms8[XGP,SYS]=FHMabcdefhiklmnostuu/FONT#18=cmb10[XGP,SYS]="'()*,-.0123456789ABCDEFGHIJKLMNPRST\↑abcdefghiklmnopqrstuvwxyy/FONT#19=cmb9[XGP,SYS]=.0123456789Fgii/FONT#21=cmtt[XGP,SYS]=ACDNORSTUU/FONT#22=cmsy10[XGP,SYS]=↓αβε⊃∀∃→≤ !$1@bcdefghijpx⎇⎇/FONT#23=cmsy9[XGP,SYS]=↓αε⊃∀∃≤!1@bcfgjpp/FONT#24=cmsy8[XGP,SYS]=¬¬/FONT#25=cmsy7[XGP,SYS]=↓∀∃≤!01pp/FONT#26=cmsy6[XGP,SYS]=∀00/FONT#27=cmsy5[XGP,SYS]=00/FONT#29=cmssb[XGP,SYS]=*.1234ACDEFGILPRSTX←abcdefghilmnoprstuyy/FONT#31=cmss8[XGP,SYS]=(),169ADMOPRST←←/FONT#32=cmsss8[XGP,SYS]=&.DGRTabcdefghilmnopqrstuvwyzz